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圆锥曲线公式汇总


92.椭圆 93.椭圆

? x = a cos θ x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y = b sin θ

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 焦半径公式 a2 b2 a2 a2 PF1 = e( x + ) , PF2 = e( ? x) . c c
2 2 x0 y0 + 2 <1. a2 b 2 2 x0 y0 + 2 > 1. a2 b

94.椭圆的的内外部
x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的内部 ? a2 b2 x2 y2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的外部 ? a b

(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

95. 椭圆的切线方程
xx y y x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 + 02 = 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y + 2 = 1. a2 b x2 y2 (3)椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 A2 a 2 + B 2b 2 = c 2 . a b 2 x y2 96.双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的焦半径公式 a b 2 a a2 PF1 =| e( x + ) | , PF2 =| e( ? x) | . c c

(1)椭圆

97.双曲线的内外部
x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的内部 ? a2 b2 x2 y2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的外部 ? a b

(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线

2 2 x0 y0 ? 2 >1. a2 b 2 2 x0 y0 ? <1. a2 b2

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x2 y2 x2 y2 b ? 2 = 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 = 0 ? y = ± x . 2 a b a b a 2 2 x y x y (2)若渐近线方程为 y = ± b x ? ± = 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 = λ . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 = 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 = λ ( λ > 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, λ < 0 ,焦点在 y 轴上).

(1)若双曲线方程为

99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线
xx y y x2 y 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 = 1 . 2 a b a b

(2) 过双曲线
x0 x y0 y ? 2 = 1. a2 b

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a 2 b2

(3)双曲线
A2 a 2 ? B 2 b 2 = c 2 .

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 a 2 b2

100. 抛物线 y 2 = 2 px 的焦半径公式 抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 焦半径 CF = x0 + 过焦点弦长 CD = x1 +
p . 2

p p + x 2 + = x1 + x 2 + p . 2 2 2 y 101.抛物线 y 2 = 2 px 上的动点可设为 P ( , y ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt )或 P ( x , y ) ,其中 2p

y 2 = 2 px . b 2 4ac ? b2 ) + (a ≠ 0) 的图象是抛物线: (1)顶点 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 + 1 坐 标 为 (? , ) ; 2 ) 焦 点 的 坐 标 为 (? , ( ) ; 3)准线方程是 ( 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 y= . 4a

102.二次函数 y = ax2 + bx + c = a( x +

103.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的内部 ? y 2 < 2 px( p > 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的外部 ? y 2 > 2 px( p > 0) . (2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px( p > 0) 的内部 ? y 2 < ?2 px( p > 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 = ?2 px( p > 0) 的外部 ? y 2 > ?2 px( p > 0) . (3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > 2 py ( p > 0) . (4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 的内部 ? x 2 < 2 py ( p > 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 = ?2 py ( p > 0) 的外部 ? x 2 > ?2 py ( p > 0) . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y 2 = 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p( x + x0 ) . ( 2 ) 过 抛 物 线 y 2 = 2 px 外 一 点 P( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 y0 y = p(x + x0 ) . (3)抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 pB 2 = 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y ) = 0 , f 2 ( x, y ) = 0 的交点的曲线系方程是 f1 ( x, y) + λ f2 ( x, y) = 0 ( λ 为参数).

x2 y2 + 2 = 1 , 其 中 k < max{a 2 , b 2 } . 当 2 a ?k b ?k 2 2 2 2 k > min{a , b } 时,表示椭圆; 当 min{a , b } < k < max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线.

(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB = ( x1 ? x2 )2 + ( y1 ? y2 ) 2 或
AB = (1 + k 2 )( x2 ? x1 ) 2 =| x1 ? x2 | 1 + tan 2 α =| y1 ? y2 | 1 + co t 2 α









A ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) , 由方程 ?

? y = kx + b 消去 y 得到 ax 2 + bx + c = 0 , > 0 , α 为直线 AB 的 ? ?F( x , y) = 0

倾斜角, k 为直线的斜率). 107.圆锥曲线的两类对称问题 (1) 曲线 F ( x, y ) = 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) = 0 . (2)曲线 F ( x, y ) = 0 关于直线 Ax + By + C = 0 成轴对称的曲线是
F (x ? 2 A( Ax + By + C ) 2 B ( Ax + By + C ) ,y? ) = 0. 2 2 A +B A2 + B 2

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ,用 x0 x 代 x 2 ,用 y0 y 代 y 2 , 用
x0 y + xy0 x +x y +y 代 xy , 用 0 代 x , 用 0 代 y 即 得 方 程 2 2 2 x y + xy0 x +x y +y Ax0 x + B ? 0 + Cy0 y + D ? 0 + E? 0 + F = 0 ,曲线的切线,切点弦,中点弦, 2 2 2

弦中点方程均是此方程得到.


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