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2009年高考试题——数学理(安徽卷)Word版


2009 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科)
第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 (1)i 是虚数单位,若 (A)-15

1+7i ? a ? bi (a、b∈R) ,则乘积 ab 的值是 2-i
(C)3 (D)15

(B)-3

(2)若集合 A={x|︱2x-1︱<3} ,B={x| (A) {x|-1<x< (C) {x| -

2x+1 <0},则 A∩B 是 3-x
(B) {x|2<x<3} (D) {x|-1<x< -

1 或 2<x<3} 2

1 <x<2} 2

1 } 2

(3)下列曲线中离心率为

6 的是 2
(B)

(A)

x2 y2 ? ?1 2 4 x2 y2 ? ?1 4 6

x2 y2 ? ?1 4 2 x2 y2 ? ?1 4 10

(C)

(D)

(4)下列选项中, p 是 q 的必要不充分条件的是 (A) p : a ? c ? b ? d ,

q : a ? b且c ? d
q : f ( x) ? a x ? b(a ? 0, 且a ? 1) 的图像不过第二象限

,b ? 1 , (B) p : a ? 1
(C) p : x ? 1 , (D) p : a ? 1 ,

q : x2 ? x q : f ( x) ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 在 (0,??) 上为增函数

(5)已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? a5 ? 105, a2 ? a4 ? a6 ? 99 。以 S n 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大值的 n 是 (A)21 (B)20 (C)19 (D)18

2 (6)设 a ? b ,函数 y ? ( x ? a) ( x ? b) 的图像可能是

-1-

x?0
(7)若不等式组

x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ?

4 分为面积相等的两 3

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3x ? y ? 4 部分,则 k 的值是 (A)

7 3

(B)

3 7

(C)

4 3

(D)

3 4

(8)已知函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相 邻交点的距离等于 ? ,则 f ( x) 的单调递增区间是 (A) ?k? ?

? ?

?
12

,k? ?

5? ? ,k ? Z 12 ? ?

(B) ?k? ?

? ?

5? 11 ?? ,k? ? ,k ? Z 12 12 ? ?

(C) ?k? ?

? ?

?
3

,k? ?

??

,k ? Z 6? ?

(D) ?k? ?

? ?

?
6

,k? ?

2? ? ,k ? Z 3 ? ?

2 ( 9 )已知函数 f ( x) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点

(1, f (1)) 处的切线方程是
(A) y ? 2 x ? 1 (B) y ? x (C) y ? 3x ? 2 (D) y ? ?2 x ? 3

(10)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点 种任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 (A)

1 75

(B)

2 75

(C)

3 75

(D)

4 75

-2-

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)



学(理科)
共 100 分)

第Ⅱ卷(非选择题

考生注意事项: 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 作答,在试题卷上答题无效 . ..... ......... 二. 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. (11)若随机变量 X~N(μ ,σ 2) ,则 P(X≤μ )= .
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(12)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线的 极坐标方程为 ? ?

?
4

开始 α =1

( ? ? R ) ,它与曲线

x ? 1 ? 2 cos ?
(α 为参数)相交于两点 A 和 B,则

α =2α +1

y ? 2 ? 2 sin ?
|AB|= . 否

a ? 100 ?

(13)程序框图(即算法流程图)如图所示,其输出结果是 . (14)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹 角为 120°.如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动.若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x,y ? R ,则 x+y 的最大值是 . 结束 第(13)题图 输出 a

(15)对于四面体 ABCD,下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). ①相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面; ②由顶点 A 作四面体的高,其垂足是△BCD 三条高线的交点;

③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高,则这两条高所在的直线异面; 第(14)题图 ④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点; ⑤最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答 写在答题卡上的指定区域内。 (16) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,sin(C-A)=1,sinB= (Ⅰ)求 sinA 的值; (Ⅱ)设 AC= 6 ,求△ABC 的面积. (17)(本小题满分 12 分)
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1 . 3

-3-

某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区,B 肯定是受 A 感 染的。对于 C,因为难以判定他是受 A 还是受 B 感染的,于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都 是 1/2.同样也假设 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是 1/3.在这种假定之下,B、C、D 中直接受 A 感染的人数 X 就是一个随机变量。 写出 X 的分布列 (不要求写出计算过程) , 并求 X 的均值 (即 数学期望) 。 (18) (本小题满分 13 分) 如图,四棱椎 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线 AC=2,BD= 2 .AE、CF 都与平面 ABCD 垂 直,AE=1,CF=2. F (Ⅰ) 求二面角 B-AF-D 的大小; (Ⅱ) 求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积。
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E

B

C (19) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? A

2 ? a(2 ? ln x), a ? 0.讨论 f ( x)的单调性 . x

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D

(20)(本小题满分 13 分) 点 P(x0,y0)在椭圆

x2 y2 ? ? 2 ? 1(a>b>0)上,x0= ? cos ? , y0= b sin ? ,0 ? ? ? . 直线 l 2 与直线 2 a b 2

l1 :

x0 y0 x? 2 y ? 1 垂直,O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 ? ,直线 l 2 的倾斜角为 ? . 2 a b

x2 y2 (Ⅰ)证明:点 P 是椭圆 2 ? 2 ? 1 与直线 l1 的唯一交点; a b
(Ⅱ)证明:tan ? ,tan ? ,tan ? 构成等比数列。 (21) (本小题满分 13 分) 首项为正数的数列{ an }满足 a n ?1 ?

1 2 (a n ? 3), n ? N * . 4

(Ⅰ)证明:若 a1 为奇数,则对一切 n ? 2 , an 都是奇数; (Ⅱ)若对一切 n ? N * ,都有 a n ?1 ? a n ,求 a1 的取值范围。
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-4-

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学
1-10. BDBAB CACAD

1 ? 7i (1 ? 7i )(2 ? i) ? ? ?1 ? 3i ,∴ a ? ?1, b ? 3, ab ? ?3 ,选 B。 2?i 5 1 1 2、[解析]集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2}, B ? { x | x ? ? 或x ? 3} ,∴ A B ? {x | ?1 ? x ? ? } 选 2 2
1、[解析] D

b2 3 b2 1 6 c2 3 3、[解析]由 e ? 得 2 ? ,1 ? 2 ? , 2 ? ,选 B a 2 a 2 a 2 2
4、[解析]:由 a >b 且 c>d ? a ? c >b+d,而由 a ? c >b+d A

a >b 且 c>d,可举反例。选

5 、 [ 解析 ] :由 a1 + a3 + a5 =105 得 3a3 ? 105, 即 a3 ? 35 ,由 a2 ? a4 ? a 6 =99 得 3a4 ? 99 即

?a ? 0 得 n ? 20 ,选 B a4 ? 33 ,∴ d ? ?2 , an ? a4 ? (n ? 4) ? (?2) ? 41 ? 2n ,由 ? n a ? 0 ? n ?1
6、[解析]: y ? ( x ? a)(3x ? 2a ? b) ,由 y ? 0 得 x ? a, x ?
/ /

大值 0,当 x ?

2a ? b 时 y 取极小值且极小值为负。故选 C。 3
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2a ? b ,∴当 x ? a 时, y 取极 3

或当 x ? b 时 y ? 0 ,当 x ? b 时, y ? 0 选 C

7、[解析]:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC 由? ∴S

?x ? 3y ? 4 4 得 A(1,1) ,又 B(0,4) ,C(0, ) 3 ?3x ? y ? 4
△ABC

1 4 4 (4 ? ) ? 1 ? ,设 y ? kx 与 3x ? y ? 4 的 2 3 3 1 5 1 2 交点为 D,则由 S ?BCD ? S ?ABC ? 知 xD ? ,∴ y D ? 2 2 2 3 5 1 4 7 ∴ ? k ? ? , k ? 选 A。 2 2 3 3
=

8. [解析]: f ( x) ? 2sin(? x ? 由 2 k? ?

?
6

) ,由题设 f ( x) 的周期为 T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得, k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

, k ? z ,故选 C

9、[解析]:由 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8x ? 8 得 f (2 ? x) ? 2 f ( x) ? (2 ? x) ? 8(2 ? x) ? 8 ,
2 2

即 2 f ( x) ? f (2 ? x) ? x ? 4 x ? 4 ,∴ f ( x) ? x ∴ f ( x) ? 2 x ,∴切线方程为
2 2 /

-5-

y ? 1 ? 2( x ?1) ,即 2 x ? y ? 1 ? 0 选 A
10、[解析] 如图,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这
2 2 6 个点中任意选两个点连成直线,共有 C6 ? C6 ? 15 ?15 ? 225

种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有

?B ?
C

AC // DB, AD // CB, AE // BF , AF // BE, CE // FD, CF // ED

?F ?E

12 4 ? 共 12 对,所以所求概率为 p ? ,选 D 225 75
一. 填空题 11、[解析]

?D

?A

1 2

12、[解析] 直线的普通方程为 y ? x ,曲线的普通方程 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ∴ | AB |? 2 22 ? (

|1 ? 2 | 2 ) ? 14 1?1

13、[解析] 由程序框图知,循环体被执行后 a 的值依次为 3、7、15、31、 63、127,故输出的结果是 127。 14、[解析]设 ?AOC ? ?

1 ? cos ? ? x ? y ? ? ? ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, 2 ,即 ? ? ? ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ? ? 2
∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(120 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
0

?
6

)?2

15、[解析]①④⑤ 16 、 解 : ( Ⅰ ) 由 C ? A ?

? ? , 且 C? A? 2
s i n )

?B , ∴ A?

? B ? , ∴ 4 2

s i An ?

? B 2 B B s i ?n (? ) ?( , c o s 4 2 2 2 2

2 ∴ sin A ?

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3
A

C

AC BC ? (Ⅱ)如图,由正弦定理得 sin B sin A

B

∴ BC ?

AC sin A ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

-6-

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3
X P 1 2 3

∴ S?ABC ?

17、解:随机变量 X 的分布列是

1 3

1 2
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1 6

X 的均值为 EX ? 1?

1 1 1 11 ? 2 ? ? 3? ? 3 2 6 6

附:X 的分布列的一种求法 共有如下 6 种不同的可能情形,每种情形发生的概率都是 ① A—B—C—D ② A—B—C └D ③ A—B—C └D ④ A—B—D └C

1 : 6
⑤ A—C—D └B ⑥

在情形①和②之下,A 直接感染了一个人;在情形③、④、⑤之下,A 直接感染了两个人;在 情形⑥之下,A 直接感染了三个人。 18、解: (I) (综合法)连接 AC、BD 交于菱形的中心 O,过 O 作 OG ? AF, G 为垂足。连接 BG、DG。由 BD ? AC,BD ? CF 得 BD ? 平面 ACF,故 BD ? AF。 于是 AF ? 平面 BGD,所以 BG ? AF,DG ? AF, ? BGD 为二面角 B-AF-D 的平面角。 由 FC ? AC , FC ? AC ? 2 ,得 FAC ?

?
4

, OG ?

2 2

由 OB ? OG, OB ? OD ?

? 2 ,得 ?BGD ? 2?BGO ? 2 2

(向量法)以 A 为坐标原点, BD 、 AC 、 AE 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系(如图)

-7-

? ? n1 ? AB ? 0 ?? 2 x ? y ? 0 ? 设平面 ABF 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,则由 ? 得? 2 n ? AF ? 0 ? ?2 y ? 2 z ? 0 ? 1 ?
令 z ? 1 ,得 ?

? ?x ? ? 2 , n1 ? (? 2, ?1,1) ? ? y ? ?1
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

同理,可求得平面 ADF 的法向量 n2 ? ( 2, ?1,1) 。 由 n1 ? n2 ? 0 知,平面 ABF 与平面 ADF 垂直, 二面角 B-AF-D 的大小等于

? 。 2

(II)连 EB、EC、ED,设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H,则四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 的 公共部分为四棱锥 H-ABCD。 过 H 作 HP⊥平面 ABCD,P 为垂足。 因为 EA⊥平面 ABCD, FC⊥平面 ABCD, , 所以平面 ACFE⊥平面 ABCD, 从而 P ? AC , HP ? AC.

2 HP HP AP PC ? ? ? ? 1, 得 HP ? 。 3 CF AE AC AC 1 又因为 S菱形ABCD ? AC ? BD ? 2, 2
由 故四棱锥 H-ABCD 的体积 V ?

1 2 2 S菱形ABCD ? HP ? . 3 9

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

19、解: f ( x ) 的定义域是(0,+ ? ), f ?( x) ? 1 ?

2 a x 2 ? ax ? 2 ? ? . x2 x x2
2

2 设 g ( x) ? x ? ax ? 2 ,二次方程 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? a ? 8 .

① 当 ? ? a ?8 ? 0, 即0 ? a ? 22
2

时, 对一切 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上

是增函数。 ② 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时, 仅对 x ?
2

2 有 f ?( x) ? 0 ,对其余的 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 ,

此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上也是增函数。 ③ 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,
2

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方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根 x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? , 0 ? x1 ? x2 . 2 2

x

(0, x1 )

x1

( x1 , x2 )

x2

( x 2 , ??)

-8-

f ?( x )

+ 单调递增

0 极大

_ 单调递减

0 极小

+ 单调递增

f ( x)

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 此时 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增 , 在 ( , ) 是上单调递减 , 在 2 2 2
( a ? a2 ? 8 , ??) 上单调递增. 2

20、解:本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等比 数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分 13 分。 解: (I) (方法一)由

x0 y0 x2 y 2 b2 2 x ? y ? 1 ? ? 1, 得 代入椭圆 y ? ( a ? x x ), 0 a2 b2 a 2 b2 a 2 y0

得(

1 b2 x0 2 2 2b2 x0 b2 ? ) x ? x ? ( ? 1) ? 0 . a 2 a 4 y02 a 2 y0 y02

将?

? x0 ? a cos ? 代入上式,得 x2 ? 2a cos ? ? x ? a2 cos2 ? ? 0, 从而 x ? a cos ? . ? y0 ? b sin ?

? x2 y 2 ? ?1 ? ? x ? x0 ? a 2 b2 因此,方程组 ? 有唯一解 ? ,即直线 l1 与椭圆有唯一交点 P. y ? y x y 0 ? ? 0 x ? 0 y ?1 ? b2 ? a2

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(方法二)显然 P 是椭圆与 l1 的交点,若 Q (a cos ?1 , b sin ?1 ),0 ? ?1 ? 2? 是椭圆与 l1 的交点, 代入 l1 的方程

cos ? sin ? x? y ? 1 ,得 cos ? cos ?1 ? sin ? sin ?1 ? 1, a b

即 cos(? ? ?1 ) ? 1, ? ? ?1 , 故 P 与 Q 重合。

b 2 b 2 x2 y 2 a ? x 2 , y0 ? a ? x0 2 , (方法三)在第一象限内,由 2 ? 2 ? 1 可得 y ? a a a b
椭圆在点 P 处的切线斜率 k ? y ?( x0 ) ? ?

bx0 a a 2 ? x0 2

b 2 x0 ?? 2 , a y0

xx y y b2 x0 切线方程为 y ? ? 2 ( x ? x0 ) ? y0 , 即 02 ? 02 ? 1 。 a b a y0
因此, l1 就是椭圆在点 P 处的切线。 根据椭圆切线的性质,P 是椭圆与直线 l1 的唯一交点。
-9-

(II) tan ? ?

y0 b x b2 y a2 a ? tan ? , l1 的斜率为 ? 0 2 , l2 的斜率为 tan ? ? 0 2 ? tan ? , x0 a y0 a x0b b

由此得 tan ? tan ? ? tan 2 ? ? 0, tan ? , tan ? , tan ? 构成等比数列。 21、解: (I)已知 a1 是奇数,假设 ak ? 2m ?1 是奇数,其中 m 为正整数, 则由递推关系得 ak ?1 ?

ak 2 ? 3 ? m(m ? 1) ? 1 是奇数。 4

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根据数学归纳法,对任何 n ? N ? , an 都是奇数。 (II) (方法一)由 an ?1 ? an ?

1 (an ? 1)(an ? 3) 知, an?1 ? an 当且仅当 an ? 1 或 an ? 3 。 4
1? 3 32 ? 3 ? 1;若 ak ? 3 ,则 ak ?1 ? ? 3. 4 4

另一方面,若 0 ? ak ? 1, 则 0 ? ak ?1 ?

根据数学归纳法, 0 ? a1 ? 1, ? 0 ? an ? 1, ?n ? N? ; a1 ? 3 ? an ? 3, ?n ? N? . 综合所述,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 (方法二)由 a2 ?

a12 ? 3 ? a1 , 得 a12 ? 4a1 ? 3 ? 0, 于是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。 4

an?1 ? an ?

an 2 ? 3 an ?12 ? 3 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? ? , 4 4 4

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因为 a1 ? 0, an ?1 ?

an 2 ? 3 , 所以所有的 an 均大于 0,因此 an?1 ? an 与 an ? an?1 同号。 4

根据数学归纳法, ?n ? N? , an?1 ? an 与 a2 ? a1 同号。 因此,对一切 n ? N ? 都有 an?1 ? an 的充要条件是 0 ? a1 ? 1或 a1 ? 3 。
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- 10 -


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