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高中数学北师大版选修2-2学案:第4章 章末分层突破 含解析

章末分层突破 [自我校对] ①面积、路程 ④面积 ⑤体积 ②做功 ③牛顿莱布尼茨 定积分的计算 1.利用定义求定积分.步骤:(1)分割区间;(2)求过剩估计值、不足估计值; (3)取极限. 2.利用定积分的几何意义求定积分. ?bf(x)dx 3.利用微积分基本定理求定积分.若 F′(x)=f(x),? =F(b)-F(a). ?a 求下列定积分. ?2 (1)? ? 4-x2dx;(2) ?ln3x? ? ? ? x ?dx. ? ? -2 【精彩点拨】 (1)可用定积分的几何意义求解; (2)先去绝对值号,然后结合定积分的性质求解. 2 【规范解答】 (1)? ? ?-2 4-x2dx 表示的是图中阴影所示半径为 2 的半圆的 面积. 1 其面积为 ×π×22=2π, 2 2 所以? ? ?-2 4-x2dx=2π. ln x 1 ? - , ≤x≤1, ?ln x? ? x e ? ? (2)∵? ?=? ln x ? x ? ? ? x ,1≤x≤e, 3 3 3 e?ln x? ?1?-ln x?dx+?eln xdx. ∴? ? dx = ? x x ? ?1 ? x ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? 3 3 3 ? ? ? ? e e ?ln4x? ln3x ? ? ∵? ?′= x , ? 4 ? ? 3 ? ln4x? ln4x ln41 ln4e ln41 1 e?ln x? ? e ∴ ?dx=- 4 ?1+ 4 |1=- 4 + 4 + 4 - 4 =2. ?1 ? ? x ? ? ?e e [再练一题] 1.计算下列定积分. 1 (1)?2 dx; ? x(x+1) ?1 (2) ? 1 1 ln4 e ?π ?2 ?- π (cos x+2x)dx. 2 ?1 1 ? 1 ? ? 2 2 ? ? (1)∵? dx=? ? - dx x x+1? x ( x + 1 ) ? ? ?1 ?1 【解】 1=ln =[ln x-ln(x+1)] 2 | 4 . 3 π ?2 π ? 2 ? ? ? ? sin x+ (2) ? ln 2? ?2 (cos x+2 )dx=? ? ? -π ?- π ? 2 x x 2 1 π - =2+ (22-2 2). ln 2 定积分在几何中的应用 1.由积分的概念可知, 定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应 用.求解时应将相应问题画出草图,适当分割后转化为定积分求解. 2.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积.如圆锥体、圆柱体、圆台、 π 球体等.计算由曲线 y=f(x), 直线 x=a, x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋 ?bπ[f(x)]2dx. 转一周而形成的旋转体的体积为 V=? ?a 求由曲线 y=x2+4 与直线 y=5x,x=0,x=4 所围成的平面图形的 面积. 确定被积函数 及积分上、下限 【精彩点拨】 【规范解答】 画出草图 → 求交点坐标 → 画出草图,如图所示. → 求定积分 所求平面图形为图中阴影部分. ? ?y=x2+4, 解方程组? 得交点 A(1,5),B(4,20). ? y = 5x , ? 故所求平面图形的面积 1 2 2 ?4 S=? ? (x +4-5x)dx+? (5x-x -4)dx ?0 ?1 ?1 ? ?1 ??4 5 ? ? 3 ?? ?5 2 1 3 ?? 2 =? x +4x- x ?? +? x - x -4x?? 2 ??0 ?2 3 ?3 ??1 1 5 5 1 5 1 19 = +4- + ×42- ×43-4×4- + +4= . 3 2 2 3 2 3 3 [再练一题] 2.求曲线 y=sin x,x∈[0,π]与 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周所得到 旋转体的体积. 【94210078】 【解】 2 2 ? 由体积公式 V=? ? πy dx=? π(sin x) dx ?0 ?0 π π 数形结合思想的应用 数形结合思想贯穿本章的始终, 主要体现在利用定积分的几何意义求定积分 及用定积分求曲边图形的面积.在做题前首先要画出图形,确定图形是在 x 轴的 上方还是下方,并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限. 如图 41 所示,在区间[0,1]上给定曲线 y=x2,试在此区间内确定 t 的值,使图中阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小. 图 41 【精彩点拨】 确定被积函数,积分上、下限,求定积分,并用导数求最值. 【规范解答】 S1 的面积等于边长分别为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y=x2 与 x 轴,直线 x=t 围成的面积. 2 t x2dx= t3; 即 S1=t· t2-? ? 3 ?0 S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积去掉一矩形面积, 矩形边长分别为 t2,1-t, 2 1 1x2dx-t2(1-t)= t3-t2+ . 即 S2=? ? 3 3 ?t 所以阴影部分面积 4 1 S=S1+S2= t3-t2+ (0≤t≤1). 3 3 令 ? S′(t)=4t2-2t=4t t- ? ? ? 1? ? =0 , 2? ? 1 得 t=0 或 t= , 2 1 易知当 t= 时,S 最小, 2 ?1? 1 ? ? 所以最小值为 S? ?= . ?2? 4 [再练一题] 3.(2016· 潍坊高二检测)如图 42, 直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围 图形为面积相等的两部分,求 k 的值. 图 42 【解】 抛物线 y=x-x2 与 x 轴交点的横坐标分别为 x1=0,x2=1,所以 抛物线与 x 轴所围成图形的面积为 ?x2 x3??1 1 1 1 ? ?? 1 2 - S=? ? (x-x )dx=? 2 3 ??0=2-3=6.

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