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2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题43 不等式的解法


第 43 讲:不等式的解法
【考纲要求】 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式 . 【基础知识】 一、一元一次不等式的解法

2、当二次不等式 xf)( a =bx≥ + <cax+

2

0)0(

时,可以画图,解不等式,也可以把二次项

的系数 a 变成正数,再利用上面的方法解答。 3、温馨提示 (1)不要把不等式bx>2 + cax+

0 看成了一元二次不等式 ,一定邀注意观察分析 x 2 的系数。

(2)对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论。 (3)如果运用口诀解一元二次不等式,一定要注意使用口诀必须满足的前提条件。 (4)不等式的解集必须用集合或区间,不能用不等式,注意结果的规范性。 三、指数不等式和对数不等式的解法 解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法 (1)同底法:如果两边能化为同底的指数或对数 ,先化为同底 ,再根据指数 、对数的单调性转 化为代数不等式,底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论,并注意到对数真数大 于零的限制条件。 ①当 a > 1 时,

(2)对指互化法: 如果两边不能化成同底的指数或对数时,一般用对指互化法。 对数不等式两边取指数,转化成整式不等式来解;指数不等式两边取对数,转化成整式不等 式来解。

把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成

xf )( g)( x

≥ 0 的形式→化成不等式组

0x ? g)( ? 0x()( ) ?gf

≠ ≥

→解不等式组得解集。

温馨提示:解分式不等式一定要考虑定义域。 五、高次不等式的解法 先把高次不等式分解因式化成x2ax ? 0 ) > (? ax ?ax a ( ) )( 3 )( ?
1

iii

n

的形式( x 的系数必须为

正)→标记方程的实根(注意空心和实心之分) →穿针引线,从右往左,从上往下穿(奇穿 偶不穿)→写出不等式的解集。 实际上,序轴标根法适用于所有的整式不等式,根据它可以很快地写出整式不等式的解 集。

七、无理不等式的解法 无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答。 无理不等式转化为有理不等式,要注意平方的条件和根式有意义的条件,一般情况下,

f ( x ) ≥ g ( x ) 可转化为

f ( x ) > g ( x) 或

f ( x ) = g ( x) ,而

f ( x ) > g ( x) 等价于:

? f ( x) ≥ 0 ? 或 ? g ( x) ≥ 0 ? ? g ( x) < 0 ?

? f ( x) ≥ 0

2

? f ( x) > [ g ( x)]

八、抽象的函数不等式的解法 一般利用函数的单调性解答,先研究函数的单调性,再利用函数的单调性把抽象的函数不等 式转化成具体的函数不等式解答。 【方法讲评】

例1

解关于 x 的不等式 ax 2 ? ( a + 1) x + 1 < 0 .

解:分以下情况讨论 (1)当 a = 0 时,原不等式变为: ? x + 1 < 0 ,∴ x > 1 (2)当 a ≠ 0 时,原不等式变为: (ax ? 1)( x ? 1) < 0 ①

1 1 . a a 1 ②当 a > 0 时,①式变为 ( x ? )( x ? 1) < 0 . ② a 1 1? a 1 1 1 ∵ ?1 = ,∴当 0 < a < 1 时, > 1 ,此时②的解为 1 < x < .当 a = 1 时, = 1 ,此时 a a a a a 1 ②的解为 < x < 1 . a
①当 a < 0 时,①式变为 ( x ? )( x ? 1) > 0 ,∴不等式的解为 x > 1 或 x <

【变式演练 1】 解关于 x 的不等式 x 2 ? (a + a 2 ) x + a 3 > 0 .

例2 解:原不等式可化为 2x x 2 -6×2 -16<0 x 令 2 =t(t>0),则得 2 t -6t-16<0 (t+2)(t-8) <0 -2<t<8 x 又 t>0,故 0<t<8 即 0<2 <8,解得 x<3。 【方法点评】解这类指数不等式,常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。 【变式演练 2】解关于 x 的不等式: 2
3x

? 2 x < a (2 x ? 2 ? x ) (其中 a>0)

例3

已知 a > 0 且 a ≠ 1 ,关于 x 的不等式 a x > 1 的解集是 x

{

> 0 ,解关于 x 的不

}

等式 log a < ? 0) ( x

1 x

的解集。

解:∵ 关于 x 的不等式 a x > 1 的解集是 x

{

> 0 ,∴ a > 1 ,

}

1 0)?( a< ? << ? log x ? x
2

? x>? 1 x ? x<? 1 ? x

0 1

? 2



< 或 1< x

5 1+ 2

5+ 1 ∴ 原不等式的解集是1,?5 1 ? ) (1, ( )

2

【方法点评】本题选同底法解答,把 0 写成 log a ,再利用对数函数的图像和性质将不 1

等式变成分式不等式组解答。 2 【变式演练 3】解不等式 log x+1(x -x-2)>1。

例4

解关于 x 的不等式

a ( x ? 1) >1 x?2 a?2 )( x ? 2) > 0 同解,此时因为 a ?1

解: 原不等式与不等式 [(a ? 1) x ? (a ? 2)]( x ? 2) > 0 同解。 1、 当 a-1>0,即 a>1 时,原不等式与不等式 ( x ?

a?2 a?2 <2, 所以原不等式的解集为 (?∞, ) ∪ ( 2,+∞) a ?1 a ?1
2、 3、 当 a=1 时,即 x-2>0,其解集为 (2,+∞) 当 a<1 时,原不等式与不等式 ( x ?

a?2 )( x ? 2) < 0 同解 a ?1 a?2 a?2 (1)当 >2, 即 0<a<1 时,原不等式的解集为 (2, ) a ?1 a ?1
(2)当 a=0 时,解集为 Φ (3)当 a<0 时,原不等式的解集为 (

a?2 , 2) a ?1



不等式五

高次不等式 先把高次不等式分解因式化成 2ax ? 0 ) > (? ax ?ax ax ( ) )( 3 )( ?
1

iii

n

的形

解题方法

式( x 的系数必须为正) →标记方程的实根(注意空心和实心之分) →穿 针引线,从右往左,从上往下穿(奇穿偶不穿) →写出不等式的解集。

例5

解不等式: 2 x 3 ? x 2 ? 15 x > 0 ; .

解: (1)原不等式可化为

x( 2 x + 5)( x ? 3) > 0
把方程 x (2 x + 5)( x ? 3) = 0 的三个根 x1 = 0, x2 = ? , x3 = 3 顺次标上数轴 .然后从右上开始 画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分.

5 2

∴原不等式解集为 ? x ?

? ?

5 ? < x < 0或x > 3? 2 ?

不等式六 方法一:公式法 直接用公式 x? a xa x < a > ? >

绝对值不等式 解只含有一个绝对值形如 ax + c b< >

)(

的不等式,一般 ,注意集合的

或 ax a

a x? << <?

关系和集合的运算,集合的运算主要利用数轴。 解题方法 方法二:零点讨论法 解含有两个绝对值形如 ax + c bx<++ >

)(

的不

等式,常用零点讨论法和数形结合法。注意小分类求交大综合求并。 方法三:平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数,如: x > 3 , 可以使用平方法。 例6 |x-5|-|2x+3|<1 解:原不等式等价于:

3 ? 3 ? ?x ≥ 5 ?? < x < 5 ?x ≤ ? 或? 2 或? ? 2 ? x - 5 - 2x - 3 < 1 ? 5 - x - 2x - 3 < 1 ? 5 - x + 2x + 3 < 1 ? ?
从而得原不等式的解集为: (?∞,?7) ∪ ( ,+∞ )

1 3

例 7 解关于 x 的不等式 2ax ? a 2 > 1 ? x (a > 0) .

?2ax ? a 2 > 0, ?2 x ? a 2 ≥ 0, ? 解:原不等式 ? (1) ?1 ? x ≥ 0, 或 ( 2) ? ?1 ? x < 0. ? 2 2 ?2ax ? a > (1 ? x) ;

a ? ?x > 2 , ? 由 a > 0 ,得: (1) ? ? x ≤ 1, ? 2 2 ? x ? 2(a + 1) x + a + 1 < 0; ?
由 别 判 式

a ? ?x ≥ , (2) ? ? 2 ? x > 1. ? x 2 ? 2( a + 1) x + a 2 + 1 < 0 的 是 解

? = 4(a + 1) 2 ? 4(a 2 + 1) = 8a > 0 , 不 式 故 等

a + 1 ? 2a < x < a + 1 + 2 a . a ≤ a + 1 ? 2a ≤ 1 , a + 1 + 2a > 1 ,不等式组(1)的解是 a + 1 ? 2a < x ≤ 1 , 2 不等式组(2)的解是 x > 1 . a 当 a > 2 时,不等式组(1)无解,(2)的解是 x ≥ . 2
当 0 < a ≤ 2 时, 综上可知,当 0 < a ≤ 2 时,原不等式的解集是 a + 1 ? 2a ,+∞ ;当 a > 2 时,原不等式的解

[

)

集是 ?

? ?a ,+∞ ? . ? ?2

不等式八 解题方法

抽象函数不等式 一般利用函数的单调性解答,先研究函数的单调性,再利用函数的单调性 把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答。

例 8 设 f(x)是定义在实数集 R 内的函数,对任意 x,y∈R,有 f(x+y)=f(x) ·f(y);并且当 x>0 时,f(x)>1,f(1)=a。解关于 x 的不等式 f(x 2+x-4)>a2。

=0,否则,对任意 x∈R,有 f(x)=f((x-x 0)+x 0)=f(x-x 0)f(x 0)=0 与已知矛盾,所以对任意 x∈R,有 f(x)>0。 现设 x,y∈R,且 y=x+δ(δ>0)。则 f(y)-f(x)=f(x+ δ)-f(x)=f(x)f( δ)-f(x) =f(x)[f(δ)-1]>0(∵δ>0,∴f(δ)>1)。 故 f(x)在 R 内是增函数。于是原不等式同解于 x2+x-6>0 x<-3 或 x>2 x2+x-4>2

【高考精选传真】

1.【2012 1. 2012 高考真题重庆理 2】不等式

x ?1 ≤ 0 的解集为 2x + 1
? ? 1? ? ∪ [1,+∞ ) 2?
D. ? ? ∞,? ? ∪ [1,+∞ ) 对 2

A. ? ?

? 1 ? ,1? ? 2 ?

B. ??

? 1 ? ,1? ? 2 ?

C. ? ? ∞. ?

? ?

1? ?

【解析】原不等式等价于 ( x ? 1)( 2 x + 1) < 0 或 x ? 1 = 0 ,即 ? 式的解为 ?

1 < x < 1 或 x = 1 ,所以不等 2

1 < x ≤ 1 ,选 A. 2

2. 【 2012 高考真题山东理

13 】 若不等式

kx ? 4 ≤2

的解集为 3 x 1 ≤ x ≤

{

} ,则实数

k = __________. 【答案】 k = 2
【解析】由 | kx ? 4 |≤ 2 可得 2 ≤ kx ≤ 6 ,所以 1 ≤ 3.【2012 高考江苏 13】 分)已知函数xf )( + = (5 ) ( axx + b∈ a 于 x 的不等式xf)( c
2

k k x ≤ 3 ,所以 = 1 ,故 k = 2 。 2 2
, R 的值域为 [0 , ) +∞ ,若关
▲ .

< 的解集为 (m , + 6)

,则实数 c 的值为

1、 设 m ∈ R ,解关于 x 的不等式 m 2 x 2 + 2 mx ? 3 < 0 . 2 、知等 已不式 解是 ax 2 + bx + c > 0 的 集

{x

求等 α < x < β }(α > 0) . 不 式

cx 2 + bx + a > 0 的解集.
3、 解不等式 log 1 [a
2 4x

+ 2a 2 x (a + 1) x ? (a + 1) 2 x + 1] < 0, (a > 0)

4、

5、

x 2 ? 3x + 2 ≤0. x2 ? 2x ? 3

6、解不等式 4 x 2 ? 10 x ? 3 < 3 .

2 a7 设a < 0, 且 为常数,解不等式

2

8、函数 f(x)对任意的 a、b∈R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时, f(x)>1. (1)求证 f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3; 2 (3)若关于 x 的不等式 f(nx-2)+f(x-x )<2 恒成立,求实数 n 的取值范围.

9、 x ∈xf y, = )( 已知函数 ≠ x 0) ( (1)试判断函数 xf)( 解不等式xf> + ? 1) x 2 ( 2

R

对任意非零实数(xf、( f1 都有xf2 (=1 + )x 1 ) x ) + x 22 在 ( 0,+∞ ) 上是单调递增函数 ,且 f (16) = 4

。 ,

的奇偶性; (2)若xf)(

3 2



【变式演练详细解析】 【变式演练 1 详细解析】 原不等式可化为 ( x ? a )( x ? a 2 ) > 0 . (1)当 a < a 2 (即 a > 1 或 a < 0 )时,不等式的解集为:

{x {x
{x
x ∈ R 且 x ≠ a }.

x < a 或 x > a2 ;

} }

(2)当 a > a 2 (即 0 < a < 1 )时,不等式的解集为:

x < a2 或 x > a ;

(3)当 a = a 2 (即 a = 0 或 1)时,不等式的解集为:

【变式演练 2 详细解析】

【变式演练 3 详细解析】 [法一] 原不等式同解于

所以原不等式的解为 x>3。 [法二] 原不等式同解于 2 logx+1(x -x-2)>log x+1(x+1)

所以原不等式的解为 x>3。 【变式演练 4 详细解析】 移项整理,将原不等式化为

( x ? 2)( x 2 + x + 1) >0. ( x ? 3)( x + 1)

由 x 2 + x + 1 > 0 恒成立,知原不等式等价于

( x ? 2) >0. ( x ? 3)( x + 1)

解之,得原不等式的解集为 {x ? 1 < x < 2或x > 3} .

解法一:原不等式 ? ?

?x2 ? 4 ≥ 0 ?x2 ? 4 < 0 ? ? 或? 2 ? x ? 4 < x + 2 ?4 ? x 2 < x + 2 ? ?

即?

? x ≥ 2或x ≤ ?2 ?? 2 < x < 2 或? ?? 2 < x < x ? x < ?2或x > 1

∴ 2 ≤ x < 3 或1 < x < 2

故原不等式的解集为 x 1 < x < 3 . 解法二:原不等式等价于 ? ( x + 2) < x ? 4 < x + 2
2

{

}

?x2 ? 4 < x + 2 ?? 2 < x < 3 ? 即? ∴? 故1 < x < 3 . ? x 2 ? 4 > ? ( x + 2) ? x > 1或x < ?2 ?

【变式演练 8 详细解析】 (1)令 x=y=1,得 f(1)=2f(1),故 f(1)=0. 1 1 (2)证明 令 y= ,得 f(1)=f(x)+f( )=0, x x 1 故 f( )=- f(x),任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, x x2 1 则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f( )=f( ). x1 x1 x2 x2 由于 >1,故 f( )>0,从而 f(x2)>f(x1). x1 x1 ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 1 (3)由于 f( )=-1,而 f( )=-f(3),故 f(3)=1. 3 3 在 f(x·y)=f(x)+f(y)中,令 x=y=3,得 f(9)=f(3)+f(3)=2. 1 又-f( )=f(x-2),故所给不等式可化为 x-2 f(x)+f(x-2)≥f(9),即 f[x(x-2)]≥f(9). x>0, 解得 x≥1+ 10. ∴ x-2>0, ) x( x-2) ≥9, ∴x 的取值范围是 [1+ 10,+∞).

2、 【解析】由题可判断出 α , β 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的两根, ∴α+β = ?

b c , α ?β = . a a

又 ax 2 + bx + c > 0 的解集是 x α < x < β ,说明 a < 0 .

{

}

c > 0?c < 0, a b a ∴ cx 2 + bx + a > 0 ? x 2 + x + < 0 . c c
而 α > 0 , β > 0 ? αβ > 0 ?

α+β 1 1 ?b b ? α+β =? ? c = ? αβ = ? α ? β , ? ? a ?? ? ? ?α ? β = c ? c = 1 = (? 1 )(? 1 ), ? ? a αβ a α β ? ?
∴ x2 +

b a 1 1 1 1 x + < 0 ,即 x 2 + (? ? ) x + (? )(? ) < 0 , c c α β α β

1 1 )( x ? ) < 0 . α β 1 1 又 0 < α < β ,∴ > , α β
即 (x ? ∴ (x ?

? 1 1 ? 1 1 <x< )( x ? ) < 0 的解集为 ? x ?. β α ? α β ?
4x

3、 【解析】解: a ∴ a
4x

+ 2a 2 x (a + 1) x ? (a + 1) 2 x + 1 >1,

+ 2a 2 x (a + 1) x ? (a + 1) 2 x >0,

? a2 ? ? 2 ? a +1? ? ? ?

2x

? a2 ? + 2? 2 ? a +1? ?1 > 0 , ? ? ?
x

x

? a2 ? ∴ ? 2 ? a + 1? > 2 ?1 ? ? ?

? a2 ? 1+ 5 ①当 0< ? 2 ? ? a +1 ? <1,即 0<a< 2 时, ? ?
原不等式的解为 x < log
a2 a +1
2

( 2 ? 1) ;

②当 a>

1+ 5 时,解集为{x| x > log 2 1+ 5 时,解集为 R 2

a2 a +1
2

( 2 ? 1) };

③当 a=

解得 t<-2 或 0<t<1,即

5、 【解析】解:

2 ? 2 x 2 ? 3x + 2 ?( x ? 3 x + 2)( x ? 2 x ? 3) ≤ 0 ≤0 ? ? 2 ? x2 ? 2x ? 3 ?x ? 2x ? 3 ≠ 0 ?

?( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x + 1) ≤ 0 ,用根轴法(零点分段法)画图如下: ? ?( x ? 3)( x + 1) ≠ 0

+ -1 1 2 3

+

∴ 原不等式的解集为 {x | ?1 < x ≤ 1或2 ≤ x < 3} 。

? ? 1 5 ∴原不等式的解集为 ? x ? < x < 0或 < x < 3 ? . 2 2 ? ?
7、 【解析】

?a 2 ? 2 x 2 ≥ 0 ? 2 ?a 2 ? 2 x 2 ≥ 0 2 ? ? 解:x + a ≥ 0 或? ∴ 原不等式的解集为: a,? a? ? ? 2 ? ?x + a ≥ 0 ? 2 ?a 2 ? 2 x 2 > x 2 + 2ax + a 2 ?
8、 【解析】 (1)证明:设 x1,x2∈R 且 x1<x2,则 x2-x1>0,f(x2-x1)>1, ∴f(x2)=f(x2-x1+x1) =f(x1)+f(x2-x1)-1>f(x1). ∴f(x)在 R 上是增函数. (2)f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5, ∴f(2)=3, ∴f(3 m2-m-2)<3=f(2), 2 ∴3m -m-2<2, 2 即 3m -m-4<0, 4 ∴-1<m< . 3 (3)令 a=b=0, ∴f(0)=2f(0)-1, ∴f(0)=1. 2 ∵f(nx-2)+f(x-x )<2, 2 即 f(nx -2)+f(x-x )-1<1, 2 ∴f(nx-2+x-x )<f(0). 2 由(1)知 nx -2+x-x <0 恒成立, 2 ∴x -(n+1) x+2>0 恒成立, 2 ∴Δ=(n+1) -4×2<0, ∴-2 2-1<n<2 2-1. 9、 【解析】解: f(1)令 ∴ = = x1 x = 2

(1) 01,

f
2

再令=? = x x1? ∴ 2 = 令 11 = , x ?x =

0( 1, 1)

x,得 )f= ? f)( x (

∴xf)(

为偶函数


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