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2.1.1.1合情推理(第二课时) 教案 广东省肇庆市实验中学高中数学(理)选修2-2

§2.1.1. 1 合情推理(第二课时) 一、教学目标: (一)知识与能力: 了解类比推理的基本方法,并能用它进行简单的推理。 (二)过程与方法: 类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比 的性质相似性越多,得出的结论就越可靠。 (三)情感态度与价值观: 1.正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成认真观察事物、分析问题、 发现事物之间的质的联系的良好品质,善于发现问题,探求新知识。 2.认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善 数学的正确数学意识。 二、教学重点: 了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 三、教学难点: 用类比进行推理,做出猜想。 四、教学过程: (一)导入新课: 除了归纳,在人们的创造发明活动中,还常常应用类比.例如,据说我国古 代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的齿牙,发明了锯;人们仿照鱼类的外形和它 们在水中的沉浮原理,发明了潜水艇;等等。事实上,仿生学中许多发明的最初 构想都是类比生物机制得到的。 从一个传说说起:春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的 祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了 锯子。他的思路是这样的: 茅草是齿形的; 茅草能割破手。 我需要一种能割断木头的工具; 它也可以是齿形的。 这个推理过程有什么特点? (二)推进新课: 1、我们再看几个类似的推理实例。 例 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质: (1) a=b?a+c=b+c; (2) a=b? ac=bc; (3) a=b?a2=b2;等等。 猜想不等式的性质: (1) a>b?a+c>b+c; (2) a>b? ac>bc; (3) a>b?a2>b2;等等。 问:这样猜想出的结论是否一定正确? 例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积 圆的性质 球的性质 圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线 弦 垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离 与球心距离相等的两截面圆相等;与球 不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长 心距离不等的两截面圆不等,距球心较 近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心 球的切面垂直于过切点的半径;经过球 且垂直于切线的直线必经过切点 心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆 经过切点且垂直于切面的直线必经过球 心 心 2、类比推理的定义: 由两个(两类)对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出 另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). 3、类比推理的特点: 类比推理是由特殊到特殊的推理. 4、类比推理的一般步骤: (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; (2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想。 观察、比较 提出新问题和作出新发现. 联想、类推 猜想新结论 在数学中,我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发,通过类比而 5、例 3(课本例 2)类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质. 分析:实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算,都满足一定的运算律,都 存在逆运算,而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位因此我们可 以从上述 4 个方面来类比这两种运算. 解:(1)两个实数经过加法运算或乘法运算后,所得的结果仍然是一个实数. (2)从运算律的角度考虑,加法和乘法都满足交换律和结合律,即 a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) ab=ba (ab)c=a(bc) (3)从逆运算的角度考虑,二者都有逆运算,加法的逆运算是减法,乘法的 逆运算是除法,这就使得方程 a + x=0 都有唯一解 x=-a x= 1 a ax=1 (a≠0 ) (4)在加法中,任意实数与 0 相加都不改变大小;乘法中的 1 与加法中的 0 类似,即任意实数与 1 的积都等于原来的数,即 a + 0= a a·1= a 运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象.例如,在立体几何中,为了研 究四面体的性质,我们可以在平面几何中寻找一个研究过的对象,通过类比这个 对象的性质,获得四面体性质的猜想以及证明这些猜想的思路. 6、探究:你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象? 可以从不同角度出发确定类比对象,如围成四面体的几何元素的数目、位置关 系、度量等.从构成几何体的元素数目看,可以把三角形作为四面体的类比对象. 例 4(课本例 3)类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性 质的猜想. 分析:考虑到直角三角形的两条边互相垂直,所以我们可以选取有 3 个面两两 垂直的个面是四面体,作为直角三角形的类比对象. 直角三角形 ∠C=90° 3 个边的长度 a,b,c 2 条直角边 a,b 和 1 条斜边 c 3 个面两两垂直的四面体 ∠PDF=∠PDE=∠EDF=90° 4 个面的面积 S1,S2,S3 和 S 3 个“直角面” S1,S2,S3 和 1 个“斜面” S 解:如图所示,在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 c 2 ? a 2 ? b2 . 于是,类比直角三角形的勾股定理,在四面体 P - DEF 我们猜想 2 2 S 2 ? S12 ? S2 ? S3 . 7、合情推理的定义: 以上的推理过程概括为: 可见,归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、 联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理、我们把它们统称为合情推理 (plausible reasoning )。在数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能 帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推

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