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例说圆锥曲线光学性质二用


例说圆锥曲线光学性质二用
民本中学 李 斌

一、问题由来: 每次上关于“最值问题”的专题课,我都会
4

举到用“形”的方法解决最值问题的一个典型例 子:已知直线 l:x-y+1=0, A 点坐标为(-2,0) ,B 点坐标为(1,4), P 是 l 上的动点,求|PA|+|PB|的最 小值。此题属技巧性较强的题目,稍不注意就会 钻入用常规的“函数”方法求解的死胡同,而利 用平面几何有关性质,只要作出 A 点关于直线 l 的轴对称成点 A’,连接 BA’,借助轴对称的性质 (|PA|=|PA|’)和“三角形两边之和大于第三边
3

B y=x+1

2

P' P A
-2 1

O
-1

2

4

A’
图1

(|P’B|+|P’A’>|BA’|)” 容易证明 BA’与直线 l 的交点即为所求的 P 点。 (如图 1 所示) 每次当我把证明过程讲请以后,学生都觉得很信服,但当学生觉得这样做很难想到而 问出“老师,你是怎么想到这样做的?”时,我往往仓促地以“经验积累”为理由而草草了 事。事实上,作为教师,我们不能“只限于该题如何解,把题目做出来就完事,应揭露解题 过程中的心理机制和心理障碍。1 ”因此,在这个问题中,如何克服学生的思维定式,引导 学生自然地想到用“形”去研究,令我在很长一段时间内感到困扰和尴尬。 直到一次偶然的机会,我看到初中物理关于平面镜成像的知识点中,根据入射光线作 它的反射光线的方法与上题中的作法相同,上题中取得最小值时的 PA、PB 的位置恰恰就是 从点 A 出发经直线 l 反射后经过 B 点的光线所在位置,令我感到很惊奇。而当我进一步联 想到光线一般情况下从一点直接射到另一点也是按最近的方式——直线传播时, 我意识到这 不是一个巧合,而可能是光在传播过程中所表现出的一个性质。在这之后,我自然就对圆锥 曲线的光学性质充满了好奇。 二、应用举例: 圆锥曲线的光学性质是圆锥曲线的一个重要性质,被广泛地应用于实际生活。但在平 时的教学中,由于出现频率较少往往受到大多数师生的忽视。事实上,除了教材提到的一些 实际生活中的应用外,圆锥曲线的光学性质在我们平时的解题过程中也有着意想不到的效 果。 (1)圆锥曲线的光学性质在解决一类“距离之和”取值范围问题中起先知作用。 在一般情况下,光线在传播过程中,总是选择最近的路线从一点传播到另一点。这虽然 还只是一种停留“经验、感觉”层面上的结论,但却为我们研究一类“距离之和” 取值范
( )

1

围问题时指明了思考的方向,从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果 再辅以严格的数学证明,这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。 例 1、已知双曲线 C: x ?
2

y2 ? 1, F1、 2 、F 3
4

为分别是其左右焦点,点 Q(4, ) ,M 是 C 上的 动点,求|MF2|+|MQ|的取值范围。 分析:经计算,Q 点在双曲线右支开口内部。 由于双曲线是不封闭曲线, 显然|MF2|+|MQ|可以无 限大,故要求|MF2|+|MQ|的取值范围,关键是求出 |MF2|+|MQ|的最小值。根据光线的“最近传播”特 点,我们猜想:从 F1 射出经双曲线反射后经过点
-5

9 2

Q P

2

P'

F1

O
-2

F2

5

-4

图2

Q 的光线所经过的路程往往是最短的, 再结合双曲线的光学性质 (从一个焦点射出的光线经 椭圆周反射,反射光线的反向延长线经过另一个焦点) ,可作出从 F1 射出被双曲线反射后经 过点 Q 的光线:连接 F1Q,与双曲线的交点即为使得|MF2|+|MQ|最小的点,设为 P 点,光线 从 F2 ?P ?Q。 (见图 2) 解:如图 2:按猜想作出点 P,由于所求点 P 显然不在双曲线的左支上(此时显然距离 之和不会最小) ,故在右支上另取一点 P’,由双曲线定义知:|PF1|-|PF2| = |P’F1| -|P’F2|,即 |PF1|+|P’F2| = |P’F1| +|PF2|,因为|PF1|+|PQ|≤|P’Q| +|P’F1|,两边同加|PF2|得:所以|PF1|+|PQ| +|PF2|≤|P’Q| +|P’F1|+ |PF2|=|P’Q| +|PF1|+|P’F2|,故|PQ|+|PF2|≤|P’Q|+|P’F2|,猜想得证。然后利 用 F1、 的坐标求出直线 F1Q 的方程, Q 并与双曲线方程联立, 求出交点 P, 再求出|PQ|+|PF2|, 最终|MF2|+|MQ|的取值范围是 [|PQ|+|PF2 |,+?) 。 (具体计算略) 变式:若 Q 在两支双曲线的中间,则显然线段 QF2 的长即为|MF2|+|MQ|的最小值,此时 |MF2|+|MQ|的取值范围是 [|QF2 |,+?) 。

? x2 ? ? x2 ? 例 2、求函数 f ( x) ? x ? ? ? 1? ? ( x ? 3)2 ? ? ? 6 ? 值域。 ? 4 ? ? 4 ?
2

2

2

分析:从式子的结构考察:解析式本身较繁琐, 不便按常规函数方法直接求值域。而观察到 “
6

Q P' P
5

?

”的结构特点,可把函数解析式

4

看作动点 A( x ,

x2 ) 到两定点 Q(3, 6) 和 F (0,1) 的距 4
-5

F

2

x2 2 离之和, 而动点 A( x, ) 在抛物线 x ? 4 y 上运动, 4
2

l

O
-2

M N

图3

且 F (0,1) 恰好是该抛物线的焦点。这样,此函数的值域可转化为抛物线 x2 ? 4 y 上一动点 M 到其焦点 F 和另一定点 Q(3, 6) 的距离之和的取值范围。 经计算, 点在抛物线开口内部。 Q 由于抛物线不是封闭曲线,同例 1 一样显然没有最大值,因此关键是求最小值。根据抛物线 光学性质(从焦点射出的光线经抛物线反射,反射光线与对称轴平行,反之也成立) ,结合 光线的“最近传播”特点,我们猜想:过 Q 与对称轴(y 轴)平行的直线与抛物线的交点可 能就是使距离之和最小的点,设为 P 点(见图 3) 。可证明猜想是正确的。 (证明与例 1 类似, 求解略) 变式:若除焦点 F 外的另一定点 Q 在抛物线开口外,则显然线段 QF 的长即为距离之 和的最小值,此时函数值域为 [|QF|,+?) 。

6 例 3、已知椭圆 C:x2+9y2=18,F1、F2 为分别是其左右焦点,点 Q(2, ),M 是 C 上的 7
动点,求|MF1|+|MQ|的取值范围。 分析:经计算,Q 点在椭圆内部。由于椭圆是 封闭图形, 因此|MF1|+|MQ|应该有一个封闭的取值 范围,亦既有最小值也有最大值。同样根据光线 的“最近传播法则” ,结合椭圆的光学性质(从一 个焦点射出的光线被椭圆周反射,反射光线经过 另一个焦点) 我们猜想: F1 射出被椭圆反射后 , 从 经过点 Q 的光线所经过的路程往往是最短的。但 是,光线从 F1 射出被椭圆反射后有两种可能经过 点 Q,一是被上半椭圆反射(如图 4-1,光线从 F1 ?P1 ?Q) ,二是被下半椭圆反射(如图 4-2, 光线从 F1 ?P2 ?F2 ?Q) ,究竟哪种情况距离之 和更小呢?根据椭圆定义,图 4-1 中的 |P1F1|+|P1Q|<2a(2a 为椭圆长轴长),而图 4-2 中 的|P2F1|+|P2Q|>2a,可见图 4-1 所示的情况距离 之和更小。可证明|P1F1|+|P1Q|是最小值。 (证明类同前,略) 但是, 最大值又是多少呢?图 4-2 所示的光线 又有什么特点呢? 将图 4-1 和图 4-2 中的光线反射路线合并图 4-3,由于|P2Q| +|P2F1|+|P1Q|+|P1F1|是定值 4a(a 为 椭圆长半轴长),而|P1Q|+|P1F1|由前面知最小,由 此猜测|P2Q| +|P2F1|可能就是最大值。
P2 F1 O P1 Q F2 x y
F1 O Q F2 x F1 O y P1' P1 Q F2 x

图 4-1
y

P2'

P2

图 4-2

图 4-3
3

证明如下:如图 4-2,连接 Q F2,延长交椭圆于 P2,在椭圆上另取一点 P2’,由椭圆定 义知: 2Q|-|QF2| +|PF1| = |P2’F1| +|P2’F2| |P (*) 因为|P2’F2|≥|P2’Q|-|QF2|, (*) , 代入 式得|P2Q|-|QF2| +|P2F1|≥|P2’F1| +|P2’Q|-|QF2|所以,|P2Q| +|P2F1|≥|P2’F1| +|P2’Q|。猜想得证。 综上所述, 只要求出直线 F2Q 与椭圆的一个交点 P1 2) (P 的坐标, 算出|P1F1|+|P1Q| 2Q| (|P +|P2F1|) ,即为最小(大)值,而 2a-|P1F1|+|P1Q|(2a-|P2Q| +|P2F1|)即为最大(小)值。最终 |MF1|+|MQ|的取值范围是[|P1F1|+|P1Q|,2a-|P2Q| +|P2F1|]。 (具体计算略) 变式: 若点 Q 在椭圆外, 如图 4-4, 则|MF1|+|MQ| 的最小值显然就是 QF1 的长(此时 M 在 P1 位置) ; 求|MF1|+|MQ|的最大值与上述方法类似, 正是光线从 F1 射出被下半椭圆反射后经过 Q 的光线所经过的路 线长|P2Q| +|P2F1|(此时 M 在 P2 位置) ,证明方法略。 (2)圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关 问题时起简捷作用。 光线反射总是满足反射定律(入射角等于反射 角) ,光线被曲线反射也不例外,此时的法线就是 过反射点的曲线的切线的垂线。可见,曲线的切
2

y P1 Q

F1

O

F2

x

P2’
P2

图 4-4

l P 1 2 3 F1 O m
-2

线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。 以椭圆为例:如图 5,l 是过椭圆周上一点 P 的椭圆的切线, 是 P 点处的法线, m 光线从 F(F2) 1 射出被椭圆反射经过 F2(F1) ,满足∠1=∠2,且 ∠3=∠4。 例 4、已知 l 是过椭圆 C:

4
5

F2

图5

x2 y 2 ? ? 1 上一动 16 12

点 P 的椭圆 C 的动切线,过 C 的左焦点 F1 作 l 的 垂线,求垂足 Q 的轨迹方程。 分析:本题如果忽视了椭圆的光学性质将很 难着手,或许借助椭圆参数方程可以求解,但运 算相当繁琐。由于 l 是椭圆的切线,切点为 P,联 想到椭圆光学性质及反射定律, 可知: 是∠F1PF2 l 的外角平分线, F1 关于直线 l 的对称点 F1’在 F2P 的延长线上。 这样, 由于| P F1| =|PF1’|, 故|F1’F2|=|P F 1|+|PF2|=2a=8,而 Q、O 分别是 F1’F1、F1’F2 的中 点, 所以|QO|=4。 从而 Q 点轨迹方程是 O 为圆心、 4 为半径的圆方程。 (具体计算略)
4

图6

x2 y 2 ? ? 1 的长轴端点为焦点,并且和直线 l : 3 2x ? 4 y ?12 ? 0 相 例 5、求以椭圆 25 9
切的双曲线的方程。 分析:本题的常法是:根据所求双曲线的已知 半焦距 c=5,假设双曲线方程

x2 y2 ? ? 1 ,并 a 2 25 ? a 2

5

Q F2 ' P

与直线 l : 3 2x ? 4 y ?12 ? 0 联立,利用直线与双 曲线相切的位置关系,利用Δ =0 求出 a,但运算较 为繁琐。借助双曲线光学性质,可采用如下方法: 如图 7, 由于 l 是双曲线的切线, 假设切点为 P, 则根据双曲线光学性质可知,从 F2 射出的光线射到 图7
F1 l O
-5

F2

10

点 P,反射光线的凡响延长线经过 F1,这样根据已知点 F1、F2 和已知切线 l,利用反射定律 可作出入射点 P 的位置:先作出 F2 关于直线 l 的对称点 F2’,F1F2’的延长线与 l 的交点即为 入射点 P(也是切点) 。又由双曲线定义及对称性质知,|PF1|-|P F2|=|PF1|-|P F2’|=| F1F2’|=2a(a 为双曲线的实半轴) 。 这样,先求出 F2 关于直线 l 的对称点 F2’的坐标,算出| F1F2’|(即 2a) ,由于半焦距 c 已知,进一步算出虚半轴的长 b,最终求得双曲线方程。 (具体计算略) 圆锥曲线的光学性质是奇妙的,奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。只有善于观察, 勤于钻研,才能闪现更多的灵感,才能在奥妙的数学世界畅游。

(1)摘自张奠宙主编《数学教育研究导引》中“数学解题研究之提高”一文。
5


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