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05-06概率试题

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2005~2006 学年第 1 学期期末考试《概率论和数理统计》试卷 (A)
一、选 择 题(6×3 分) :
1. 设0 ? P( A) ? 1,0 ? P( B) ? 1, P( A | B) ? P( A | B ) ? 1, 则( ) (A) P( A | B) ? P( A) (B) B ? A (C) AB ? ? (D) P( AB) ? P( A) P( B) )

2. 设 X ~ N 2?? ? , 且 P(0 ? X ? 4) ? 0.5 ,则 P? X ? 0? ? ( (A) 0.65 (B) 0.45 (C) 0.95

?

?

(D) 0.25

3. 设 X 的分布函数为 F ?x ? ,则 Y ? 3 X ? 1 的分布函数 G ? y ? 为( ) (A) F ?

1? ?1 y? ? 3? ?3

(B) F ?3 y ? 1?

(C) 3F ( y) ? 1

(D)

1 1 F ?y? ? 3 3

4. 设 X ~ N ?0?1?, 令 Y ? ? X ? 2 ,则 Y ~ ( (A) N (?2,?1) (B) N (0,1)

) (C) N (?2,1) ) (C) DY ? 0 (D) DX ? 0 (D) N (2,1)

5. 如果 X , Y 满足 D( X ? Y ) ? D? X ? Y ? ,则必有 ( (A) X 与 Y 独立 (B) X 与 Y 不相关

6. 设随机变量 X k (k ? 1,2 ?) 相互独立,具有同一分布, EX k ? 0,

DX K ? ? 2 , 且EX k4 存在, k ? 1,2,? 对任意? ? 0, 正确地为 (
(A) lim(
n??



1 n 2 ? Xk ?? 2 ? ?) ? 1 n k ?1 1 n ? Xk ?? 2 ? ?) ?1 n k ?1

(B) lim(
n??

1 n 2 ? Xk ?? 2 ? ?) ? 1 n k ?1 1 n ? Xk ?? 2 ? ?) ? 0 n k ?1

(C) lim(
n??

(D) lim(
n??

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二、填空题(9×3 分) :
1. 设 P( A) ? 0.7 , P( B) ? 0.5 .则 P(AB)的最小值为 2. 三次独立的试验中,成功的概率相同,已知至少成功一次的概率为 概率为 ; 。 。

19 ,则每次试验成功的 27

3. 设 P( A) ? 0.5 , P( B) ? 0.4 , P( A | B ) ? 0.6 ,则 P( A | A ? B ) =

4. 设 X ~ N (1,2),Y ~ N (3,4), Z ? 2 X ? Y ? 3 ,则 Z 的概率密度函数 f (z ) ? 5. X , Y 相互独立

X , Y 不相关。 (一定有 或 未必有)
2

6. 若 X ~ U (?1,5) ,方程 x ? 2 Xx ? 5 X ? 4 ? 0 有实根的概率 7. 若 X ~ E (? ) ,则 EX ? , DX ?



9. 随机变量序列 X1, X 2 ,?, X n ,? 依概率收敛于常数 a 是指对任意 ? ? 0 , 有 =1 成立

三、计算题(3×6 分+4×7 分+1×9 分) :
1. 设一批混合麦种中一、二、三、四等品分别占 94%、3%、2%、1%, ,四个等级的发芽率依 次为,0.98,0.95,0.9,0.85 求这批麦种的发芽率。若取一粒能发芽,它是二等品的概率是多少? 2. 离散型随机变量 X 的分布函数

? 0 ?0.4 ? F ( x) ? ? ? 0.7 ? 1 ?

x ? ?1 ?1 ? x ? 1 ,求 X 的分布列 1? x ? 3 x?3

3. 设随机变量 X 的概率密度函数为:

1 ?x e , ? ? ? x ? ?? 2 求:1) X 的概率分布函数,2) X 落在(-10,15)内的概率; f ( x) ?

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4. 设随机变量 ? X , Y ? 的概率密度为 f ?x, y ? ? ? 求:1) A;

? Ax, 0 ? x ? 1,0 ? y ? x 其他 ? 0,

1 1? ? 2) P? X ? ,Y ? ? ; 3) E? X ? Y ? 4 2? ?

5. 设随机变量 X 与 Y 的密度函数如下,且它们相互独立

?1, f X ( x) ? ? ?0,

0 ? x ? 1; 其它

?e ? y , f Y ( y) ? ? ?0,

y?0 y?0

求随机变量 Z ? X ? Y 的概率密度函数。 6. 设随机变量 ? X , Y ? 的概率分布列为
Y X

0 0 1 2 0.1 0 0.2

1 0 0.1 0

2 0.2 0.2 0.2

求 ? ? ?X ? ?Y ,? ? ?X ? ?Y 求 ? 和 ? 的协方差

7. 设一批产品的次品率为 0.05,从中有放回的取出 100 件,求取出的次品数与 5 之差小于 1 的概率. 8. 设总体 X ~ B?1? p ?, 其中 p 是未知参数, ( X1, X 2 , X 3, X 4 , X 5 ) 是总体的样本,求: 1) 样本的联合概率分布列 2) 若样本观测值为 0,1,0,1,1,求样本均值和样本方差 3) 求 p 的极大似然估计


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