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阶段知能检测(三)

阶段知能检测(三)
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.函数 y=cos x· tan x 的值域是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.[-1,1] C.(-1,1) D.[-1,0]∪(0,1) π 【解析】 y=sin x(x≠kπ+2),∴y∈(-1,1). 【答案】 C π 2.已知函数 y=tan(2x+φ)的图象过点(12,0),则 φ 的值可以为 ( ) π π π π A.-6 B.6 C.-12 D.12 π π 【解析】 依题意,tan(6+φ)=0,6+φ=kπ(k∈Z), π 取 k=0,则 φ=-6. 【答案】 A 2π 3.若函数 y=2cos ωx 在区间[0, 3 ]上递减,且有最小值 1,则 ω 的值可以是( ) 1 1 A.2 B.2 C.3 D.3 2 【解析】 由 y=2cos ωx 在[0,3π]上是递减的,且最小值为 1. 2 2 则有:f(3π)=1,即 2×cos(ω×3π)=1. 2π 1 2 π 1 ∴cos 3 ω=2,3πω=3?ω=2. 【答案】 B 4.函数 f(x)=sin x 在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-1,f(b) a+b =1,则 cos 2 =( ) 2 A.0 B. 2 C.-1 D.1

π π 【解析】 由条件知,a=-2+2kπ(k∈Z),b=2+2kπ, a+b 2 =cos 2kπ=1. 【答案】 D 5.在△ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状一定是 ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【解析】 由 2cos B· sin A=sin C,可得 2 2 2 a +c -b · a=c,即 a2-b2=0,∴a=b. ac 【答案】 A ∴cos

(

图1 π π 6. 把函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的图象向左平移3个单位, 所得的曲线的一部分如图 1 所示,则 ω、φ 的值分别是( ) π π A.1,3 B.1,-3 π π C.2,3 D.2,-3 T 7π π π 2π 【解析】 由图知:4=12-3=4,∴T=π= ω ,∴ω=2, π π ∴2×3+φ′=π,∴φ′=3. π π 由题意知:y=sin[2(x+3)+φ]=sin(2x+3) π 解得 φ=-3. 【答案】 D 7.(2012· 潍坊质检)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, 2 2 b,c.若 a -b = 3bc,sin C=2 3sin B,则 A=( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 【解析】 ∵sin C=2 3sin B,∴由正弦定理得 c=2 3b, b2+c2-a2 - 3bc+c2 又由余弦定理 cos A= 2bc = 2bc

- 3b+c - 3b+2 3b 3 = = . 2b 2b 2 .∴在△ABC 中,A=30° 【答案】 A π 8.若4是函数 f(x)=sin 2x+acos2x(a∈R,为常数)的零点,则 f(x) 的最小正周期是( ) π A.2 B.π C.2π D.4π π π π 【解析】 由题意得 f(4)=sin 2+acos24=0, 1 ∴1+2a=0,∴a=-2. π ∴f(x)=sin 2x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1= 2sin(2x-4)-1, ∴f(x)的最小正周期为 π. 【答案】 B 3 π 1 π 9. 如果 tan(α+β)=4, tan(α-4)=2, 那么 tan(β+4)的值是( ) 10 2 2 A.2 B.11 C.11 D.5 π π 【解析】 tan(β+4)=tan[(α+β)-(α-4)] π 3 1 1 tan?α+β?-tan?α-4? - 4 2 4 2 = = = π 3 1 11=11. 1+tan?α+β?tan?α-4? 1+4×2 8 【答案】 C 10.在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,且 cos 2B +cos B+cos(A-C)=1,则( ) A.a,b,c 成等差数列 B.a,b,c 成等比数列 C.a,c,b 成等差数列 D.a,c,b 成等比数列 【解析】 cos 2B+cos B+cos(A-C)=1?cos B+cos(A-C)=1 -cos 2B, ∴cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B?sin Asin C=sin2B. 再由正弦定理得 ac=b2,所以 a,b,c 成等比数列. 【答案】 B 11.将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后,得 π 到函数 y=sin(x-6)的图象,则 φ 等于( ) =

π 5π 7π 11π A.6 B. 6 C. 6 D. 6 【解析】 将函数 y=sin x 向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位得到函 数 y=sin(x+φ). 11 11 π 只有 φ= 6 π 时有 y=sin(x+ 6 π)=sin(x-6). 【答案】 D 12.已知函数 f(x)= 3sinωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图象与直 线 y=2 的两个相邻交点的距离均为 π, 则 f(x)的单调递增区间是( ) π 5π 5π 11π A.[kπ-12,kπ+12],k∈Z B.[kπ+12,kπ+ 12 ],k∈Z π π π 2π C.[kπ-3,kπ+6],k∈Z D.[kπ-6,kπ+ 3 ],k∈Z π 【解析】 f(x)= 3sin ωx+cos ωx=2sin(ωx+6), 由 y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离均为 π,得 函数 f(x)的周期为 π, 2π ∴ ω =π.∴ω=2. π ∴f(x)=2sin(2x+6). π π π π π 令 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2,k∈Z,得 kπ-3≤x≤kπ+6,k∈Z. π π ∴f(x)的单调递增区间为[kπ-3,kπ+6],k∈Z. 【答案】 C 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.) π 13 . (2012· 阳 江 质检 ) 函 数 f(x) = sin2(2x - 4 ) 的 最 小正 周期 是 ________. π 1-cos?4x-2? 1 【解析】 f(x)= = 2 2(1-sin 4x), π ∴最小正周期 T=2. π 【答案】 2 sin 2α-cos2α π 1 14.已知 tan(4+α)=2,则 的值为________. 1+cos 2α

2sin αcos α-cos2α 2sin α-cos α 【解析】 原式= = 2cos α , 2cos2α π 1 ∵tan(4+α)=2, π π 1 ∴tan α=tan [(4+α)-4]=-3, sin 2α-cos2α 1 5 则 =tan α-2=-6. 1+cos 2α 5 【答案】 -6 π 15.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ)的图象关于直线 x=6对称,且 g(x) π =1+3cos(ωx+φ),则 g(6)=________. π π 【解析】 依题意,6· ω+φ=kπ+2, π ∴cos(6· ω+φ)=0, π π 因此 g(6)=1+3cos(6ω+φ)=1. 【答案】 1 16. (2012· 南京调研)在△ABC 中, D 为 BC 边上一点, BC=3BD, AD= 2,∠ADB=135° .若 AC= 2AB,则 BD=________.

【解析】 如图所示,设 BD=x,在△ABD 中,由余弦定理有 AB =x2+2x+2, ∵∠ADC=45° ,DC=2x,AC2=2(x2+2x+2), 在△ADC 中有 AC2=AD2+DC2-2AD· DC· cos 45° , 2 2 因此 2(x +2x+2)=2+4x -4x, 化简,得 x2-4x-1=0,∴x=2+ 5(x>0). 【答案】 2+ 5 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.) 1 1 17.(本小题满分 12 分)已知函数 y=2cos x+2|cos x|. (1)画出函数的简图; (2)此函数是否为周期函数?若是,求出它的最小正周期; (3)指出此函数的单调区间.
2

【解】

1 1 (1)y=2cos x+2|cos x| ,

π π ? cos x , x ∈ [2 k π - , 2 k π + ? 2 2]?k∈Z? =? π 3π ? 0 , x ∈ [2 k π + , 2 k π + ? 2 2 ]?k∈Z? 作出简图:

π 5π (2)由图象观察知是周期函数,例如从2到 2 是一个周期,所以最 小正周期为 2π. π (3)函数的单调增区间为[2kπ-2,2kπ](k∈Z), π 函数的单调减区间为[2kπ,2kπ+2](k∈Z). 1 18.(本小题满分 12 分)(2011· 广东高考)已知函数 f(x)=2sin(3x- π 6),x∈R. (1)求 f(0)的值; π π 10 6 (2)设 α,β∈[0,2],f(3α+2)=13,f(3β+2π)=5,求 sin(α+β) 的值. π π (1)f(0)=2sin(-6)=-2sin 6=-1. π π 10 6 (2)∵α,β∈[0,2],f(3α+2)=13,f(3β+2π)=5. 10 6 ∴2sin α=13,2cos β=5. 5 3 12 ∴sin α=13,cos β=5,从而 cos α= 1-sin2α=13, 4 sin β= 1-cos2β=5. ∴sin(α+β)=sin acos β+cos αsin β 5 3 12 4 63 =13×5+13×5=65. 19.(本小题满分 12 分)(2012· 皖南八校联考)已知 f(x)=2 3sin x 【解】

sin 2x + sin x . (1)求 f(x)的最大值,及当取最大值时 x 的取值集合. (2)在△ABC 中 a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边,对定义域 内任意 x 有 f(x)≤f(A),且 b=1,c=2,求 a 的值. π 【解】 (1)f(x)=2 3sin x+2cos x=4sin(x+6). π π π 当 x+6=2kπ+2(k∈Z),即 x=2kπ+3(k∈Z)时,f(x)取得最大值 4, π ∴f(x)取得最大值 4,x 的取值集合为{x|x=2kπ+3,k∈Z}. (2)因为 f(x)对定义域内任一 x,有 f(x)≤f(A), π ∴A=2kπ+3(k∈Z), π ∵A 为三角形的内角,∴A=3, π ∴a2=b2+c2-2bccos A=12+22-2×1×2cos 3=3, ∴a= 3. 20.(本小题满分 12 分)(2012· 济南模拟)设函数 f(x)=sin xcos x- 3cos(π+x)· cos x(x∈R). (1)求 f(x)的最小正周期; π 3 (2)若函数 y=f(x)的图象向右平移4个单位,再向上平移 2 个单 π 位,得到函数 y=g(x)的图象,求 y=g(x)在[0,4]上的最大值. 1 1 3 【解】 (1)f(x)=2sin 2x+ 3cos2x=2sin 2x+ 2 (1+cos 2x)= π 3 sin(2x+3)+ 2 , 2π 故 f(x)的最小正周期 T= 2 =π. π 3 (2)由题意 g(x)=f(x-4)+ 2 π π ∴g(x)=sin[2(x-4)+3]+ 3 π =sin(2x-6)+ 3,

π π π π 当 x∈[0,4]时,2x-6∈[-6,3],g(x)是增函数, π 3 3 ∴g(x)max=g(4)= 2 . 21.(本小题满分 12 分)(2011· 天津高考)在△ABC 中,内角 A,B, C 的对边分别为 a,b,c.已知 B=C,2b= 3a. (1)求 cos A 的值; π (2)求 cos(2A+4)的值. 【解】 (1)由 B=C,2b= 3a, 3 可得 c=b= 2 a, 3 2 3 2 2 2 2 2 4a +4a -a b +c -a 1 所以 cos A= 2bc = =3. 3 3 2× 2 a× 2 a 1 (2)因为 cos A=3,A∈(0,π), 2 2 所以 sin A= 1-cos2A= 3 , 7 ∴cos 2A=2cos2A-1=-9, 4 2 sin 2A=2sin Acos A= 9 , π π π 所以 cos(2A+4)=cos 2Acos 4-sin 2Asin 4 8+7 2 7 2 4 2 2 =(-9)× 2 - 9 × 2 =- 18 . 22 . ( 本小题满分 14 分 )(2012· 盐城模拟 ) 已知函数 f(x) = 3sin π 3 xcos(x+3)+4. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)已知在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 f(A)=0,a= 3,b=2,求△ABC 的面积 S. π π 3 3 【解】 (1)由题知, f(x)= 3sin x(cos xcos 3-sin xsin 3)+4= 2 3 3 sin xcos x-2sin2x+4 3 3 = 4 sin 2x+4cos 2x

3 π = 2 sin(2x+3). π π π 令 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2,k∈Z, 5π π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z, 5π π 所以函数 f(x)的单调递增区间为[kπ-12,kπ+12],k∈Z. 3 π π 5π (2)由(1)及 f(A)=0,得 2 sin(2A+3)=0,解得 A=3或 A= 6 . π 又 a<b,所以 A=3. a b 由sin A=sin B,得 sin B=1, π π 则 B=2,所以 C=6, 1 3 所以△ABC 的面积 S=2absin C= 2 .


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