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学业水平测试数学复习教案 第10课时 两角和与差的三角函数

学业水平测试数学复习学案 第 10 课时 两角和与差的三角函数
一.知识梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

tan?? ? ? ??1 ? tan? tan ? ? ? tan? ? tan ?,

tan? ? tan ? ? tan?? ? ? ? tan? tan ? ? tan?? ? ? ?。

2.常见的角的变换:

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ; ? ?

? ??
2

?

? ??
2
?

; ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ?

3.辅助角公式: a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 ? ?

? a b sin x ? cos x ? ? 2 2 2 a ?b ? a ?b ?
2

? a2 ? b2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ?) ? a2 ? b2 ? sin(x ? ?) (其中,辅助角 ? 所在象限由点 b ). ( a, b) 所在的象限决定, tan ? ? a
常用结论

sin x ? cos x ?
sin x ? 3 cos x ?

sin x ? cos x ?
sin x ? 3 cos x ?

二.课前自测 1. 化简 sin( x ? y) sin x ? cos(x ? y) cos x 等于____________答案: cos y 2. sin 163 sin 223 ? sin 253 sin 313 等于(
? ? ? ?

)A C.-
3 2

A.-

1 2

B.

1 2

D.

3 2

3.已知 cos( ? ?

?

4 ? 3 2 ) ? ? , ? ? ? ? ,则 cos? 的值为______________ ? 4 5 4 4 10

4.已知 sin ? ?

5 10 , sin ? ? ,且 ? , ? 均为锐角,则 ? ? ? =______.答案:45° 5 10
____ 答案:

5. cos15 =__ 三.典例解析

?

6? 2 4

【例 1】若 sinA= 解

5 10 ,sinB= ,且 A,B 均为钝角,求 A+B 的值. 5 10

∵A、B 均为钝角且 sinA=

2 2 5 5 10 ,sinB= ,∴cosA=- 1 ? sin 2 A ==, 5 5 10 5

cosB=- 1? sin B =2

3 10

=-

3 10 , 10
? ? ? 2 5 ? ? 3 10 ? ? ×? ? ? - 5 × 10 = 2 5 ? ? 10 ? 5 2 10 ? ? ?

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= ? ?


7? . 4

又∵

? ? <A< ? , <B< ? 2 2

∴ ? <A+B<2 ?



由①②知,A+B=

【变式训练 1】已知 cos ? ? 解:∵ cos ? ?

1 11 ? ? ,cos(? ? ? ) ? ? ,? ? (0, ) ,? ? ? ? ( , ? ) 求 ? 的值. 7 14 2 2

1 ? 4 3 , ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? , 7 2 7 11 ? 5 3 , ? ? ? ? ( , ? ) ,∴ sin ? ? , 14 2 14

又∵ cos(? ? ? ) ? ?

∵ cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ] ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? 又∵ ? ? (0,

?

) , ? ? ? ? ( , ? ) , ? ? (0, ? ) ∴ ? ? 2 2 3

?

?

1 , 2

【例 2】求[2sin50° +sin10° (1+ 3 tan10° )]· 2 sin2 80? 的值. 解:原式= ?2 sin 50? ? sin 10? ? ?1 ? ?
? ? ? ? ? 3 sin 10? ?? ?? ? 2 sin 80? cos10? ?? ??

= (2 sin 50? ? sin 10? ?

cos10? ? 3 sin 10? ) ? 2 sin 80? cos10?

? ? 1 3 cos10? ? sin 10? ? ? 2 ? ? 2 cos10? = ?2 sin 50? ? 2 sin 10? ? 2 cos10? ? ? ? ? ? ?

= ? 2 sin 50? ? ?
?

2 sin 10? sin 40? ? ? ? 2 cos10? cos10? ?

=

2 sin 60? ? 2 cos10? ? 2 2 sin 60? cos10?

=2 2?

3 ? 6. 2

【变式训练 1】求

sin 7? ? cos15? ? sin 8? 的值 cos 7? ? sin15? ? sin 8?

王新敞
奎屯

新疆

? ? ? ? 解:原式= sin(15 ? 8 ) ? cos15 ? sin 8 cos(15? ? 8? ) ? sin15? ? sin 8?

? ? ? ? ? ? = sin15 ?? cos8 ? ? cos15 ? ? sin 8 ? ? cos15? ? sin 8? cos15 ? cos8 ? sin15 ? sin 8 ? sin15 ? sin 8

= sin15 ? ? cos8 ? = tan15? cos15 ? cos8
? ?

?

1 ? cos 30? = 2? 3 sin 30?
? ? ? ?

【变式训练 2】. tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 ? tan 40 的值为 【例 3】.已知 sin ? ? cos ? ? ?
? 2 ?sin ? ? cos ? ? ? 解:? ? 3 ? 2 ? cos ? ? sin ? ? ? ? 3 ? (1) (2)
2 3

。答案: 3

2 2 , cos ? ? sin ? ? ? ,求 sin(? ? ? ) 的值 3 3

王新敞
奎屯

新疆

? (1) 2 ? (2) 2 得:2 ? 2(sin? ? cos? +cos? ? sin ? ) ?

……4 分

即 2 ? 2sin(? ? ? ) ? 2 3

? sin(? ? ? ) ?

2 3

……8 分

, 【变式训练】已知 sin ? ? sin ? ? 1 cos? ? cos ? ? 0 ,求 cos ? ? ?)的值。 (


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