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【数学】3.1《不等式与不等关系》教案(新人教A版必修5)(2课时)


知识改变命运,学习成就未来

第三章不等式
课题: §3.1 不等式与不等关系 第 1 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理 解不等式(组)的实际背景,掌握不等式的基本性质; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的 方法; 3.情态与价值:通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用,培养严谨的思维习惯。 【教学重点】 用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。理 解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。 【教学难点】 用不等式(组)正确表示出不等关系。 【教学过程】

1.课题导入
在现实世界和日常生活中, 既有相等关系, 又存在着大量的不等关系。 如两点之间线段最短, 三角形两边之和大于第三边,等等。人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与 小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系。在数学中,我们用不 等式来表示不等关系。 下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系。

2.讲授新课
1)用不等式表示不等关系 引例 1: 限速 40km/h 的路标, 指示司机在前方路段行驶时, 应使汽车的速度 v 不超过 40km/h, 写成不等式就是:

v ? 40
引例 2:某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于 2.5%,蛋白质的含量 p 应不少于 2.3%,写成不等式组就是——用不等式组来表示

? f ? 2.5% ? ? p ? 2.3%
问题 1:设点 A 与平面 ? 的距离为 d,B 为平面 ? 上的任意一点,则 d ?| AB | 。 问题 2:某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本。据市场调查,若单价每提 高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等 式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢? 解:设杂志社的定价为 x 元,则销售的总收入为 (8 ? “销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式

x ? 2.5 ? 0.2) x 万元,那么不等关系 0.1

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(8 ? x ? 2.5 ? 0.2) x ? 20 0.1

问题 3:某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种。按照生产的要求, 600mm 的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢? 解:假设截得 500 mm 的钢管 x 根,截得 600mm 的钢管 y 根。根据题意,应有如下的不等关 系: (1)截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ; (2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负。 要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:

?500 x ? 600 y ? 4000; ? 3 x ? y; ? ? x ? 0; ? ? y ? 0. ?
3.随堂练习
1、试举几个现实生活中与不等式有关的例子。 2、课本 P82 的练习 1、2

4.课时小结
用不等式(组)表示实际问题的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题。

5.评价设计
课本 P83 习题 3.1[A 组]第 4、5 题 【板书设计】

【授后记】 第 2 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性质证明简单的不等式; 2.过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的 方法; 3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【教学重点】 掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式; 【教学难点】 利用不等式的性质证明简单的不等式。 【教学过程】

1.课题导入
在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方向不改变; 即若 a ? b ? a ? c ? b ? c

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(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不改变; 即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变。 即若 a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

2.讲授新课
1、不等式的基本性质: 师:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗? 证明:

1)∵(a+c)-(b+c) =a-b>0, ∴a+c>b+c
2)? (a ? c) ? (b ? c) ? a ? b ? 0 , ∴a?c ? b?c.

实际上,我们还有 a ? b, b ? c ? a ? c ,(证明:∵a>b,b>c,

∴a-b>0,b-c>0. 根据两个正数的和仍是正数,得 (a-b)+(b-c)>0, 即 a-c>0, ∴a>c. 于是,我们就得到了不等式的基本性质: (1) a ? b, b ? c ? a ? c (2) a ? b ? a ? c ? b ? c (3) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 2、探索研究 思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质:

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(1) a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; (2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ; (3) a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? an ? bn ; n a ? n b 。 证明: 1)∵a>b, ∴a+c>b+ c. ∵c>d, ∴b+c>b+ d. 由①、②得 a+c>b+d. ② ①

2)

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ? ? ? ac ? bd c ? d , b ? 0 ? bc ? bd ?
n

3)反证法)假设 n a ? n b , 则:若
n

a ? a ?

n n

b ?a?b b ?a?b

这都与 a ? b 矛盾,

∴n a ? n b . [范例讲解]: 例 1、已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证

c c ? 。 a b 1 ?0。 证明:以为 a ? b ? 0 ,所以 ab>0, ab 1 1 1 1 a? ? b? 于是 ,即 ? ab ab b a c c 由 c<0 ,得 ? a b
3.随堂练习 1
1、课本 P82 的练习 3 2、在以下各题的横线处适当的不等号: (1)( 3 + 2 )2 6+2 6 ;

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(2) 3 - 2 )2 ( (3) ( 6 -1)2;

1 5?2

1 ; 6? 5
log 1 b
2

(4)当 a>b>0 时,log 1 a
2

答案:(1)<

(2)<

(3)<

(4)<

[补充例题] 例 2、比较(a+3)(a-5)与(a+2) a-4)的大小。 ( 分析:此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开, 合并同类项之后,判断差值正负(注意是指差的符号,至于差的值究竟是多少,在这里无关 紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化 为实数运算符号问题。 解:由题意可知: (a+3) (a-5)-(a+2) (a-4) 2 2 =(a -2a-15)-(a -2a-8) =-7<0 ∴(a+3) (a-5)<(a+2) (a-4)

随堂练习 2
1、 比较大小: 2 (1) x+5) x+7)与(x+6) ( ( (2) x ? 5x ? 6与2x ? 5x ? 9
2 2

4.课时小结
本节课学习了不等式的性质, 并用不等式的性质证明了一些简单的不等式, 还研究了如何比 较两个实数(代数式)的大小——作差法,其具体解题步骤可归纳为: 第一步:作差并化简,其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式; 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论; 第三步:得出结论

5.评价设计
课本 P83 习题 3.1[A 组]第 2、3 题;[B 组]第 1 题 【板书设计】

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