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人教版数学必修四:2.2.3向量的数乘(1)学案(学生版)

课题: §2.2.3 向量的数乘(1) 总第____课时 班级_______________ 【学习目标】 (1)理解向量数乘的定义; (2)掌握实数与向量的积的运算律,并进行有关的计算。 【学习重点难点】 重点:实数与向量的积的定义及其运算律, 难点:应用数乘进行运算。 【学习过程】 一、自主学习与交流反馈: 向上经过 3s 的位移所对应的向量可用 3a 来表示. 学生活动 问题:这里, 3a 是何种运算的结果? 姓名_______________ 质点从点 O 出发做匀速直线运动,若经过 1s 的位移对应的向量用 a 表示,那么在同方 3a 是数量还是向量? 如何确定它的大小、方向? 二、知识建构与应用: 1.定义:实数与向量的积的定义: 一般地,实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度与方向规定如下: (1) | ? a |?| ? || a | ; (2)当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同; 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反; 当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . 2.实数与向量的积的运算律: (1) ? (? a) ? (?? )a (结合律) ; (2) (? ? ? )a ? ? a ? ? a (第一分配律) ; (3) ? (a+b )=? a ? ? b (第二分配律) . 结论:向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算; 向量的线性运算的结果仍是一个向量. 三、例题 例 1 已知向量 a 和向量 b ,求作向量-2.5 a 和 2 a -3 b . b a 例 2 计算: (1) 3( a - b )-2( a +2 b ) (2) 2(2 a +6 b -3 c )-3(-3 a +4 b -2 c ) 例 3 在 ? ABC 中,设 AB = e1 , AC = e2 ,若 D、E 是 BC 的三等分点,用 e1 , e2 表示 AD , ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? AE . 思考:如图,在平行四边形 ABCD 中,点 M , N 分别是 CD, BC 的中点,已知 AM ? c , AN ? d ,试用 c , d 表示 AB 和 AD 。 D c d M C N B A 四、巩固练习 1.如图,已知向量 a, 求作向量 2a, ? 3a. a 2.计算: (1) 3(?4a ? 5b) ; (2) 6(2a ? 4b) ? (3a ? 2b) . 3.化简: (a ? b) ? 1 3 1 1 (a ? b) ? a =__________. 3 3 4.已知向量 a ? e1 ? 2e2 , b ? 3e1 ? 5e2 ,求 4a ? 3b (用 e1 , e2 表示). 5.若 a = b + c ,则 3( a +2 b )-2( c +3 b )-2( a + b )=__________. 课堂心得:

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