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《高考调研》衡水重点中学精讲练选修2-3课时作业5


课时作业(五)
1. 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照, 要求排成一 排,2 位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( A.1 440 种 C.720 种 答案 B B.960 种 D.480 种 )

2 解析 从 5 名志愿者中选 2 人排两端有 A5 种,2 位老人排列有 2 4 2 4 A2 种,其余 3 人和老人排列有 A4 种,故共有 A5 ×A2 2×A4=960(种),

选 B. 2.A、B、C、D、E 五位同学参加速算比赛,若每个同学计算的 速度各不相同,则 A 同学比 B 同学先算完的比赛结果共有( A.260 种 C.60 种 答案 C B.120 种 D.30 种 )

A5 5 解析 A2=60. 2 3. 晚会上有 8 个唱歌节目和 3 个舞蹈节目, 若 3 个舞蹈在节目单 中要隔开,则不同节目单的种数为( A.A8 8
8 3 C.A8 A9

) B.A8 11
8 3 D.A8 A8

答案

C

8 解析 先排 8 个唱歌节目共有 A8 种排法, 8 个节目产生 9 个空隙, 3 3 再插入 3 个舞蹈节目有 A9 种插法,据分步计数原理共有 A8 8×A9种不

同的节目单. 4.七种新产品排成一排参加展览,要求甲、乙两种产品之间恰有

两种其他产品,则不同的排列方法共有( A.120 种 C.480 种 答案 D

)

B.240 种 D.960 种

解析 分步:第一步:从甲、乙以外的五种产品作任选两种产品 放在甲、乙中间,有 10 种方法; 第二步:把甲、乙与其中间的两种产品看做一个元素与其他三种 产品,进行排列有 A4 4种方法;
2 第三步:对甲、乙进行排列有 A2 种方法; 2 第四步:对甲、乙中间的两种产品进行排列有 A2 种方法. 4 2 2 所以有 10A4 A2A2=960 种方法.

5.5 个人站成一排,甲、乙两人之间恰有 1 人的不同站法的种数 为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 答案 C

1 解析 分步:①从甲、乙之外的 3 人中选 1 人站甲乙之间 A3 种方 2 法;②甲、乙全排有 A2 种方法;③甲、乙及中间与另外两人排列有 3 A3 种方法. 1 2 ∴总的排法 A3 · A2 · A3 3=36 种.

6.在数字 1,2,3 与符号“+,-”五个元素所在的全排列中,任 意两个数字都不相邻的全排列的个数是( A.6 C.18 答案 B B.12 D.24 )

解析 此题为插空问题,+,-两个符号形成了 3 个空,正好可 将 1,2,3 放入 3 个空中,共有 A2 A3 2· 3=12 种不同的排列,答案为 B. 7. 将数字 1,2,3,4,5,6 排成一列, 记第 i 个数为 ai(i=1,2, ?, 6). 若 a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5,则不同的排列方法有________种.(用 数字作答) 答案 30 解析 由题意 a1≠1,a3≠3,a5≠5,且 a1<a3<a5,第一步,先安 排 a1,a3,a5 共有 5 种方法;第二步,再安排 a2,a4,a6,有 A3 3种方
3 法,由分步计数原理得共有 5×A3 =30 种不同的排列方法.

8.用数字 0、1、2、3、4 组成没有重复数字的五位数,则其中数 字 1、2 相邻的偶数有________个(用数字作答). 答案 24 解析 若末位为 0,则有 A3 A2 3· 2=12 种. 若末位为 2,则有 A1 A2 2· 2=4 种. 若末位为 4,则有两种情况: ①1 或 2 在首位有 A1 A2 2· 2=4 种. ②3 在首位有 A2 A2 2· 2=4 种. 故共有 24 种. 9.一排有 8 个座位,有 3 人入座,每人左右都有空位,则不同的 坐法有________种. 答案 24 解析 3 人入座,左右都有空位,要分类讨论何处有 2 个空位情 形,思路较复杂,不易讨论清楚,此时不妨优先考虑空位的情形, 3 人占有 3 个座位后还有 5 个空位,把这 5 个空位记为 A、B、C、D、E, 则这 3 个人所占有的座位就排在这 5 个字母之间的 4 个空档中某 3 个

3 空档,有 A4 =24 种排法.

10.有 n(n∈N*)件不同的产品排成一排,若其中 A、B 两件产品 排在一起的不同排法有 48 种,则 n=________. 答案 5
2 n-1 n-1 解析 ∵A2 · An -1=48,∴An-1=24.

∴n-1=4,n=5. 11.用 1,2,3,4,5,6,7 组成无重复数字的七位数,若 1,3,5,7 的次序 一定,则有多少个这样的七位数? 答案 210 解析 方法一 7 个数占 7 个位置,只需在 7 个位置中选 3 个排

2,4,6 即可,剩下的 4 个位置便只有一种排法.有 A3 1=210(个). 7· 方法二 1,3,5,7 次序不定有 A4 4=24 种不同排法,故 1,3,5,7 次序

7! 1 A7 7 一定只占排法总数的24次机会,故有A4= =210(个). 4! 4 12.4 名男生、3 名女生排成一排,3 名女生中恰有两名相邻的排 法有多少种? 答案 2 880 解析 4 个男生排成一排有 A4 4种排法,把 3 个女生分成两组有 3 种分法,对于男学生的每一种排法,从 5 个空中选 2 个,把两组女生 分别插入有 A2 5种插法,插入后相邻的 2 个女学生可以交换位置,有
2 2 2 A2 种方法,共有不同的排法 3A4 4A5A2=3×24×20×2=2 880(种).

13.3 名男生、4 名女生,按照不同的要求站成一排,求不同的排 队方案有多少种? (1)甲不站中间,也不站两端; (2)甲、乙两人必须站两端; (3)甲不站左端,乙不站右端;

(4)甲、乙两人必须相邻; (5)甲、乙两人不得相邻; (6)任何两个女生不得相邻. 思路分析 由题目可获取以下主要信息:本题是有限制条件的排 列问题.解答本题应优先考虑限制条件,遵循特殊元素特殊位置优先 考虑的原则. 解析 (1)分两步,首先考虑两端及中间位置,从除甲外的 6 人中

3 4 选 3 人排列,有 A6 种站法,然后再排其余位置,有 A4 种站法,所以

共有 A3 A4 6· 4=2 880 种不同站法. (2)甲、乙为特殊元素,先将他们排在两头位置,有 A2 2种,其余 5
5 5 人全排列,有 A5 种.∴共有 A2 2A5=240 种.

(3)甲、乙为特殊元素,左、右两边为特殊位置. 方法一:特殊元素法. 甲在最右边时,其他的可全排,有 A6 6种.
1 甲不在最右边时,可从余下 5 个位置中任选一个,有 A5 种;而乙

可排在除去最右边位置后剩余的 5 个中的一个上,有 A1 5种,其余人全
1 5 排列,共有 A1 5A5A5种. 1 1 5 由分类计数原理:A6 6+A5A5A5=3 720 种.

方法二:特殊位置法.
6 先排最左边,除去甲外,有 A1 6种,余下 6 个位置全排有 A6种, 1 5 但应剔除乙在最右边时的排法 A5 A5种. 6 1 5 ∴共有 A1 6A6-A5A5=3 720 种.

方法三:间接法.
7 7 个人全排,共 A7 种,其中,不合条件的有甲在最左边时 A6 6种; 6 乙在最右边时 A6 种,其中都包含了甲在最左边,同时乙在最右边的情

5 形,有 A5 种. 6 5 ∴共有 A7 7-2A6+A5=3 720 种.

(4)(捆绑法):把甲、乙两人看作一个元素,首先与其余 5 人相当
6 2 于六个元素进行全排列,然后甲、乙两人再进行排列,所以共有 A6 · A2

=1 440 种站法. (5)方法一(直接法—插空):先让其余的 5 人全排列,再让甲、乙 两人在每两人之间(含两端)的 6 个位置插入排列,所以共有 A5 A2 5· 6=3 600 种不同站法. 方法二(间接法):不考虑限制条件,共有 A7 7种站法,除去甲、乙
7 6 2 相邻的排法 A6 A2 6· 2.所以共有 A7-A6A2=3 600 种站法.

(6)(直接法—插空):先排男生,男生在 3 个位置进行全排列,有
3 A3 种站法,相应地男生之间(含两端)插入女生,女生有 A4 4种站法.所 3 4 以共有 A3 · A4 =144 种不同站法.

点评

(1)此类“排队”问题和“排数”问题类似,主要是从特殊

位置或特殊元素两个方面考虑,当正面考虑情况复杂时,考虑用排除 法. (2)直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法,要注意分类时 不重不漏,分步要连续、独立;间接法要注意不符合条件的情形,做 到不重不漏. (3)处理元素 “相邻”、 “不相邻 ”或“元素定序 ”问题应遵循 “先整体,后局部”的原则.元素相邻一般用“捆绑法”,元素不相 邻问题一般用“插空法”. ?重点班选做题 14.(2013· 成都模拟)甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动, 要求每人参加一天且每天至多安排一人,

并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种 答案 A

)

15.一条连椅有 7 个座位,4 人就坐,3 个空座位中恰有两个连在 一起的坐法有________种. 答案 480
4 解析 4 人排成一排有 A4 种排法,在每一种排法的 5 个空中选 2 2 个,分别插入 2 个空座位和 1 个空座位,有 A5 种插法,共有不同就坐 2 方法 A4 4A5=24×20=480 种.


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