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圆中的动点和最值问题

北京中考马老师的博客 http://blog.sina.com.cn/u/2299728941

圆中的动点及最值问题
在 平 面 几 何 问 题 中 ,当 某 几 何 元 素 在 给 定 条 件 变 动 时 ,求 某 几 何 量( 如 线 段 的 长 度、图形的面积、角的度数)的最大值或最小值问题,称为最值问题。 最值问题的解决方法通常有两种: (1) 应 用 几 何 性 质 : ① 三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; ② 两点间线段最短; ③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短; ④ 定圆中的所有弦中,直径最长。 (2) 运 用 代 数 证 法 : ① 运用配方法求二次三项式的最值; (通 常 和 经 济 问 题 , 效 率 问 题 相 结 合 ) ② 运用一元二次方程根的判别式。 这 里 只 介 绍 圆 中 的 动 点 和 最 值 相 结 合 的 问 题 ,还 会 有 和 相 似 相 结 合 的 。下 面 两 道 题其实是同种类型的题。一般考试涉及到都会是这两种。 1. ( 2010 ?河 北 区 模 拟 ) 如 图 , A 点 是 ⊙ O 上 直 径 MN 所 分 的 半 圆 的 一 个 三等分 点, B 点 是 弧 AN 的 中 点 , P 点 是 MN 上 一 动 点 , ⊙ O 的 半 径 为 3 , 则 AP+BP 的 最 小 值 为 _________.

解 : 作 点 A 关 于 MN 的 对 称 点 A ′, 连 接 A ′ B , 交 MN 于 点 P , 连 接 OA ′, AA ′. ∵点 A 与 A ′关 于 MN 对 称 , 点 A 是 半 圆 上 的 一 个 三 等 分 点 , ∴∠ A ′ ON= ∠ AON=60 °, PA=PA ′, ∵点 B 是 弧 AN^ 的 中 点 , ∴∠ BON=30 °, ∴∠ A ′ OB= ∠ A ′ ON+ ∠ BON=90 °, 又 ∵ OA=OA ′ =3 , ∴ A ′ B=3 2 ∵两 点 之 间 线 段 最 短 , ∴ PA+PB=PA ′ +PB=A ′ B=3 2

此类问题其实是用将军饮马的思想去解决,先作对称点,然后连结求最值。是将军饮马和圆 中动点问题相结合。
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2. 如 图 , P 为 半 圆 直 径 AB 上 一 动 点 , C 为 半 圆 中 点 , D 为 弧 AC 的 三 等 分 点 , 若 AB=2 , 则 PC+PD 的 最 短 距 离 为 ____________

解 :设 点 C 关 于 AB 的 对 称 点 为 E ,连 接 DE 交 AB 于 P ,则 此 时 PC+PD 的 值 最 小 , 且 PC+PD=PE+PD=DE . 连 接 OC 、 OE ; ∵ C 为 半 圆 中 点 , D 为 弧 AC 的 三 等 分 点 , ∴弧 CD 的 度 数 为 30 °, ∠ CDE=90 °; ∵ AB=2 , ∴ CE=2 ; ∴ DE=EC ? cos ∠ CED= 3 即 PC+PD 的 最 小 值 为 3

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