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2012-2013学年度上学期期末联考高二数学理科试题

2012-2013 学年度上学期期末联考 高二数学理科试题
考试时间:下午 15:30-17:30 试卷满 分:150 分 编辑人:丁济亮 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 准线方程为 y ? ? 1 的抛物线的标准方程为 ( A. x ? ? 4 y
2


2

B. x ? ?
2

1 4

y

C. x ? 4 y

D. x ?
2

1 4

y

2. 某大学数学专业一共有 160 位学生,现将学生随机编号后用系统抽样的方法抽取一个容 量为 5 的样本,已知 40 号、 72 号、 136 号同学在样本中, 那么样本中还有 2 位同学的 编号应该为 ( ) A. 10 , 104 3. 下列说法正确的是
2

B. 8 , 104 ( )
2

C. 10 , 106

D. 8 , 106

A.命题“若 x ? 1, 则 x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1, 则 x ? 1 ” B.命题“ ? x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ? x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

C.“ m ? 0 ”是“直线 mx ? ? m ? 2 ? y ? 1 ? 0 与直线 ? m ? 1 ? x ? my ? 0 垂直”的充要条件 D.命题“若 x ? y , 则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题
2 2 4. 随机变量 ? 服从正态分布 N ( ? , ? ) ,且函数 f ? x ? ? x ? 4 x ? ? 没有零点的概率为

1 2

,

则? ? A. 4



) B. 2 C. 0
?

D. 8

5. 双曲线 x ?
2

y

2

? 1 的一条渐近线的倾斜角 ? ? ( 0, ) ,则 m 的取值范围为 m 3





A. ? ? 3 , 0 ?

B. ( ? 3 , 0 )

C. ? 0 , 3 ?
10 10

D. ( ?

3 3

, 0)

6. 两变量 y 与 x 的回归直线方程为 y ? 2 x - 3 ,若 ? x i ? 17 ,则 ? y i 的值为 (
i ?1 i ?1

?



A. 3 7. Q 是曲线 A. 小于 10
x
2

B. 4
? y
2

C. 0 . 4

D. 40 )

25

9

? 1 上的动点, F1 ? ? 4 , 0 ? , F 2 ? 4 , 0 ? ,则 QF 1 ? QF 2 满足 (

B. 大于 10

C. 不小于 10

D. 不大于 10

8. 从 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 中任取两个不同的数,事件 A ? “取到的两个数之和为偶数”, 事件
B ? “取到的两个数均为偶数”,则 P ? B A ? =

( C.
1 3
2

) D.
2 3
2

A.

3 7

B.
x a
2 2

4 7

9. 点 P 是双曲线

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 与圆 x

? y

? a

2

? b 在第一象限的交点,F1 、
2

F 2 分别为双曲线左右焦点,且 PF 1 ? 3 PF 2 ,则双曲线的离心率为
5 2


10 2



A. 5

B.

C. 10

D.

2 2 10. 记 x ? y ? 4 确定的区域为 U , y ? x 确定的区域为 V ,在区域 U 中每次任取 1 个点,

连续取 3 次得到 3 个点,则这 3 个点中恰好只有 2 个点在区域 V 中的概率为 ( A.
9 64



B.

27 64

C.

4 27

D.

2 9

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写 不清,模棱两可均不得分. 11. 双曲线 3 x ? y ? 3 的焦距等于
2 2

.

12. 椭圆

x m

2 2

?

y

2

? 1 ? m ? 0 ? 的一个焦点为 ? 4 , 0 ? ,则该椭圆的离心率为

.

9
2 2 2

13. 直线 3 x ? 4 y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? r
OA ? OB , 则半径 r ?

?r

? 0 ? 交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点,若

. 甲 8 0 乙 8
a

14. 甲、乙两人在 3 次测评中的成绩由右边茎叶图表示,其 中 有一个数字无法看清, 现用字母 a 代替, 则甲的平均 成绩超过乙的平均成绩的概率为 .

1

8 9

5

15. 下图中椭圆内的圆的方程为 x ? y ? 1 ,现借助计算机利用如下程序框图来估计该椭
2 2

圆的面积,已知随机输入该椭圆区域内的 1000 个点 ? x , y ? 时,输出的 i ? 800 ,则由此 可估计该椭圆的面积为 .

y

O

x

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 一组数据 4 , 7 , 10 , s , t 的平均数是 7 , n 是这组数据的中位数,设 f ? x ? ? ( (Ⅰ)求 f ? x ? 的展开式中 x
?1

1 x

? x ) .
2 n

的项的系数 ;

(Ⅱ)求 f ? x ? 的展开式中系数最大的项和系数最小的项.

17.(本小题满分 12 分) 命题 p :过原点 O 可以作两条直线与圆 x ? y ? x ? 3 y ?
2 2

5 4

(m

2

? m ) ? 0 相切,

命题 q :直线 ( m ?

? 0 不过第二象限, 2 若命题“ p ? q ”为真命题,求实数 m 的取值范围. 2

3

)x ? y ? m ?

1

18.(本小题满 分 12 分) 由 0 , 1 , 2 , 3 , 4 这五个数字组成无重复数字的五位数. (Ⅰ)求大于 20000 的五位数的个数; (Ⅱ)求三个偶数数字 0 , 2 , 4 有且只有两个相邻的五位数的个数.

19.(本小题满分 12 分)
2 过点 M ? m ,1 ? 作直线 AB 交抛物线 x ? y 于 A 、 B 两点,且 MA ? MB ,过点 M 作 x

轴的垂线交抛物线于点 C . (Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)求 ? ABC 的面积的最大值,并求此时 m 的值.
A

y
B M

C O

x

20.(本小题满分 13 分) 医生的专业能力参数 K 可有效衡量医生的综合能力, K 越大,综合能力越强,并规定: 能力参数 K 不少于 30 称为合格,不少于 50 称为优秀.某市卫生管理部门随机抽取 300 名医生进行专业能力参数考核,得到如图所示的能力 K 的频率分布直方图:

xxk.Com]

(Ⅰ)求出这个样本的合格率、优秀率; (Ⅱ)现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为 20 的样本,再从这 20 名医生中随机 选出 2 名. ①求这 2 名医生的能力参数 K 为同一组的概率; ②设这 2 名医生中能力参数 K 为优秀的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望.

21. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ?

2 2

,且过点 ?0 ,1 ? .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (II)如果直线 x ? t ( t ? R)与椭圆相交于 A 、 B ,若 E ??
2 ,0 , D

?

?

2 ,0 ,

?

求证:直线 EA 与直线 BD 的交点 K 必在一条确定的双曲线上; ( Ⅲ) 若直线 l 经过椭圆 C 的左焦点交椭圆 C 于 P 、 Q 两点, O 为坐标原点,且
OP ? OQ ? ? 1 3

,求直线 l 的方程.

高二数学(理科)参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 A 6 B 7 D 8 C 9 D 10 A

二、填空题
4 5

11. 4

12.

13.

2 5

14.

3 5

15. 5 ?

三、解答题。 16. 解: (I)依题意有:
4 ? 7 ? 10 ? s ? t 5 ? 7 得: s ? t ? 14 ,

不妨设 s ? t ,则 s ? 7 , t ? 7 ,则这组数据的中位数是 7,故 n ? 7 ,
f ? x ? 的展开式中 T k ? 1 ? C 7 ? x
k ?1

? ?? x ?
7?k 2

k

? C 7 ?? 1? x
k k

3k ?7



3k ? 7 ? ? 1 ? k ? 2 ,

故展开式中 x

?1

的项的系数为 C 7 ? ? 1 ? ? 21 ―――――――6 分
2 2

(II) f ? x ? 的展开式中共 8 项,其中第 4 项和第 5 项的二项式系数最大, 而第 5 项的系数等于第 5 项二项式系数,故第 5 项的系数最大, 即最大项为 T 5 ? C 7 ? x
4 ?1

? ?? x ?
3 2 4 2

4

? 35 x

5

,

第 4 项的系数等于第 4 项二项式系数的相反数,故第 4 项的系数最小, 即最小项为 T 4 ? C 7 ? x
3 ?1

? ?? x ?

3

? ? 35 x

2

――――12 分

17. 解:当命题 p 为真命题时有:
5 ? 2 m ?m ? 0 ? 4 ? 5 ?1 ? 9 ? 4 ? ( m 2 ? m ) ? 0 4 ?

?

?

解得 ?
?

? m ? 0或 m ? ? 1 ?2 ? m ?1

则 0 ? m ? 1或 ? 2 ? m ? ? 1 . ―――――――5 分 当命题 q 为真命题时有: y ? ( m ?
3 2 )x ? m ? 1 2

,

3 ? m ? ? 0 ? 3 1 2 故? , 则 ? ? m ? , ―――――――10 分 1 2 2 ?m ? ? 0 2 ? 依题意有 p 、 q 均为真命题,

故?

3 2

? m ? ?1 或 0 ? m ?

1 2

―――――12 分

18. ( Ⅰ ) 可 知 首 位 数 字 为 2,3,4 即 可 , 故 大 于 2 0 0 0 0 的 五 位 数 的 个 数 为
C 3 A 4 ? 72
1 4

―――――――6 分
2 2 2 2

(Ⅱ)首先当 0 可以在首位时的方法数是: C 3 A 3 A 2 A 2 ? 72 , 若 0 在首位且 2,4 相邻时的方法数是: C 2 A 2 A 2 ? 8 ,
1 2 2

若 0 在首位且 0 与 2 或 4 相邻时的方法数是: 2 C 2 A 2 ? 8 ,
1 2

故三个偶数数字 0 , 2 , 4 有且只有两个相邻的五位数的个数是:
72 ? 8 ? 8 ? 56

―――――――――12 分

19.(I)解:易知直线 AB 的斜率存在,设 AB 直线方程 为 y ? k ( x ? m ) ? 1 代入抛物线方程 x ? y 得, x ? kx ? m k ? 1 ? 0 (*)
2
2

设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 因为 M 是 AB 的中点,所以 m ?
2

x1 ? x 2 2
2

?

k 2

,即 k ? 2 m

方程(*)即为: x ? 2 m x ? 2 m ? 1 ? 0 (**) 由 ? ? 4m ? 8m ? 4 ? 0 得 ?1 ? m ? 1
2 2

所以 m 的取值范围是 ( ? 1,1)
2

―――――――6 分

(II)因为 M ( m ,1), C ( m , m ), M C ? x 轴, 所以|MC|= 1 ? m ,
2

由方程(**)得 x1 ? x 2 ? 2 m , x1 x 2 ? 2 m ? 1
2

所以 S ? ABC = S A C M ? S B C M = =
1 2
2

1 2

| x1 ? x 2 |

.| M C |

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2

.| M C |

=

1 2

3

4 ? 4m

2

.(1 ? m 2 ) = (1 ? m 2 ) 2 ≤1

所以 ? ABC 的面积的最大值为 1,此时 m ? 0

―――― ―――12 分

20. 解: (I)解: 各组的频率依次为 0.2, 0.3, 0.2, 0.15, 0.1, 0.05, ∴这个样本的合格率为 1-0.2=0 .8, 优秀率为 0.15+0.1+0.05=0.3 ―――――――3 分 (II)①用分层抽样抽出的样本容量为 20 的样本中,各组人数依次为 4,6,4,3,2,1. 从 20 名医生中随机选出 2 名的方法数为 C 20 ? 190 ,
2

选出的 2 名医生 的能力参数 K 为同一组的方法数为
C 4 ? C 6 ? C 4 ? C 3 ? C 2 ? 31 .
2 2 2 2 2

故这 2 名医生的能力参 数 K 为同一组的概率 P ?

31 190

―――――――7 分

②20 名医生中能力参数 K 为优秀的有 6 人,不是优秀的有 14 人. 依题意, X 的 所有可能取值为 0,1,2,则
P?X ? 0? ? C 14 C 20
2 2

?

91 190

,P ? X ? 1 ? ?

C 14 C 6 C 20
2

1

1

?

42 95

, P ( X ? 2) ?

C6
2

2

?

3 38

.

C 20

∴ X 的分布列为
X
P

0
91 190 91 190 ? 1? 42 95

1
42 95 ? 2? 3 38
2

2
3 38
? 3 5

∴ X 的期望值 EX ? 0 ?
c a

.――――――13 分

21. 解: (I)依题意有: b ? 1,

?

2 2

,又 a

? c

2

?1,

解得: a ? 2 , c ? 1 ,
x
2

故椭圆 C 的方程为:

? y

2

? 1 ――――――――3 分

2

(II)依题意可设 A ( t , y 0 ), B ( t , ? y 0 ), K ( x , y ). 且有
? y0 t? 2

t

2

2

? y0

2

? 1,

又 EA : y ?

y0 t? 2

(x ?

2 ) , DB : y ?

(x ?

2),

故y

2

?

? y0 t
2

2

?2

(x

2

? 2 ) ,由

t

2

2
1 2

? y0

2

? 1 得: y 0

2

?

1 2

?2 ? t ?
2

代入即得 y

2

?

(x

2

? 2 ) ,即为:

x

2

? y

2

? 1,

2 x
2

所以直线 EA 与直线 BD 的交点 K 必在双曲线

? y

2

? 1上

――――8 分

2
? ? 1 ? ? 1 ? ? , Q ? ? 1, ? ? , 此 时 2 ? ? 2 ?

( Ⅲ )(A) 当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 , P ? ? 1,
1 2 1 2

OP ? OQ ? 1 ?

?

,不满足要求;

(B)当直线 l 的斜率存在时 设为 k ,则直线 l 为: y ? k ? x ? 1 ? ,代入
x
2

? y

2

? 1 得: 1 ? 2 k

2

?

2

?x

2

? 4k x ? 2k
2

2

?2 ? 0,
1 3

由 OP ? OQ ? ? 即: ?1 ? k 则: ?1 ? k
2

1 3

2 得: x 1 x 2 ? k ? x 1 ? 1 ?? x 2 ? 1 ? ? ?



?x

1

x2 ? k
2

2

? x1
2

? x2 ? ? k
? 4k
2 2

2

? ?

1 3


1 3

2

? 2k

?2
2

1 ? 2k

? k

1 ? 2k

? k

2

? ?



解得: k

2

? 1 ? k ? ?1 ;

直线 l 过椭圆 C 的左焦点,故恒有两个交点,则 k ? ? 1 满足要求, 故直线 l 的方程为: y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 ――――14 分


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