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高三数学综合测试题11


高 三 数 学 综 合 测 试 题
一. 填空题: 1.等差数列{ a n }中, a 4 ? 5, a5 ? ?2 ,则 a16 ? 2.不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解集是
2

(十一)

. . . .

3.设

4.直线 2 x ? y ? 5 ? 0 和直线 3x ? 2 y ? 7 ? 0 的夹角是 5. lim (
n ??

? 3 ? 是第二象限角, sin ? ,则 sin? ? 2 3 2
n?2 n ) ? n ?1


6. 长方体 AC 1 中, 1 =1, BB AB=BC=2, 则二面角 A 1 -B 1 D 1 -A 的大小是 (用 反三角函数表示) . 7.10 件产品中,一级品有 7 件,二级品有 3 件,现抽出 4 件产品检查,至少 3 件是一级品 的概率是 . 8.如果 ( x ? 是

1 x

,那么展开式中第 3 项 ) n ( n ∈N)的展开式中各项系数的和等于 32, .

9.一座抛物线形状的拱形桥,当水面离拱顶 3 米时,水面宽 2 6 米.若水面又升高 1 米, 这时水面宽为 米. 10.函数 y ?

6 ? sin 2 x 的值域是 6 ? sin 2 x


. (A)偶函数且周期为 ? ;

二. 选择题: 11.函数 y ? tg 2 x 是(

(B)奇函数且周期为 ? ; (C)偶函数且周期为 12.下列各式中,正确的是( (B) arcsin )

2 1 ? ) ? ? ; (D) arcsin ? . ? ; (C) arctg(? 2 4 3 2 2 6 13.设直线 a 、 b 和平面 ? 满足 a ∥ ? , b ⊥ a ,则必有( ) (A) b ⊥ ? ; (B) b 与 ? 相交; (C) b ∥ ? 或 b 与 ? 相交; (D) b ∥ ? 或 b 与 ? 相交或 b ? ? . 2 x 14.如果方程 2 ? 8 的解集是 A,方程 lg( x ? 1) ? 1 的解集是 B,则集合 A 与 B 的关系是 ( ) (A) A ? B ? ? ; (B)A=B; (C)A ? B; (D)A ? B.
15.化简 sin(? ?

? ? ; (D)奇函数且周期为 . 2 2 ? (A) arccos1 ? ; 2 ? ? 3

?

4

) + sin(? ?

?

4

) 所得的结果是(



(A) 2 sin ? ; (B) 2 sin 2? ; (C) 2 cos? ; (D) 16. x ? y 的充分非必要条件是(
2 2

2 cos? . 2



1 1 ? ; (D) x ? y . x y 2 17.如果复数 z ? m (1 ? i) ? m(1 ? 5i) ? 6i(1 ? i) ( m ? R )为纯虚数,那么 m 的值是
(A) x ? y ; (B) | x |?| y | ; (C) ( ) (A)-2; (B)2; (C)3; (D)-2 或 3.
2 2 2 2

18.如果曲线 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 经过平移坐标轴后所得的新方程为 x ? ? y ? ? 1 , 则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为( )

(A) (1,1) (B) ; (-1,1) (C) ; (1,-1) (D) ; (-1,-1) . 19.函数 y ? 3 sin 2 x 在 (?? ,0) 内的单调递减区间是( )

3 3 ? ? ] ; (B) (?? ,? ? ] ; (C) [? ? ,? ] ; (D) [? ,0) . 2 4 4 4 4 2 2 x y 20.若直线 y ? kx ? 1 与焦点在 x 轴上的椭圆 ? ? 1 总有公共点,则 m 的取值范围是 5 m ( ) (A) (0,1]; (B)[1,5) (C) ; (0,5) (D)与 k 取值有关. ;
(A) (?? ,? 三. 解答题: 21.已知: cos? cos ? ? 求: sin(? ? ? ) 的值.

?

1 1 ? , sin ? sin ? ? , ? ? ? ? (2k? ? ,2k? ), k ? Z . 4 12 2

22.已知:三角形三个顶点的坐标分别为 A(-1,2,3) ,B(1,1,1) ,C(0,0,5) , 求证Δ ABC 是直角三角形.

23.如图,三棱锥 S-ABC 中,∠ASB=∠BSC=∠SCA=90 0 ,SA= 2 ,SB=SC=1. 求: (1)直线 AB 与平面 SAC 所成的角; S (2)棱锥 S-ABC 的体积 V.

A

C

B

24.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次是 P、Q(万元) .它们与 投入资金 x (万元)的关系有经验公式:P=

1 3 x ,Q= x .今有 3 万元资金投入经营 5 5

甲、乙两种商品,对甲、乙两种商品应分别投入多少资金,才能获得最大利润?

25.已知函数 f ( x) ?

x 2 ? 1( x ? 1) .
?1

(1) 求 f (x) 的反函数 f

( x) ;
?1 2 (a n ), n ? N ,且 bn ? a n , n ? N ,求数

(2) 在数列{ a n }中,若首项 a1 ? 2, a n ?1 ? f 列{ bn }的前 n 项的和 S n ; (3) 求 lim

Sn 的值. n ?? [ f ( n)] 2
?1

26.已知直线 l : y ? kx 和抛物线 C: ( y ? 1) ? 3( x ? 1) .
2

(1) 当 k ? ?

1 时,求点 M(2,0)关于直线 l 的对称点 N 的坐标,并判断点 N 是否在抛 2

物线 C 上; (2) 当 k 变化( k ? 0 )且直线 l 与抛物线 C 有公共点时,点 P(a,0) 关于直线 l 的对称点 为 Q( x 0 , y 0 ) . 试写出 x 0 关于 k 的函数关系式 x0 ? f (k ) , 并求出当点 Q 在直线 x ? 1 上时 a 的取值范围.

y

O

x

高 三 数 学 综 合 测 试 题
一. 填空题: 1.-79; 2. (-2,1) 3.- ; 8.10 x ; 9.4; 10.[
2

(十一) (答案)

2 2 2 7 2 ; 4. arctg ; 5. e ; 6. arctg ; 7. ; 3 2 4 3

5 7 , ]. 7 5

二. 选择题: 11.D;12.B;13.D;14.C;15.A;16.D;17.A;18.C;19.C;20.B. 三. 解答题: 21.解: cos( ? ? ) = cos? cos ? + sin ? sin ? = ? 又∵ ? ? ? ? (2k? ?

?
2

1 1 1 + = 4 12 3

,2k? ), k ? Z ,
2 2 . 3
?? ?
?? ?

2 ∴ sin(? ? ? ) =- 1 ? cos (? ? ? ) =-

22.证明: AB ={2,-1,-2}, AC ={1,-2,2}.∵ AB ? AC =2+2-4=0,
?? ?
?? ?

?? ?

?? ?

∴ AB ⊥ AC ,即:Δ ABC 是直角三角形. 23.解: (1)∵SB⊥SA,SB⊥SC,∴SB⊥平面 SAC,∠BAS 就是 AB 与平面 SAC 所成的角.在

SB 2 2 ? ,∠BAS= arctan , SA 2 2 2 即:直线 AB 与平面 SAC 所成的角为 arctan . 2
RtΔ SAB 中, tan ?BAS ? (2)在 RtΔ SAC 中,AC= SA ? SC =1,
2 2

1 1 1 1 S ?SAC ? SB ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? . 3 3 2 6 24.解:设投入乙种商品 x 万元(0≤ x ≤3) ,获得总的利润为 y 万元. 则投入甲种商品 3- x 万元. 1 1 3 21 21 3 . x = ? ( x ? )2 ? ? y =P+Q= (3 ? x) + 5 5 2 20 20 5 3 9 21 当 x = ,即 x = =2.25 时, y max = =1.05.这时,3- x =0.75. 2 4 20
∴V= VB ? SAC ? 答:对甲、乙两种商品应分别投入 0.75 万元和 2.25 万元,能获得最大利润 1.05 万元. 25.解: (1)由 y = f ( x) ? ∴f
?1

x 2 ? 1( x ? 1) ,解得: x = y 2 ? 1 ( y ≥0) ,

( x) = x 2 ? 1 ( x ≥0) .
?1 2 2 (a n ) = a 2 n ? 1 ,∴ a n ?1 - a n =1. 2 2

(2) a n ?1 ? f

即:数列{ a n }是以 4 为首项,1 为公差的等差数列, a n = n +3.

n( n ? 7) . 2 Sn 1 (3) lim = . ?1 2 n ?? [ f 2 ( n)]
∴ Sn =

26.解: (1)设 N( m , n ) ,则 MN 的中点坐标为(

m?2 n n , ) ,MN 的斜率为 . 2 2 m?2

1 m?2 ?n ?? ? ?2 6 8 6 8 ? 2 2 解方程组 ? ,得 m = , n =- ,∴N( ,- ) . n 5 5 5 5 ? ?2 ?m ? 2 ? 6 8 2 ∵( ,- )不是方程 ( y ? 1) ? 3( x ? 1) 的解,∴点 N 不在抛物线 C 上. 5 5 ?y ? kx ? k 2 x 2 ? (2k ? 3) x ? 4 ? 0 ( k ? 0 ) (2) ? , ( y ? 1) 2 ? 3( x ? 1) ? 3 1 由 ? ? ?3(2k ? 3)( 2k ? 1) ? 0 ,得: ? ? k ? 且 k ? 0 . 2 2 y0 x ?a y PQ 中点的坐标为( 0 , 0 ) ,PQ 的斜率为 , x0 ? a 2 2
x0 ? a ? y0 ? 2 ?k? 2 1? k 2 ? , ? x0 ? a, 由方程组 ? 1? k 2 ? k y0 ? ?1 ? x0 ? a ?

1? k 2 3 1 . a(? ? k ? 且k ? 0) 2 2 2 1? k 1? k 2 点 Q 在直线 x ? 1上,∴ a =1, 1? k 2 1? k 2 3 1 ( ? ? k ? 且 k ? 0 且 k ? ?1 ) . ? a= 2 2 2 1? k 2 由a= ? 1 ,可得: 1? k 2 3 13 ①当 ? ? k ? ?1 时, a ≤- ; 2 5 ②当 ? 1 ? k ? 0 时, a >1; 1 5 ③当 0 ? k ? 时,1< a ≤ . 2 3 13 综上所述, a 的取值范围是(-∞,- . ] ∪(1,+∞) 5
即: x0 ? f (k ) =


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