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容斥原理


例1:五一班的全体同学都参加了音乐、美术这样两 个课外活动小组。其中参加音乐组的有29人,参加美 术组的有32人,而两个组都参加的同学有12人。那么 五一班一共有多少名同学? 分析: 两个组都参加的同学算了两遍哦!
29+32-12=49(人) 答:一共有49人。 音乐 29人 美术 32人 12人

1、五二班同学每人至少订了一份报纸,其中订《中 国少年报》的有32人,订《小学生学习报》的有27 人,两种报纸都订了的有17人,五二班有多少人? 32+27-17=42(人) 答:五二班有42人。

例2(1)四年级一班在期末考试中,语文得“优”的 有15人,数学得“优”的有17人,老师请得“优”的 同学都站起来,数了数有24人。两科都得“优”的 有 几人?
分析:两门功课都得 优的人,在总数中算 了两遍哦! 数学 17人 语文 15人

15+17-24=8(人) 答:两科都得“优”的人有8人。

例2(2)56名同学参加兴趣小组,参加数学小组的有 40人,参加作文小组的有30人,两个兴趣小组都参加 的有几人?只参加数学小组的有几人?
分析:两门功课都得 优的人,在总数中算 了两遍哦! 数学 作文

30+40-56=14(人) 数、作 40-14=26(人) 答:两个兴趣小组都参加的有14人,只参加数学 小组的有26人。

2、幼儿园有58人学钢琴,43人学画画,至少学一种 的有71人,两种都学的有多少人?

58+43-71=30(人) 答:两种都学的有30人。

例3、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组,有18 人参加了音乐小组,期中11人两个小组都参加,还有5人 什么小组都没有参加。这个班共有学生多少人? 5人 24+18-11+5=36(人) 24 11 18 人 人 人

答:这个班共有学生36人。

1、某班数学、英语期中考试的成绩统计如下:英语得 分100分的有12人,数学得100分的有10人,两门功课 都得100分的有3人,两门功课都未得100分的有26人。 这个班共有学生多少人? 分析: 12+10-3+26=45(人)

答:这个班共有学生45人。

例4:在1-50的自然数中,是6的倍数或者9的倍数 的数一共有多少个? 分析: 6的倍数: 50÷6=8……2 9的倍数: 50÷9=5……6 6和9的公共倍数: 18,32, 8+5-2=11(个) 答:一共有11个。 6的 倍数 9的 倍数 6、9的 公倍数

在1-500的自然数中,求(1)能够被3或者被4整除的数 一共有多少个?(2)能够被3和4整除的数一共有多少 个? 分析: 能被3整除的数: 500÷3=166…… 2 能被4整除的数: 500÷4=125个 500÷(3×4)=41…… 8 166+125-41=250(个) 答:能够被3或者4整除的数一共有250个,能够被3和4 整除的数一共有41个。

例五:全部同学对语文、数学、英语三科中至少有一门 感兴趣,其中30人喜欢语文,32人喜欢数学,21人喜欢 英语,既喜欢语文又喜欢数学的有15人,既喜欢数学又 喜欢英语的有14人,既喜欢语文又喜欢英语的有12人, 三门都喜欢的有8人。求全部总人数。 30+32+21-15-14-12+8=50(人)
语 文 数学

英语

三 门

答:总人数有50人。

学校先后举行语文、数学、英语三科竞赛,学生中至少参 加一科的:语文506人,数学423人,英语395人;至少参 加两科的:语文、数学325人,语文、英语250人,数学、 英语236人;三科都参加的有198人,参加竞赛的学生总数 是多少人? 506+423+395-325-250-236+198=711(人) 答:参加竞赛的学生总数有711人。

在1-500的自然数中,既不能被2整除、又不能被 3整除、且不能被5整除的数一共有多少个? 分析: 能被2整除的数:500÷2=250(个) 能被3整除的数:500÷3=166(个)…… 2 能被5整除的数:500÷5=100(个) 能被2、3整除的数:500÷(2×3)=83 (个) …… 2 能被3、5整除的数:500÷(3×5)=33 (个) …… 5 能被2、5整除的数:500÷(2×5)=50 (个) 能被2、3、5整除的数:500÷(2×3×5)=16 (个) …… 2 250+166+100-83-33-50+16=366(个) 500-366=134(个) 答:一共有134个。

求1-30的自然数中,不是2、3、5的倍数的数的个数。
分析: 能被2整除的数:30÷2=15(个) 能被3整除的数:30÷3=10(个) 能被5整除的数:30÷5=6(个) 能被2、3整除的数:30÷(2×3)=5 (个) 能被3、5整除的数:30÷(3×5)=2(个) 能被2、5整除的数:30÷(2×5)=3 (个) 能被2、3、5整除的数:30÷(2×3×5)=1(个) 15+10+6-5-2-3+1=22(个) 30-22=8(个) 答:一共有8个。


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