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2018年军考数学真题及参考答案

2018 年解放军军考数学真题
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一、单项选择(每小题 4 分,共 36 分) 1.设集合 = {,,,,},则包含元素,的的子集共有 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.8 个 .
1

.

2.下列函数中,满足“( + ) = ()()”的单调递增函数是 A. () = 2
1

B. () = 3

C. () = 3

D. () = ( ) 2

3.设, 为正实数,则“ > > 1”是“log2 > log2 > 0”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件

. D.既不充分也不必要条件 .

4.若 > 0, > 0,且函数() = 4 3 ? 2 ? 2 + 2在 = 1处有极值,则的最大值等于 A.9 B.6 C.3 D.2
1 4

5.直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为 A.
1 3

.

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

6.记 为等差数列{ }的前项和.若4 + 5 = 24,6 = 48,则{ }的公差为 A.1 B.2 C.4 D.8

.

7.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和是 3 或 6 的概率是 A.
1 5

.

B.

3

10

C.

1 10

D.

1 12

8.若直线∥平面,直线∥平面,则与的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能

.

9.已知直线 = + 1与曲线 = 3 + + 切于点(1,3),则的值为 A. 3 B.?3 C. 5 D. ?5

.

二、填空题(每小题 4 分,共 32 分)
1/9

10.设,的夹角为120°,|| = 1,|| = 3,则|3 ? | = 11.设 为第二象限角,若tan( + 4) = 2,则sin + cos = 12.若双曲线 : 为
2 π 1

. .

? 2

2 2

= 1( > 0, > 0)的一条渐近线被圆( ? 2)2 + 2 = 4所截得的弦长为 2,则 的离心率

. . .

13.若曲线 = 2 2的一条切线与直线 + 4 ? 8 = 0垂直,则切线的方程为 14.若(2 2 ?
1 ) ( ∈ ? )展开式中存在常数项,则的最小值是 3

15.有 3 位司机,6 位售票员分配到 3 辆公共汽车上工作,每一辆汽车分别有一位司机和两位售票员,那么所有不同 的分配方法有 种.
6

16.在极坐标系中,点(2, )到直线 sin = 2的距离等于 17. 若复数(1 + )(3 + )( 是虚数单位,是实数)是纯虚数,则复数 .

.
+2 1?

的模等于

三、解答题(共 7 小题,共 82 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 18.(8 分)已知() = 2 2 + + ,不等式() < 0的解集是(0,5). (1)求()的解析式; (2)对于任意 ∈ [?1,1],不等式() + ≤ 2恒成立,求的取值范围.

19.(10 分)设△的内角,,所对的边分别为,,,且 + = 6, = 2,cos = 9 . (1)求,的值; (2)求sin( ? )的值.

7

20.(12 分)设等差数列{ }的公差为,点( , )在函数() = 2 的图像上( ∈ ? ). (1)若1 = ?2,点(8 ,47 )在函数()的图像上,求数列{ }的前项和 ;
2/9

(2)若1 = 1,函数()的图像在点(2 ,2 )处的切线在轴上的截距为2 ?

1 ,求数列{ }的前项和 . ln 2

21.(12 分)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约, 乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是 ,且面试是否合格互

1 2

不影响.求: (1)至少有 1 人面试合格的概率; (2)签约人数 的分布列和数学期望.

22.(14 分)已知椭圆 2 + 2 2 = 1,过原点的两条直线1和2 分别与椭圆交于、和 、,设△A 的面积为. (1)设(1 ,1 ),(2 ,2 ),用、 的坐标表示点 到直线1的距离,并证明 1 = |1 2 ? 2 1 |; 2 (2)设1: = , ( 3
√3



√3

3

), = ,求的值;

1 3

(3)设1与2的斜率之积为,求的值,使得无论1与2如何变动,面积保持不变.

23.(12 分)某店销售进价为 2 元/件的产品,该店产品每日的销量(单位:千件)与销售价格(单位:元/件) 满足关系式 =

10 2 ?2 + 4( ? 6) ,其中2 < < 6.

(1)若产品销售价格为 4 元/件,求该店每日销售产品所获得的的利润; (2)试确定产品的销售价格,使该店每日销售产品所获得的的利润最大(保留 1 位小数).

3/9

24.(14 分)如图所示,在三棱锥 ? 中, ⊥底面,∠ = 90°.点, ,分别为棱,,的中 点,是线段的中点, = = 4, = 2. (1)求证:∥平面; (2)求二面角 ? ? 的正弦值; (3)已知点在棱上,且直线与直线所成角的余弦值为
√7 ,求线段的长. 21

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2018 年解放军军考数学真题答案
一、单项选择(每小题 4 分,共 36 分) 1.D 2.C 3.A 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.A 二、填空题(每小题 4 分,共 32 分) 10.3√3 14.5 11.?
√10 5

12.2 16.1

13.4 ? ? 2 = 0 17.
√26 2

15.540

三、解答题(共 7 小题,共 82 分) 18. 本题满分 8 分 解: (1)∵不等式2 2 + + < 0的解集是(0,5), ∴方程2 2 + + = 0的两根为0,5. ∴0 + 5 = ? ,0 × 5 = c,即 = ?10, = 0, 故() = 2 2 ? 10. (2)? ∈ [?1,1],不等式() + ≤ 2恒成立,只需 () ≤ 2 ? 即可. ∵() = 2 2 ? 10 = 2( 2 ? 5) = ( ? ) ?

2

5 2

2

25 , ∈ [?1,1], 2

∴ () = (?1) = 12.故12 ≤ 2 ? ,即 ≤ 10. 19.本题满分 10 分 解: (1)由余弦定理2 = 2 + 2 ? 2 cos ,得2 = ( + )2 ? 2(1 + cos ), 又( + ) = 6, = 2,cos = 9,所以 = 9, 解得 = 3, = 3. (2)在△中,sin = √1 ? cos2 = 由正弦定理得sin =
sin 2√2 = 3 , 1 3 7

4√2 , 9

因为 = ,所以为锐角,所以cos = √1 ? sin2 = , 因此sin( ? ) = sin cos ? cos sin = 27 20.本题满分 12 分 解: (1)因为点( , )在函数() = 2 的图像上,所以 = 2 , 可得
+1 10√2

=

2+1 2

= 2+1 ? = 2 .

5/9

因为点(8,47 )在函数()的图像上,所以47 = 28 = 8 . 所以2 = 8 = 4 ? = 2,又1 = ?2,所以数列{ }的前项和为 7 = 1 + ( ? 1) = ?2 + 2 ? = 2 ? 3 2


( 2 ) 由 () = 2 ? ′ () = 2 ln 2 , 所 以 函 数 () 的 图 像 在 点 (2 ,2 ) 处 的 切 线 方 程 为 ? 2 = (22 ln 2)( ? 2 ),

1 1 1 ,从而2 ? =2? ,故2 = 2. ln 2 ln 2 ln 2 从而 = , = 2 , = . 2
故切线在轴上的截距为2 ? = 上式两边同乘以 ,可得 1 2 3 + 2 + 3 + ? + 2 2 2 2

1 2

1 1 2 3 = 2 + 3 + 4 + ? + +1 2 2 2 2 2 两式右边错项相减可得 1 1 1 1 1 1 1 + 2 = + + + + ? + ? +1 = 1 ? ? +1 = 1 ? +1 2 2 22 23 24 2 2 2 2 2 故 21.本题满分 12 分. 解:用、、 分别表示事件甲、乙、丙面试合格,由题意可知、、 相互独立,且 () = () = () = (1)至少有 1 人面试合格的概率是 1 3 7 1 ? ( ) = 1 ? ()()() = 1 ? ( ) = 2 8 (2) 的可能取值为 0,1,2,3. ( = 0) = () + ( ) + ( ). = ()()() + ()()() + ()()() 1 3 1 3 1 3 3 =( ) +( ) +( ) = . 2 2 2 8 ( = 1) = () + () + ( ) 1 3 1 3 1 3 3 = ()()() + ()()() + ()()() = ( ) + ( ) + ( ) = . 2 2 2 8 1 ( = 2) = () = ()()() = . 8 1 ( = 3) = () = ()()() = . 8
6/9

= 2 ?

+2 . 2

1 2

所以, 的分布列如下表 的期望是 3 3 1 1 () = 0 × + 1 × + 2 × + 3 × = 1. 8 8 8 8 22.本题满分 14 分 解: (1)直线1的方程为1 ? 1 = 0,由点到直线的距离公式可知点 到直线1的距离为 = 因为|| = √1 2 + 1 2 ,所以, |1 2 ? 1 2 | 1 = || ? = . 2 2 = (2)由{ 2 ,消去解得 + 2 2 = 1 1 2 = 由(1)得 1 1 √3 √3 √3| ? 1| = |1 2 ? 2 1 | = | 1 ? 1 | = , 2 2 3 3 6√1 + 2 2 由题意知 √3| ? 1| 6√1 + 1 解得 = ?1 或 = ? . 5 (3)设1 : = ,则 2 : = ,设(1 ,1 ),(2 ,2 ) 2 2 1 = , 3 1 , 1 + 2 2 |1 2 ? 1 2 | √1 2 + 1 2 , 0 3 8 1 3 8 2 1 8 3 1 8

1 = 由{ 2 ,得 1 2 = , 2 + 2 = 1 1 + 2 2 同理2 2 = 1 2 1 + 2( ) = 2 , 2 + 22

1 1 1 ? 1 1 | 2 ? | 由(1)知, = |1 2 ? 2 1 | = | ? 2 ? 1 | = ? ? |1 2 | || 2 2 2 | 2 ? | = , 2√1 + 2 2 ? √ 2 + 22 整理得(8 2 ? 1) 4 + (4 2 + 16 2 2 + 2) 2 + (8 2 ? 1)2 = 0, 由题意知与无关,

7/9

1 ?1=0 8 ,所以 = ? 1. 则 { 2 8 2 ,解得 { 2 1 2 4 + 16 + 2 = 0 = ? 2
2

2 =

23.本题满分 12 分 解:(1)当 = 4 时, = 10 + 4 × (4 ? 6)2 = 21, 2

此时该店每日销售产品所获得的利润为(4 ? 2) × 21 = 42千元. 10 (2)该店每日销售产品所获得的利润为() = ( ? 2) ? [ + 4( ? 6)2 ] ? 2 = 10 + 4( ? 6)2 ( ? 2) = 43 ? 562 + 240 ? 278(2 < < 6), 从而 ′ () = 12 2 ? 112 + 240 = 4(3 ? 10)( ? 6) (2 < < 6), 令 ′ () = 0,得 = 10 10 ,易知在(2, )上, ′ () > 0,函数()单调递增; 3 3

在(

10 3

,6)上,′ () < 0,函数()单调递减. 10 3 是函数()在(2,6)内的极大值点,也是最大值点. 即当 = 10 ≈ 3.3 时,函数()取得最大值. 3

所以 =

故当销售价格为3.3元/件时,利润最大. 24.本题满分 14 分

(1)证明:取 AB 中点 F,连接 MF、NF, ∵M 为 AD 中点,∴MF∥BD, ∵BD?平面 BDE,MF?平面 BDE,∴MF∥平面 BDE. ∵N 为 BC 中点,∴NF∥AC, 又 D、E 分别为 AP、PC 的中点,∴DE∥AC,则 NF∥DE. ∵DE?平面 BDE,NF?平面 BDE,∴NF∥平面 BDE. 又 MF∩NF=F. ∴平面 MFN∥平面 BDE,则 MN∥平面 BDE; (2)解:∵ ⊥ 底面,∠ = 90°. ∴ 以为原点,分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系. ∵PA = AC = 4,AB = 2, ∴A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(0,4,0) ,M(0,0, 0) ,E(0,2,2) ,
8/9

1) , N ( 1 ,2 ,

则 = (1,2, ? 1), = (0,2,1), 设平面的一个法向量为 = (,,),
→ ? = 0,得{ + 2 ? = 0,取=2,得 由{ = (4, ? 1,2). → → 2 + = 0 ? = 0 → → →





由图可得平面 的一个法向量为 = (1,0,0). ∴cos<,>=
→ →



||||

→ →

?

→ →

=

4 √21×1

=

4√21 . 21

∴二面角﹣﹣的余弦值为

4√21 21

,则正弦值为


√105 ; 21


(3)解:设 AH= ,则 H(0,0,) , = (?1, ? 2,), = (?2,2,2). ∵直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ∴|cos<,>|=| 解得:= 或= .
5 2 8 1
→ →

√7 , 21

?
→ →





| || |

| =|

2?2

√5+ 2 ×2√3

|=

√7 . 21

∴线段 AH 的长为 或 .
5 2

8

1

9/9


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