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新人教版必修四高中数学探究导学课型第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件_图文

1.4.3 正切函数的性质与图象 【自主预习】 1.正切函数y=tanx的定义域是什么? 提示:正切函数y=tanx的定义域为 ? ? ? ? x x ? k? ? , k ? Z ?. 2 2.诱导公式tan(π+x)=tanx,说明了正切函数的什么性质 ? ? ? 提示:周期性. 3.诱导公式tan(-x)=-tanx说明了正切函数的什么性质? 提示:奇偶性. 4.从正切线上观察正切值,在 ? ( ? , 0) 提示 2:在 上是增加的吗? 上是增加的,在 ? (0, ) 2 上是增加的吗?在 ? (0, ) 2 上也是增加的. ? ( ? , 0) 2 5.结合正切函数的定义域,思考正切函数的图象是连续不断的吗? 提示:不是,是被无数条平行于y轴的直线隔开的. 结合以上探究,请完成相关内容的如下总结: 正切函数的性质与图象 ? ? ? x x ? ? k ? , k ? Z ? ? 2 ? ? ___________________ 定义域 值域 周期性 奇偶性 __ ___ _______ 奇函数 π R 单调性 递增区间 对称性 ? ? (? ? k?, ? k?), k ? Z 2 2 _________________ k? ( , 0), k ? Z 2 _______________ 对称中心坐标 图象 【深度思考】 结合教材P44例6你认为应如何研究y=tan(ωx+φ)的 性质? 第一步:__________________________________. 把ωx+φ看成一个整体,如令ωx+φ=z 第二步:______________________________________ _____. 性质 通过y=tanz的性质过渡到y=tan(ωx+φ)的 【预习小测】 1.函数f(x)=sinxtanx 是 ) ?( (x ? k? ? ,k ? Z) 2 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 【解析】选B.由f(-x)=sin(-x)·tan(-x)= -sinx(-tanx)=sinx·tanx=f(x),故f(x)为偶函数. 2.函数y= A.{x|x≠0} 1 的定义域为 tan x ( ) B.{x|x≠kπ,k∈Z} ? C.{x|x ? k? ? ,, k ? Z} 2 k? D.{x|x ? , k ? Z} 2 【解析】选D.由 ? x ? k?, k ? ? 得x≠ ,k∈Z. ? ? 2 x ? k ? ? , ? 2 ? 3.函数 A. ? 2 【解析】选A.因为 ? ? ? 的最小正周期为 ( ) y ? tan ?2(x ? ) ? 3 ? ? B.π C.2π D.3π ? ? 2 ? y ? tan ? 2(x ? ) ? ? tan(2x ? ?), 3 ? 3 ? ? ? 所以T ? ? . ? 2 ? 3? 的值域是 ? . ( ?x? ,且x ? ) 4 4 2 【解析】由y=tanx在 上为增函数 ,且tanx>0,在 ? ? [ , ) 4 2 上为增函数,且tanx<0, ? 3? ( , ] 所以y∈( 2 4 -∞,-1]∪[1,+∞) 4.函数y=tanx 答案:(-∞,-1]∪[1,+∞) 5.函数 ? 的单调增区间是 y ? tan(x ? ) 3 . 【解析】由 ? ? ? ? ? k? ? x ? ? ? k?, k ? Z, 2 3 2 得 ? 5 ? ? k? ? x ? ? ? k?, k ? Z, 故增区间为 6 6 ? 5 ( ? ? k?, ? ? k?)(k ? Z) 答案: 6 6 ? 5 ( ? ? k?, ? ? k?)(k ? Z) 6 6 ? ,周期和单 的定义域 y ? tan(2x ? ) 6 调区间.(仿照教材P44例6解析过程). 【备选训练】求函数 【解析】x应满足 即 k? ? x? ? , k ? Z. 所以函数的定义域是 2 3 ? ? 2x ? ? k? ? , k ? Z, 6 2 k? ? 由于 {x|x ? ? , k ? Z} 2 3 ? ? ? ? ? f ? x ? ? tan(2x ? ) ? tan(2x ? ? ?) ? tan[2(x ? ) ? ] ? f (x ? ). 6 6 2 6 2 ? . 2 由 ? ? ? 得 ? ? k? ? 2x ? ? ? k?, k ? Z 2 6 2 ? k? k? ? ? ? ?x? ? ,k ? Z 因此函数的增区间是 6 2 2 3 ? k? k? ? (? ? , ? ), k ? Z. 6 2 2 3 因此函数的周期为 【互动探究】 1.如图正切函数的图象,根据图象回答下面问题 (1)直线y=a与图象的两交点A1,A2之间的距离是多少? 提示:由图象结合正切函数的周期性可知,两交点之间的距离为π. ? +kπ(k∈Z)存在怎样的关系 ? 2 提示:由正切函数的定义域为 所以正 ? {x|x ? k? ? , k ? Z}, 2 切曲线与直线x= +kπ(k∈Z)无限接近但不会相交, 即 ? 正切曲线是由相互平行的直线 x= +kπ(k∈Z)隔开的 2 ? 无穷多支曲线组成的. 2 (2)正切曲线与直线x= (3)怎样作y=tanx在x∈ 提示:①描出三点 ②用光滑曲线连接. ? ? ? 上的草图 [? , ] 2 2 两线? x=± ? ( ? , ?1), ? 0, 0 ? , ( ,1) 4 4 ; ? 2 2.正切曲线是对称图形吗?对称中心是什么? 提示:由函数图象知,正切曲线是中心对称图形,对称 中心为 ,k∈Z. k? ( , 0), 2 3.由正切曲线可知,正切函数的最小正周期为π,那么 y=Atan(ωx+φ)(A>

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