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2018高中数学人教a版选修4-4创新应用教学案: 第二讲 第2节 第2课时 双曲线、抛物线的参数方程 含答案

第 2 课时 双曲线、抛物线的参数方程 [核心必知] 1.双曲线的参数方程 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 2- 2=1 的参数方程是 a b ? π 3π ?x=asecφ, ? ,规定参数 φ 的取值范围为φ∈[0,2π)且 φ≠ ,φ≠ . 2 2 ? ?y=btan φ (2)中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线 2- 2=1 的参数方程是 a b ? ?x=btan φ, ? . ? ?y=asecφ 2.抛物线的参数方程 ? ?x=2pt2, (1)抛物线 y2=2px 的参数方程为? ,t∈R. ? y = 2pt ? (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的 倒数. [问题思考] 1.在双曲线的参数方程中,φ的几何意义是什么? 提示: 参数 φ 是点 M 所对应的圆的半径 OA 的旋转角(称为点 M 的离心角), 而不是 OM 的旋转角. 2.如何由双曲线的参数方程判断焦点的位置? 提示:如果 x 对应的参数形式是 asecφ,则焦点在 x 轴上; y2 x2 x2 y2 如果 y 对应的参数形式是 asecφ,则焦点在 y 轴上. 2p ? x= ? tan α, 3.若抛物线的参数方程表示为? 则参数 α 的几何意义是什么? 2p ? ?y=tan α. 2 提示:参数 α 表示抛物线上除顶点外的任意一点 M,以射线 OM 为终边的 角. 在双曲线 x2-y2=1 上求一点 P, 使 P 到直线 y=x 的距离为 [精讲详析] 2. 本题考查双曲线的参数方程的应用,解答本题需要先求出双曲 线的参数方程,设出 P 点的坐标,建立方程求解. 设 P 的坐标为(secφ,tan φ),由 P 到直线 x-y=0 的距离为 |secφ-tan φ| = 2 得| 1 2 2得 sin φ - |=2,|1-sin φ|=2|cos φ| cos φ cos φ 平方得 1-2sin φ+sin 2φ=4(1-sin 2φ), 即 5sin 2φ-2sin φ-3=0. 3 解得 sin φ=1 或 sin φ=- . 5 sin φ=1 时,cos φ=0(舍去). 3 4 sin φ=- 时,cos φ=± . 5 5 5 3 5 3 ∴P 的坐标为( ,- )或(- , ). 4 4 4 4 ————— ————————————— 参数方程是用一个参数表示曲线上点的横纵坐标的, 因而曲线的参数方程具 有消元的作用,利用它可以简化某些问题的求解过程,特别是涉及到最值、定值 等问题的计算时, 用参数方程可将代数问题转化为三角问题, 然后利用三角知识 处理. 1.求证:等轴双曲线平行于实轴的弦为直径的圆过双曲线的顶点. 证明:设双曲线为 x2-y2=a2,取顶点 A(a,0), 弦 B′B∥Ox,B(asec α,atan α),则 B′(-asec α,atan α). atan α atan α ∵kB′A= ,kBA= , -asec α-a asec α-a ∴kB′A·kBA=-1. ∴以 BB′为直径的圆过双曲线的顶点. 连接原点 O 和抛物线 2y=x2 上的动点 M, 延长 OM 到 P 点, 使|OM| =|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明它是何曲线. [精讲详析] 本题考查抛物线的参数方程的求法及其应用.解答本题需要先 求出抛物线的参数方程并表示出 M、P 的坐标,然后借助中点坐标公式求解. 设 M(x、y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在抛物线的延长线上,且 M 为线 ? ? ?x=2t, ?x0=4t, 段 OP 的中点,抛物线的参数方程为? 由中点坐标公式得? 2 2 ? ? ?y=2t , ?y0=4t , 1 变形为 y0= x2 0,即 x2=4y.表示的为抛物线. 4 ————— ————————————— 在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时, 常根据需要引入一个中间 变量即参数(将 x,y 表示成关于参数的函数),然后消去参数得普通方程.这种 方法是参数法, 而涉及曲线上的点的坐标时,可根据曲线的参数方程表示点的坐 标 ? ?x=2t2, 2.已知抛物线 C:? (t 为参数),设 O 为坐标原点,点 M 在抛物线 ? y = 2t ? C 上,且点 M 的纵坐标为 2,求点 M 到抛物线焦点的距离. ? ?x=2t2, 解:由? 得 y2=2x, ? y = 2t ? 即抛物线的标准方程为 y2=2x. 又∵M 点的纵坐标为 2, ∴M 点的横坐标也为 2. 即 M(2,2). 1 又∵抛物线的准线方程为 x=- . 2 1 1 5 ∴由抛物线的定义知|MF|=2-(- )=2+ = . 2 2 2 5 即点 M 到抛物线焦点的距离为 . 2 ? ?x=4secθ, 如果椭圆右焦点和右顶点分别是双曲线? (θ 为参数)的 ? ?y=3tan θ 右顶点和右焦点,求该椭圆上的点到双曲线渐近线的最大距离. [精讲详析] 本题考查椭圆及双曲线的参数方程,解答本题需要先将双曲线 化为普通方程并求得渐近线方程, 然后根据已知条件求出椭圆的参数方程求解即 可. y2 ∵ - =1, 16 9 ∴右焦点(5,0),右顶点(4,0). 设椭圆 2+ 2=1,∴a=5,c=4,b=3. a b y2 ∴方程为 + =1. 25 9 设椭圆上一点 P(5cos θ,3sin θ), 双曲线一渐近线为 3x-4y=0, ∴点 P 到直线的距离 d= 3| |3×5cos θ-12sin θ| 5 x2 x2 y2 x2 = 41sin (θ-φ)| 5 (tan φ= ). 5 4 41 5 . ————————————— 3 ∴dmax= ————— 对于同一个方程,确定的参数不同, 所表示的曲线就不同,当题目条件中 出现多个字母时,一定要注明什么是参数,什么是常

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