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2012年高中数学联赛河南省预赛试卷(高二年级)


2012 年全国高中数学联赛河南省预赛试题 本试卷满分 140 分 一、填空题(满分 64 分) 1、在小于 20 的正整数中,取出三个不同的数,使它们的和能够被 3 整除,则不用的取法种 数为_________________. 2、将长为的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、 在 ?ABC 中,?C ? ? 2 ,?B ? ? 6 ,AC ? 2 ,M 为 AB 中点, 将 ?ACM 沿 CM 折起,使 A, B 之间的距离为 2 4、若锐角 2 ,则点 M 到面 ABC 的距离为_________________. ? 满足 1 tan ? 2 ? 2 3 tan10o ? tan ? 2 ,则角 ? 的度数为 _________________. 5 、 函 数 ?| log 2 x |,0 ? x ? 4 ? f ( x) ? ? 2 2 70 x ? 8x ? , x ? 4 ? 3 ?3 , 若 a, b, c, d 互 不 相 同 , 且 f ( a) ? f (b) ? f (c) ? f ( d ) ,则 abcd 的取值范围是_________________. 6、各项均为正数的等比数列 为_________________. 7、一只蚂蚁由长方体 ABCD ? ?an ? 中, 2a4 ? a3 ? 2a2 ? a1 ? 8 ,则 2a8 ? a7 的最小值 A1B1C1D1 顶点 A 出发,沿着长方体的表面达到顶点 C1 的 最短距离为 6,则长方体的体积最大值为______________. 8 、 ? x? 表 示 不 超 过 实 数 x 的 最 大 整 数 , 则 ?log2 1? ? ? log2 2? ? ? log2 3 ?? 菱形,且 ?ABC ? ? log ? ? _________ . 2 2012 二、 (本题满分 16 分)如图,已知四棱锥 E ? ABCD 的地面为 ? ? 3 , AB ? EC ? 2 , AE ? BE ? 2 . (1)求证:平面 EAB ? ABCD 平面; ? D 的余弦值. (2)求二面角 A ? EC 三、 (本题满分 20 分)已知函数 (1)当时 x (2)当 x f ( x) ? ln(1 ? x) x 1 ? kx 成立,求实数的值. 1? x 1 xn ? 1 ? 0 ,求证: ? ?1 且 x ? 0 时,不等式 f ( x) ? 四、 (本题满分 20 分)数列 ? xn ? 中, x1 ? 1且 xn?1 ? 1 ? (1)设 an ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式. xn ? 2 ,数列 (2)设 bn ? xn ? 2 ?bn ? 的前 n 项的和为 Sn ,证明: Sn ? 2 . 2 五、 (本题满分 20 分) x2 已知椭圆 ? y 2 ? 1 , P 是圆 x 2 ? y 2 ? 16 上任意一点,过 P 4 点作椭圆的切线 PA, PB ,切点分别为 A, B ,求 PA ? PB 的最大值和最小值.

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