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二项式定理典型例题分析


二项式定理典型例题分析
例1 分析 的近似值(精确到 0.001)是 .

例2

除以 100 的余数是



分析:转化为二项式的展开式求解.



上式中只有最后两项不能被 100 整除 除以 100 的余数为 81.

. 8281 除以 100 的余数为 81, 所以

例 3(l)若

的展开式中,

的系数是 的系数的 7 倍,求 ;

(2)已知

的展开式中,

的系数是

的系数与

的系数的等差中项,求 ;

(3)已知

的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120,求 .

解:(l)依题意 由 可整理,得

,即 ,解得

, .

(2)依题意 整理,得 ∵





,解得

.

(3)依题意 两边取对数,得

,整理,得 ,解得 或

, .



,或

.

点评 的展开式及其通项公式,是 , , , 四个基本量的统一体,已知与未知是相对的,运 用方程的思想方法,应会求其中居于不同位置,具有不同意义的未知数.

例 4 (1)已知 那么 =_________.



(2) 分析 (1)令 ,得

=___________. ,而 ;



(2)在二项展开式

中,



,则左式

,右式

∴ 点评

. 这是一组求二项展开式的各项系数和的题目,求解的依据是

与 式,因此赋予字母 , 及 以某些特定数值时,等式依然成立.

. 这两个等式都是恒等

例 5 (1) (2)

展开式中常数项是 的展开式中 的系数为

. .

(3) 于 .

展开式中,

的系数等

分析:(1)

,展开式的常数项恰为中间项.

(2)



其展开式 的系数为



本题也可把

看作 5 个

的因式连乘, ,其余 4 个选常数 2,

欲得到含 的项,只需在 5 个因式中送 1 个含

则它的系数是: (3)



. 所求 项的系数即为 展开式中含 项的系数是:

例6 (1)在 的展开式中,若第 3 项与第 6 项系数相等,则

(2)

的展开式奇数项的二项式系数之和为 128, 则展开式中二项式系数最大项是



分析:(1)由已知

,所以



(2)由已知 ∴

,而



展开式中二项式系数最大项是第 5 项.

例7 那么 分析

已知



用特殊值法.

令 令

,得 ,得 ,







例8 A.111105 B.111111

的值等于( C.12345 D.99999

).

分析

由已知式子的结构,可构造二项式



原式

.故选 C.


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