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四川省自贡市2012届高三第三次诊断性检测(2012自贡三诊)(word版) 数学理


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自贡市普高 2012 届第三次诊断性考试 数学(理工类)
本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题).第一部分 1 至 3 页,第二部分 4 至 6 页,共 6 页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无效. 满分 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束后,只交回答题卡,试题卷学生自己保留. 参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么
P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )

球的表面积公式
S = 4π R 2

如果事件 A , B 相互独立,那么
P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B )

其中 R 表示球的半径 球的体积公式
4 V = π R3 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p , 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) = Cnk p k (1 ? k )
n?k

其中 R 表示球的半径

, ( k = 0,1, 2,L , n )

第一部分(选择题共 60 分) 注意事项: 1. 选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上. 2. 本部分共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.* 1. 已知集合 M= {0,1,2,3,4},N = {1,3,5},P=M N,则 P 的子集共有 (A) 2 个 (B) 4 个(C) 6 个(D) 8 个 2. 设复数 (A) a = 0,b = 0 (C) a 0,6 = 0 3. 要得到 (其中 a,b R, i 为虚数单位),则 (B) a = 0,b 0 (D) a 0,b 0 的图象只需将 y =3sin2x 太的图象

(A)向左平移

个单位

(B)向右平移 个单位

本卷第 1 页(共 12 页)

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(C)向左平移 个单位 (D)向右平移

个单位

4. 设函数

在定义域内可导,

的图象如图 1 所示,则其导

函数

的图像可能为

5. 已知数列 (A) 25 6.

为等差数列, (C) 50

为其前项和,且 (D) 54

,则 =

(B) 27

表示两个不同的平面,l 表示既不在 a 内也不在 内的直线,存在以下三种情况:

.若以其中两个为条件,另一个为结论,构成命题, 其中正确命题的个数为 (A) 0 (B) 1 7. 已知 G 是 (C) 2 (D) 3 ,其中 a,b,c 分别为角 A、B、

的重心,且

C 的对边,则 cosC=

(A)

(B)

(C)

(D)

8.设 O 为坐标原点,(-1, A 1),平面区域 M 为

随机从区域中抽取一整点 P (横、

纵坐标都是整数),则

的概率是

(A)

(B)

(C)

(D)

9 F1 F2 分别是双曲线

的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,I 是

的内

心,且

,则 =

本卷第 2 页(共 12 页)

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(A)

(B)

(C)

(D)

10. 已知抛物线 令甲:若 P 在 l 上,乙: (A)充要条件

, 莨线

, PB 为曲线 C 的两条切线, PA, 切点为 A, B,

,则甲是乙的

(B)充分不必要条件

(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 11. 某两个三口之家,拟乘“富康”,“桑塔

纳”两辆出租车一起外出郊游,每辆车最多.只能坐 4 个人,其中两个小孩(另 4 个为两对 夫妇)不能单独坐一辆车,则不同的杀车方法种数为. ( A ) 5 8 ( B ) 5 0 ( C ) 4 8 ( D ) 时, 4 0 、 .

12. 定义域在 R 上的函数 f(x)满足:①

是奇函数;②当

又. (A)恒小于 0 (C)恒大于等于 0

,则 (B)恒大于 0 (D)恒小于等于 0

的值

第二部分(非选择题共 90 分) 注意事项: 1. 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可 先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效 2. 本部分共 10 小题,共 90 分. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.若 的展幵式中的常数项为 ,则实数 a = ______.

14. 已知圆 C:

和直线

, 当直线 l 被圆 C 截得弦

长为

时,则 a=______.

15. 在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB、AC、AD 两两垂直,ΔABC,ΔACD, ΔADB 的面积分别为

,则三棱锥 A-BCD 的外接球的体积为. ______

16. 对于三次函数

,定义



的导函数

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的导函数,若方程

有实数解 x0,则称点

为函数



“拐点”, 可以发现, 任何三次函数都有“拐点”, 任何三次函数都有对称中心, 且“拐点” 就是对称中心,请你根据这一发现判断下列命题: ①任意三次函数都关于点 对称:

②存在三次函数

有实数解 ,点

为麵

的对称中心;

③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心;

④若函数

,则,

. 其中正确命题的序号为_______(把所有正确命题的序号都填上). 三、解答题:共 6 小题,满分 74 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题共 12 分) 在ΔABC 中, b, c 分别是角 A, C 的对边, a, B, 向量 , , .

且 (I) 求角 B 的大小; (II) 设 ,且 的最小正周期为 ,求 在

区间

上的最大值和最小值.

18. (本小题共 12 分) 某教研机构准备举行一次高中数学新课程研讨会,拟邀请 50 名使用不同版本的一线教师参 加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示:

(I)从这 50 名教师中随机选出 2 名教师发言, 求第一位发言的教师所使用版本是北大师大版

本卷第 4 页(共 12 页)

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的概率; (II )设使用北师大版的 5 名教师中有 3 名男教师,2 名女教师,若随机选出 2 名用北师大 版的教师发言,求抽到男教师个数的分布列和期望.

19?(本小题共 12 分) 如图所示,己知三棱柱 的侧棱与底面垂直, ’ M,N.分别是 P 点在 (I)证明: (II) 当 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 最大? 上,且满足 的中点,

并求出该最大角的正切值; (III) 在(II)条件下求 P 到平而 AMN 的距离.

20 (本小题共 12 分)

己知椭圆 C:.

的离心率为

,以原点为圆心,椭圆短半轴长为

半径的圆与直线 x-y + 2 = 0 相切,A,B 分别是椭圆的左右两个顶点,P 为椭圆 C 上的动点. (I)求椭圆的标准方程;

(II) M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,若

,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹

是什么曲线.

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21. (本小题共 12 分) 已知数列 中 a1= 2,点 在函数 的图象上, .数列 的

前 n 项和为 Sn,且满足 b1=1,当 n 2 时,

.

(I)证明数列 (II)求 Sn

是等比数列;

(III)





的值.

22. (本小题共 14 分) 已知函数, .

(1)求曲线 f(x)在点 A (II)讨论函数 f(x)的单调性;

处的切线方程;

(III)是否存在实数

,使



时恒成立?若存在,求 出实数

a;若不存在,请说明理由

自贡市普高 2012 级第三次诊断性考试 数学参考答案及评分意见

一、 (理)BACDB CCDDA CD

(文)BCCCD

BCACD

AB

本卷第 6 页(共 12 页)

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二、 (理)13. ±2 (文)13. 0 三、解答题

14.

2 ?1

15. 6π 15. 6π

16. ①②

14.

3 5

16. ①②④

17. (12 分) (Ⅰ)由 m//n,得 b cos C = ( 2a ? c ) cos B ,

…………2 分

∴ 由正弦定理,得 sin B cos C + sin C cos B = 2 sin A cos B , …………4 分 即 sin( B + C ) = 2 sin A cos B --------5 分 ----------6 分 (Ⅱ)由题意知, f ( x ) = cos(ωx ? ----8 分 ∴ cos B =

1 π , ∴ B= 2 3

π
6

) + sin ωx = 3 sin(ωx +

π
6

) ,∵



ω

= π ,∴ ω = 2

π π ? π 7π ? ? π? f ( x) = 3 sin(2 x + ) 当 x ∈ ?0, ? 时,2 x + ∈ ? , ? 6 6 ?6 6 ? ? 2?
分 当x=

--------------10

π
6

时, f ( x ) 的最大值为 3 , x = 当

π
2

时, f ( x ) 的最小值为 ?

3 ………… 2

12 分 18. (12 分)文 (Ⅰ)从使用北师大版的 5 名教师中任选 2 名共有 10 种情况, 满足题意的有 6 种情况,∴ 所求的概率为: P = 1

6 3 = 10 5

--------6 分

(文)(Ⅱ) 理(Ⅰ)只考虑首位发言教师的情况:共有 50 种,符合题意的有 5 种, ∴ 所求的概率为 P2 =

5 1 = 50 10

------12 分

……(理)6 分

理(Ⅱ)设抽到男教师个数 ξ 则 ξ 可取 0、1、2 分

---------------7

1 6 P( ξ =1)= 10 10 1 6 3 12 6 Eξ = 0× + 1× + 2 × = = ----12 分 10 10 10 10 5
P(

ξ

=0)=

P(

ξ

=2)=

3 10

------10



19.(Ⅰ) (12 分) (Ⅰ)以 AB, AC , AA1 分别为 x, y , z 轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则 P (λ ,0,1) , N ( ,

uuuu r 1 1 1 uuur 1 1 1 ,0), M (0,1, ) PN = ( ? λ , , ?1) , AM = (0,1, ) ----2 分 2 2 2 2 2 2

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从而 PN ? AM =

uuur uuuu r

1 1 ? = 0 ,-------4 分 ………理(3 分) 2 2
-------5 分 ………理(4 分)
B1

A1 P C1

∴ PN ⊥ AM

(Ⅱ)平面 ABC 的一个法向量为 n=(0,0,1)---------6 分……理(5 分)

uuur uuur PN ? n 1 则 sinθ=∣cos< PN ? n >∣= uuur = ------8 分…理 分) (6 1 2 5 PN ? n (λ ? ) + 2 4
而 θ ∈ ?0,

A

M

B

N

C

? π? ? ,当θ最大时,sinθ最大,tanθ最大,-----10 分…理(7 分) ? 2?
1 2 5 时,sinθ取到最大值 时,tanθ=2 ………12 分 ……理(8 分) 2 5
→ → →

故λ =

理(Ⅲ)设平面 AMN 的法向量为 n =(x,y ,z)


由 n . AN =0 , n . AM =0

uuu r r 1 | AP ? n | 5 6 r = 得 n =(1, ?1 ,2) AP =( ,0,1) ……理(10 分) d = 2 12 |n|
分)

……理(12

20.(文)(Ⅰ)∵ f ′(x) = 3 x + 2mx ? 1 ,…1 分,由题意 f ′(x) = 3 x + 2mx ? 1 <0 的解集为
2 2

1 1 (? ,1) , 则 3 x 2 + 2mx ? 1 =0 的 两 根 分 别 为 ? ,1 , ------4 分 ∴ 可 解 得 m = ?1 ,故 3 3

f ( x) = x 3 ? x 2 ? x + 2 -----6 分
(Ⅱ)由题意有 3 x + 2mx ? 1 ≥ 2(1 ? m) 在 x ∈ (0,+∞) 时恒成立
2

…………8 分

由 于 x ∈ (0,+∞) , 于 是 2m ≥ 3(1 ? x) , … … 10 分 ∵ 3(1 ? x) < 3 , ∴ 2m ≥ 3 , 则

m≥

3 -----12 分 2
…………1 分

20(理) .解: (Ⅰ)由题意可设圆的方程为 x 2 + y 2 = b 2 , (b > 0) ∵直线 x ? y + 2 = 0 与圆相切,∴ d =

2 = b ,即 b = 2 , 2

…………2 分

又e =

c 3 2 2 2 = ,即 a = 3c , a = b + c ,解得 a = 3 , c = 1 , …………3 分 a 3
椭圆方程为



x2 y 2 + = 1 . …………4 分 3 2

(Ⅱ)设 M ( x, y ) ,其中 x ∈ [ ? 3, 3] .

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OP
由已知

2 2

OM

2 x2 + 2 ? x2 2 2 3 = x + 6 = λ2 , = λ 及点 P 在椭圆 C 上可得 x2 + y2 3( x 2 + y 2 )

整理得 (3λ 2 ? 1) x 2 + 3λ 2 y 2 = 6 ,其中 x ∈ [ ? 3, 3] .……6 分 ①当 λ =

3 2 时,化简得 y = 6 , 3

…………7 分

∴点 M 的轨迹方程为 y = ± 6( ? 3 ≤ x ≤

3) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段;……8 分
……9 分

3 ②当 λ ≠ 时,方程变形为 3

x2 y2 + = 1 ,其中 x ∈ [? 3, 3] , 6 6 3λ 2 ? 1 3λ 2

当0 < λ <

3 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ? 3 ≤ x ≤ 3 3

的部分;…10 分



3 < λ < 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ? 3 ≤ x ≤ 3 的 3

部分;… 11 分 当 λ ≥ 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆. 21(理).解: (Ⅰ)由已知 an +1 = an + 2an ,
2

…………12 分 ………2 分

∴ an +1 + 1 = (an + 1)2

Q a1 = 2 ∴ an + 1 > 1 ,两边取对数得 lg(1 + an +1 ) = 2 lg(1 + an ) ,即
∴{lg(1 + an )} 是公比为 2 的等比数列.
( Ⅱ ) 当 n ≥ 2 时 , S n = bn ? S n ?
2

lg(1 + an +1 ) =2 lg(1 + an )

………4 分

? ?

1? 1? ? ? = (S n ? S n?1 )? S n ? ? 展 开 整 理 得 : 2? 2? ?

S n?1 ? S n = 2 S n S n ?1 ,…5 分
若 S n = 0 ,则有 bn = 0 ,则 S 2 = 1 + b2 ≠ 0 矛盾,所以 S n ≠ 0 , 在等式两侧同除以 S n S n ?1 得 ………6 分



?1? 1 1 ? = 2 ,∴ ? ? 为等差数列 S n S n ?1 ? Sn ?

………7





1 1 = 2n ? 1 ∴ S n = Sn 2n ? 1

………8 分

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(Ⅲ)由(Ⅰ)知 lg(1 + an ) = 2 分

n ?1

? lg(1 + a1 ) = 2n ?1 ? lg 3 = lg 32 ∴1 + an = 32 ……9

n?1

n ?1

∴Tn = (1 + a1 )(1 + a2 )…(1+a n ) = 32 ? 32 ? 32 ? … ? 32
0 1 2

n-1

= 31+ 2 + 2

2

+…+2n-1

2n -1

=3

……10



cn = Tn

2 1 1 = ? (2n ? 1)(2n + 1) 2n ? 1 2n + 1 ? ∑ ck =
k =1 n



32 + 1
n

1 1 1 1 1 ? (1 ? + ? + L + ? ) 3 3 5 2n ? 1 2n + 1 32 + 1
n

32

n

?1

=

1 3 1+ 1 32
n

? (1 ?

1 ) ……11 分 2n + 1

∴ lim[
n →∞

n 1 ? ∑ ck ] = . 2n 3 3 + 1 k =1

Tn

………12 分

21(文) .(12 分) (Ⅰ)椭圆方程为

x2 + y2 = 1 4

-------------5 分

( Ⅱ ) 由 题 意 设 直 线 方 程 为 x = ty ?

6 , 5

… 6 分

联 立 椭 圆 方 程 得

(t 2 + 4) y 2 ?

12 64 ty ? = 0 , …7 分 5 25
12t ?64 , y1 y2 = 2 5(t + 4) 25(t 2 + 4)
……9 分

设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , 则 y1 + y2 =

又 A(?2,0) ,



π
∴∠MAN 为定值 .

uuuu uuur r 4 16 AM ? AN = (t 2 + 1) y1 y2 + t ( y1 + y2 ) + =0 5 25
------12 分
f ( x) = ( x 2 ?

……11 分

2
22 ( 理 ) . 解 ( Ⅰ ) ∵ a > 0 ,
2 1 x + )e ax a a

, ∴

2 2 1 f ′( x) = (2 x ? )e ax + ( x 2 ? x + ) ? a ? e ax a a a

= (2 x ? 于是 f (0) =
y?

2 a ? 2 ax + ax 2 ? 2 x + 1)e ax = (ax 2 + )e , a a

…… 2 分

1 a?2 , f ′(0) = ,所以曲线 y = f(x)在点 A(0,f(0) )处的切线方程为 a a

1 a?2 = ( x ? 0) , (a-2) 即 x-ay + 1 = 0. a a

………

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4分 (Ⅱ)∵ a>0,e >0,∴ 只需讨论 ax 2 +
ax

a?2 的符号. a

………… 5 分

ⅰ)当 a>2 时, ax 2 + 为增函数.

a?2 >0,这时 f ′(x)>0,所以函数 f(x)在(-∞,+∞)上 a

2 2x

ⅱ)当 a = 2 时,f ′(x)= 2x e ≥0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. ……6 分 ⅲ)当 0<a<2 时,令 f ′(x)= 0,解得 x1 = ?
2?a , x2 = a 2?a . a

当 x 变化时, f '(x)和 f(x)的变化情况如下表: x f' (x) f(x) ∴ f(x) 在 (?∞,? 数.
(?∞,? 2?a ) a ? 2?a a (? 2?a 2?a , ) a a 2?a a ( 2?a ,+∞) a

+ ↗

0 极大值

- ↘

0 极小值

+ ↗

2?a 2?a 2?a 2?a ),( ,+∞) , 为 增 函 数 ,f(x) 在 (? , ) 为减函 a a a a

…… 9 分
2?a 2?a ∈(0,1) .由(Ⅱ)知 f(x)在 (0, ) 上是减函数, a a

(Ⅲ)当 a∈(1,2)时,
( 2?a ,1) a



上 是 增 函 数 , 故 当

x ∈ ( 0 , 1 ) 时 ,

f ( x) min = f (

2?a 2 ) = 2 (1 ? 2 ? a )e 2? a ,……10 分 a a 2 ∴ f ( x) > 2 当 x∈(0,1)时恒成立,等价于 (1 ? 2 ? a )e a

2 ?a

> 1 恒成立.……11 分

当 a∈ (1, 时, 2 ? a ∈ (0,1) , g (t ) = (1 ? t )et , t ∈ (0,1) , g ′(t ) = e t ? e t ? te t = ?te t < 0 , 2) 设 则 表明 g(t) 在 (0, 上单调递减, 1) 于是可得 g (t ) ∈ (0,1) , a∈ 即 (1, 时 (1 ? 2 ? a )e 2) 恒成立,……13 分 符合条件的实数 a 不存在. …… 14 分
2? a

<1

(文)22.解:(Ⅰ)∵ Pn (a n , bn ) , ( n ? 1,0) , (n,0) 构成以 Pn 为顶点的等腰三角形, ∴ an =

( n ? 1) + n 2n ? 1 = 2 2

……2 分

又因为 Pn (a n , bn ) 在函数 y = log 3 2 x 的图像上,∴ (Ⅱ)①∵ c n = 3 n , n ∈ N + , ∴ c n = 2n ? 1
b

bn = log 3 (2n ? 1)

……4 分

------------------5 分

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设 Dn =

c c1 c 2 1 3 2n ? 1 + 2 + L + n ,则 Dn = + 2 + L + n . n 2 2 2 2 2 2



1 1 3 5 2n ? 3 2 n ? 1 Dn = 2 + 3 + 4 + L + + n +1 2 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 1 2n ? 1 由①-②得: Dn = + + 2 + L + n ?1 ? n +1 . 2 2 2 2 2 2




……6 分

1? ( ) 1 1 2n ? 1 2 ∴ Dn = 1 + 1 + + L + n? 2 ? = 1+ 2 2 2n 1 1?

1

n ?1

?

2n ? 1 = 3 ? 1 ? 2n ? 1 <3--------9 2 n?2 2n 2n

2



2 4 2n × ×L× 2n ? 1 = g (n) 对一切 n ∈ N 均成立. ②由已知得 k ≤ 1 3 + 2n ? 1
2 4 2n 2n + 2 × ×L× × 2n + 1 2n ? 1 2n + 1 × ∴ g ( n + 1) = 1 3 = 2 4 2n g ( n) 2n + 3 × ×L× 1 3 2n ? 1
= 4n 2 + 8n + 4 >1-------12 分 4n 2 + 8n + 3

2n + 2 4n 2 + 8n + 3

∴ g (n ) 单调递增.最小值为 g (1) =

2 3

=

2 3 .--------13 分 3

又∵ k ≤ g (n ) 对一切 n ∈ N + 均成立.∴ k ≤

2 3 2 3 . k max = . 3 3

…………14 分

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