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高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式课件新人教A版必修5_图文

不等关系与不等式

预习课本 P72~74,思考并完成以下问题
(1)如何用不等式(组)来表示不等关系?

(2)比较两数(或式)的大小有哪些常用的方法?

(3)不等式的性质有哪几条?

[新知初探]
1.不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接 _______ 两个数 或 代数式 ,以表示它们之间的不等关系.含有这些 不

等号 的式子叫做不等式. _____
2.比较两个实数 a,b 大小的依据
文字语言 如果 a>b,那么 a-b 是正数; 如果 a<b,那么 a-b 是负数; 如果 a=b,那么 a-b 等于 0,反之亦然 符号表示 a>b? a-b>0 a<b? a-b<0 a=b?a-b=0

3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c? a>c ; (3)可加性:a>b? a+c>b+c ; a>b? ? ?? a+c>b+c ; 推论(同向可加性): c>d ? ? a>b? a>b? ? ? ? ?? ac<bc ; (4)可乘性: ?ac>bc; c>0 ? c<0 ? ? ? a>b>0? ? ?? ac>bd ; 推论(同向同正可乘性): c>d>0 ? ? (5)正数乘方性:a>b>0? an>bn (n∈N*,n≥1);

n n a> b (n∈N*,n≥2). (6)正数开方性:a>b>0?_______

[点睛]

(1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的

前提条件.不可强化或弱化成立的条件. (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的, 也就是说每 条性质是否具有可逆性.

[小试身手]
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)不等式 x≥2 的含义是指 x 不小于 2 (2)若 a<b 或 a=b 之中有一个正确,则 a≤b 正确 (3)若 a>b,则 ac>bc 一定成立 (4)若 a+c>b+d,则 a>b,c>d ( ( ( ( ) ) ) )

解析:(1)正确.不等式 x≥2 表示 x>2 或 x=2,即 x 不小于 2,故 此说法是正确的. (2)正确.不等式 a≤b 表示 a<b 或 a=b.故若 a<b 或 a=b 中有一 个正确,则 a≤b 一定正确. (3)错误.由不等式的可乘性知,当不等式两端同乘以一个正数时, 不等号方向不变,因此由 a>b,则 ac>bc 不一定成立,故此说法是 错误的. (4)错误.取 a=4,c=5,b=6,d=2,满足 a+c>b+d,但不满足 a>b,故此说法错误.

答案:(1)√

(2)√

(3)×

(4)×

2.已知 a+b>0,b<0,那么 a,b,-a,-b 的大小关系是( A.a>b>-b>-a C.a>-b>b>-a B.a>-b>-a>b D.a>b>-a>-b

)

解析:选 C 法一:∵A、B、C、D 四个选项中,每个选 项都是唯一确定的答案,∴可用特殊值法. 令 a=2,b=-1,则有 2>-(-1)>-1>-2, 即 a>-b>b>-a. 法二:∵a+b>0,b<0,∴a>-b>0,-a<b<0, ∴a>-b>0>b>-a,即 a>-b>b>-a.

3.设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( A.a2<b2 1 1 C. 2< 2 ab a b B.ab2<a2b b a D.a<b

)

解析:选 C 因为 a<b,故 b-a>0, 1 1 b-a 1 1 所以 2 - 2= 2 2 >0,故 2 > 2. a b ab a b a b ab

4.若 A=(x+3)(x+7),B=(x+4)(x+6),则 A,B 的大小关系为 ________.
解析:由题意得,A=x2+10x+21,B=x2+10x+24,所以 A -B=-3<0. 答案:A<B

用不等式(组)表示不等关系

[典例 ]

某家电生产企业计划在每周工时不超过 40 h

的情况下,生产空调、彩电、冰箱共 120 台,且冰箱至少生 产 20 台.已知生产这些家电产品每台所需工时如下表: 家电名称 工时(h) 空调 1 2 彩电 1 3 冰箱 1 4

若每周生产空调 x 台、 彩电 y 台, 试写出满足题意的不等式组.
[ 解] 由题意,知 x≥0,y≥0,每周生产冰箱(120-x-y)台. 1 1 1 因为每周所用工时不超过 40 h, 所以 x+ y+ (120-x-y)≤40, 2 3 4 即 3x+y≤120; 又每周至少生产冰箱 20 台, 所以 120-x-y≥20,即 x+y≤100. ? ?3x+y≤120, ?x+y≤100, 所以满足题意的不等式组为? * x ≥ 0 , x ∈ N , ? * ? ?y≥0,y∈N .

1.将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意,找准不等式所联系的量. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 2.用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题 在用不等式(组)表示不等关系时,应注意必须是具有相 同性质,可以进行比较时,才可用,没有可比性的两个(或几 个)量之间不能用不等式(组)来表示.

[活学活用]
1.雷电的温度大约是 28 000 ℃,比太阳表面温度的 4.5 倍还要 高. 设太阳表面温度为 t ℃, 那么 t 应满足的关系式是________.
解析:由题意得,太阳表面温度的 4.5 倍小于雷电的温度,即 4.5t<28 000. 答案:4.5t<28 000

2.某企业准备投资 1 200 万元兴办一所中学,对当地教育市 场进行调查后,得到了如下的数据表格(以班级为单位):
学段 初中 高中 硬件建设 (万元) 26/班 54/班 配备教师数 2/班 3/班 教师年薪 (万元) 2/人 2/人

因生源和环境等因素, 全校总班级至少 20 个班, 至多 30 个班,请用数学关系式表示上述的限制条件(设开设初中 班 x 个,高中班 y 个).

解:根据题意,限制条件为 ? ?20≤x+y≤30, ?26x+54y+2×2x+3×2y≤1 200, ? * x ≥ 0 , x ∈ N , ? * ? ?y≥0,y∈N , ? ?20≤x+y≤30, ?x+2y≤40, 即? * x ≥ 0 , x ∈ N , ? * ? y ≥ 0 , y ∈ N . ?

不等式的性质
[典例] (1)已知 b<2a,3d<c,则下列不等式一定成立的是( B.2ac>3bd D.2a+3d>b+c ( ) )

A.2a-c>b-3d C.2a+c>b+3d (2)下列说法不正确的是

A.若 a∈R,则(a2+2a-1)3>(a-2)3 B.若 a∈R,则(a-1)4>(a-2)4 C.若
?1? ?1? 0<a<b,则?3?a>?3?b ? ? ? ?

D.若 0<a<b,则 a3<b3

[解析] 故选 C.

(1)由于 b<2a,3d<c,则由不等式的性质得 b+3d<2a+c,

(2)对于 A,因为(a +2a-1)-(a-2)=a

2

2

? 1 ?2 3 +a+1=?a+2? + >0, 4 ? ?

所以 a2+2a-1>a-2,则(a2+2a-1)3>(a-2)3,故 A 选项说法正确; 对于 B,当 a=1 时,(a-1)4=0,(a-2)4=1,所以(a-1)4>(a-2)4 不 成立;对于 C 和 D,因为 0<a<b,所以由指数函数与幂函数的性质知 C、D 选项说法正确,故选 B.

[答案]

(1)C

(2)B

1.利用不等式判断正误的 2 种方法 (1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质或函 数的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可. (2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设 条件; 二是取值要简单, 便于验证计算; 三是所取的值要有代表性. 2.利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此 类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在 解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质 成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与 法则.

[活学活用]

1.已知 a>b>c,且 a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是 ( A.ab>bc C.ab>ac
以 ab>ac.

)

B.ac>bc D.a|b|>|b|c

解析:选 C 因为 a>b>c,且 a+b+c=0,所以 a>0,c<0,所

e e 2.若 a>b>0,c<d<0,e<0,求证: > . ?a-c?2 ?b-d?2 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.
1 又 a>b>0,∴a-c>b-d>0,则(a-c) >(b-d) >0,即 ?a-c?2
2 2

1 < . ?b-d?2 e e 又 e<0,∴ > . ?a-c?2 ?b-d?2

数式的大小比较
[典例] (1)已知 x<1,比较 x3-1 与 2x2-2x 的大小;

1 (2)已知 a>0,试比较 a 与a的大小.
[解] (1)(x3-1)-(2x2-2x) =(x-1)(x2+x+1)-2x(x-1) =(x-1)(x2-x+1)
?? 1 ?2 3 ? ?? ? =(x-1)? x-2? +4?. ? ?? ? ? 1?2 3 ∵x<1,∴x-1<0.又?x-2? + >0, 4 ? ?

?? 1 ?2 3 ? ?? ∴(x-1)? x-2? +4? ?<0. ? ?? ?

∴x3-1<2x2-2x. 2 1 a -1 ?a-1??a+1? (2)因为 a-a= a = , a ?a-1??a+1? 1 因为 a>0,所以当 a>1 时, >0,有 a>a; a ?a-1??a+1? 1 当 a=1 时, =0,有 a=a; a ?a-1??a+1? 1 当 0<a<1 时, <0 ,有 a < a a. 1 综上,当 a>1 时,a>a; 1 当 a=1 时,a=a; 1 当 0<a<1 时,a<a.

1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤:作差→变形→定号→结论. (2)变形的方法:①因式分解;②配方;③通分;④对数与指数的 运算性质;⑤分母或分子有理化;⑥分类讨论. 2.作商法比较大小的步骤及适用范围 (1)作商法比较大小的三个步骤. ①作商变形; ②与 1 比较大小; ③得出结论. (2)作商法比较大小的适用范围. ①要比较的两个数同号; ②比较“幂、指数、对数、含绝对值”的两个数的大小时,常用 作商法.

a2-b2 a-b 1.已知 a>b>0,比较 2 的大小. 2与 a +b a+b
a2-b2 a-b ?a2-b2??a+b?-?a-b??a2+b2? 解: 2 2- = = 2 2 a +b a+b ?a +b ??a+b? ?a-b?[?a+b?2-?a2+b2?] ?a2+b2??a+b? 2ab?a-b? = 2 2 . ?a +b ??a+b? ∵a>b>0,∴2ab>0,a-b>0,a2+b2>0,a+b>0, 2ab?a-b? a2-b2 a-b 得 2 2 >0,所以 2 2> . ?a +b ??a+b? a + b a+ b

[活学活用]

2.若 m>2,比较 mm 与 2m 的大小.
?m? ?m? mm ?m?m m 解:因为 m =? 2 ? ,又因为 m>2,所以 >1,所以? 2 ?m>? 2 ?0 2 2 ? ? ? ? ? ?

=1,所以 mm>2m.

用不等式性质求解取值范围
[典例] 范围.
[解] ∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,6<3b<24.

已知 1<a<4,2<b<8, 试求 2a+3b 与 a-b 的取值

∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8,∴-8<-b<-2. 又∵1<a<4,∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2. 故 2a+3b 的取值范围是(8,32),a-b 的取值范围是(-7,2).

同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,应 用时,要充分利用所给条件进行适当变形来求范围,注意变形的 等价性.

a 1.在本例条件下,求b的取值范围. 1 1 1 解:∵2<b<8,∴ <b< ,而 1<a<4, 8 2
1 1 1 1 a ∴1× <a· b<4×2,即8<b<2. 8
?1 ? a 故b的取值范围是?8,2?. ? ?

不等式两边同乘以一个正数,不等号方向不变,同乘以一个 负数,不等号方向改变,求解中,应明确所乘数的正负.

a 2.已知-6<a<8,2<b<3,求b的取值范围. 解:∵-6<a<8,2<b<3. 1 1 1 ∴ <b< , 3 2 a ①当 0≤a<8 时,0≤b<4; a ②当-6<a<0 时,-3<b<0. a 由①②得:-3<b<4. a 故b的取值范围为(-3,4).

利用不等式性质求范围,应注意减少不等式使用次数.

3.已知-1≤a+b≤1,1≤a-2b≤3,求 a+3b 的取值范围.
解: 设 a + 3b = λ1(a + b) + λ2(a - 2b) = (λ1 + λ2)a + (λ1 - 5 2 2λ2)b,解得 λ1= ,λ2=- . 3 3 5 5 5 2 2 又- ≤ (a+b)≤ ,-2≤- (a-2b)≤- , 3 3 3 3 3 11 所以- ≤a+3b≤1. 3 故 a+3b
? 11 ? 的取值范围为?- 3 ,1?. ? ?


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