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高中数学人教B版选修2-1同步练习:2.2.2 第1课时椭圆的几何性质(含答案)


2.2.2 第 1 课时椭圆的几何性质

一、选择题 x2 y2 1.椭圆 + =1 的焦点坐标是( 144 169 A.(± 5,0) C.(0,± 12) [答案] B [解析] 易知焦点在 y 轴上,∴a2=169,b2=144. ∴c= a2-b2= 169-144=5. x2 y2 2.已知椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上,若焦距为 4,则 m=( 10-m m-2 A.4 C.7 [答案] D [解析] 因为焦点在 y 轴上, m-2>0 ? ? 所以?10-m>0 ? ?m-2>10-m B .5 D.8 ) ) B.(0,± 5) D.(± 12,0)

?6<m<10.

又焦距为 4,所以 m-2-10+m=4?m=8. 3.已知椭圆的焦距为 2 7,椭圆上一点到两焦点的距离的和为 8,则椭圆的标准方程 为( ) x2 y2 A. + =1 16 25 x2 y2 B. + =1 16 9 x2 y2 C. + =1 9 16 x2 y2 x2 y2 D. + =1 或 + =1 16 9 9 16 [答案] D [解析] ∵2c=2 7,∴c= 7,∵2a=8,∴a=4. 又∵焦点不知在哪个轴上,∴标准方程有两个,故选 D. 4.椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆离心率为 ( )

A. C.

2 2 5 3

B. D.

3 2 6 3

[答案] A c 2 [解析] 由题意知 b=c,∴a= 2b,∴e= = . a 2 x2 y2 5.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|, a b |F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( 1 A. 4 1 C. 2 [答案] B [解析] 本题考查椭圆方程,等比数列知识、离心率等. ∵A、B 分别在左右顶点,F1、F2 分别为左右焦点,∴|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|= a+c,又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c2,即 a2=5c2,所以离心率 e= 5 ,要求离心率,应找到 a、c 关系. 5 6.我们把离心率等于黄金比 5-1 x2 y2 的椭圆称为“优美椭圆”.设 2+ 2=1(a>b>0)是优 2 a b ) B. ) 5 5

D. 5-2

美椭圆,F、A 分别是它的左焦点和右顶点,B 是它的短轴的一个端点,则∠ABF 等于( A.60° C.90° [答案] C |AB|2+|BF|2-|AF|2 [解析] cos∠ABF= 2· |AB|· |BF| ?2+ a2+b2-?a+c?2 = = 2· |AB|· |BF| ? = 5-1 2 5-1 2 2 ?a -?1+ ?a 2 2 2· |AB|· |BF| B.75° D.120°

5+3 5+3 2 - ?a 2 2 =0, 2· |AB|· |BF|

∴∠ABF=90° ,选 C. 二、填空题 1 7.一椭圆的短半轴长是 2 2,离心率是 ,焦点为 F1,F2,弦 AB 过 F1,则△ABF2 的 3 周长为____________.

[答案] 12 1 [解析] ∵离心率是 ,∴a=3c, 3 又有 a2-c2=b2=8, ∴(3c)2-c2=8∴c2=1, ∴a2=9,易知△ABF2 的周长为 4a, ∴周长为 12. 8.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________. [答案] x2 y2 + =1 36 9 3 ,且 G 上一点到 G 的 2

[解析] 考查椭圆的定义与标准方程. x2 y2 设椭圆 G 的标准方程为 2+ 2=1 a b (a>b>0),半焦距为 c,则

2a=12 ? ? ?a=6 ?c ,∴b2=a2-c2=36-27=9, 3 ,∴? ?c=3 3 ? ?a= 2 x2 y2 ∴椭圆 G 的方程为 + =1. 36 9 三、解答题 x2 y2 9.设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),短轴的一个顶点 B 与两焦点 F1、F2 组成的三角形 a b 2 的周长为 4+2 3,且∠F1BF2= π,求椭圆方程. 3 c 3 ? ? =cos30° = , a 2 [解析] 由题意知? ? ?2?a+c?=2?2+ 3?, 3 ? ?c= a, ?a=2, 2 ?? ?? ?c= 3, ? ?a+c=2+ 3, ∴b2=a2-c2=1, x2 ∴椭圆方程为 +y2=1. 4

一、选择题 x2 y2 1 1.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的 a b 2

两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)的位置( A.必在圆 x2+y2=2 内 C.必在圆 x2+y2=2 外 [答案] A

)

B.必在圆 x2+y2=2 上 D.以上三种情形都有可能

1 c 1 [解析] 由 e= 知 = ,a=2c.由 a2=b2+c2 得 b= 3c,代入 ax2+bx-c=0,得 2cx2 2 a 2 + 3cx-c=0,即 2x2+ 3x-1=0,则 x1+x2=- 7 = <2. 4 2. 已知 F1、 F2 是椭圆的两个焦点, 过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点, 若△ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是( A. C. 3 3 2 2 B. D. ) 2 3 3 2 3 1 ,x1x2=- ,x2 +x2=(x1+x2)2-2x1x2 2 2 1 2

[答案] A [解析] 如图,△ABF2 为正三角形, ∴|AF2|=2|AF1|,|AF2|+|AF1|=2a, 3|AF1|=|F1F2|. 2 ∴|AF1|= a,又|F1F2|=2c, 3 2 a 3 1 c 3 ∴ = .∴ = .故选 A. 2c a 3 3 x2 3.(2014· 黑龙江佳木斯)已知椭圆 +y2=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭 4 → → 圆上,且MF1· MF2=0,则点 M 到 y 轴的距离为( 2 3 A. 3 C. 3 3 )

2 6 B. 3 D. 3

[答案] B [解析] 由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0). → → 设 M(x,y),则MF1· MF2=(- 3-x,-y)· ( 3-x,-y)=0, 整理得 x2+y2=3. x 又因为点 M 在椭圆上,故 +y2=1, 4
2



x2 即 y2=1- . 4 3 2 6 将②代入①,得 x2=2,解得 x=± . 4 3 2 6 故点 M 到 y 轴的距离为 . 3



x2 y2 4.(2013· 新疆乌鲁木齐)已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 2+ 2=1 的两个焦点,P 为椭圆 a b → → 上一点且PF1· PF2=c2,则此椭圆离心率的取值范围是( A.[ C.[ 3 ,1) 3 3 2 , ] 3 2 1 1 B .[ , ] 3 2 D.(0, 2 ] 2 )

[答案] C → → [解析] 设 P(m,n),PF1· PF2=c2=(-c-m,-n)· (c-m,-n)=m2-c2+n2, ∴m2+n2=2c2,2c2-m2=n2①, x2 y2 把 P(m,n)代入椭圆 2+ 2=1,得 b2m2+a2n2=a2b2②, a b a2b2-2a2c2 把①代入②得 m = ≥0, b2-a2
2

c 3 ∴a2b2≤2a2c2,∴b2≤2c2,∴a2≤3c2,∴e= ≥ . a 3 a2b2-2a2c2 2 又 m2= ≤a , b2-a2 c 2 ∴a2≥2c2,∴e= ≤ . a 2 综上知此椭圆离心率的取值范围是[ 二、填空题 3 5.(2014· 南京高二检测)已知椭圆的长轴长为 20,离心率为 ,则该椭圆的标准方程为 5 ________. [答案] x2 y2 y2 x2 + =1 或 + =1 100 64 100 64 3 2 , ],故选 C. 3 2

c 3 [解析] 因为 2a=20,e= = ,所以 a=10,c=6,b2=a2-c2=64.由于椭圆的焦点可 a 5 x2 y2 y2 x2 能在 x 轴上,也可能在 y 轴上,所以所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 100 64 100 64 6.(2013· 安阳高二检测)以正方形 ABCD 的相对顶点 A,C 为焦点的椭圆,恰好过正方

形四边的中点,则该椭圆的离心率为________. [答案] 10- 2 2 2 ,CE= 2 1 5 12+? ?2= , 2 2

[解析] 连接 CE,设 AD=1,则 AC= 2,即 c=

1 5 ∴2a=AE+CE= + , 2 2 1 5 ∴a= + , 4 4 2 2 10- 2 c ∴e= = = . a 1 2 5 + 4 4

三、解答题 x2 y2 7. 设 P 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的一点,F1、F2 是椭圆的焦点,且∠F1PF2=90° ,求 a b 证:椭圆的圆心率 e≥ 2 . 2

[证明] 证法一:∵P 是椭圆上的点,F1、F2 是焦点,由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|= 2a, 在 Rt△F1PF2 中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=4c2, 由①2,得|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2, ∴|PF1|· |PF2|=2(a2-c2), ② ①

由①和②,知|PF1|,|PF2|是方程 z2-2az+2(a2-c2)=0 的两根,且两根均在(a-c,a+ c)之间. Δ≥0 ? ? 令 f(z)=z2-2az+2(a2-c2)则?f?a-c?>0 ? ?f?a+c?>0 c 1 2 可得( )2≥ ,即 e≥ . a 2 2

证法二:由题意知 c≥b,∴c2≥b2=a2-c2, c2 1 2 ∴ 2≥ ,故 e≥ . a 2 2

x2 y2 8.过椭圆 + =1 内一点 M(2,1)的一条直线与椭圆交于 A,B 两点,如果弦 AB 被 M 16 4 点平分,那么这样的直线是否存在?若存在,求其方程;若不存在,说明理由. [解析] 设所求直线存在,方程 y-1=k(x-2),代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-

8(2k2-k)x+4(2k2-1)2-16=0①.设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是 8?2k2-k? x1+x2 4?2k2-k? 方程①的两根,所以 x1+x2= 2 .又 M 为 AB 的中点,所以 = 2 =2,解得 2 4k +1 4k +1 1 1 k=- .又 k=- 时,使得①式 Δ>0,故这 2 2 样的直线存在,直线方程为 x+2y-4=0. x2 9.已知椭圆 +y2=1 和点 M(-3,0),N(0,-2),直线 l 过点 M 与椭圆相交于 A,B 两 2 点,那么∠ANB 可以为钝角吗?如果你认为可以,请写出当∠ANB 为钝角时,直线 l 的斜 率 k 的取值范围;如果你认为不能.请加以证明. [解析] ∠ANB 不可能为钝角.证明如下: 设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y=k(x+3), y=k?x+3?, ? ?2 由?x 得(1+2k2)x2+12k2x+18k2-2=0. 2 + y = 1 , ? ?2 12k2 由根与系数的关系,得 x1+x2=- , 1+2k2 18k2-2 x1x2= . 1+2k2 → → → → 又∵NA=(x1,y1+2),NB=(x2,y2+2),若∠ANB 为钝角.则NA· NB<0, 即 x1x2+(y1+2)(y2+2)<0,即 x1x2+y1y2+2(y1+y2)+4<0. ③ ① ②

∵y1=k(x1+3),④ y2=k(x2+3),⑤ ∴将④⑤代入③整理得(1+k2)x1x2+(3k2+2k)(x1 +x2)+9k2+12k+4<0, 18k2-2 12k2 2 将①②代入⑥,得(1+k2)· + (3 k + 2 k )( - )+9k2+12k+4<0. 1+2k2 1+2k2 整理得 33k2+12k+2<0,Δ=144-4×33×2=-120<0, ∴k 不存在,故∠ANB 不可能为钝角. ⑥


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