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傅里叶变换与小波分析的对比研究


第2 3卷 第 2期  2 1 0 0年 3月  文章 编 号 : 10 — 6 3 (0 0 2 0 2 0   0 2 6 7 2 1 )0 — 2 — 3

De eo me t I n v t r o  a hn r & E e t c l rd cs v lp n & n o ai r f o   M c i ey lcr a P o u t  i  

机 电产 品 开 发 与钏 崭 

Vo.3, 2 1 2 No.  M a . 01   r.   2 0

傅 里 叶变 换 与 小 波 分 析 的对 比研 究 
房 永 亮 
( 头 轻 工 职业 技 术 学 院 ,内 蒙 古 包 头 0 4 4 ) 包 1 0 5 



要 :小波是 近 十几 年 才发展 起 来并迅 速 应 用到 图像 处 理 和语 音 分析 等 众 多领 域 的一 种数 学工 具 .是  继 1 0多年 前 的傅 立叶 ( sp  o r r 1 J ehF u e)分 析之 后 的 一个 重 大 突破 ,无 论 是对 古 老 的 自然 学科 还  o i 是 对新 兴 的 高 新技 术 应 用 学科 都 产 生 了强 烈 冲击 。 本 文 先 简单 回顾 傅 里 叶 变 换讨 论 其 优 缺 点 .  
然 后 讨 论 如 何 克 服 其 缺 点 和 引入 窗 口傅 里 叶 变 换 , 继 而 引入 小 波 的 基 本 概 念 。 重 点 探 讨 在 大 多  

数情 况 下小 波变换优 于傅 里 叶 变换的 内在原 因  
关 键 词 :小 波 分 析 :傅 里 叶 变 换 :加 窗傅 里 叶 变换  中 图 分 类 号 :0 9 2  文 献 标 识 码 :A d i 03 6 /. s.0 2 6 7 . 1 .2 0     o: .9 9 isn10 — 6 32 00 . 9 1 i 0 0

Th   m p r t e S u y o   u i r Tr n f r a d W a e e   a y i  e Co a a i   t d   f Fo re   a s o m  n   v v ltAn l ss
FANG Yo g Lin     n- ag

( oo  Lg t n ut  Vo a o a Batu ih Id sy r ct nl c nc  Colg ,B oo  n e  n o a 1 0 5 i  Teh ia l l e a tuIn rMo g h 0 4 3 ,Chn ) e ia 
Absr t tac:W a ee  n lsst   ah aia o lw hc   a  e   v lpng i e e td c d sa  l  p he  n ma y fi slk  m a e p o   v lta ay i, hem t m tclt o  ih h sbe n de eo i  n r c n   e a e nd ae a p d i  n  el  i e i g   r — d

csiga dv iea a s t.i aget ra tr u h a e h n yi meh do J sp   o r r1 0y asaoI b n  b u  et mp c es  n  oc n yi ec,s  ra b ekh o【  f rtea a t  to   f oe h F u e    er g . r ga o tg a  at n l s     g t l c i 1   ti r i  
o   t   rd t a  a u a  c e e   nd s m e n w   g n bo h ti ii l n t r s i nc s a   o   e hi h—t c   p h a o   e h o o i s n t   o owi   a e ,I s al f s  i e a   e i w  n on l e h a p c f n t c n l g e .   he f l i I ng p g s   h l i t g v   n r v e o    r

f re  rn f m a o atrt t Etl bo tte wa   eo e c ou irta sor t n.fe ha,  ak a u h   y w   v rome i  a n s nd ito uc heb s   on e sofwa ltol we   y t e i W  t we k e sa  n r d e t   ai c c pt s c     vee, l f o d b  h   i r d to o   nd w o ie r so m a o nto uc n  fwi o fur r ta fr t n.Th   y pon    hsp g  sf ig t  n e a e s n wh   v lti  t rt a   o re  i n i e ke   itoft i a e i i     ndn  he itr l r ao   y wa ee sbet   n f u r n e h i
t a so m a o   nd r ma   i to s r n f r t n u e   n st i n . i y ua  

Ke  y wor :wa ee n ys ; f re rnf r ; wido d fure rnso m  ds v lta a i l s ou rta so i m n we  o i rta f r

0 引 言 
傅 立 叶理 论指 出 ,一个 信 号可 表示 成 一系 列正 弦 和  余 弦 函 数 之 和 ,叫做 展 开式 。用 傅 立 叶表 示 一 个 信 号 
时 ,只 有 频 率 分 辨 率 而 没 有 时 间 分 辨 率 , 这 就 意 味 我 们 

程 应 用 方 面 做 出 了 极 其 重 要 的 贡 献 。 例 如 , Ir   ni d
D u ehe abci S于 18 9 8年 最 先 揭 示 了 小 波 变 换 和 滤 波 器 组 

( l r a k )之 间 的 内在关 系 脚,使 离 散小 波 分析 变 成  ieb ft   n s
为现实 。 信 号处 理 中 , 在 自从 sMa a 和 Ir   a b e i   . lt l ni D u ehe d s

发 现滤 波 器组 与小 波基 函数有 密 切关 系之 后 ,小波 在 信 
号 ( 声 音 信 号 ,图 像 信 号 等 )处 理 中 得 到 极 其 广 泛 的  如
应用。  

可 以确定 信 号 中包 含 的所 有频 率 ,但不 能 确定 具有 这些  频率 的信 号 出现在 什 么 时候 。为 了继 承傅 立 叶分析 的优 
点 。同时 又 克 服它 的 缺 点 ,人 们 一直 在 寻 找新 的方 法 。  

小 波 变 换 的 主 要 算 法 则 是 由法 国 的科 学 Se h nMalt tp a e l   a
在 18 9 8年 提 出 。 他 在 构 造 正 交 小 波 基 时 提 出 了 多 分 辨 

1 傅 里 叶变 换 的伟 大 贡 献 及 其局 限性 
10 8 7年 ,法 国 数 学 、 物 理 学 家 傅 立 叶 (enB p  Ja  a —

率 的概念 .从 空 间上形 象 地说 明 了小 波 的多分 辨率 的 特  性 ,提 出 了 正 交 小 波 的 构 造 方 法 和 快 速 算 法 , 叫做  Mal l t算法 [ ni  u ehe ,R n l  o ma a ” r Dab c is o adC i n和 V c  。I d f i. t   cehu e 等 著名 科学 家把 这个 小波 理论 引入 到 工  o wikra sr r
收稿 日期 :2 0 —1 — 9 09 22 

t t  oe hF u e) i l Jsp   o r r ,提 出任 意 一 个 周 期 为 T= 竹 的 函  se i 2
数 ft都 可 以用 三 角级数 表示 。 ()  
傅 立 叶 变 换 的 理 论 是 人 类 数 学 发 展 史 上 的 一 个 里 程 

碑 ,从 10 8 7年 开 始 ,直到 16 9 6年 ,整 整 用 了  个半 世  纪 多 ,才 发展 成 熟 。她 在 各 个领 域 产 生 了 深 刻 的影 响 ,  
得 到 了 广 泛 的 应 用 ,推 动 了 人 类 文 明 的 发 展 。 其 原 因 

作 者 简 介 :房 永 亮 ( 9 1 , 男 ,本 科 ,助 教 。 主 要 从 事 电  1 8 一)  

是 .傅 立 叶理 论不 仅 仅在 数学 上 有很 大 的理 论价 值 ,更 
重要 的是 傅立 叶 变换 或傅 立 叶积 分得 到 的频 谱 信息具 有 

子信 息等 领 域 的教 学和 科研 工作 。  
2  2

·

开 发 与创 新 ·  

物 理 意 义 。遗 憾 的 是 ,这 种 理 论 具 有 一 定 的 局 限 性 :  

( )傅立 叶变换 的 三种 形 式 中 的傅立 叶系数 都是 常  1

i = 2 < k (   f ) 一 — <,, ^: ∑dJ ) t 2 2 f > t一 f   )2 ,   = jj   ck  ̄( , t


(  1 )
() 2 

j  

k  

j  

k …

 

数 ,不 随 时间 t变化 ,因而 只 能处 理频 谱 成分 不 变 的平 
稳 信号 ,相 反 地在 处 理 非 平 稳信 号 时会 带 来 很 大误 差 ,  
甚 至与 实际 情况 大相 径庭 。  

{  (J k  ^ 2— ) = t

其 中 , ()   t一小 波 函数 ;d 小波 系数 ,且: i 厂  
d < , k  i f j >
,  


() 3 

在 实际 信 号 中 .若 高 频与 低频 差 别很 大 ,在 相 同 的  时 间间 隔 内 ,高频 信号 衰 减 了而低 频 信 号 尚未 衰减 ,所  以 ,在 不 同时 刻 。信号 的频谱 成 分是 不 同 的 。硬要 用傅 

由 式 ( ) ( ) 以 看 到 ,小 波 级 数 是 两 重 求 和 ,小   1~ 3 可

波 系数 的指 标 不 仅有 频率 的指 标 j ,而且 还 有 时 间 的指  标 k 。也 就 是 说 ,小 波 系数 不 仅 像傅 立 叶 系数 那 样 ,是  随 频率 不 同而 变 化 的 ,而 且 对 于 同 一个 频 率 指 标 J ,在  不 同时 刻 k ,小 波 系 数 也是 不 同 的 。这样 就克 服 了上 面 
所 述 的第 一个 不足 。  

立 叶变换 找 出所 有 时刻 的频谱 成 分 ,硬要 把 幅值 的变化 
用 频率 的变 化 来补 偿 。不 仅 高频 的傅 立 叶系 数有 误 差 ,   低频 的傅 立 叶 系数也 有 很 大误 差 ,包 括求 出的频 率 当然 
也有 误差 。  

由于 小波 函数具 有 紧支 撑 的性 质 ,即某一 区间外 为  零 。这样 在求 各 频 率水 平不 同时刻 的 小波 系 数时 ,只用  到该 时 刻附 近 的局 部信 息 ,从 而克 服 了上 面所 述 的第 二 
个不足。  

( )求 傅 立 叶系 数是 全 时 间域 上 的加 权 平均 。局 部  2 突变 信息 被 平均 掉 了 .局部 突 变信 息 的作 用很 难 反 映 出  来 ( 比吃 大锅 饭 ,平 均 主义 ) 好 。差 别 很 大 的信 号 ,如  方波 、三 角 波 、正 弦波 都可 以 得到 相 同 的频 率 。所 以处  理 、捕捉 突 变信 号 如故 障信 号 ,灵 敏度 很 差 。处 理 、捕  捉突 变信号 应 使 用能 反 映局 部信 息 的变 换 。为 了克服 以 

第 三个 不 足 ,小 波分 析 是 如何 克服 的呢 ?通过 与 加 
窗 傅 立 叶 变 换 的 “ 间一 频 率 窗 ” 的 相 似 分 析 , 可 得 到  时 小 波 变 换 的 “ 间 一 频 率 窗 ” 的笛 卡 儿 积 是 : 时  

上两 点局 限性 ,这就 要求 :① 将 变 换 系数 视为 随 时间 变 

化 的 ,级 数求 和 由一 重 变为 两 重 ;② 使 用 能反 映 局部 信 
息 的 变 换 ,则 函 数 组 不 能 使 用 全 域 上 的 函 数 。只 能 使 用 

[t Ab*△ l一 △ , }  ( b *   aa   }  a △ J  +- ,t   a a ++     4 )
其 中 a 2J =- ,时 间 窗 的宽 度 为 2 △  a ,随 着 频 率 的增  大 ( j 即 的增 大 )而 变 窄 ,随着 频 率 的减 小 ( i 减  即 的 小 )而 变 宽 ,之 所 以有 这 样 的结 果 ,关 键 在 于式 ( ) 2  中 ,时 间变量 t 面乘 了个 “ 胀 系数 ”2   前 膨 i 。 小 波变 换 的 “ 间一频 率 窗 ”的 宽度 ,检 测 高频 信  时

有所 谓 紧支 撑 的函 数 ,即 “ 波 函数 ” 或 加 窗 傅 立 叶  小 变 换 的窗 函数 。  

2 Gab r 换一 窗 口 F uir 换    ro 变 or 变 e
在 时 间 一 频 率 分 析 中 。 F ui o r r变 换 公 式 的 不 足 已  e

号 时变 窄 ,检测 低 频信 号 时变 宽 ,这 正 是时 间一 频率 分 
析所 希望 的 。   根 据 小 波 变 换 的 “ 间 一 频 率 窗 ” 的 宽 度 可 变 的 特  时

经 被 D G ro 意 到 了 ,在 1 4 年 的 论 文 中 .为 了提   . ab r注 96

取 信 号 的 F ui o r r变 换 的局 部 信 息 ,引 入 了 一个 时 间局  e
部化 的 G u s n函数作 为 “ 函数 ” g tb ,其 中参数  a si a 窗 (— ) b用 于平 移 动窗 以便 覆 盖整 个 时 间 域 。 因为 一 个 G u. as  
s n 函 数 的 F uir变 换 还 是 G u s n 函 数 。 所 以  i a or e a si a

点 .为 了克 服上 面所 述 的第 三 个不 足 ,只 要不 同时检 测  高频 与低 频 信息 ,问题 就迎 刃 而解 了。如 ,选 择从 高 频  到低频 的检测 次序 ,首 先选 择最 窄 的 时间 窗 .检测 到 最 

F uir逆变换 即频率 也是 局部 的。 or e  

高 频率 信 息 ,并将 其 分 离 。然后 ,适 当放 宽时 间 窗 ,再 
检测 剩 余 信息 中 的 次 高 频 信 息 。再 分 离 ,再 放 宽 时 间 

加窗 傅立 叶 变换 的 “ 问一 频率 窗 ”的宽 度对 于观  时
察 所 有 的频率 是 不变 的 。在 较长 的时 间窗 内 ,对 于 高频  信 号 ,可 能 经过 了很 多 周 期 ,因 而 求 出 的 F uir变换  or e

窗 ,再 检测 次次 高频信 息 ,依次 类推 [  3 1 。
为 了检 测 到不 同频 率 水平 信 息 ,即求 出不 同频 率水  平下 不 同时刻 的小 波系 数 ,首先要 选好 小波 函数 。   选 择 小 波 函数 的 “ 项 原 则 ” 在 求 小 波 系 数 式  四 。 ( ) 中 ,如果  (— ) L(a) 间 的正 交 基 ,则  为  3 tk 是 2i 空
. ^

系数 是很 多 周 期 的 平 均 值 ,局 部 化性 能不 能 得 到 体 现 。  
若 减 小 时 间 窗 ( 小 a ,高 频 信 号 局 部 化 性 能 得 到体  减 )

现 ,但 对 于很 低 的 频 率 信 号 来 讲 ,检 测 不 到 。综 上 所 
述 ,加窗 傅立 叶 变换 对 于高 频 与低 频差 别 很 大 的信 号仍 

的 复 共 轭 。 小 波 分 析 的 最 重 要 的 应 用 是 滤 波 ,为 了 保 

不是 很有 效 的 。  
由 于 上 述 原 因 ,必 须 进 一 步 改 进 ,克 服 上 述 不 足 .  

证滤 波不 失 真 ,小 波 函数必 须 具有 线 性相 位 ,至 少具 有  广 义 线性 相位 。小波 分 析 的另 一重 要应 用 是捕 捉 、分 析 

这就 导致 了小 波分 析 。  

突变信 号 ,这就 要使用 函数 的 导数 ,小波 函数 至少 C 是    连 续 。 由前 面 分 析可 知 ,小 波 函数 必须 具 有紧 支撑 的 性 
质 。所 以 ,正 交 、线性 相 位 、连 续 、紧 支撑 是 选择 小 波 

3 小 波 分 析 
将时程函数 f ) i 表示为下面的小波级数 : t  

I 函数的 “   四项原则”  。

( 下转第 1   8页)
2  3

·

开 发 与创 新 ·  

下 变量 进行 如下 取值 : T 5 ,3 】 R ∈[52 5 ,线性 取 1 值 ;   0个 0∈ (, 0 】 0 3 。,线 性 取 l 值 ; 0lO ,线 性 取 l 0个 6∈[,O ] 0个 值 ;   nE【 ,0 ]   5 4 0 ,线性 取 8个 值 ; 助 Ma a 65软件 进 行 编  0 借 l fb . 程 ( 序略 去 ) 程 ,研究 各 因素对 总错 位效 应 的影响 :  
( ) 通 过 输 出 的 大 量 数 据 获 得 R = 7 : 0-. 3   1 T 1 5 - 5 6: 02

( ) 综 上 , 将  3 数 据 锁 定 在 :R= T  15 0 7 ,5 ,研 究 偏 移  

量 和 压 辊 轴 倾 角 联 
合 作 用 下 对 总 错 位 

8 00 ;n 5 = .1 = 0的时 候 ,总错 位 效 应 E 00 5 = .0 4比较 理 想 .  

效 应 E的 影 响 .获  得 曲面如 图 5所 示 。  
从 联 合 影 响 图 可 以 

同时说 明偏移 量越 小 ,总错 位效 应 E越 小 。将 数 据锁定 
在 :R 1 5 = .1 = 0,研 究 压 辊 轴 倾 角 对 总 错 位     7 ;8 00 ;n 5

效应 E的影 响 ,获得 曲线如 图 中 3 ,可 以看 出偏 移 量接  近 于零 的时候 ,倾 角 对总 错位 效 应 的影 响呈现 陡 降 、然  后平 缓 的趋势 。这 就指 导 我们 压辊 轴倾 角 的取 值应 当大  于 01a ,以有效 降低 对总 错位 效应 的影 响 。 .rd   ( )将 数 据锁 定 在 : 2   15 = . 4 ;n 5 ,研  7 ;0 01 5 = 0 7 究偏 移量 对 总错 位效 应 E的影 响 .获得 曲线 如 图 4 .可 
以发 现 偏 移量 8 1 = 0以 内 , 曲 线 斜 率 较 大 ,其 后 , 曲 线 

看 出 , 曲 面 基 本 上  可分 为 三个 区域 .   即 低 效 应 区 a 中效  :
图 5 偏 移 量 与 倾 角 对 总 错 位 效 应 的  联 合 影 响 
Fi 5 g. Thec nt b ion      o r ut i of i lnato a nci i n  nd  fs to t e t t l o e  n h o a 
{  

应 区 b 高 效 应 区  ;
C 。设 计 上 , 一 方 面 

dilc io e e t so at n  f c  

考 虑 不 要 有 太 大 的  偏 移量 ,另一 方 面倾 角也 不宜 太大 ,这 样 可有 效地 降低  总 的错 位效应 ,从 而降低 随之 带来的 的错 位磨损 。  

走势 平缓 ,从 压辊 的设 计 来看 。大 的偏 移量 往往 造 成压 
辊整 体尺 寸偏 大 。结构 布 置 困难 ,那 么理论 上希 望偏 移 
量 不 要 超 过 1rm,且 越 小 越 好 。 0 a  

5 结 论 
( )依据 功 能原 理 ,从速 度差 人 手 ,间接 地 建立 了  1
错 位磨 损理 论 。   ( ) 建 立 了用 来 评 价 错 位 磨 损 的错 位 效 应 。 2  

( )对压 辊 轴偏 移量 和 压辊 轴倾 角对 错 位效 应 的影  3
响进行 研究 ,得 出 :适 当减 小压 辊轴 偏 移量 和压 辊 轴倾  角 ,能有 效 降低错 位磨 损 。  
参 考文 献 :  
压 辊 轴 倾 角 0 a  /d r 压 辊 轴 偏 移 量 8r   /m a

[] 字宁 , 1吴 等谴 粒机 平模用 新型 高铬耐磨 钢 的研 制  江苏冶金 ,9 95 18 ,  . [] 智 , . 效 分 析 一 基 础及 应 用 【 . 京 : 械工 业 出版 社 ,0 5 2孙 等失 M】 北 机 20.   []国家 机 械 工 业 委 员 会 . 效分 析[ . 京 : 械 工 业 出 版社 ,9 4 3 失 M] 北 机 19 .  

图 3 倾 角对 总错 位效 应 的影响  图 4 偏 移量 对 总错位 效应 的  影 响  Fi. T e c n rb t n o   g3 h   o t i u i   f o
i lna i on h   e al nci ton  t e ov r l  d so a on  fe t il c t i e c  Fi . The c nt buton of g4   o r i i    

[]1本 润 滑 学 会 ; 庶 辉 ( . 损 [ . 4 3 霍 译) 磨 M] 北京 : 国铁 道 出 版 社 ,95  中 18. [】 劲 锋 . 粒 环 模 磨 损 失 效机 理 研 究 及 优 化 设 计 【】 州 : 州 理  5吴 制 D. 兰 兰
工 大 学 .0 8 20.  

o s t n teo eal f e  o h  v r l   i lc t n e c  d so a o   fe t i

( 接第 2 上 3页 )  

如 果 选 择 某 个 小 波 函 数 , 同 时 满 足 

情 况下 .具 有 实际 的物 理 意义 ,所 以傅 立 叶变换 得 到 了 
广 泛 的 应 用 。 但 是 ,这 种 理 论 具 有 一 定 的局 限 性 。 小 波   分 析 从 理 论 上 克 服 了 上 述 傅 立 叶 变 换 的 三 个 缺 点 。 由于 

四项 指标 。为 了进 行 小 波分 解 与 重 构 , 四 合 一 ” “ 的小 波 
函 数 不 存 在 。数 学 家 们 “ 分 为 四 ” 一 ,选 择 了 四 个 函 数 ,  

巧 妙 地解 决 了这 些 问题 。这 四个 函 数是 :尺 度 函 数  ,   小 波 函数 I,对偶 尺度 函数4,对 偶 小波 函数 。选择 这  l , ) 四个 函数 的原 因是 小波 变换 的“ 时间一 频 率窗 ” 的宽度 ,  

小 波 系数 随时 问变 化 ,所 以 ,不 论 是平 稳信 号 还是 非平  稳 信 号 得 到 的小 波 频 谱 与 实 际 的物 理 频 谱 ,都 十分 接 
近 。 由 于 小 波 具 有 紧 支 撑 的 性 质 ,局 部 突 变 信 息 的 作 用 

当检测 高频 信号 时 变窄 ,检 测低 频信 号 时变 宽 。为 了检 
测 到 所 有 频 率 信 号 , 时 间 一 频 率 窗 ” 的 宽 度 必 须 按 一 定  “

能 很 好 地 反 映 出来 ,处 理 、捕 捉 突 变 信 号 ,灵 敏 度 很  高 。小 波 函数 的选 择 ,对 分析 结果 影 响很 大 。根据 不 同  的用途 .应慎 重 选择 合适 的小 波 函数 。  
参 考 文献 :  
[】 费 东 , 爱 平 -、 分 析 在 控 制 中的 应 用 及 展 望 L. 一 届 中 国 1陆 蒋 ,波 J 刀第   智 能 计 算 大 会 论 文 集 ,0 7 20 .   [] 远 炎 , 玲 .、 分 析 与 文本 文字 识 别 【 . 学 出版 社 , 0 . 2唐 王 ,波 J M] 科 2 4  0

的次序 变 化 ,不失 一般 性 ,从 窄到 宽 ,检测 频率 信 号从  高 频到低 频 的次 序进 行—— 实 际上也 正是 这样 的次序 。  

4 结 论 
傅立 叶理 论 不仅 在数 学 上有 很大 的理论 价值 ,更 重 

[】 明 才 .、 分 析 及其 应 用【 . 华 大 学 出版 社 ,0 5 3刘 ,波 J M】 清 20 .  

要 的是傅 立 叶变换 或 傅立 叶 积分 得到 的频 谱 信息 在许 多 
1  8


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