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2017-2018学年高中数学苏教版必修四课件:第2章2.3 第2课时 平面向量的坐标表示及运算


问题 1: 在平面向量基本定理中, 若 e1⊥e2, 定理还适用吗? 提示:适用. 问题 2:在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相 同的两个单位向量 i,j 作为基底,任作一个向量 a,由平面向量 基本定理,我们知道 a 表示为 xi+yj,试想数对(x,y)唯一吗? 能理解为点坐标吗? 提示:唯一,能. ??? ? 问题 3:已知一点 A 的坐标(x,y),则向量 OA 确定吗? ??? ? 提示:唯一确定,即 OA =xi+yj. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单 位向量 i,j 作为基底,对于平面上的向量 a,由平面向量的基本定 理可知,有且只有一对有序实数 x,y,使得 a=xi+yj.我们把有序 实数对 (x,y) 称为向量 a 的(直角)坐标,记作 a= (x,y) . 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2). 问题 1:试用单位向量 i 和 j 表示 a 和 b. 提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j. 问题 2:试求 a+b. 提示:a+b=(x1+x2)i+(y1+y2)j. 问题 3:向量 a+b 的坐标是什么? 提示:(x1+x2,y1+y2) 平面向量的坐标运算 (1)已知向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2)和实数 λ,那么 ①a+b= (x1+x2,y1+y2) ; ②a-b= (x1-x2,y1-y2) ; ③λa= (λx1,λy1) . ? ??? ? ??? ? ??? (2)已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB = OB - OA = (x2-x1,y2-y1). 这就是说,一个向量的坐标等于该向量 终点 的坐标减去 起点 的坐标. ??? ? 1.在直角坐标平面内,以原点为起点的向量 OA =a,点 A 的位置 被向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与向量 a 的坐标统一为(x,y). 2.符号(x,y)在直角坐标系中有两重意义,它既可以表示一个固 定的点,又可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,就常说点 (x,y)或向量(x,y). 3.平面向量的坐标与该向量的始点、终点坐标有关,应把向量的 坐标与点的坐标区别开来,只有始点在原点时,向量的坐标才与终点 的坐标相等. [例 1] 在直角坐标系 xOy 中,向量 a,b 的位置如右图,|a|=4,|b|=3,且∠AOx=45° , ∠OAB=105° ,分别求向量 a,b 的坐标. [思路点拨] 利用任意角的三角函数定义,若 a=(a1,a2), ? ?a1=|a|cos θ, θ,则有? ? ?a2=|a|sin θ. a 的方向相对于 x 轴正向的转角为 [精解详析] 设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),由 于向量 a 相对于 x 轴正方向的转角为 45° , 2 所以 a1=|a|cos 45° =4× =2 2, 2 2 a2=|a|sin 45° =4× =2 2. 2 可以求得向量 b 相对于 x 轴正方向的转角为 120° . 所以 b1=|b|cos ? 1? 3 ? ? 120° =3× -2 =- , 2 ? ? 3 3 3 b2=|b|sin 120° =3× = . 2 2 故 a=(2 2,2 ? 3 3 3? ? ? 2),b=?- , . 2 ? ? 2 ? [一点通] 求任意一个向量的坐标, 需要求出这个向量在 x 轴, y 轴上的坐标,即将向量沿 x 轴,y

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