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嘉兴市2018届高三教学测试数学试卷(2018.4)

2018 年高考模拟测试
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知集合 M ? { y | y ? 0} , N ? { y | y ? ? x 2 ? 1} ,则 M ? N ? A. ?0,1? 2.已知 ? ? ( B. ?0, 1? C. ?0, ? ? ? D. ?1, ? ? ?

? 3?
2 , 4

) , a ? sin? , b ? cos ? , c ? tan? ,那么 a , b , c 的大小关系是
B. b ? a ? c C. a ? c ? b D. c ? a ? b

A. a ? b ? c

3.某几何体的三视图如图(单位:m) ,则该几何体的体积是 A.

2 m3 3

4 m3 B. 3
C.2 m 3 D.4 m 3
俯视图 正视图

2 2 1
侧视图

(第 3 题)

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 4.在平面直角坐标系 xoy 中, M 为不等式组 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 所表示的平面区域上一动点,则直线 OM 斜 ?3 x ? y ? 8 ? 0 ?

率的最小值为 A. 2 B. 1 C. ?

1 3

D. ?

1 2

1 1 5.已知 p :不等式 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 的解集为 ( , 1) , q : a ? ,则 p 是 q 的 2 a
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知两个平面 ? , ? 和三条直线 m , a , b ,若 ? ? ? ? m , a ? ? 且 a ? m , b ? ? ,设 ? 和 ? 所成的一 个二面角的大小为 ? 1 ,直线 a 和平面 ? 所成的角的大小为 ? 2 ,直线 a , b 所成的角的大小为 ? 3 ,则 A. ? 1 ? ? 2 ? ? 3 C. ? 1 ? ? 3 , ? 2 ? ? 3 B. ? 3 ? ? 1 ? ? 2 D. ? 1 ? ? 2 , ? 3 ? ? 2

7.已知数列 {an } 为等差数列,且 a8 ? 1 ,则 2 | a9 | ? | a10 | 的最小值为 A.3 B .2 C.1
第1页

D.0

8.若双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 的右顶点为 A ,过 A 的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线交于 P , Q 两点,且

PA ? 2 AQ ,则直线 l 的斜率为
A.

1 3

B.

2 3

C.2

D.3

9.已知 x ? y ? A. 5 3

1 4 ? ? 8 ( x, y ? 0 ) ,则 x ? y 的最小值为 x y

B .9

C. 4 ? 26

D. 10

5 10.已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? b ,集合 A ? { x | f ( x ) ? 0} ,集合 B ? { x | f ( f ( x )) ? } ,若 A ? B ? ? , 4
则实数 a 的取值范围是 A. [ 5 , 5] B. [?1, 5] C. [ 5 , 3] D. [?1, 3]

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11.若复数 z 满足 ?3 ? i ? z ? 2 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? ▲ ; | z |? ▲ . ▲ ;

B ( 2, 0 ) , 12. 已知直角坐标系中 A ( ?2, 0) , 动点 P 满足 | PA |? 2 | PB | , 则点 P 的轨迹方程是

轨迹为



. ▲ ;所有项系数的和为 ▲ .

13. ( x ? 2)( x ? 1)6 展开式中, x 3 项的系数为

14.设△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A, B , C , 已知 a 2 ? 2b 2 ? c 2 ,则

tan C ? tan A



; tan B 的最大值为





15.某市的 5 所学校组织联合活动,每所学校各派出 2 名学生.在这 10 名学生中任选 4 名学生做游戏, 记 “恰有两名学生来自同一所学校”为事件 A ,则 P ( A) ? ▲ . ▲ .

16.已知 | c |? 2 ,向量 b 满足 2 | b ? c |? b ? c .当 b, c 的夹角最大时, | b |?
x2 a
2

17.椭圆

?

y2 b
2

? 1 (a ? b ? 0) ,直线 l 1 : y ? ?

1 1 x ,直线 l 2 : y ? x , P 为椭圆上任意一点,过 P 作 2 2

PM // l 1 且与直线 l 2 交于点 M ,作 PN // l 2 且与 l 1 交于点 N ,若 | PM | 2 ? | PN | 2 为定值,则椭圆的

离心率为



.

第2页

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分) 18. (本题 14 分)已知函数 f ? x ? ? cos(2 x ?

? ) ? 3 (sin x ? cos x ) 2 . 3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)设△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A, B , C ,若 a ? 2 , c ? 7 , f (

?
4

?

C ) ? 3 ,求 b 的值. 2

19. (本题 15 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,侧面 PCD 为正三角形且二面角
P ? CD ? A 为 60? .

(Ⅰ)设侧面 PAD 与 PBC 的交线为 m ,求证: m // BC ; (Ⅱ)设底边 AB 与侧面 PBC 所成角的为 ? ,求 sin? 的值.

P

D

C

A
(第 19 题)

B

第3页

20. (本题 15 分)已知函数 f ( x ) ?

ex ? 2 . x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)证明: f ( x ) 仅有唯一的极小值点.

21. (本题 15 分)点 P (1, 1) 为抛物线 y 2 ? x 上一定点,斜率为 ? (Ⅰ)求弦 AB 中点 M 的纵坐标;

1 的直线与抛物线交于 A, B 两点. 2

(Ⅱ)点 Q 是线段 PB 上任意一点(异于端点) ,过 Q 作 PA 的平行线交抛物线于 E , F 两点,求证:
| QE | ? | QF | ? | QP | ? | QB | 为定值.

y P
Q
O

E

A

x

F B
(第 21 题)

22. (本题 15 分) 已知数列 {a n } 满足 a1 ?
1 2 3 , a n ? 1 ? (1 ? n )a n ? (n ? N ? ) n( n ? 1) 3 2

(Ⅰ)判断数列 {a n } 的单调性; (Ⅱ)证明:
a n?1 1 2 ?1? n ? ( n ? 2) ; an 3 n ( n ? 1) 3

(Ⅲ)证明: an ? 3 e .

第4页

2018 年高考模拟测试 数学
1.B; 6.D; 9.提示: x ? y ? 2.A; 7.C; 3.A; 8.D;

参考答案
5.A; 10.A.

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 4.C; 9.B;

1 4 1 4 ? ?8? x? y?8? ? , x y x y 1 4 ? )( x ? y ) x y

两边同时乘以“ x ? y ”得: ( x ? y ? 8)( x ? y ) ? ( 所以 ( x ? y ? 8)( x ? y ) ? (5 ?

y 4x ? ) ? 9 ,当且仅当 y ? 2 x 时等号成立. x y

令 t ? x ? y ,所以 ( t ? 8) ? t ? 9 ,解得 t ? ? 1 或 t ? 9 因为 x ? y ? 0 ,所以 x ? y ? 9 ,即 ( x ? y )min ? 9

5 5 10.提示:设 B ? { x | f ( f ( x )) ? } ? { x | m ? f ( x ) ? n} ,( m, n 为 f ( x ) ? 的两根) . 4 4
因为 A ? B ? ? ,所以 n ? 0 且 m ? f min ( x ) , ? ? a 2 ? 4b ? 0 .

5 5 , b ? . ? ? a2 ? 5 ? 0 ? a ? ? 5 或 a ? 5 . 4 4 5 5 5 5 令 t ? f ( x ) , f ( f ( x )) ? ? f (t ) ? ? t 2 ? at ? ? ? ?a ? t ? 0 . 4 4 4 4
于是 f (n) ? f (0) ?

5 即 B ? { x | f ( f ( x )) ? } ? { x | m ? f ( x ) ? n} ? { x | ?a ? f ( x ) ? 0} ? m ? ?a . 4 a 所以 ? a ? f min ( x ) ,即 ? a ? f (? ) ? a ? [?1, 5] .故 a ?[ 5 ,5] . 2

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分) 11. z ?
2 1 1 ; ? i; 2 2 2

12. x 2 ? y 2 ? 12x ? 4 ? 0 ;一个圆; 14. ? 3 ;
3 ; 3

13.55;192; 15.

4 ; 7

16. 2 2 ;

17.

3 . 2

16.提示:设 ? b, c ?? ? , 2 | b ? c |? b ? c ? 4 | b |2 ?8b ? c ? 4 | c |2 ? (b ? c)2 ,

第5页

即 4 | b |2 sin2 ? ? 16 | b | cos? ? 16 ? 0 ? 4 cos? ?| b | sin2 ? ? 所以 ? max ?

4 |b|

? 4 sin? .

?
4

,此时 | b |? 2 2 .

17.提示:令 | PM |2 ? | PN |2 ? t ( t 为常数) ,设 M ( x1 ,

1 1 x1 ), N ( x 2 , ? x 2 ) , 2 2

5 由平行四边形知识, | PM |2 ? | PN |2 ?| OM |2 ? | ON |2 ? ( x12 ? x22 ) ? t . 4 1 1 设点 P ( x , y ) ,因为 OP ? OM ? ON ? ( x1 ? x 2 , x1 ? x 2 ) . 2 2
? x ? x1 ? x 2 3 8 ? 2 2 所以 ? . ? x 2 ? 4 y 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? t ,此方程即为椭圆方程,即 e ? 1 1 2 5 ? y ? x1 ? x 2 2 2 ?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分) 18. (本题 14 分) 已知函数 f ? x ? ? cos(2 x ?

? ) ? 3 (sin x ? cos x ) 2 . 3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)设△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A, B , C ,若 a ? 2 ,c ? 7 , f ( 值. 解答: (Ⅰ) f ( x ) ?
1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 (1 ? sin 2 x ) ? sin(2 x ? ) ? 3 , 2 2 6

?
4

?

C ) ? 3 ,求 b 的 2

所以, f ( x ) 的最大值为 1 ? 3 , T ? ? . (Ⅱ)因为 f (

?
4

?

C ? ? ? ) ? sin( ? C ? ) ? 3 ? cos(C ? ) ? 3 ? 3 , 2 2 6 6

? cos(C ?

?
6

)? 0?C ?

?
3



由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C 可得: b2 ? 2b ? 3 ? 0 , 因为 b ? 0 ,所以 b ? 3 .

19. (本题 15 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,侧面 PCD 为正三角形且二面角
P ? CD ? A 为 60? .

(Ⅰ)设侧面 PAD 与 PBC 的交线为 m ,求证: m // BC ; (Ⅱ)设底边 AB 与侧面 PBC 所成角的为 ? ,求 sin? 的值.
第6页

解答: (Ⅰ)因为 BC // AD ,所以 BC // 侧面 PAD . 又因为侧面 PAD 与 PBC 的交线为 m ,所以 m // BC . (Ⅱ)解法一:向量方法 取 CD 中点 M 、 AB 中点 N ,连 PM 、 MN , 则 PM ? CD 、 MN ? CD . 所以 ?PMN 是侧面 PCD 与底面成二面角的平面角. 从而 ? PMN ? 60? . 作 PO ? MN 于 O ,则 PO ? 底面 ABCD . 因为 CM ? 2 , PM ? 2 3 ,

z

P

D
M
O

C

y B

A
所以 OM ? 3 , OP ? 3 .

x

N

(第 19 题)

以 O 为原点, ON 为 x 轴, OP 为 z 轴,如图建立右手空间直角坐标系. 则 AB ? (0,4,0) , PB ? (4 ? 3 ,2,?3) , PC ? (? 3 ,2,?3) . 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PBC 的法向量,

? ?(4 ? 3 ) x ? 2 y ? 3z ? 0 则? ? x ? 0 , 2 y ? 3 z .取 n ? (0,3,2) . ? ? ? 3 x ? 2 y ? 3z ? 0
则 sin? ?| cos ? n, AB ?| ? 解法二:几何方法 取 CD 中点 M 、 AB 中点 N ,连 PM 、 MN ,则 PM ? CD 、 MN ? CD . 所以 ?PMN 是侧面 PCD 与底面成二面角的平面角. 从而 ? PMN ? 60? . 作 PO ? MN 于 O ,则 PO ? 底面 ABCD . 因为 CM ? 2 , PM ? 2 3 ,所以 OP ? 3 . 作 OE // AB 交 BC 于 E ,连 PE . 因为 BC ? PO , BC ? OE ,
12 13 ? 4

?

3 13 . 13

P

D
O

M

C

E B

A

N

所以 BC ? 平面 POE .从而平面 POE ? 平面 PBC . (第 19 题) 所以 ?PEO 就是 OE 与平面 PBC 所成的角, ?POE ? ? .

第7页

在△ POE 中, tan? ?

3 13 PO 3 . ? .故 sin? ? 13 OE 2

20. (本题 15 分) 已知函数 f ( x ) ?
ex ? 2 . x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)证明: f ( x ) 仅有唯一的极小值点. 解答: (Ⅰ)因为 f ?( x ) ?
e x ( x ? 1) ? 2 ,所以 k ? f ?(1) ? ?2 .又因为 f (1) ? e ? 2 , x2

所以切线方程为: y ? (e ? 2) ? ?2( x ? 1) ,即 2 x ? y ? e ? 4 ? 0 . (Ⅱ)令 h( x) ? e x ( x ? 1) ? 2 ,则 h?( x ) ? e x ? x , 所以 x ? ( ??, 0) 时 h?( x ) ? 0 , x ? (0, ? ? ) 时 h?( x ) ? 0 . ① 当 x ? ( ??, 0) 时,易知 h( x ) ? 0 , 所以 f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( ??, 0) 上没有极值点. ② 当 x ? (0, ? ? ) 时,因为 h(1) ? ?2 ? 0, h(2) ? e 2 ? 2 ? 0 , 所以 f ?(1) ? 0, f ?( 2) ? 0 , f ( x ) 在 (1,2) 上有极小值点. 又因为 h( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递增,所以 f ( x ) 仅有唯一的极小值点.

21. (本题 15 分) 点 P (1, 1) 为抛物线 y 2 ? x 上一定点,斜率为 ? (Ⅰ)求弦 AB 中点 M 的纵坐标; (Ⅱ)点 Q 是线段 PB 上任意一点(异于端点) ,过 Q 作 PA 的平行线交抛物线于 E , F 两点,求证:
| QE | ? | QF | ? | QP | ? | QB | 为定值.

1 的直线与抛物线交于 A, B 两点. 2

y P
Q
O

解答: (Ⅰ) k AB

y ? yB 1 1 ? A ? ? ? (*) x A ? xB y A ? yB 2

E

所以 y A ? y B ? ?2 , y M ?

y A ? yB ? ?1 . 2

(Ⅱ)设 Q( x0 , y0 ) ,直线 EF : x ? x0 ? t1 ( y ? y0 ) ,

A

x

F B
(第 21 题)

? ? x ? x0 ? t1 ( y ? y0 ) 联立方程组 ? 2 ? y 2 ? t1 y ? t1 y0 ? x0 ? 0 , ? ?y ? x
所以 y E ? yF ? t1 , y E ? yF ? t1 y0 ? x0 ,
第8页

| QE | ? | QF |? 1 ? t1 | y E ? y0 | ? 1 ? t1 | y F ? y0 |? (1 ? t1 ) | y0 ? x0 | ,

2

2

2

2

同理 | QP | ? | QB |? (1 ? t 22 ) | y02 ? x0 | . 由(*)可知: t1 ?
1 k EF ? 1 1 ? y A ? yP , t2 ? ? yB ? yP k PA k PB

所以 t1 ? t 2 ? ( y A ? yB ) ? 2 y P ? ?2 ? 2 ? 0 ,即 t1 ? ?t 2 ? t12 ? t 2 2 所以 | QE | ? | QF |?| QP | ? | QB | ,即 | QE | ? | QF | ? | QP | ? | QB |? 0

22. (本题 15 分) 已知数列 {a n } 满足 a1 ?
1 2 3 , a n ? 1 ? (1 ? n )a n ? (n ? N ? ) n( n ? 1) 3 2

(Ⅰ)判断数列 {a n } 的单调性; (Ⅱ)证明:
a n?1 1 2 ?1? n ? ( n ? 2) ; an 3 n ( n ? 1) 3

(Ⅲ)证明: an ? 3 e . 解答: (Ⅰ)因为 a n?1 ? a n ?
1 2 3 a ? .当 n ? 1 时, a1 ? ? 0 . n n n( n ? 1) 2 3 1 2 )a k ? ?0. k k ( k ? 1) 3

假设 n ? k 时, ak ? 0 ,所以 n ? k ? 1 时, a k ? 1 ? (1 ? 从而对于一切 n ? N ? , an ? 0 . 所以 a n ? 1 ? a n ?

1 2 an ? ? 0 ,即数列 {a n } 单调递增 . n( n ? 1) 3n

(Ⅱ)证明:因为 a1 ?

3 ,所以 a2 ? 3 . 2

又因为由(Ⅰ)可知 an ? 1 ? an ,所以 n ? 2 时 an ? 3 .
a n ? 1 ? (1 ? a 1 2 1 2 )a n ? ? (1 ? n )a n ? ? n , n n( n ? 1) n( n ? 1) 3 3 3



a n?1 1 2 ?1? n ? ( n ? 2) . an 3n( n ? 1) 3 a 1 2 ] ( n ? 2) . (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)得 ln n?1 ? ln[1 ? n ? an 3n( n ? 1) 3
1 2 ? ] ( n ? 2) . 3 n 3n( n ? 1) 1 2 ? ( n ? 2) . n 3n( n ? 1) 3

所以 ln a n ? 1 ? ln a n ? ln[1 ?

由 ln(1 ? x ) ? x ( x ? 0) 得: ln a n ? 1 ? ln a n ?

ln an ? ln a2 ? (ln an ? ln an ?1 ) ? (ln an ?1 ? ln an ? 2 ) ? ? ? (ln a3 ? ln a2 ) ( n ? 3) .

第9页

所以 ln a n ? ln a 2 ? (

1 1 1 2 1 1 1 ? 3 ? ? n?1 ) ? ( ? ?? ) 2 3 2? 3 3? 4 ( n ? 1) ? n 3 3 3

1 1 [1 ? ( )n ? 2 ] 2 1 1 1 1 1 3 ? 9 ? ( ? )? ? ? 1 3 2 n 6 3 2 1? 3
所以 ln an ?

( n ? 3) .

1 ? ln 3 ( n ? 3) ,即 an ? 3 e ( n ? 3) . 2

经验证 a1 , a2 也成立,即得证 an ? 3 e .

第 10 页


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