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解三角形题型5正、余弦定理判断三角形形状


小小亲清辅导班

解三角形题型 5:正、余弦定理判断三角形形状 1、 (2013·陕西高考文科·T 9)设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若

b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 (
A. 直角三角形 B. 锐角三角形

) D. 不确定

C. 钝角三角形

2、 (2010 上海文数)18.若△ 则△ ABC

ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5:11:13 ,

(A)一定是锐角三角形. (B)一定是直角三角形. (C)一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定

2 4、在△ABC 中,已知 2a ? b ? c , sin A ? sin B sin C ,试判断△ABC 的形状。

5、在△ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么△ABC 一定是 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形

7 , 则Δ ABC 是______三角形. 12 cos A cos B sin C 7、在△ABC 中,若 ,则△ABC 是( ) ? ? a b c
6、A 为Δ ABC 的一个内角,且 sinA+cosA= A.有一内角为 30°的直角三角形 C.有一内角为 30°的等腰三角形 B.等腰直角三角形 D.等边三角形 ( )

8、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC, 那么Δ ABC 是 A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形

9、 (2010 辽宁文数 17)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

10、在 ?ABC 中,已知 (a 2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ? (a 2 ? b2 ) ? sin( A ? B) ,判断该三角形的 形状。
11、在Δ ABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b2=ac; ②b2tanA=a2tanB; ③sinC=

sin A ? sin B ④ (a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B). cos A ? cos B

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题型 5:正、余弦定理判断三角形形状答案 1、 【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为 角的正弦式或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方 向. 【解析】选 A.因为 bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得 2 2 sinBcosC+sinCcosB=sin A,所以 sin(B+C)=sin A, 2 sinA=sin A, sinA=1,所以三角形 ABC 是直角三角形. 2、解析:由 sin A : sin B : sin C ? 5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得 3、解析:设增加同样的长度为 x,原三边长为 a、b、c,且 c2=a2+b2,a+b>c.新的三角形 的三边长为 a+x、b+x、 c+x,知 c+x 为最大边,其对应角最大.
cos c ? 5 2 ? 112 ? 13 2 ?0 2 ? 5 ? 11 ,所以角 C 为钝角

而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0, 由余弦定理知新的三角形 的最大角的余弦 为正,则为锐角,那么它为锐角三角形.答案:A

4、解:由正弦定理 a ? b ? c ? 2 R 得: sin A ? a , sin B ?
sin A sin B sin C

2R

b , c 。 sin C ? 2R 2R

2 所以由 sin A ? sin B sin C 可得: (

a 2 b c ,即: a 2 ) ? ? 2R 2R 2R

? bc 。

又已知 2a ? b ? c ,所以 4a 2 ? (b ? c) 2 ,所以 4bc ? (b ? c) 2 ,即 (b ? c) 2 ? 0 , 因而 b ? c 。故由 2a ? b ? c 得:2a ? b ? b ? 2b , a ? b 。所以 a ? b ? c ,△ABC 为等边三角形。
5、B 解析:2sinAcosB=sinC =sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB ∴sin(A-B)=0,∴A=B 另解:角化边 点评: 本题考查了三角形的基本性质, 要求通过观察、 分析、 判断明确解题思路和变形方向, 通畅解题途径 6、纯角 9、解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2

即a

2

? b 2 ? c 2 ? bc

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 1 故 cos A ? ? , A ? 120 ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin 又 sin B ? sin C
2

A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C.
2

? 1 ,得 sin B ? sin C ? 1

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因为 0? ? 故B?C

B ? 90?,0? ? C ? 90? ,
所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。

10、 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。

方法一: a 2 [sin( A ? B) ? sin( A ? B)] ? b 2 [? sin( A ? B) ? sin( A ? B)]
? 2a2 cos A sin B ? 2b2 cos B sin A

由正弦定理,即知 sin 2 A cos A sin B ? sin 2 B cos B sin A
?sin A sin B(sin A cos A ? sin B cos B) ? 0

?sin 2 A ? sin 2B
由 0 ? 2 A, 2B ? 2? ,得 2 A ? 2B 或 2 A ? ? ? 2B 即 ?ABC 为等腰三角形或直角三角形 方法二:同上可得 2a2 cos A sin B ? 2b2 cos B sin A b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? b2 a 由正、余弦定理,即得: a 2b 2bc 2ac
? a 2 (b2 ? c 2 ? a 2 ) ? b2 (a 2 ? c 2 ? b2 )

即 (a 2 ? b2 )(c 2 ? a 2 ? b2 ) ? 0

?a ? b 或 c 2 ? a 2 ? b2
即 ?ABC 为等腰三角形或直角三角形 【点拨】判断三角形形状问题,一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为 边与边之间的关系, 通过因式分解等方法化简得到边与边关系式,从而判断出三 角形的形状; (角化边) 二是应用正弦定理、 余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系,通 过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系, 从而判断出三角形 的形状。 (边化角)
11、分析:化简已知条件,找到边角之间的关系,就可判断三角形的形状. ①由余弦定理
cos 60? ? a2 ? c2 ? b2 a2 ? c2 ? b2 1 ? ? ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac 2ac 2ac 2

? (a ? c) 2 ? 0 ,

2 ? a ? c . 由 a=c 及 B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由 b 2 tan A ? a 2 tan B ? b sin A

cos A

?

a sin B sin B cos A b sin B ? ? ? ? sin A cos A ? sin B cos B,? sin 2 A ? sin 2 B, cos B sin A cos B a 2 sin 2 A

2

2

2

∴ A=B



A+B=90 ° , ∴ △ ABC 为 等 腰 △ 或 Rt △ .

③ ? sin C ? sin A ? sin B , 由 正 弦 定 理 : cos A ? cos B

c(cos A ? cos B) ? a ? b, 再由余弦定理: c ?

a2 ? b2 ? c2 a2 ? c2 ? b2 ? c? ? a?b 2bc 2ac
④由条件变形为 sin(A ? B) ? a 2 ? b 2
sin(A ? B) a2 ? b2

? (a ? b)(c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? 0,? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? ?ABC为Rt? .

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?

sin(A ? B) ? sin(A ? B) a 2 sin A cos B sin 2 A ? 2 ,? ? ? sin 2 A ? sin 2 B,? A ? B或A ? B ? 90? . sin(A ? B) ? sin(A ? B) b cos A sin B sin 2 B

∴△ABC 是等腰△或 Rt△.


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