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数学:3.2《一元二次不等式及其解法》课件(新人教A版必修5)_图文

3.3《一元二次 不等式及其解法》

教学目标

? 掌握一元二次不等式的解法 教学重点: 一元二次不等式的解法

(一)创设情境

形成概念

问题:某同学要把自己的计算机接入因特网,现有两家 ISP 公司可供 选择,公司 A 每小时收费 1.5 元;公司 B 的收费原则如图所示,即在用 户上网的第 1 个小时内收费 1.7 元, 第 2 个小时内收费 1.6 元,以后 每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计 算),请问该同学应选择哪家公司. 分析:假设一次上网 x 小时( 0 ? x ? 17, x ? N * ) 公司 A 收取的费用为: 1.5x (元)

如果选择 A 公司,则 >1.5x (0<x<17)要成立. 20 x(35 ? x) 先化简不等式 >1.5x 整理得 x2 ? 5x ? 0 20

公司 B 收取的费用为: x{1.7 ? [1.7 ? ( x ? 1) 0.1]} (元) 2 x(35 ? x) 即 (元) 20 x(35 ? x)

考察下面含未知数x的不等式:
x2-5x<0 和 3x2+6x-1≤0. 这两个不等式有两个共同特点: (1)含有一个未知数x; (2)未知数的最高次数为2. 一般地,含有一个未知数,且未知

数的最高次数为2的整式不等式,叫做一
元二次不等式。

(二)自主合作 形成规律
探究一:如何解关于 x 的不等式
作出二次函数 y ? x2 ? 5x 的图象如图所示

x 2 ? 5x ? 0

???

这是一个关于解一元二次不等式的问题

由右边的图象填空:

⑴当 x=0 或 5 时,
⑵当 0<x<5 时,

2 y = 0, 即 x ? 5 x = 0; 2 y < 0, 即 x ? 5 x < 0;

2 ⑶当 x<0 或 x>5 时, y > 0, 即 x ? 5 x > 0.

∴可知 x2 ? 5x ? 0 的解集为 ? x 0 ? x ? 5?

一元二次不等式可用图象法求解

探究二:一般一元二次不等式的解法

一元二次方程的解即一元二次函数图象与x轴 交点的横标,一元二次不等式的解集即一元二次 函数图象在x轴下方或上方图象所对应x的范围。

问:y= ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交 点情况有哪几种?

利用二次函数图象能解一元二次不等式!

Δ>0

Δ=0

Δ<0

请同学们完成下表:
方程或不等式 (a>0) Δ >0 解 集 Δ =0
b

Δ <0

ax2+bx+c=0、 {x|x=x1 或 x=x2} {x| x=- 2 a } ax2+bx+c >0 ax2+bx+c <0

?

一元二次方程、不等式的解集
方程或不等式 (a>0)
2

解 Δ >0

集 Δ =0 {-
b } 2a

Δ <0
?

ax +bx+c=0、 {x|x=x1 或 x=x2}

ax +bx+c >0 {x|x<x 小

2

或 x>x 大} {x|x≠- 2 a }
?

b

R

ax2+bx+c <0

{x|x 小<x <x 大}

?

(三)迁移应用 巩固提高

例1.解不等式 2x2-3x-2 > 0 . 先求方程的根 解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, 然后想像图象形状
方程的解2x2-3x-2 =0的解 是 1 x1 ? ? , x2 ? 2. 2
所以,原不等式的解集是

1 ? ? ? x | x ? ? , 或x ? 2?. 2 ? ?

注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根(两边飞)

若改为:不等式 2x2-3x-2 < 0 .
图象为:
1 则不等式的解集为:?x ? ? x ? 2 2

?

注:开口向上,小于0 解集是大于小根且 小于大根(两边夹)

-2

3

小结:利用一元二次函数图象解一元二次不等式 其方法步骤是: (1)先求出Δ和相应方程的解, (2)再画出函数图象,根据图象写出不等式的解。

若a<0时,先变形!

例2.解不等式 -3x2+6x > 2
解: ∵-3x2+6x >2

3x2-6x+2 < 0

∵方程的解3x2-6x+2 =0的解是
3 3 x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? . 3 3
? 3 3? ? x ? 1? 所以,原不等式的解集是 ? x | 1 ? ? 3 3 ? ?

例3.解不等式 4x2-4x+1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2-4x+1 =0的解是 1 x1 ? x 2 ? 2, 所以,原不等式的解集是
1? ? ?x | x ? ? 2? ?

注:4x2-4x+1 <0

无解

例4.解不等式 -x2 +2x-3 > 0 略解: -x2 +2x-3 > 0

x2 -2x+3 < 0
无 解

注:x2 -2x+3 >0

x?R

变式练习1.解不等式1-x-4x2>0. 1.解:原不等式化为4x2+x-1<0, 因为△=12-4×4×(-1)>0,
2+x-1=0的根是 x ? ?1 ? 17 , x ? ?1 ? 17 方程4x 1 2
X

2

8

8

所以不等式的解集是
?1 ? 17 ?1 ? 17 {x | ?x? } 8 8

2.解不等式x2+4x+4>0. 解:因为△=42-4×1×4=0,

原不等式化为(x+2)2>0,
所以不等式的解集是{x∈R| x≠-2}.

小结:1.利用一元二次函数图象解一元二次不等式
其方法步骤是:

(1)先求出Δ和相应方程的解, (2)再画出函数图象,根据图象写出不等式的解 注:若a<0时,先变形! 2. 二次函数
一元二次方程的根 一元二次不等式的解 三个二次问题都可以通过图形实现转换
图象

作业:课本 P A组 1、2、3

89

拓展提高:求函数f ( x) ?

2 x 2 ? x ? 3 ? log 3 (3 ? 2 x ?

的定义域。

解:由函数f(x)的解析式有意义得
?2 x 2 ? x ? 3 ≥ 0 ? 3 ? 2 x ? x2 ? 0 ?

?(2 x ? 3)( x ? 1) ≥ 0 即 ? ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ?

解得

3 ? ? x ≤ ? 或x ≥ 1 2 ? ? ?1 ? x ? 3 ?

因此1≤x<3,所求函数的定义域是[1,3).


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