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【一轮参考】高优指导2017数学人教A版(文)一轮高考必考大题5圆锥曲线问题


高考必考大题之5 圆锥曲线问题

高考必考大题

5

圆锥曲线问题
考情分析 典例剖析 感悟提高

-2-

从近五年的高考试题来看,圆锥曲线问题在高考中属于必考内容, 并且常常在同一份试卷上多题型考查.对圆锥曲线的考查在解答题 部分主要体现以下考法:第一问一般是先求圆锥曲线的方程或离心 率等较基础的知识;第二问往往涉及定点、定值、最值、取值范围 等探究性问题,解决此类问题的关键是通过联立方程来解决.

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题型一 题型二 题型三

5

圆锥曲线问题
考情分析 题型四 题型五 典例剖析 感悟提高

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题型一圆锥曲线中的定点问题 2 2 典题已知椭圆C: + =1 (a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A, 2 2 且|AF|=1.

(1)求椭圆C的标准方程; (2)若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x=4 交于点Q,问:是否存在一个定点M(t,0),使得 ·=0 .若存在,求 出点M的坐标;若不存在,说明理由.

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圆锥曲线问题
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解 :(1)由 c=1,a-c=1,得 a=2, ∵b2+c 2=a2,∴ b2=3. 故椭圆
2 C 的标准方程为 4

(2)存在定点 M(1,0),理由如下: = + , 由 3 2 + 4 2 = 12, 得 (3+4k2)x2+8kmx+4m 2-12=0, 则 Δ=64k2m 2-4(3+ 4k2)(4m 2-12)=0, 即 m2=3+4k2. 设 P(xP,yP),则 即P
4 3 - , 4

2 + =1. 3

4 42 3 xP==- ,yP=kxP+m=- +m= , 3+42

.

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圆锥曲线问题
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∵M(t,0),Q(4,4k+m), ∴ = - -, ,
=(4-t,4k+m),
4 3

∴ · =

恒成立. = 1, 故 2 即 t=1. -4 + 3 = 0, ∴存在点 M(1,0)符合题意.

4 - -

3 4 2 · (4-t)+ · (4k+m)=t -4t+3+ (t-1)=0

策略技巧定点问题常见的两种解题方法: (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量, 再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证 明该定点与变量无关.

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题型二圆锥曲线中的定值问题 2 2 典题(2015四川,文20)如图,椭圆E: 2 + 2=1 (a>b>0)的离心率 是 2 ,点P(0,1)在短轴CD上,且 ·=-1.
2

(1)求椭圆E的方程; (2)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存 在常数λ,使得 ·+λ · 为定值?若存在,求λ的值;若不存在, 请说明理由.

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解 :(1)由已知,点 C,D 的坐标分别为(0,-b),(0,b). 又点 P 的坐标为(0,1),且 ·=-1, 1- 2 = -1, 于是 = 2 ,


2 所以椭圆 E 方程为 4

2 - 2 = 2 .

2

解得 a=2,b= 2.
2 + =1. 2

(2)当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y 2). 联立 = + 1, 其判别式 Δ=(4k)2+8(2k 2+1)>0, 所以,x1+x2=4
2

2 4

2 + 2

= 1,

得 (2k2+1)x2+4kx- 2=0.
2

2 +1

,x1x 2=-

2 +1

2

.

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从而, ·+λ · =x1x2+y1y 2+λ[x 1x2+(y1- 1)(y2-1)] =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 =
(-2-4) +(-2-1) 22 +1 -1
2 2

=-

2 +1

-λ-2.
-1
2

所以,当 λ=1 时 ,-

2 +1

-λ-2=-3.

此时, ·+λ · =-3 为定值. 当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD. 此时, ·+λ · = · + · =-2-1=-3. 故存在常数 λ=1,使得 ·+λ · 为定值-3.

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策略技巧两大解法:一是从特殊入手,求出定值,再证明这个值与 变量无关;二是引进变量法,即先引进变量,再把目标用引进的变量 进行代换,最后化简、变形得到定值.

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题型三圆锥曲线中的最值或范围问题 典题(2015湖北,文22)一种画椭圆的工具如图①所示,O是滑槽AB 的中点,短杆ON可绕O转动.长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上 的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB 内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C,以O 为原点,AB所在的直线为x轴建立如图②所示的平面直角坐标系.

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(1)求椭圆C的方程; (2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点, 若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是 否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由. 解:(1)因为|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4, 当M,N在x轴上时,等号成立; 同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2,当D,O重合, 即MN⊥x轴时,等号成立. 所以椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4, 短半轴长为2,
2 2 其方程为 + =1. 16 4

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(2)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 为 x=4 或 x=-4, 都有 S△OPQ= ×4×4=8.
1 2

②当直线 l 的斜率存在时 ,设直线 l:y=kx+m ≠ ± 2 ,

1

= + , 由 2 消去 y,可得 (1+4k2)x2+8kmx+4m 2-16=0. 2 + 4 = 16, 因为直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点 , 所以 Δ=64k2m 2-4(1+4k 2)(4m2- 16)=0,即 m 2=16k2+4.① = + , 2 又由 可得 P , ; 1 2 1 2 -2 = 0, 同理可得 Q
-2 , 1+2 1+2

.
|| 1+2

由原点 O 到直线 PQ 的距离为 d=

和 |PQ|= 1 + 2 |xP-xQ|,

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1 1 1 2 2 可得 S△OPQ= |PQ|· d= |m||xP-xQ|= · |m| + 2 2 2 1-2 1+2 2 22 |4 +1|

=

22 1-4
2

.②

将 ①代入 ②得 ,S△OPQ= 当 当
2

S△OPQ=8 因

1 k > 时 ,S△OPQ=8 =8 4 42 -1 2 1 0≤k < 时 , 4 2 4 +1 2 1-4 1 0≤k2< ,则 4
2

1-4 2 4 +1

2

=8

|4 -1| 2 1+ 2 4 -1

2

.

>8;

=8 -1 +
2 1-4
2

0<1-4k2≤ 1,

1-4 2

2

.
2 ≥2,

1-4

所以 S△OPQ=8 -1 +

≥8,当且仅当 k=0 时取等号.

所以当 k=0 时 ,S△OPQ 的最小值为 8. 综合 ①②可知 ,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时, △OPQ 的面积取得最小值 8.

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策略技巧1.圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种:一是几 何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值; 二是代数法,常将圆锥曲线的最值问题转化为函数或三角函数的最 值问题,然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性 等求最值.

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2.圆锥曲线中的取值范围可归为以下五类: (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参 数的取值范围; (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是 建立两个参数之间的等量关系; (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求 其值域,从而确定参数的取值范围.

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题型四轨迹问题 典题已知P为圆A:(x+1)2+y2=8上的动点,点B(1,0).线段PB的垂直 平分线与半径PA相交于点M,记点M的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; 2 2 (2)当点P在第一象限,且cos∠BAP= 3 时,求点M的坐标.

解 :(1)圆 A 的圆心为 A(-1,0),半径等于 2 2. 由已知|MB|=|MP|, 则 |MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2 2>2=|AB|, 因此 ,曲线 Γ 是以 A,B 为焦点 ,以 2 2为长轴长的椭圆, 即 a= 2,c=1,b=1, 故曲线 Γ
2 2 的方程为 +y =1. 2

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(2)由 cos∠BAP= 得P
5 2 2 , 3 3

2 2 ,|AP|=2 3

2,

.
2 y= (x+1). 4

于是直线 AP 方程为 由
2 2

+ 2 = 1,
2 ( 4

= 解得

+ 1),

整理得 5x2+2x-7=0,
7 x1=1,x2=- . 5

由于点 M 在线段 AP 上 ,所以点 M 坐标为 1,

2 2

.

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策略技巧1.直接法:如果动点满足的几何条件本身就是一些几何 量的等量关系,或这些几何条件简单明了且易于表达,只需把这种 关系“翻译”成含x,y的等式,就能得到曲线的轨迹方程.因为这种求 轨迹方程的过程直接以曲线方程的定义为依据求解,所以称之为直 接法. 求轨迹方程的步骤:

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2.定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义), 可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系 式,从而求出轨迹方程. 求轨迹方程的步骤:

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题型五圆锥曲线中的探索性问题
2 2 典题设椭圆C: 2 + 2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶

点为A,离心率e= 1 ,在x轴负半轴上有一点B,且 2 =21 . 2 (1)若过A,B,F2三点的圆恰好与直线l:x- 3 y-3=0相切,求椭圆C的 方程; (2)在(1)的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线l'与椭圆C交于 M,N两点.在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四 边形是菱形,如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.

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解 :(1)由题意

=

则 |F1F2|=a. 因为|AF1|=|AF2|=a, 又2 =21 , 所以 F1 为 BF2 的中点. 所以|AF1|=|BF1|=|F1F2|=a.

1 ,得 2

1 c= a, 2

所以△ABF2 的外接圆圆心为 F1 - ,0 , 半径 r=|F1A|=a. 又过 A,B,F2 三点的圆与直线 l:x- 3y-3=0 相切 . 所以
- -3 2 2

2

=a,解得 a=2,

所以 c=1,b2=a2-c 2=3.

2 2 所求椭圆方程为 + =1. 4 3

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(2)由 (1)知 F2(1,0), 设 l'的方程为 y=k(x-1), 将直线方程与椭圆方程联立, 得 2 = (-1),
2 + 4 3



= 1,②

①代入②,得 (3+4k2)x2-8k 2x+4k 2-12= 0.
设交点为 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1+x2=
8 2 3+42

,

y1+y2=k(x1+x2- 2). 若存在点 P(m,0),使得以 PM,PN 为邻边的平行四边形是菱形, 由于菱形对角线垂直, 所以( + )· =0.

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又 + =(x1-m,y1)+(x2-m,y2)=(x1+x 2-2m,y 1+y2). 因为的方向向量是(1,k), 故 k(y1+y2)+x1+x2-2m=0, 则 k2(x1+x2-2)+x1+x 2-2m=0, k2
82 3+4
2

-2 +

2

82

3+4

2-2m=0.

由已知条件知 k≠0,且 k∈R, 所以 m=
3+42 1 4

=

, 3 +4 2
1 0, 4

1

所以 0<m< . 故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 .

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-24-

策略技巧1.探索性问题通常将不确定性问题明朗化,其步骤为假 设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设 出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直 线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在. 2.反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.

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-25-

1.圆锥曲线中的求轨迹问题一般要注意最后的检验或说明. 2.圆锥曲线中的定点或定值问题,要善于从特殊情形中寻求突破 口. 3.圆锥曲线中的最值或范围问题要善于将所求目标函数化或代 数化,还要注意圆锥曲线本身的几何性质对最值的影响.


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