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2016年山东职业学院单招数学模拟试题(附答案解析)

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2016 年山东职业学院单招数学模拟试题(附答案解析)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合 (A)(1,3) 4)

, (B)(1,4)

,则 (C)(2,3) (D)(2,

2、若复数 (A)

满足

,其中 为虚数单位,则 (B) (C) (D)

3、设 (A) (B)

,则

的大小关系是 (C) (D)

4、要得到函数

的图象,只需将函数

的图象

(A)向左平移

个单位

(B)向右

平移个单位

(C)向左平移 5、设

个单位 ,则方程

(D)向右平移

个单位

,命题“若

有实根”的逆否命题是

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(A)若方程 (B) 若方程 有实根,则 有实根,则 (C) 若方程 (D) 若方程 没有实根,则 没有实根,则

6、为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选 取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶 图。考虑以下结论: ①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温; ③甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; ④甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 (A) ①③ (B) ①④ (C) ②③ (D) ②④

7、在区间 为

上随机地取一个数

,则事件“

”发生的概率

(A)

(B)

(C)

(D)

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8、若函数 是奇函数,则使 成立的 的取值范围为

(A)

(B)

(C)

(D)

9、已知等腰直角三角形的直角边的长为 2,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周 而形成的曲面所围成的几何体的体积为

(A)

(B)

(C)

(D)

10、设函数



,则

(A)1

(B)

(C)

(D)

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 (11)执行右边的程序框图,若输入的 的值为 1,则输出的 的值是 .

(12)若

满足约束条件



的最大值为

.

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(13)过点 作圆 . 的两条切线,切点分别为 A,B,则

(14)定义运算“

”: 的最小值为 .

.当

时,

(15)过双曲线 线,交 为 于点 P,若点 P 的横坐标为 .

的右焦点作一条与其渐近线平行的直 则 的离心率

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分 16.(本小题满分 12 分) 某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的请况,数据如下表: 参加书法社 团 参加演讲社团 未参加演讲社 团 (I)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; 8 未参加书法社 团 5

2

30

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(II)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 ,3 名女同学 学中各随机选 1 人,求 17.(本小题满分 12 分) 中,角 所对的边分别为 ,已 被选中且 ,现从这 5 名男同学和 3 名女同 未被选中的概率。



, 和 的值.



,求

18.(本小题满分 12 分) 如图,三棱台 (I)求证: (II)若 19.(本小题满分 12 分) 平面 中, ; ,求证:平面 平面 分别为 的中点,

.

已知数列

是首项为正数的等差数列,数列

的前

项和为



(I)求数列

的通项公式;

(II)设 20.(本小题满分 13 分)

,求数列

的前

项和

.

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设函数 与直线 平行, ,已知曲线 在点 处的切线

(Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)是否存在自然数 如果存在,求出 (Ⅲ)设函数 的最大值. 21. (本小题满分 14 分) ,使的方程 在 内存在唯一的根?

;如果不存在,请说明理由; 表示 中的较小值),求

平面直角坐标系

中,已知椭圆

的离心率为



且点

在椭圆 (Ⅰ)求椭圆

上, 的方程;

(Ⅱ)设椭圆 交椭圆 E 于



为椭圆

上任意一点,过点 交椭圆 E 于点

的直线 ,

两点,射线

(ⅰ)求 (ⅱ)求

的值; 面积的最大值。

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参考答案
一、选择题 (1)C (6)B 二、填空题 (2)A (7)A (3)C (8)C (4)B (9)B (5)D (10)D

(11)13 (15)2+ 三、解答题 (16)解:

(12)7

(13)

(14)

(Ⅰ)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 上述一个社团的共有 人,

人,故至少参加

所以从该班级随机选 名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为

(Ⅱ)从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人,其一切可能的结果组成的基本事 件有:

,共

个.

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根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.

事件“

被选中且

未被选中”所包含的基本事件有:

,共

个.

因此 17.解:

被选中且

未被选中的概率为

.

在 因为

中,由 ,

,得

.

所以 因为 ,所以

, ,可知 为锐角,

所以 因此



.



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可得



又 18.

,所以

.

(Ⅰ)证法一:连接 ,连接 在三棱台 为 可得 所以四边形 则 又 所以 又 所以 证法二:在三棱台 由 可得 所以四边形 可得 在 所以 又 ,所以平面 平面 中, 为 的中点, 为 的中点, 为 平面 平面 中, 的中点, , 为平行四边形, 为 为 为平行四边形 的中点, 的中点, , 平面 , 中,

,设

的中点, ,

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因为 所以 平面 平面 ,

(Ⅱ) 证明:连接 因为 所以 由 又 所以 因此四边形 所以 又 又 所以 又 ,所以 平面 平面 平面 , 平面 , , . 是平行四边形, 为 的中点, 得 , . 分别为 的中点,



所以平面 19.解:

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(Ⅰ)设数列 的公差为 ,







所以

.







所以

.

解得



所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

所以



所以



两式相减,得

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所以 20.解: (Ⅰ)由题意知,曲线 所以 , 在点 处的切线斜率为 ,

又 所以 (Ⅱ) 时,方程





内存在唯一的根.

设 当 时,

.



所以存在

,使

.

因为

所以当

时,



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当 所以当 所以 时, 时, 时,方程 , 单调递增. 在 内存在唯一的根.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,方程



内存在唯一的根





时,



时,



所以

.



时,若





可知





时,由

可得

时, 时,

单调递增; 单调递减;

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可知 且 .

综上可得函数 21.解:

的最大值为

.

(Ⅰ)由题意知



,解得



所以椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 E 的方程为

.

(ⅰ)设

由题意知

.

因为



,即

所以

,即

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(ⅱ)设 将 代入椭圆 E 的方程,

可得 由 可得

, ……………………①

则有

所以 因为直线 与 轴交点的坐标为 ,

所以

的面积

设 将直线

, 代入椭圆 的方程,

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可得 由 可得 , , ……………………②

由①②可知

因此



当且仅当 由(ⅰ)知,

,即 的面积为

时取得最大值 ,

所以

面积的最大值为


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