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2007—2008第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案(A卷)

武汉大学数学与统计学院 2007— 2008 第一学期《高等数学 B》期末考试试题 (180 学时) 一、( 8 ? 7 ? )试解下列各题: 1、计算 lim( n ? 3 n ? n ? n ) n?? ln(1 ? x ) ? x cos x ? 1 3、计算 ? x arctan xdx 2、计算 lim x ?0 4、 计算 5、计算 ? 0 4 0 x 1? x xe? x dx dx ? ?? ? x ? sin t ? ,求此曲线在点 t ? 处的切线方程。 4 ? y ? cos 2t 2 y 2 x dy t 7、已知 ? e dt ? ? cos tdt ,求 0 0 dx 1? x 8、设 y ? ,求 y ( n ) 1? x 6、设曲线方程为 ? x3 二、 (15 分)已知函数 y ? 求: ( x ? 1)2 1、函数 f ( x) 的单调增加、单调减少区间,极大、极小值; 2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。 三、 (10 分)设 g ( x) 是 [1, 2] 上的连续函数, f ( x) ? 1、用定义证明 f ( x ) 在 (1, 2) 内可导; 2、证明 f ( x ) 在 x ? 1 处右连续; 四、 (10 分) 1、 设平面图形 A 由抛物线 y ? x 2 , 直线 x ? 8 及 x 轴所围成, 求平面图形 A 绕 x 轴旋转一周所形成的立体体积; 2、 在抛物线 y ? x2 (0 ? x ? 8) 上求一点, 使得过此点所作切线与直线 x ? 8 及 x 轴 所围图形面积最大。 五、 (9 分)当 x ? 0 ,对 f ( x ) 在 [0, b] 上应用拉格朗日中值定理有: ? x 0 g (t )dt f ( b)? f ( 0? ) ?f ? ( b )? ? 对于函数 f ( x) ? arcsin x ,求极限 lim b ?0 (0 b, ) ? b 武汉大学数学与统计学院 2007—2008 第一学期《高等数学 B》期末考试试题参考答案 一、试解下列各题: ( 8 ? 7? ) 1、解: lim( n ? 3 n ? n ? n ) ? lim n?? n ?? ( n ? 3 n ? n ? n )( n ? 3 n ? n ? n ) n?3 n ? n? n 4 n n ? 3 n? n ? ? 2 n ?lim n ?? 1 ?1 ln(1 ? x ) ? x ?x 1 ? x 2、解: lim ? lim ? lim ?1 x ?0 x ? 0 x ? 0 cos x ? 1 ? sin x ?(1 ? x ) sin x 1 2 1 x2 1 1 1 3、解:原式 ? x arctan x ? ? dx ? x 2 arctan x ? x ? arctan x ? c 2 2 2 1? x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2t t ?1 ? 1 1 dt ? 2? dt ? 2? (t ? 1)dt ? 2? dt 4、解:原式 t ? x ? 1? t 1? t 1? t 0 0 0 0 2 ? (t ?1)2 |02 ?2ln(t ? 1) |0 ? 2ln 3 ?? 5、解: ? 0 ?? ?? xe? x dx ? ? xe? x |0 ? ? e? x dx ? ?e? x |0 ?1 0 ?? 6、解:因为 t ? ? 4 时, x ? 2 dy ?2sin 2t ,y ? 0, ? 2 dx t ? ? cos t 4 t? ? 4 ? ?2 2 ,故曲线在 ( 2 , 0) 2 2 ), 2 2 2 dy ? 2x c o x s2 e ? y 7、解:两边微分得: e y dy ? 2x cos x2 dx dx 2 ? 2( x ? 1) ?1 ? 1 , y ? ? 2 ? (?1) ? (1 ? x) ?2 8、解:由 y ? ?1 ? 1? x ( ) ? n 1) y?? ? 2 ? ( ? 1?) ?( ?2 )? (x 1?3 ) y ,n ?, ? n? ( ? 1n ?) ?2 x !( ?( 1 二、 (15 分)解:定义域为: (??,1) (1, ??) 点处的切线方程为: y ? ?2 2( x ? ) x2 ( x ? 3 ) 令 y ? ? 0 ? 驻点 x ? 0,3 ( x ? 13) 6x y ?? ? 令 y ?? ? 0 ? x ? 0 ( x ? 1 4) 0 (??, 0) (0,1) x + + y? + — y ?? y 单增 单增 y? ? y ? f ( x) 上凸 拐点 (0, 0) 下凸 1 (1,3) — + 单减 下凸 3 (3,??) + + 极小值点 单增 下凸 1) 故单调增加区间为: (??,1) 、 (3,??) 单调减少区间为: (1,3) 27 ,无极大值。 4 2)下凸区间为: (0,1); (1, ??) 上凸区间为: (??, 0) 极小值为: f (3) ? 拐点为: (0, 0) 由 lim 又 lim x3 ? ? ,故 x ? 1 为函数图形的铅直渐近线。 x ?1 ( x ? 1) 2 f ( x) x2 x3 ? lim ?1 lim[ f ( x) ? x] ? lim[ ? x] ? 2 x ?? x ?? ( x ? 1) 2 x ?? x ?? ( x ? 1) 2 x 故 y ? x ? 2 为函数图形的斜渐近线。 x? x f ( x ? x) ? f ( x) 三、 (10 分)解:1、 ?x ? (1, 2) 有: ? x x? x ? x g (t )dt x ? g (? ) ? ? [ x, x ? x] g (t )dt ? f ( x ? x) ? f ( x) x lim

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