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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:1.1.2四种命题及其相互关系]

第一章

1.1

第 2 课时

一、选择题 1.命题“若 p 则 q”的逆命题是( A.若 q 则 p C.若? q 则? p [答案] A [解析] 本题考查四种命题, 由逆命题定义, 命题“若 p 则 q”的逆命题为“若 q 则 p”, 选 A. 2.给出命题:若函数 y=f(x)是幂函数,则它的图象不过第四象限,在它的逆命题、否 命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( A.3 C.1 [答案] C [解析] 原命题是真命题,因为幂函数的图象不过第四象限,反过来,图象不过第四象 限的函数不一定是幂函数,所以逆命题为假命题,根据等价命题的真假性相同可知,否命题 为假命题,逆否命题为真命题,故选 C. 3.“若 x2=1,则 x=1”的否命题为( A.若 x2≠1,则 x=1 C.若 x2≠1,则 x≠1 [答案] C [解析] “若 p 则 q”的否命题形式为“若? p 则? q”. 4.命题“如果 a、b 都是奇数,则 ab 必为奇数”的逆否命题是( A.如果 ab 是奇数,则 a、b 都是奇数 B.如果 ab 不是奇数,则 a、b 不都是奇数 C.如果 a、b 都是奇数,则 ab 不是奇数 D.如果 a、b 不都是奇数,则 ab 不是奇数 [答案] B [解析] 命题“如果 a、b 都是奇数,则 ab 必为奇数”的逆否命题是“如果 ab 不是奇 数,则 a、b 不都是奇数”. 5.“a2+b2≠0”的含义是( A.a、b 不全为 0 B.a、b 全不为 0 ) ) ) B.若 x2=1,则 x≠1 D.若 x≠1,则 x2≠1 ) B.2 D.0 ) B.若? p 则? q D.若 p 则? q

C.a、b 至少有一个为 0 D.a 不为 0 且 b 为 0,或 b 不为 0 且 a 为 0 [答案] A [解析] 若 a2+b2≠0,则 a≠0 且 b≠0,或 a=0 且 b≠0,或 a≠0 且 b=0,即 a,b 不 全为 0,故选 A. 6.原命题:“设 a,b,c∈R,若 a>b,则 ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否 命题中,真命题共有( A.0 个 C.2 个 [答案] C [解析] 当 c=0 时,c2=0,故原命题是假命题;若 ac2>bc2,则必有 c2≠0,∴c2>0, ∴a>b,故逆命题为真命题,∴否命题为真,逆否命题为假,故选 C. 二、填空题 7.“若 a∈A,则 a∈B”的逆否命题为________. [答案] 若 a?B,则 a?A. 8.给出下列命题: (1)平行四边形的对角线互相平分; (2)对角线互相平分的四边形是平行四边形; (3)若一个四边形不是平行四边形,则这个四边形的对角线不能互相平分; (4)若一个四边形的对角线不能互相平分,则这个四边形不是平行四边形. ①若 (1) 为原命题,则 (2) 为 (1) 的 ________ 命题, (3) 为 (1) 的 ________ 命题, (4) 为 (1) 的 ________命题. ②若 (4) 为原命题,则 (1) 为 (4) 的 ________ 命题, (2) 为 (4) 的 ________ 命题, (3) 为 (4) 的 ________命题. [答案] ①逆 否 逆否 ②逆否 否 逆 三、解答题 9.设原命题为“已知 a、b 是实数,若 a+b 是无理数,则 a、b 都是无理数”.写出它 的逆命题、否命题和逆否命题,并分别说明他们的真假. [解析] 逆命题:已知 a、b 为实数,若 a、b 都是无理数,则 a+b 是无理数. 如 a= 2,b=- 2,a+b=0 为有理数,故为假命题. 否命题:已知 a、b 是实数,若 a+b 不是无理数,则 a、b 不都是无理数.由逆命题为 假知,否命题为假. 逆否命题:已知 a、b 是实数,若 a、b 不都是无理数,则 a+b 不是无理数. 如 a=2,b= 2,则 a+b=2+ 2是无理数,故逆否命题为假. ) B.1 个 D.4 个

10.判断命题“已知 a,x 为实数,如果关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解 集非空,则 a≥1”的逆否命题的真假. [分析] 直接由原命题写出其逆否命题,然后判断逆否命题的真假. [解析] 逆否命题:已知 a,x 为实数,如果 a<1,则关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2 +2≤0 的解集为空集,真命题. 判断如下: 抛物线 y=x2+(2a+1)x+a2+2 开口向上, 判别式 Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7. ∵a<1,∴4a-7<0, 即抛物线 y=x2+(2a+1)x+a2+2 与 x 轴无交点, ∴关于 x 的不等式 x2+(2a+1)x+a2+2≤0 的解集为空集,故逆否命题为真.

一、选择题 11.命题“若 A∪B=A,则 A∩B=B”的否命题是( A.若 A∪B≠A,则 A∩B≠B C.若 A∩B≠B,则 A∪B≠A [答案] A [解析] 否命题对命题的条件和结论都否定. 12.已知命题“非空集合 M 中的元素都是集合 P 中的元素”是假命题,那么下列命题 中真命题的个数为( ) )

B.若 A∩B=B,则 A∪B=A D.若 A∪B≠A,则 A∩B=B

①M 中的元素都不是 P 的元素;②M 中有不属于 P 的元素;③M 中有属于 P 的元素; ④M 中的元素不都是 P 的元素. A.1 C.3 [答案] B [解析] 由于“M?P”为假命题,故 M 中至少有一个元素不属于 P,∴②④正确.M 中可能有属于 P 的元素,也可能都不是 P 的元素,故①③错误,选 B. 13.若命题 p 的否命题为 r,命题 r 的逆命题为 s,p 的逆命题为 t,则 s 是 t 的( A.逆否命题 C.否命题 [答案] C [解析] 特例:△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. p:若∠A=∠B,则 a=b, B.逆命题 D.原命题 ) B.2 D.4

r:若∠A≠∠B,则 a≠b, s:若 a≠b,则∠A≠∠B, t:若 a=b,则∠A=∠B.故 s 是 t 的否命题. 1 1 14.已知命题 p:“若 a>b>0,则 log a<log b+1”,则命题 p 及它的逆命题、否命题、 2 2 逆否命题中正确命题的个数为( A.0 C.2 [答案] C 1 1 1 1 [解析] 对于命题 p,当 a>b>0 时,有 log a<log b,则必有 log a<log b+1,因此原命 2 2 2 2 1 1 1 1b b 题正确,逆否命题也正确;但当 log a<log b+1 时,得 log a<log ,即 a> >0,此时不一 2 2 2 22 2 定有 a>b>0,因此逆命题不正确,则命题 p 的否命题也不正确.因此一共有 2 个正确命题, 故选 C. 二、填空题 15.原命题:在空间中,若四点不共面,则这四个点中任何三点都不共线,其逆命题为 ________(真、假). [答案] 假 [解析] 逆命题为:在空间中,若四个点中任何三点不共线,则这四点不共面,假命 ) B.1 D.4

题.如:正方形 ABCD 的四个顶点,任意三点不共线,但这四点共面. 16 . (2013· 江西省临川一中月考 ) 命题“若实数 a 满足 a≤2 ,则 a2<4”的否命题是 ________命题.(填“真”或“假”) [答案] 真 [解析] 原命题的否命题为:若实数 a 满足 a>2,则 a2≥4,这是一个真命题. [点评] 注意 a2≥4 的含义是 a2>4 或 a2=4. 三、解答题 17.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断其真假. (1)如果两圆外切,那么两圆心距等于两圆半径之和; (2)平面内,两条平行直线不相交. [解析] (1)逆命题:如果两圆心距等于两圆半径之和,那么两圆外切,真; 否命题:如果两圆不外切,那么两圆心距不等于两圆半径之和,真; 逆否命题:如果两圆心距不等于两圆半径之和,那么两圆不外切,真. (2)原命题:在同一平面内,若两条直线是平行直线,则它们不相交; 逆命题:在同一平面内,若两条直线不相交,则它们平行;

否命题:在同一平面内,若两条直线不是平行直线,则它们相交; 逆否命题:在同一平面内,若两条直线相交,则它们不平行. 18.已知 a,b∈R,且 a2-4b>0.写出命题“若 a+b+1<0,则方程 x2+ax+b=0 的两 个实根满足 x1<1<x2”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. [解析] 逆命题: 已知 a, b∈R, 且 a2-4b>0, 若方程 x2+ax+b=0 的两根满足 x1<1<x2, 则 a+b+1<0. 否命题:已知 a,b∈R,且 a2-4b>0,若 a+b+1≥0,则方程 x2+ax+b=0 的两个实 根不满足 x1<1<x2. 逆否命题:已知 a,b∈R,且 a2-4b>0,若 x2+ax+b=0 的两个实根不满足 x1<1<x2, 则 a+b+1≥0. 下面对真假进行判断: (1)令 f(x)=x2+ax+b. ∵f(1)=a+b+1<0,f(x)的图象为开口向上的抛物线,∴x2+ax+b=0 的两个实根满足 x1<1<x2, 故原命题为真命题. (2)∵方程 x2+ax+b=0 的两实根满足 x1<1<x2, ∴(x1-1)(x2-1)<0,x1+x2=-a,x1x2=b, ∴a+b+1<0,故逆命题为真命题. 由四种命题的关系可知,否命题和逆命题都是真命题.


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