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高考数学一轮复习必备第62课时:第八章 圆锥曲线方程——双曲线


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课题:双曲线 一.复习目标:熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质. 二.知识要点: 1.双曲线的定义(1)第一定义: (2)第二定义: 2.标准方程: 3.性质: 4.共轭双曲线方程: 三.课前预 习: ;与
x2 y 2 ? ? 1 共渐进线的双曲线方程 a 2 b2

. . . . .

1.平面内有两个定点 F1 , F2 和一动点 M ,设命题甲, || MF1 | ? | MF2 || 是定值,命 题乙:点 M 的轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的
( A) 充分但不必要条件 (C ) 充要条件





( B ) 必要不充分条件 ( D) 既不充分也不必要条件

2. 双曲线 和它的共轭双曲线的离心率分别为 e1 , e2 , 则 e1 , e2 应满足的关系是 ( )
( A) e1 ? e2 ? 1
2 2

( B ) e1 ? e2 ? 1

2

2

(C )

1 e1
2

?

1 e2
2

?1

( D)

1 e1
2

?

1 e2
2

?1


3.直线 y ? ax 与双曲线 ( x ? 1)( y ? 1) ? 2( x ? 0) 有公共点时,a 的取值范围是(
( A) ?3 ? 2 2 ? a ? 0 (C ) ?3 ? 2 2 ? a ? ?3 ? 2 2 ( B ) a ? ?3 ? 2 2 ( D) 以上都不正确

4.已知 A(2,1), F ( 2,0) ,P 是曲线 x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 上一点,当 | PA | ?
2 | PF | 最小值是 2

2 | PF | 取 2

最小值时, P 的坐标是

, | PA | ?



x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, AB 是双曲线左支上过点 5.如果 F1 , F2 分别是双曲线 16 9

F1 的弦,且 | AB |? 6 ,则 ?ABF2 的周长是
四.例题分析:



例 1.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,左准线为 l ,能否在双曲 25 144

线的左支上求一点 P ,使 | PF1 | 是 P 到 l 的距离 d 与 | PF2 | 的等比中项?若能,求 出 P 的坐标,若不能,说明理由.

x2 y 2 例 2.过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作双曲线在第一、第三象限的 a b

渐近线的垂线 l ,垂足为 P , l 与双曲线的左、右支的交点分别为 A, B . (1)求证: P 在双曲线的右准线上; (2)求双曲线离心率的取值范围. 例 3.是否同时存在满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在, 说明理由. (1)渐近线方程为 x ? 2 y ? 0, x ? 2 y ? 0 ; (2)点 A(5, 0) 到双曲线上动点 P 的距离最小值为 6 .

五.课后作业:
1 1.双曲线的渐进线方程为 y ? ? x ,且焦距为 10,则双曲线方程为( 2



( A)

x2 y2 ? ?1 20 5 x2 y2 ? ?1 5 20

(B)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 5 20 20 5 x2 y2 ? |? 1 20 5

(C )

( D) |

2.双曲线
( A) (??, 0)

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? (1, 2) ,则 k 的取值范围是( 4 k
( B ) (?3, 0) (C ) (?12,0)



( D) (?60, ?12)

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 的两条焦半径夹角为 60 ,F1 , F2 为焦点, 3. 双曲线 则 ?PF1F2 25 16

的面积为



4 . 与 圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 及 圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9 都 外 切 的 圆 的 圆 心 轨 迹 方 程




x2 y2 ? ? 1 有且只有一个公共点,则直 4 3

5.过点 (0, 3) 作直线 l ,如果它与双曲线 线 l 的条数是____________________. 6. 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一条准线被它的两条 渐进线所截得的线段长度 恰好等于 a2 b2

它的一 个 焦 点 到 一 条 渐进 线 的 距 离 , 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 . 7.过双曲线的一个焦点 F1 且垂直于实轴的弦 PQ ,若 F2 为另一个焦点,且有

?PF2 Q ? 90? ,则此双曲线的离心率为



8.一椭圆其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为 2 13 ,一双曲线和这椭 圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的 长半轴长小 4,且双曲线的离心率与 椭圆的离心率之比为 7:3,求椭圆和双曲线的方程.

9.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 两焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,点 P 为双曲线右支上除顶点外 a2 b2

的任一点, ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,求证: tan

?
2

? cot

?
2

?

c?a . c?a

10.已知双曲线 C 的两个焦点为 F1 , F2 ,实半轴长与虚半轴长的乘积为 3 ,直线
l 过点 F2 ,且与线 段 F1F2 的夹角为 ? , tan ? ?

21 ,直线 l 与线段 F1F2 的垂直平 2

分线的交点为 P ,线段 PF2 与双曲线的交点为 Q ,且 P Q ?2 Q F 2 ,求双曲线方程.


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