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第12讲 二次函数(含答案点拨)


第 12 讲

二次函数

考纲要求 1.理解二次函数的有关概念. 2.会用描点法画二次函数的图象,能从图象上认 识二次函数的性质. 3.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口 方向和对称轴,并会求解二次函数的最值问题. 4.熟练掌握二次函数解析式的求法,并能用它解 决有关的实际问题. 5. 会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

命题趋势 二次函数是中考的重点内 容,题型主要有选择题、填空 题及解答题,而且常与方程、 不等式、几何知识等结合在一 起综合考查,且一般为压轴 题.中考命题不仅考查二次函 数的概念、图象和性质等基础 知识,而且注重多个知识点的 综合考查以及对学生应用二次 函数解决实际问题能力的考查.

知识梳理 一、二次函数的概念 一般地,形如 y=______________(a,b,c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数. 二次函数的两种形式: (1)一般形式:____________________________; (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数的顶点坐标是________ . 二、二次函数的图象及性质 二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)

图象

开口方向 对称轴

(a>0) 开口向上 直线 x=-

(a<0) 开口向下

b b 直线 x=- 2a 2a 2 2 ?- b ,4ac-b ? ?- b ,4ac-b ? 顶点坐标 4a ? 4a ? ? 2a ? 2a b b 当 x<- 时,y 随 x 当 x<- 时,y 随 x 2a 2a 的增大而减小;当 x 的增大而增大;当 x 增减性 b b >- 时,y 随 x 的 >- 时, 随 x 的增 y 2a 2a 增大而增大 大而减小 b b 当 x=- 时, 有最 当 x=- 时,y 有最 y 2a 2a 最值 4ac-b2 4ac-b2 ______值 ______值 4a 4a 2 三、二次函数图象的特征与 a,b,c 及 b -4ac 的符号之间的关系

四、二次函数图象的平移 抛物线 y=ax2 与 y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k 中|a|相同,则图象的________ 和大小都相同,只是位置不同.它们之间的平移关系如下:

五、二次函数 关系式的确定 1.设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). 若已知条件是图象上三个点的坐标, 则设一般式 y=ax2+bx+c(a≠0), 将已知条件代入, 求出 a,b,c 的值. 2.设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0), 将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数 a,最后将关系式化为一般式. 3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0). 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h)2 +k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式.

六、二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),当 y=0 时,就变成了 ax2+bx+c=0(a≠0). 2.ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线与 x 轴交点的________. 3.当 Δ=b2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有两个不同的交点;当 Δ=b2-4ac=0 时,抛物 线与 x 轴有一个交点;当 Δ=b2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 4. 设抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴两交点坐标分别为 A(x1,0), 2,0), x1+x2=________, B(x 则 x1·2=________. x 自主测试 1.下列二次函数中,图象以直线 x=2 为对称轴,且经过点(0,1)的是( ) 2 2 A.y=(x-2) +1 B.y=(x+2) +1 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x+2)2-3 2.如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中,刘星同学观察得出了下面四个结论: (1)b2-4ac>0;(2)c>1;(3)2a-b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有( )

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.1 个 3.当 m=__________时,函数 y=(m-3)xm2-7+4 是二次函数. 4. 将抛物线 y=x2 的图象向上平移 1 个单位, 则平移后的抛物线的解析式为__________ . 5.写出一个开口向下的二次函数的表达式:__________________________.

考点一、二次函数的图象及性质 【例 1】(1)二次函数 y=-3x2-6x+5 的图象的顶点坐标是( ) A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2) D.(1,-4) (2)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线 x=1,且经过点(-1,y1),(2,y2), 试比较 y1 和 y2 的大小:y1________y2.(填“>”“<”或“=”) -6 b 解析: (1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求. ∵- =- = 2a 2×?-3? -1, 4ac-b2 4×?-3?×5-?-6?2 = =8, 4a 4×?-3? 2 ∴二次函数 y=-3x -6x+5 的图象的顶点坐标是(-1,8).故选 A. (2)点(-1,y1),(2,y2)不在对称轴的同一侧,不能直接利用二次函数的增减性来判断 y1, y2 的大小,可先根据抛物线关于对称轴的对称性,然后再用二次函数的增减性即可.设抛物 线经过点(0,y3),∵抛物线对称轴为直线 x=1, ∴点(0,y3)与点(2,y2)关于直线 x=1 对称.∴y3=y2. ∵a>0,∴当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小. ∴y1>y3.∴y1>y2. 答案:(1)A (2)> 方法总结 1.将抛物线解析式写成 y=a(x-h)2+k 的形式,则顶点坐标为(h,k),对称 2 b b 4ac-b ? 轴为直线 x=h,也可应用对称轴公式 x=- ,顶点坐标?- , 来求对称轴及顶点 2a 4a ? ? 2a 坐标.

(

2.比较两个二次函数值大小的方法: (1)直接代入自变量求值法; (2)当自变量在对称轴两侧时,看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断; (3)当自变量在对称轴同侧时,根据函数值的增减性判断. 触类旁通 1 已知二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是 )

A.a>0 B.当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大 C.c<0 D.3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根 考点二、利用二次函数图象判断 a,b,c 的符号 【例 2】如图,是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:①a +b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0 的两根分别为-3 和 1;④a-2b+c>0.其中正确的 命题是__________.(只要求填写正确命题的序号)

b 解析:由图象可知过(1,0),代入得到 a+b+c=0;根据- =-1,推出 b=2a;根据图 2a 象关于对称轴对称,得出与 x 轴的交点是(-3,0),(1,0) ;由 a-2b+c=a-2b-a-b=-3b <0,根据结论判断即可. 答案:①③ 方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号,是二次函数中的一类典型的数 形结合问题,具有较强的推理性.解题时应注意 a 决定抛物线的开口方向,c 决定抛物线与 y 轴的交点,抛物线的对称轴由 a,b 共同决定,b2-4ac 决定抛物线与 x 轴的交点情况.当 x =1 时,决定 a+b+c 的符号,当 x=-1 时,决定 a-b+c 的符号.在此基础上,还可推出 其他代数式的符号.运用数形结合的思想更直观、更简捷. 触类旁通 2 小明从如图的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中,观察得出了下面五个结 论:①c<0;②abc>0;③a-b+c>0;④2a-3b=0;⑤c-4b>0,你认为其中正确的结论 有( )

A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 考点三、二次函数图象的平移 【例 3】二次函数 y=-2x2+4x+1 的图象怎样平移得到 y=-2x2 的图象( ) A.向左平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位 B.向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位 C.向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位 D.向右平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位 解析:首先将二次函数的解析式配方化为顶点式,然后确定如何平移,即 y=-2x2+4x +1=-2(x-1)2+3, 将该函数图象向左平移 1 个单位, 再向下平移 3 个单位就得到 y=-2x2 的图象. 答案:C 方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换,因此先将二次函数解析式 转化为顶点式确定其顶点坐标,然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作. 触类旁通 3 将二次函数 y=x2 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位后,所得 图象的函数解析式是( ) 2 A.y=(x-1) +2 B.y=(x+1)2+2 C.y=(x-1)2-2 D.y=(x+1)2-2 考点四、确定二次函数的解析式 【例 4】如图,四边形 ABCD 是菱形,点 D 的坐标是(0, 3),以点 C 为顶点的抛物线 y 2 =ax +bx+c 恰好经过 x 轴上 A,B 两点.

(1)求 A,B,C 三点的坐标; (2)求经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式. 解:(1)由抛物线的对称性可知 AE=BE. ∴△AOD≌△BEC. ∴OA=EB=EA. 设菱形的边长为 2m,在 Rt△AOD 中, m2+( 3)2=(2m)2,解得 m=1. ∴DC=2,OA=1,OB=3. ∴A,B,C 三点的坐标分别为(1,0),(3,0),(2, 3). (2)解法一:设抛物线的解析式为 y=a(x-2)2+ 3,代入 A 的坐标(1,0),得 a=- 3. ∴抛物线的解析式为 y=- 3(x-2)2+ 3. 解法二:设这个抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c,由已知抛物线经过 A(1,0),B(3,0), C(2, 3)三点,

?a+b+c=0, ? 得?9a+3b+c=0, ?4a+2b+c= 3, ?

?a=- 3, 解这个方程组,得?b=4 3, ?c=-3 3.

∴抛物线的解析式为 y=- 3x2+4 3x-3 3. 方法总结 用待定系数法求二次函数解析式,需根据已知条件,灵活选择解析式:若已 知图象上三个点的坐标,可设一般式;若已知二次函数图象与 x 轴两个交点的横坐标,可设 交点式;若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值,可设顶点式. 1 触类旁通 4 已知抛物线 y=- x2+(6- m2)x+m-3 与 x 轴有 A,B 两个交点,且 A, 2

B 两点关于 y 轴对称. (1)求 m 的值; (2)写出抛物线的关系式及顶点坐标. 考点五、二次函数的实际应用 【例 5】我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地政府对该特产 1 的销售投资收益为:每投入 x 万元,可获得利润 P=- (x-60)2+41(万元).当地政府拟在 100 “十二· 五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可 投入 100 万元的销售投资, 在实施规划 5 年的前两年中, 每年都从 100 万元中拨出 50 万元用 于修建一条公路,两年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的 3 年中,该特产 99 既在本地销售, 也在外地销售. 在外地销售的投资收益为: 每投入 x 万元, 可获利润 Q=- 100 294 (100-x)2+ (100-x)+160(万元). 5 (1)若不进行开发,求 5 年所获利润的最大值是多少; (2)若按规划实施,求 5 年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少; (3)根据(1)、(2),该方案是否具有实施价值? 解:(1)当 x=60 时,P 最大且为 41 万元,故五年获利最大值是 41×5=205(万元). (2)前两年:0≤x≤50,此时因为 P 随 x 的增大而增大,所以 x=50 时,P 值最大且为 40 万元,所以这两年获利最大为 40×2=80(万元). 后三年:设每年获利为 y 万元,当地投资额为 x 万元,则外地投资额为(100-x)万元,所 1 99 2 294 2 以 y=P+Q=?-100?x-60? +41?+?-100x + 5 x+160?=-x2+60x+165=-(x-30)2+1 ? ? ? ? 065,表明 x=30 时,y 最大且为 1 065,那么三年获利最大为 1 065×3=3 195(万元),故五 年获利最大值为 80+3 195-50×2=3 175(万元). (3)有极大的实施价值. 方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常 见的题目类型,解决这类问题的方法是: 1.列出二次函数的关系式,列关系式时,要根据自变量的实际意义,确定自变量的取值 范围. 2.在自变量取值范围内,运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值. 触类旁通 5 一玩具厂去年生产某种玩具,成本为 10 元/件,出厂价为 12 元/件,年销售 量为 2 万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每 件的成本比去年成本增加 0.7x 倍,今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高 0.5x 倍,则预计今年年销售量将比去年年销售量增加 x 倍(本题中 0<x≤11). (1)用含 x 的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为__________元,今年生产的 这种玩具每件的出厂价为__________元; (2)求今年这种玩具的每件利润 y(元)与 x 之间的函数关系式; (3)设今年这种玩具的年销售利润为 w 万元,求当 x 为何值时,今年的年销售利润最大? 最大年销售利润是多少万元? 注:年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)×年销售量.

1.(2012 四川乐山)二次函数 y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(- 1,0).设 t=a+b+1,则 t 值的变化范围是( ) A.0<t<1 B.0<t<2 C.1<t<2 D.-1<t<1 2.(2012 山东菏泽)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,那么一次函数 y=bx a +c 和反比例函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )' x

3. (2012 上海)将抛物线 y=x2+x 向下平移 2 个单位, 所得新抛物线的表达式是________. 2 4.(2012 山东枣庄)二次函数 y=x -2x-3 的图象如图所示.当 y<0 时,自变量 x 的取 值范围是______________.

(第 4 题图) 5.(2012 广东珠海)如图,二次函数 y=(x-2)2+m 的图象与 y 轴交于点 C,点 B 是点 C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点. 已知一次函数 y=kx+b 的图象经过该二次函数图象 上点 A(1,0)及点 B.

(第 5 题图) (1)求二次函数与一次函数的解析式; (2)根据图象,写出满足 kx+b≥(x-2)2+m 的 x 的取值范围. 6.(2012 湖南益阳)已知:如图,抛物线 y=a(x-1)2+c 与 x 轴交于点 A(1- 3,0)和点 B,将抛物线沿 x 轴向上翻折,顶点 P 落在点 P′(1,3)处.

(1)求原抛物线的解析式; (2)学校举行班徽设计比赛,九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感:过点 P′作 x 轴的 平行线交抛物 线于 C,D 两点,将翻折后得到的新图象在直线 CD 以上的部分去掉,设计成 一个“W”型的班徽,“5”的拼音开头字母为 W,“W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明通 5-1 过计算惊奇的发现这个 “W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比 (约等于 2 0.618). 请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少?(参考数据: 5≈2.236, 6≈2.449, 结果可保留根号)

1.抛物线 y=x2-6x+5 的顶点坐标为( ) A.(3,-4) B.(3,4) C.(-3,-4) D.(-3,4) 2.由二次函数 y=2(x-3)2+1,可知( ) A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线 x=-3 C.其最小值为 1 D.当 x<3 时,y 随 x 的增大而增大 3.已知函数 y=(k-3)x2+2x+1 的图象与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是( ) A.k<4 B.k≤4 C.k<4 且 k≠3 D.k≤4 且 k≠3 4.如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正确的是(

)

(第 4 题图) A.m=n,k>h B.m=n,k<h C.m>n,k=h D.m<n,k=h 5.如图,已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 A(-1,0),B(1,-2),该图象与 x 轴的另一交点为 C,则 AC 长为__________.

(第 5 题图) 6.抛物线 y=ax +bx+c 上部分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如下表: x 0 1 2 ? -2 -1 ? y 0 4 6 6 4 ? ? 从上表可知,下列说法中正确的是__________.(填写序号) ①抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0);
2

②函数 y=ax2+bx+c 的最大值为 6; 1 ③抛物线的对称轴是直线 x= ; 2 ④在对称轴左侧,y 随 x 增大而增大. 7.抛物线 y=-x2+bx+c 的图象如图所示,若将其向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,则平移后的解析式为__________.

8.2011 年长江中下游地区发出了特大旱情 ,为抗旱保丰收,某地政府制定了农户投资 购买抗旱设备的补贴办法,其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资 的金额与政府补贴的额度存 在下表所示的函数对应关系.

(1)分别求 y1 和 y2 的函数解析式; (2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资 10 万元购买,请你设计一个能获得最大 补贴金额的方案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额. 9.如图,已知二次函数 L1:y=x2-4x+3 与 x 轴交于 A,B 两点(点 A 在点 B 的左边), 与 y 轴交于点 C.

(1)写出二次函数 L1 的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)研究二次函数 L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0). ①写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质; ②若直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E,F 两点,问线段 EF 的长度是否发生变化?如果不 会,请求出 EF 的长度;如果会,请说明理由.

参考答案
导学必备知识 自主测试 1.C 2.D ∵抛物线与 x 轴有两个交点,∴b2-4ac>0;与 y 轴交点在(0,0)与(0,1)之间,∴0 <c<1,∴(2)错; b b ∵- >-1,∴ <1,∵a<0,∴2a<b,∴2a-b<0; 2a 2a 当 x=1 时,y=a+b+c<0,故选 D. 3.-3 由题意,得 m2-7=2 且 m-3≠0,解得 m=-3. 4.y=x2+1 5.y=-x2+2x+1(答案不唯一) 探究考点方法 触类旁通 1.D 触类旁通 2.C ∵抛物线开口向上,∴a>0; ∵抛物线与 y 轴交于负半轴,∴c<0; 对称轴在 y 轴右侧,a,b 异号,故 b<0,∴abc>0. 由题图知当 x=-1 时,y>0, 1 即 a-b+c>0.对称轴是直线 x= , 3 b 1 ∴- = ,即 2a+3b=0; 2a 3 ?a-b+c>0, ? 5 由? 得 c- b> 0. 2 ? ?2a+3b=0, 又∵b<0,∴c-4b>0.∴正确的结论有 4 个. 触类旁通 3.A 因为将二次函数 y=x2 向右平移 1 个单位,得 y=(x-1)2,再向上平移 2 个单位后,得 y=(x-1)2+2,故选 A. 触类旁通 4.解:(1)∵抛物线与 x 轴的两个交点关于 y 轴对称,∴抛物线的对称轴即为 y 轴. 6- m2 ∴- =0.∴m=± 6. ?-1? 2×? 2? 又∵抛物线开口向下,∴m-3>0,即 m>3.∴m=6. (2)∵m=6, 1 ∴抛物线的关系式为 y=- x2+3,顶点坐标为(0,3). 2 触类旁通 5.解:(1)(10+7x) (12+6x) (2)y=(12+6x)-(10+7x)=2-x. (3)∵w=2(1+x)(2-x)=-2x2+2x+4, ∴w=-2(x-0.5)2+4.5. ∵-2<0,0<x≤11, ∴当 x=0.5 时,w 最大=4.5(万元). 答:当 x 为 0.5 时,今年的年销售利润最大,最大年销售利润是 4.5 万元. 品鉴经典考题 1.B ∵二次函数 y=ax2+bx+1 的顶点在第一象限, 且经过点(-1,0), ∴a-b+1=0,a<0,b>0. 由 a=b-1<0 得到 b<1,结合上面 b>0,∴0<b<1①; 由 b=a+1>0 得到 a>-1,结合上面 a<0, ∴-1<a<0②.

∴由①②得-1<a+b<1,且 c=1, 得到 0<a+b+1<2, ∴0<t<2. 2.C ∵二次函数图象开口向下,∴a<0. b ∵对称轴 x=- <0,∴b<0. 2a ∵二次函数图象经过坐标原点,∴c=0. a ∴一次函数 y=bx+c 过第二、四象限且经过原点,反比例函数 y= 位于第二、四象限, x 故选 C. 3.y=x2+x-2 因为抛物线向下平移 2 个单位,则 y 值在原来的基础上减 2,所以新抛 物线的表达式是 y=x2+x-2. 4.-1<x<3 因为二次函数的图象与 x 轴两个交点的坐标分别是(-1,0),(3,0),由图 象可知,当 y<0 时,自变量 x 的取值范围是-1<x<3. 5.解:(1)由题意,得 (1-2)2+m=0,解得 m=-1,∴y=(x-2)2-1. 当 x=0 时,y=(0-2)2-1=3,∴C(0,3). ∵点 B 与 C 关于直线 x =2 对称,∴B(4,3). ? ? ?0=k+b, ?k=1, 于是有? 解得? ? ? ?3=4k+b, ?b=-1. ∴y=x-1. (2)x 的取值范围是 1≤x≤4. 6.解:(1)∵P 与 P′(1,3)关于 x 轴对称, ∴P 点坐标为(1,-3).

?a?1- 3-1? +c=0, ∵抛物线 y=a(x-1) +c 过点 A(1- 3, 顶点是 P(1, 0), -3), ? ∴ ?a?1-1?2+c=-3,
2 2

? ?a=1, 解得? ?c=-3. ? 则抛物线的解析式为 y=(x-1)2-3,即 y=x2-2x-2. (2)∵CD 平行于 x 轴,P′(1,3)在 CD 上, ∴C,D 两点纵坐标为 3, 由(x-1)2-3=3,得 x1=1- 6,x2=1+ 6, ∴C,D 两点的坐标分别为(1- 6,3),(1+ 6,3), ∴CD=2 6, 3 6 ∴ “W”图案的高与宽(CD)的比= = (或约等于 0.612 4). 2 6 4 研习预测试题 1.A 2.C 3.D 由题意,得 22-4(k-3)≥0,且 k-3≠0,解得 k≤4 且 k≠3,故选 D. 4.A ? ? ?1-b+c=0, ?b=-1, 5.3 ∵把 A(-1,0),B(1,-2)代入 y=x2+bx+c 得? 解得? ? ? ?1+b+c=-2, ?c=-2, 2 2 ∴y=x -x-2,解 x -x-2=0 得 x1=-1,x2=2,∴C 点坐标为(2,0),∴AC=3. 6.①③④ 由图表可知当 x=0 时,y=6;当 x=1 时,y=6,∴抛物线的对称轴是直线 1 1 x= ,③正确;∵抛物线与 x 轴的一个交点为(-2,0),对称轴是直线 x= ,∴抛物线与 x 轴 2 2 的另一个交点为(3,0),①正确;由图表可知,在对称轴左侧,y 随 x 增大而增大,④正确; 1 当 x= 时,y 取得最大值,②错误. 2

7.y=-x2-2x 由题中图象可知,对称轴为直线 x=1, b 所以- =1,即 b=2.把点(3,0)代入 y=-x2+2x+c,得 c=3.故原图象的解析式为 y -2 =-x2+2x+3,即 y=-(x-1)2+4,然后向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,得 y= -(x-1+2)2+4-3,即 y=-x2-2x. 2 2 8.解:(1)由题意,得 5k=2,∴k= ,∴y1= x; 5 5 1 a=- , ? 5 ?4a+2b=2.4, 1 8 ? ∴ ∴y2=- x2+ x. 5 5 8 ?16a+4b=3.2, ? b= , 5

? ? ?

(2)设该农户投资 t 万元购Ⅱ型设备,投资(10-t)万元购Ⅰ型设备,共获补贴 Q 万元. 2 2 1 8 ∴y1= (10-t)=4- t,y2=- t2+ t. 5 5 5 5 2 12 8 12 6 1 29 29 ∴Q=y1+y2=4- t- t + t=- t + t+4=- (t-3)2+ .∴当 t=3 时,Q 最大= .∴ 5 5 5 5 5 5 5 5 10-t=7. 即投资 7 万元购Ⅰ型设备,投资 3 万元购Ⅱ型设备,能获得最大补贴金额,最大补贴金 额为 5.8 万元. 9.解:(1)二次函数 L1 的开口向上,对称轴是直线 x=2,顶点坐标(2,-1).

(2)①二次函数 L2 与 L1 有关图象的两条相同的性质: 对称轴为直线 x=2 或顶点的横坐标为 2; 都经过 A(1,0),B(3,0)两点. ②线段 EF 的长度不会发生变化. ∵直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E,F 两点, ∴kx2-4kx+3k=8k, ∵k≠0,∴x2-4x+3=8,解得 x1=-1,x2=5. ∴EF=x2-x1=6,∴线段 EF 的长度不会发生变化.


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