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光学信息技术原理及技术陈家壁第二版课后习题答案

第一章
1.1 已知不变线性系统的输入为

习题解答

g ?x ? ? comb?x ?
系统的传递函数Λ ?

? f ?b

? ' ? 。若 b 取(1) b ? ?.? (2) b ? ?.? ,求系统的输出 g ?x ?。并画出 ?

输出函数及其频谱的图形。

δ ? x ???? 图形从略, 答: (1) g ? x ? ?F ?
(2) g ? x ? ?F ?δ ? f x ?? δ ? f x ???? δ ? f x ??????? cos??π x ?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ?

图形从略。

1.2 若限带函数 f ?x, y ? 的傅里叶变换在长度 L 为宽度 W 的矩形之外恒为零, (1)如果 a ?

? ? ,b ? ,试证明 L W

? ? x? ? x? sinc? ? sinc? ? ? f ?x, y ? ? f ?x, y ? ab ?a? ?b?

}= F{f (x, y ) } ? F{ f( x, y ) rect
证明:

fx fy } , = F {f ( x, y ) rect afx , bf y L W

(

)
f( x, y )

} ∴f ( x, y ) = F -1 F {f ( x, y ) rect afx , bf y =
(2)如果 a ?

{

(

) }

1 x x sinc sinc ab a b

? ? , b ? ,还能得出以上结论吗? L W

答:不能。因为这时 F ? f ? x,y ??rect? ?

? fx fy , ? L W

? ? ??F ? f ? x,y ??rect?af x ,bf y ?。 ?

1.3 对一个空间不变线性系统,脉冲响应为

h?x, y ? ? ? sinc??x?? ? y ?
试用频域方法对下面每一个输入 f i ? x, y ? ,求其输出 g i ?x, y ? 。 (必要时,可取合理近似)

1

(1) f? ?x, y ? ? cos ??x

g? ? x,y ??F ?? ?F ?f? ? x,y ??F ?h? x,y ????F ?? ?F ?cos?π x?F ??sin?7x?δ ? y ???
答:

? ? f ?? ?F ?? ?F ?cos?π x?rect? x ???F ?? ?F ?cos?π x???cos?π x ? ? ?? ?
? x ?rect? y ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?

(2) f ? ? x,y ??cos? ?π x ?rect? 答:

x ? ? ? ? ? y ?? g ? ? x,y ??F ?? ?F ?f? ? x,y ??F ?h? x,y ????F ?? ?F ?cos??π x ?rect? ? ?rect? ??F ??sin?7x?δ ? y ??? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? x ? ? ? f ?? ? y? ?F ?? ??F ?cos?π x???????sinc?75fx ?sinc??? f y ??rect? x ???cos??π x ?rect? ? ?rect? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?
(3) f ? ? x,y ?????cos??π x ??rect?

? x ? ? ? ?? ?

答:

x ?? ? ? ? g ? ? x,y ??F ?? ?F ????cos??π x ??rect? ? ??F ??sin?7x?δ ? y ??? ? ?? ?? ? ? ? ? ? f ?? ?F ?? ??F ???cos??π x ?????sinc?75fx ?δ ? f y ??rect? x ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? f x ?? ? ?F ?? ?? ? ?δ ? x ? ? δ ? f x ?? ?? δ ? f x ?? ?????sinc?75fx ?δ ? f y ??rect? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? x ? ? ? f ?? ?F ?? ???sinc?75fx ?δ ? f y ?rect? x ???F ?? ???sinc?75fx ?δ ? f y ???rect? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?

? x ???rect?? x ?rect?? y ?? (4) f ? ? x,y ??comb

答:
? x ? ??rect? ? x ?rect?? y ???F ?? sin?7x?δ ? y ?? ? g ? ? x,y ??F ?? ?F ?com b

? f x ?? ? f y ?? ? ?? ? ? fx ? ?rect? ? ? ? ? ? ? ? ? ?F ?? ?? com b f δ f sinc sinc ? ? ? ?? x y ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? f x ?? ?F ?? ?? δ ? f x ??, f y ???. ??? δ ? f x ??, f y ???. ??? δ ? f x ??, f y ????? ? ?δ ? f x , f y ???. ??? ?rect? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?F ?0.25δ ? f x , f y ???. ??? δ ? f x ??, f y ???. ??? δ ? f x ??, f y ???. ??? δ ? f x ??, f y ???. ??? δ ? f x ??, f y ?? ??. ????. ???cos?2π x ???. ???cos?6π x ?

1.4 给定一个不变线性系统,输入函数为有限延伸的三角波
2

?? ? x ?rect? x ???Λ ? x ? g i ? x ? ?? com b ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ??
对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。 (1) H ? f ? ? rect?

?f? ? ??? ?f? ?f? ? ? rect? ? ??? ???

(2) H ? f ? ? rect?

答:图解方法是在频域里进行的,首先要计算输入函数的频谱,并绘成图形

G( f ) ? F

? ? ? comb(3 f ) ? 50sin c(50 f ) ? sin c 2 f

? gi ( x)? ? ?F

?

x ? x ? ? ?1 ? comb( ) ? ? F ?rect ( ) ? ??( x)?? ? 3 ? 50 ? ?3 ? ?

方括号内函数频谱图形为:

50

2

5 3

4 3

1

2 3

1 3

1 3

2 3

1

4 3

5 3

2

f

图 1.4(1)

sin c 2 f 图形为:

3

1 0.685 0.17 0.04

1

2 1 3 3

1 2 3 3

1

f

图 1.4(2)

因为 sin c 2 f 的分辨力太低, 上面两个图纵坐标的单位相差 50 倍。 两者相乘时忽略中心五个 分量以外的其他分量,因为此时 sin c 2 f 的最大值小于 0.04%。故图解 G ( f ) 频谱结果为:

G(f) 50 50*0.685 50*0.171
2 3 1 3 1 3 2 3

f

图 1.4(3)

传递函数(1)形为:

4

f 1

1
图 1.4(4)

1

因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后,保持不变,得到输出函数频谱表达式为:

? 1 1 ? 2 2 ?? ? ? ? ( f ? ) ? ? ( f ? )? ? ?? ( f ) ? 0.685?? ( f ? ) ? ? ( f ? )? ? 50sin c(50 f ) ? 0.171 ? 3 3? 3 3 ?? ? ? ?
其反变换,即输出函数为:

x 2 ? x ? 1 ? 1.37cos2? ? 0.342cos2? x? rect( ) ? 3 3 ? 50 ?
该函数为限制在 ?? 25,25?区间内,平均值为 1,周期为 3,振幅为 1.37 的一个余弦函数与周 期为 1.5,振幅为 0.342 的另一个余弦函数的叠加。 传递函数(2)形为:

1

f
图 1.4(5)

5

此时,输出函数仅剩下在 ?? 2,?1? 及 ?1,2? 两个区间内分量,尽管在这两个区间内输入函数的 频谱很小,相对于传递函数(2)在 ??1,1? 的零值也是不能忽略的,由于

4 sin c 2 ( ) ? 0.043 3

5 sin c 2 ( ) ? 0.027 3

可以解得,通过传递函数(2)得到的输出函数为:

4 5 ? x ? 0 . 043 cos 2 ? x ? 0 . 027 cos 2 ? x rect ( ) ? 3 3 ? 50 ? ?
该函数依然限制在 ?? 25,25?区间内,但其平均值为零,是振幅为 0.043,周期为 0.75,的一 个余弦函数与振幅为 0.027,周期为 0.6 的另一个余弦函数的叠加。

1.5 若对二维函数

h?x, y ? ? a sinc? ?ax?
抽样,求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。
? 答:?F ?h? x,y ???F asinc ? ax? ?Λ ?

?

?

? fx ? ?δ ? f y ? ? a ?

?X ?

? ? ? ? B x ?a

;

Y ??

也就是说,在 X 方向允许的最大抽样间隔小于 1/2a,在 y 方向抽样间隔无限制。

1.6 若只能用 a ? b 表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样,即

? ?x? ? y ?? ? x? ? y? g s ?x, y ? ? g ?x, y ??comb? ? comb? ?? rect? ? rect? ? ?X? ? Y ?? ?a? ?b? ?
试说明,即使采用奈魁斯特间隔抽样,也不能用一个理想低通滤波器精确恢复 g ? x,y ?。 答:因为 a ? b 表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复 g ? x,y ?也有贡献,不可省略。

1.7 若二维不变线性系统的输入是“线脉冲” f ?x, y ? ? ? ?x ? ,系统对线脉冲的输出响应称 为线响应 L?x ? 。如果系统的传递函数为 H f x , f y ,证明:线响应的一维傅里叶变换等于

?

?

6

系统传递函数沿 f x 轴的截面分布 H ? f x ,0? 。 证明: F?L?x?? ? F?δ?y? ? h?x, y ?? ? ? f y H f x , f y ? H ? f x ,0?

? ? ?

?

1.8 如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间 f x ? Bx , f y ? B y 之外恒为 零,系统输入为非限带函数 g ? ?x, y ? ,输出为 g ' ?x, y ? 。证明,存在一个由脉冲的方形阵列
' ' 构成的抽样函数 g ? 它作为等效输入, 可产生相同的输出 g ' ?x, y ? , 并请确定 g ? ?x, y ? , ?x, y ? 。

答:为了便于从频率域分析,分别设: 物的空间频谱 像的空间频谱 等效物体的空间频谱 等效物体的像的空间频谱

A0 ( f x , f y ) ? F {g0 ( x, y)}; Ai ( f x , f y ) ? F {gi ( x, y)} ; A '0 ( f x , f y ) ? F {g '0 ( x, y)}; A '0 ( f x , f y ) ? F {g '0 ( x, y)}.

由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器,传递函数在 f x ? Bx , f y ? By 之外 恒为零,故可将其记为:

? fy ? f ? H ( f x , f y ) rect ? x ? rect ? ? 2B ? 2 Bx ? ? y

? 、 ? ? ?

利用系统的传递函数,表示物像之间在频域中的关系为

? fy ? f ? A0 ( f x , f y ) H ( f x , f y )rect ? x ? rect ? ? 2B ? 2 Bx ? ? y ? Ai ( f x , f y )

? ? ? ?

在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数,预期作为等效物的谱,办 法是把 A0 ( f x , f y ) rect ?

? fy ? fx ? ? rect ? ? 2B ? 2 Bx ? ? y

? 安置在 f x f y 平面上成矩形格点分布的每一个 ? ? ?

(2Bx n , 2By m )点周围,选择矩形格点在 f x 、 f y 方向上的间隔分别为 2 Bx 和 2 By ,以免频谱
混叠,于是

? f A '0 ( f x , f y ) ? A0 ( f x , f y ) rect ? x ? 2 Bx

? fy ? ? rect ? ? 2B ? ? y
7

? ? ? ? ? ? ? ? f x ? 2Bx n, f y ? 2By n ? ? n? ? ??? m???

? f ? A0 ( f x , f y ) rect ? x ? 2 Bx

? fy ? ? rect ? ? 2B ? ? y

? ? f 1 ? comb ? x ? ? 4B B x y ? 2 Bx ?

? fy ? ? comb ? ? 2B ? ? y

? (1) ? ? ?

对于同一个成像系统,由于传递函数的通频带有限,只能允许 A '0 ( f x , f y ) 的中央一个 周期成份( n ? m ? 0 )通过,所以成像的谱并不发生变化,即

? f A '0 ( f x , f y ) H ( f x , f y )rect ? x ? 2 Bx

? fy ? ? rect ? ? 2B ? ? y

? ? ? ?

? A 'i ( f x , f y ) ? Ai ( f x , f y )
图 1.8 用一维形式表示出系统在频域分别对 A0 和 A '0 的作用,为简单计,系统传递函数在 图中表示为 rect ?

? fx ? ?。 ? 2 Bx ?

A0(f X)

? f ? A '0 ( f X ) ? A0 ( f X )rect ? X ? ? 2 BX ?

*?? ( f X ? 2BX n)
fX
-BX BX 2BX

fX H(f X) 1 fX fX

H(f X) 1

-BX

BX

-BX

BX

Ai(f X)=A0(fX)H(fX)

A'i(fX)=A 0(fX)H(fX)

-BX

BX

fX
图 题 1.8

-BX

BX

fX

既然,成像的频谱相同,从空间域来看,所成的像场分布也是相同的,即

U 'i ( x, y) ? Ui ( x, y)
8

因此,只要求出 A '0 ( f X , fY ) 的逆傅立叶变换式,就可得到所需的等效物场,即

U '0 ( x, y) ? F
带入(1)式,并利用卷积定理得到

?1

?A'0 ( f X , fY )?
?? ? ?? ? F ?? ? ? ? f ? ? f ? 1 comb ? X ? comb ? Y ? ? ? 2 BX ? ? 2 BY ? 4 BX BY
(2)

U '0 ( x, y ) ? F

?1

? ? fX ? ? fY ? ? A0 ( f X , fY )rect ? ? rect ? ? ? 2 BX ? ? 2 BY ? ? ? fY ? rect ? ? ? 2 BY

?1

?? ? ?? ?? ?

?F

?1

? ? fX ? ? A0 ( f X , fY )rect ? ? ? 2 BX ?

? ?? ? ? ? comb(2 BX x)comb(2 BY y) ?? ?

上式也可以从抽样定理来解释。

? f A0 ( f X , fY )rect ? X ? 2 BX

? ? fY ? ? rect ? ? ? ? 2 BY ?

是一个限带的频谱函数, 它所对应的空间域的函数可以通过抽样, 用一个点源的方形阵列来 表示,若抽样的矩形格点的间隔,在 x 方向是

1 1 ,在 y 方向是 ,就得到等效物场 2 BX 2 BY

U '0 ( x, y)
F
?1

? ? ? fX ? ? fY ? ? ? ? A0 ( f X , fY )rect ? ? rect ? ?? ? ? 2 BX ? ? 2 BY ? ? ? ?

? U0 ( x, y) ? 4BX BY sin c(2BX x)sin c(2BY y)

? 4BX BY ? ? U 0 (? ,? )sin c[2BX ( x ? ? )] ? sin c[2By ( y ?? )]d? d? ;
??

?

(3)

comb(2BX x)comb(2BY y)

?

1 4 BX BY

n ??? m ???

? ? ? ? x ? 2B
?

?

?

?

n

,y?

X

m ? ? 2 BY ?

(4)

把(3) 、 (4)式代入(2)式,得到

? ? ? ? ? ? n m ? U '0 ( x, y ) ? ? ? ? U 0 (? ,? ) sin c[2 BX ( x ? ? )] ? sin c[2 BY ( y ? ? )]d ? d? ? ? ? ? ? ? x ? ,y? ? 2 BX 2 BY ? ? ?? ? n ??? m ??? ?
利用 ? 函数性质(1.8)式,上式可写为

U '0 ( x, y) ?
9

? ? ? ? n m ? ,y? ? ? ? U 0 (? ,? ) sin c[ n ? 2 BX ? )] ? sin c[ m ? 2 BY? )]d ? d? ?? ? x ? ? ? ? 2 BX 2 BY ? n ??? m ??? ? ?? ? ?
? ?

这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体 U 0 产生完全一样的像 Ui . 本题利用系统的传递函数,从频率域分析物象关系,先找出等效物的频谱,再通过傅立 叶逆变换, 求出等效物场的空间分布, 这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本分析方法。

10

第二章

习题解答
0

2.1

一列波长为 ? 的单位振幅平面光波,波矢量 k 与 x 轴的夹角为 45 ,与 y 轴夹角为

600 ,试写出其空间频率及 z ? z1 平面上的复振幅表达式。
答: f x ?

? , ?λ

fy ?

2 2?

,

? 3 2 ? ? U ?x, y, z1 ? ? e x ? pj k 1 z?e x p π j2 x ? y? ? 2λ ?U ?0,0,0? 2 λ ? ?

2.2

尺寸为 a?b 的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明, 求出紧靠屏后的平面 上的透射光场的角谱。

答: U ? x,y ??rect?

? x ?rect? y ? , A? cosα ,cosβ ??absinc? a cosα ? sinc? b cosβ ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? λ ? ? λ ? λ ? ? λ ? ?a? ?b?

2.3

波长为 ? 的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上,在孔径平面上有一个足够大的 模板,其振幅透过率为 t x? ??. ????cos

? ?

? ?

?π x0

? ,求紧靠孔径透射场的角谱。 ?λ ? ?

答::

cosα cosβ ? ? cosα ,cosβ ???. ??? 3λ δ ? ?λ cosα ?????λ A? , ? ? ???. ?δ ? ? ? ? λ ? λ ? λ ? λ ? λ ? ? ? cosα cosβ ? ? ? cosα ? ? ? cosα ? ??. ?δ ? , ? ??δ ? ? ? ???. ???δ ? λ ? ?λ ? ? λ ?λ ? λ ? ? λ

cosα ? ? ? cosβ ? δ? ??? ?δ ? ? ?λ ? λ ? ?? ? λ ? ? ?δ ? cosβ ? ? ?? ? ?? ? λ ?

2.4

参看图 2.13,边长为 ? a 的正方形孔径内再放置一个边长为 a 的正方形掩模,其中心落 在 ?? ,? ? 点。 采用单位振幅的单色平面波垂直照明, 求出与它相距为 z 的观察平面上夫 琅和费衍射图样的光场分布。画出 ? ? ? ? ? 时,孔径频谱在 x 方向上的截面图。

11

y

0

a 2a O

(? ,? )

x

0

图 2.4 题 答: t x? ,y ? ?rect?

?

?

? x? ?rect? y? ??rect? x? ?ξ ?rect? y? ?η ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? ?a ? ? a ? ? a ?

F? t ?x? ,y? ?? ??a ? sinc?2afx ?sinc?2afy ??a ? sinc?afx ?sinc?af y ?exp?- j2πa? f x ? f y ??
U ? x,y ?? ? k ? ? ? exp? jkz ?exp? ? j ?x ? y ??? jλ z ? 2z ?

? ? ? 2a x ?sinc? 2a y ??a ? sinc? a x ?sinc? a y ?exp? - j2π a? x ? y ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??a sinc? ? λ z? ? λ z? ? λ z? ? λ z? ? ? λ z λ z ? ?? ? ?
? x ? y ? ? ? ? x ? ? y ? ? ? x y ?? I ? x,y ?? 2 ? ? a ? sinc ? ? 2a ? sinc ? 2a ??a sinc ? a ? sinc ? a ?exp ? - j2π a? ? ? ? λ z ? λ z? ? λ z? ? λ z? ? λ z? ? ?λ z λ z ??
?

2.5

图 2-14 所示的孔径由两个相同的矩形组成,它们的宽度为 a ,长度为 b ,中心相距为

d 。采用单位振幅的单色平面波垂直照明,求与它相距为 z 的观察平面上夫琅和费衍
射图样的强度分布。 假定 b ? ? a 及 d ? ?.?a , 画出沿 x 和 y 方向上强度分布的截面图。 如果对其中一个矩形引入位相差 ? ,上述结果有何变化?

12

x

a d

O
b

y

图 题 2.5 (1) 答:如图所示,双缝的振幅透射率是两个中心在 (0, ) 及 (0, ? 率之和:

d 2

d ) 的矩形孔径振幅透射 2

d d x0 ? x0 ? y0 y 2 ) ? rect ( 0 )rect ( 2) t ( x0 , y0 ) ? rect ( )rect ( a b a b
由于是单位振幅平面波垂直照明,孔径平面上入射光场

(1)

U0 ( x0 , y0 ) ? 1 ,
透射光场

d d y0 ? y0 ? x0 x 2 ) ? rect ( 0 )rect ( 2) U ( x0 , y0 ) ? U 0 ( x0 , y0 ) t ( x0 , y0 ) ? rect ( )rect ( a b a b
x y

(2)

由夫琅和费衍射方程,在夫琅和费区中离孔径距离 z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样

U ( x , y ) ,它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式(频率坐标 f x ?
? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ? F U (x , y ) U (x , y ) ? ? 0 0? j? z
利用傅立叶变换的相移定理,得到

?z

, fy ?

?z

) ,即

(3)

d ? d ? ? ? y0 ? ? y0 ? ? ? ? x0 x 2 ) ? F rect ( 0 )rect ( 2) F ?U ( x0 , y0 )? ? F ?rect ( )rect ( ? ? ? a b ? a b ? ? ? ? ? ? ?

? ab sin c(af x )sin c(bf y ) ?[exp(? j? f y d ) ? exp( j? f y d )]
13

? 2ab sin c(
把它带入(3)式,则有

ax by ? dy ) sin c( ) ? cos( ) ?z ?z ?z

? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ? 2ab sin c( ax )sin c( by ) ? cos( ? dy ) U (x , y ) ? j? z ?z ?z ?z
强度分布

? 2ab ? 2 ? ax ? 2 ? by ? 2 ? ? dy ? I (x , y ) ? ? ? sin c ? ? sin c ? ? cos ? ? ? ?z ? ? ?z ? ? ?z ? ? ?z ?
不难看出,这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。 双缝的振幅透射率也可以写成下述形式:

2

d? d ?? ?x ? ?y ? ? ? ? t ( x0 , y0 ) ? rect ? 1 ? rect ? 1 ? ? ?? ? x0 , y0 ? ? ? ? ? x0 , y0 ? ? ? 2? 2 ?? ? ?a? ?b? ? ?

(4)

它和(1)式本质上是相同的。由(4)式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式,导出 与上述同样的结果。代入所给条件 b=4a,d=1.5a

? 8a 2 ? 2 ? ax I (x , y ) ? ? ? sin c ? ? ?z ? ?z ?
沿 x 轴,此时 f y ? 0

? 2 ? 4ay ? 2 ? 1.5? ay ? ? sin c ? ? cos ? ? ? ? ?z ? ? ?z ?

I ( f x , f y ) ? 8a2 sin c2 ? af x ?
中心光强:I(0,0)=8a2 极小值位置为: f x ?

n a

(n ? ?1, ?2, )

x 方向上强度分布的截面图示意如下:

14

图 题 2.5 (2)

沿 y 轴: 此时 f x ? 0 ,故

I ( f x , f y ) ? 8a 2 sin c(4af y ) 2 cos 2 ?1.5? af y ?
中心光强:I(0,0)=8a2 极小值位置: f y ?

n 4a

及 fy ?

1 ? 2n 3a

(n ? ?1, ?2, )

y 方向上强度分布的截面图示意如下:

图 题 2.5 (3)

d? d ?? ?x ? ?y ? ? ? ? t ( x0 , y0 ) ? rect ? 0 ? rect ? 0 ? ? ?? ? x0 , y0 ? ? exp ? ? j? ? ? ? ? x0 , y0 ? ? ? 2? 2 ?? ? ?a? ? b ? ? ? d? d ?? ?x ? ?y ? ? ? ? ? rect ? 0 ? rect ? 0 ? ? ?? ? x0 , y0 ? ? exp ? ? j? ? ? ? ? x0 , y0 ? ? ? 2? 2 ?? ? ?a? ? b ? ? ? d ? y1 ? ? x ? ? 2 ? rect ? 1 ? rect ? ?a? ? b ? d ? ? y1 ? ? ? x ? 1? 2 ? exp ? ? j? ? ? rect ? ? rect ? ?a? ? ? b ? ? ? ? ? ? ?

由于是单位振幅平面波垂直照明,孔径平面上入射光场

U0 ( x1 , y1 ) ? 1 ,
透射光场,b=4a,d=1.5a 时

15

U ( x1 , y1 ) ? U 0 ( x1 , y1 ) t ( x1 , y1 ) d? d? ? ? y1 ? ? y1 ? ? ? ? ?x ? 2 exp ? ? j? ? ? rect ? x1 ? rect 2 ? rect ? 1 ? rect ? ? ? ? ? ? b a b ?a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?x ? ? y ? 0.75a ? ? x1 ? ? y1 ? 0.75a ? ? rect ? 1 ? rect ? 1 ? exp ? ? j? ? ? rect ? ? rect ? ? 4a 4a ?a? ? ? ?a? ? ?
(2)

由夫琅和费衍射方程,在夫琅和费区中离孔径距离 z 的观察平面上得到夫琅和费衍射图样

U ( x , y ) ,它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式(频率坐标 f x ?
? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ? F U (x , y ) U (x , y ) ? ? 0 0? j? z
利用傅立叶变换的相移定理,得到

x

?z

, fy ?

y

?z

) ,即

(3)

? ? ? ?x ? ? y ? 0.75a ? ? x0 ? ? y0 ? 0.75a ?? F ?U ( x0 , y0 )? ? F ?rect ? 0 ? rect ? 0 ? exp ? ? j? ?? ? F ?rect ? ? rect ? ?? 4a 4a ?a? ? ? ?a? ? ?? ? ? ?
2 2 ?? ?8a sin c(af x ) sin c(4af y ) exp( ?1.5 j? f y ) exp ? ? j? ? ? ? ? 8a sin c( af x ) sin c(4af y ) exp(1.5 j? f y )

? 8a 2 sin c(af x ) sin c(4af y ) ? ? exp( ?1.5 j? f y ? j? ) ? exp(1.5 j? f y ) ?
把它带入(3)式,则有

? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ? 8a 2 sin c(af ) sin c(4af ) U (x , y ) ? x y j? z ? ? exp(?1.5 j? f y ? j? ) ? exp(1.5 j? f y ) ? ? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ? 8a 2 sin c( ax ) sin c( 4ay ) ? j? z ?z ?z ?1.5 j? y 1.5 j? y j? j? ? ? j? ? ? ? exp ? ? ? ) ? exp( ? )? ? ? exp( ?z 2 ?z 2 ? ? 2 ?? ? k ? exp( jkz ) exp ? j ( x 2 ? y 2 ) ? ? 2z ? ? 8a 2 sin c( ax ) sin c( 4ay ) ? j? z ?z ?z ? 1.5? y ? ? ? j? ? ? exp ? ? ? ? ? cos ? 2? ? 2 ? ? ?z
强度分布

16

? 8a 2 ? 2 ? ax I (x , y ) ? ? ? sin c ? ? ?z ? ?z ? ? 8a 2 ? 2 ? ax ?? ? sin c ? ? ?z ? ?z ?
2

2

?? ? 2 ? 4ay ? 2 ? 1.5? y ? ? ? sin c ? ? cos ? 2? ? ? ?z ? ? ?z

? 2 ? 4ay ? 2 ? 1.5? y ? ? sin c ? ? sin ? ? ? ? ?z ? ? ?z ?

2.6

图 2-14 所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为 t ?x? ? ? step?x? ? 。 采 用单位振幅的单色平面波垂直照明,求相距为 z 的观察平面上夫琅和费衍射图样的复 振幅分布。画出在 x 方向上的振幅分布曲线。
x

O

y

图 题 2.6

答: F t x? ,y ? ?F step x ? ? ? δ ? f x ??

??

?? ? ? ?? ? ? ?
?

?? ? x ? λ z ? ? y ? ? ? ?δ ? f y ?? ? δ ? ?? ?δ ? ? j ?π f x ? ? ? ? λ z ? j ?π x ? ? λ z ?

U ? x,y ?? ?

? k ? ? ? ?? ? x ? λ z ? ? y ? exp? jkz ?exp? ? j ?x ? y ???? δ ? ?? ?δ ? ? jλ z ? 2z ? ? ? ? λ z ? j ?π x ? ? λ z ? ? ? x? ?? ? y ? exp? jkz ? ? x y ? ? δ ? , ?? exp? jk ? ? z? ? ?? ?δ ? ? j ?λ z ? λ z λ z ? ?π x ? ? ? 2z ? ? ? λ z ?

振幅分布曲线图从略。

2.7

在夫琅和费衍射中,只要孔径上的场没有相位变化,试证明: (1)不论孔径的形状如

17

何,夫琅和费衍射图样都有一个对称中心。 (2)若孔径对于某一条直线是对称的,则 衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。 证明: (1)在孔径上的场没有相位变化时,衍射孔径上的光分布 g ? x,y ? 是一个实函数,其 傅里叶变换 G f x , f y 是厄米型函数,即:

?

?

G? f x , f y ??G* ?? f x ,? f y ?
因此 I f x , f y ? G f x , f y 称中心。 (2)孔径对于某一条直线是对称时,以该直线为 y 轴建立坐标系。有:

?

? ?

?

?

? G* ?? f x ,? f y ? ? I ?? f x ,? f y ? ,所以夫琅和费衍射图样有一个对
?

g ? x,y ?? g ?? x,y ?
因此 同时

G? f x , f y ??G* ?? f x , f y ? G? f x , f y ??G* ?? f x ,? f y ?
G* ? f x ,? f y ??G ?? f x , f y ??G* ? f x , f y ? G ? f x , f y ??G ? f x ,? f y ?

所以

可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

2.8

试证明如下列阵定理:假设在衍射屏上有 N 个形状和方位都相同的全等形开孔,在每 一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置,那末该衍射屏生成的夫 琅和费衍射场是下列两个因子的乘积: (1)置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射(该 衍射屏的原点处不一定有开孔) ; (2) N 个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面 上的干涉。

证明:假设置于原点的一个孔径表示为 t ? x? ,y? , N 个处于代表孔位置的点上的点光源表 示为

?

?

?δ ?x?x ,y? y ?,则衍射屏的透过率可表示为
N i i

t ?x? ,y? ??t ? ?x? ,y? ???δ ?x? xi ,y? yi ? ,
N

其傅里叶变换可表示为

? ? F? t ?x? ,y? ???F ? t ? ?x? ,y? ?? ?F ??δ ?x? xi ,y? yi ?? , ?N ?
18

该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射,第二项对应于 N 个处于代表 孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉, 因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因 子的乘积。

2.9

一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数

?? ? ? ?r? t ?r ? ? ? ? cos ar ? ? circ? ? ?? ? ? ?a?
(1)这个屏的作用在什么方面像一个透镜? (2)给出此屏的焦距表达式。 (3)什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置(特别是对于彩色物体)? 答: (1)解 衍射屏的复振幅投射率如图所示,也可以把它表示为直角坐标的形式:

? x2 ? y 2 ?1 1 ? t ( x, y) ? ? ? cos[? ( x 2 ? y 2 )]? circ ? ? l ?2 2 ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?
(1)

? x2 ? y 2 1 ?1 1 ? ? ? ? exp[? j? ( x 2 ? y 2 )] ? exp[ j? ( x 2 ? y 2 )]? ? circ ? ? 4 l ?2 4 ? ?

(1)式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减,其他两项指数项与透镜位相变换因 子 exp ? ? j

? ?

? k 2 ( x ? y 2 ) ? 比较,可见形式相同。当平面波垂直照射时,这两项的作用是分 2f ?

别产生会聚球面波和发散球面波。 因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似 与透镜,因子 circ ? (2)解 把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较,得到相应的焦距,对于

? x2 ? y 2 ? l ?

? ? 表明该屏具有半径为 l 的圆形孔径。 ? ?

1 k exp[? j? ( x 2 ? y 2 )] 项,令 ? ? ,则有 4 2 f1

f1 ?

k ? ? 2? ??
1 ?k exp[ j? ( x 2 ? y 2 )] 项,令 ? ? ,则有 4 2 f2

焦距 f1 为正,其作用相当于会聚透镜,对于

19

f1 ? ?

k ? ?? 2? ??
1 ”这一项来说,平行光波直接透过,仅振 2

焦距 f 2 为负,其作用相当于发散透镜,对于“ 幅衰减,可看作是

f3 ? ?
(3)解 由于该衍射屏有三重焦距,用作成像装置时,对同一物体它可以形成三个像,例如对于无穷 远的点光源, 分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像, 另一个像在无穷远 (直接透射光) (参 看图 4.12) 。当观察者观察其中一个像时,同时会看到另外的离焦像,无法分离开。如用接 收屏接收,在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外,对于多色物 体来说,严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长 ? 成反比。例如取

?red ? 6900 A , ?blue ? 4000 A ,则有
f red ? 4000 f blue 6900





? 0.57 fblue
这样大的色差是无法用作成像装置的, 若采用白光作光源, 在像面上可以看到严重的色散现 象。 这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图,即伽柏全息图。

2.10 用波长为 ? ? 6328 A 的平面光波垂直照明半径为 2 mm 的衍射孔,若观察范围是与衍 射孔共轴,半径为 30 mm 的圆域,试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。 答:由式(2.55) z ?? 衍射分别要求
?

?

π ? ? ? 1 2 2 ( L? ? L? ) 及式(2-57) z?? k ( x0 ? y0 ) 有菲涅耳衍射和夫琅和费 ?λ 2

z ? ??

π ? ? ? π ( L? ? L? ) 即 z? ?? ??? ???? ?? ????. ?m m ?? ?λ ???. ???? ???

? π ? ? ? z ?? k ?x? ? y? ? ?? ????? . ?mm ?? ? ?. ???????

2.11 单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为 a 的圆形孔径上,试求菲涅耳衍射图样在 轴上的强度分布。
20

答:圆形孔径的透过率可表示为

? x? ?y? t ?x? ,y ? ??circ? ? ? ? a ?
根据式(2.53)有

? ? ? ?

? x? ?y? ? U ? ?x? ,y ? ??circ? ? ? ? a ?

? ? ? ?

? x? ?y? ? exp? jkz ? ? k ? ? ? ? ? ? ? U ? x,y ?? exp? j ?x ? y ?? ? ? circ? ? ? jλ z a ? ? ? ?z ? ?? ? ? k ?π ? ? y ? ?? exp? ? j ? ?xx? ? yy? ?? ?exp? j x dx dy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?z ? ? λz
轴上的振幅分布为
? ? x? ?y? ? exp? jkz ? k U ??,?,z ?? circ? ? ? ?exp? j ?x? ? ? y ? ? ?? dx dy ? ? ? ? ? ? jλ z ? ? a ? ?z ? ? ? ? ? ?π a exp? jkz ? k k ? ? ? exp? j r?? rdrdθ ?exp? jkz ????exp? j a? ? ? ? ? ? ? ? ? jλ z ? ? ? ?z ? ? ?z ? ? ?

轴上的强度分布为

k ? ? ? ? k ? ?? U ??,?,z ?? exp? jkz ????exp? j a? ? ? ?????cos? a ?? ? ? ? ?z ? ? ? ? z ?? ? ? k ?? ?? sin? ? a ? ? ?z ?

2

2.12 余弦型振幅光栅的复振幅透过率为

t ?x? ??a?bcos?π

x? d

式中, d 为光栅周期, a ? b ? ? , a ? b ? ? 。观察平面与光栅相距 z 。当 z 分别取下列各数 值: (1) z ? zT ?

?d ?

?

; (2) z ?

zT d ? z d? ? ; (3) z ? T ? (式中 zT 称作泰伯距离) ? ? ? ??

时,确定单色平面波垂直照明光栅,在观察平面上产生的强度分布。 答:根据式(2.31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为

U ?x? ,y? ??a?bcos?π
强度分布为

x? d

21

x? ? ? I ?x? ,y? ??? a ? b cos ? π ? ? d ? ?
角谱为

x? ? A? ? f x , f y ??? ? ? ? a?bcos?π ?exp?? j ?π?x? f x ? y ? f y ??dx? dy? d ? ??? b? ? ? ? ? ?? ?aδ ? f x , f y ?? ?δ ? ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ? ?? ? d ? ? d ??
传播距离 z 后,根据式(2.40)得到角谱

?

A? f x , f y ,z ?? A? ? f x , f y ?exp jkz ???λ f x ?? ??λ f y ??

?

? ? ?

? b? ? ? ? ? ??? ?? ? aδ ? f x , f y ?? ?δ ? ?exp jkz ???λ f x ?? ??λ f y ?? ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ? ? ?? ? d ? ? d ??? ? ? b? ? ? ? ? ? ?? ? λ? ? ? ?aδ ? f x , f y ?exp? jkz?? ?δ ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ?exp? jkz ??? ? ? 2? ? d ? ? d ?? ? ?d? ? ? ?
利用二项式近似有
? ? ? ? ? ? λ ? ? ?? λ? ? ? π zλ ? exp? jkz ??? ? exp ?? ? ? ? ? ? ? ? jkz? ??exp? jkz ?exp? ? j ? ? ? ? d ? ?d? ? ? ? ? ? ? ? d ? ?? ? ?



? b? ? ? ? ? ? ? π zλ ? ? ? A( f x , f y ,z ) ?exp? jkz?? fx ? ,f y ? ??δ ? f x ? , f y ? ?exp?? j ? ? ? ? aδ ? f x , f y ?? 2 ?δ ? d ? ? d ?? ? d ? ? ? ? ? ?
(1) z ? zT ?

?d ?

?



? ?π d ? ?? b? ? ? ? ? ??? A( f x , f y ,z ) ?exp? j ? ?? aδ ? f x , f y ?? ?δ ? ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ? ? ? 2? ? d ? ? d ??? ? λ ?? ?
与 A? f x , f y 仅相差一个常数位相因子, 因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直 照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。 (2) z ?

?

?

zT d ? ? 时 ? ?

? ?π d ? ?? b? ? ? ? ? ??? A( f x , f y ,z ) ?exp? j ? ?? aδ ? f x , f y ?? ?δ ? ? f x ? , f y ??δ ? f x ? , f y ? ? ? ? 2? ? d ? ? d ??? ? λ ?? ?
对应复振幅分布为

22

x ?d ? x U ? x,y ??a?bcos?π ?a?bcos2 π d d
因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型 振幅光栅产生的强度分布。 (3) z ?

zT d ? ? ? ??

? b? ? ? ? ?? ? π? ? ? A( f x , f y ,z ) ?exp? jkz?? fx ? ,f y ? ??δ ? f x ? , f y ? ?exp?? j ? ? ? aδ ? f x , f y ?? 2 ?δ ? d ? ? d ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
对应复振幅分布为

x U x ,y ?exp? jkz ??a? jbcos?π ? ? d? ? ?
强度分布为

? ?

I x ,y ?a ? ?b ? cos2 ?π

? ?

x d

2.13 图 2.16 所示为透射式锯齿型位相光栅。其折射率为 n ,齿宽为 a ,齿形角为 ? ,光栅 整体孔径为边长 L 的正方形。 采用单位振幅的单色平面波垂直照明, 求距离光栅为 z 的 观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。 若让衍射图样中的某个一级谱幅值最大, ? 应如何选择?

L

a L

a
23

图 2.16( 题 2.13)

答: 在如图的透射式锯齿型位相光栅中, 单位振幅的单色平面波由光栅的背后平面入射垂直 照明,则在齿顶平面形成的光波复振幅分布可表示为

x? ? ? x ?rect? x ?rect? y ? U ?x? ,y ? ??exp? jkxtgα ?n-1??rect? ? ? ? ? ? ?? com b ? ? ?L? ?L? ?a? a ?a?
其角谱为

A? ? f x , f y ??? ?U x0 ,y 0 exp?? j ?π?x ? f x ? y ? f y ??dx? dy?
??

?

?

?

tgα ?n??? ? ? ? ?af x ?? ??δ ? f x ? ?δ ? f y ??L? sincLf x sincLf y ??asinc?af x ??com b λ ? ? ? ? ? ? tgα ?n??? ? ? ? ? ?af x ?? ?? fx ? δ ? f y ??L? sincLf x sincLf y ? ??com b ? asinc? a? ? λ ?? ? ? ? ? ? ? tgα ?n??? ? ? ? ? ?? fx ? δ ? f y ??L? sincLf x sincLf y ? ???δ ?af x ?m ?? ? asinc? a? ? λ ?? ? ? ? ?
若让衍射图样中的 m 级谱幅值最大,应选择 ? 使得

tgα ?n-1? m ? λ a
因而有

α?

? ?? mλ tg n?? a

2.14

设 u ( x) 为矩形函数,试编写程序求 p ? 1 4 , 1 2 , 3 4 时,其分数阶傅里叶变换, 并绘制出相应 U
? p?

?? ? 的曲线。

答:根据分数阶傅里叶变换定义式(2.62)

? ? ?? ?? ? ? exp?? j ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 G?? ? ? Fa ?g ?x ?? ? ? ? 2? sin ? ? ? ? ? ? ?
以及式

1

2

? j ? 2 ? x2 j?x ? exp ? ? ?g ?x ?dx ? sin ? ? ? 2 tg? ??

?

?

?

p??

? ?
24

(2.79)

即可编程计算 p ? 1 4 , 1 2 , 3 4 时的分数阶傅里叶变换(此处略) 。

25

第三章 习题解答
3.1 参看图 3.5,在推导相干成像系统点扩散函数(3.35)式时,对于积分号前的相位因子

? k ? k 2 2 ? exp? j ( x0 ? y0 )? ? exp? j ? ? 2d 0 ? ? 2d 0
试问

? xi2 ? y i2 ?? ? ? ? M 2 ?? ? ?? ?

(1)物平面上半径多大时,相位因子

? k 2 2 ? exp? j ( x0 ? y0 )? ? 2d 0 ?
相对于它在原点之值正好改变π 弧度? (2)设光瞳函数是一个半径为 a 的圆,那么在物平面上相应 h 的第一个零点的半径是 多少? (3)由这些结果,设观察是在透镜光轴附近进行,那么 a,λ 和 do 之间存在什么关系 时可以弃去相位因子

? k 2 2 ? exp? j ( x0 ? y0 )? ? 2d 0 ?

解: (1)由于原点的相位为零,于是与原点位相位差为

? 的条件是

kr 2 k 2 2 ( x0 ? y0 ) ? 0 ? ? , r0 ? ? d0 2d0 2d0

(2)根据(3.1.5)式,相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图 样,其中心位于理想像点 ( x0 , y0 )

h( x0 , y0 ; xi , yi ) ?

1 2 ? d0 di

? 2? 2 2 ? P ( x , y ) exp ? j [( x ? x ) ? ( y ? y ) ]?dxdy ? i 0 i 0 ? ?? ? ? d i ? ?

?

?
式中 r ?

1 B ? d 0 di
2

? 1 aJ1 (2? a? ) ? r ?? ?circ ? ?? ? 2 ? ? a ? ? ? d 0 di ?

x 2 ? y 2 ,而

26

? ? ? 2 ?? 2 ? (

xi ? x0 2 yi ? y0 2 ) ?( ) ? di ? di

(1)

在点扩散函数的第一个零点处, J1 (2? a? ) ? 0 ,此时应有 2? a? ? 3.83 ,即

?0 ?

0.61 a

(2)

将(2)式代入(1)式,并注意观察点在原点 ( xi ? yi ? 0) ,于是得

r0 ?

0.61? d0 a

(3)

(3)根据线性系统理论,像面上原点处的场分布,必须是物面上所有点在像面上的点 扩散函数对于原点的贡献 h( x0 , y0 ;0,0) 。按照上面的分析,如果略去 h 第一个零点以 外的影响, 即只考虑 h 的中央亮斑对原点的贡献, 那么这个贡献仅仅来自于物平面原点 附 近 r0 ? 0.61?d0 / a 范 围 内 的 小 区 域 。 当 这 个 小 区 域 内 各 点 的 相 位 因 子

exp[ jkr02 / 2d0 ] 变化不大,就可认为(3.1.3)式的近似成立,而将它弃去,假设小区
2 域内相位变化不大于几分之一弧度(例如 ? /16 )就满足以上要求,则 kr0 / 2d 0 ?

?
16



r02 ? ?d0 /16 ,也即

a ? 2.44 ? d0

(4)

例如 ? ? 600nm , d0 ? 600nm ,则光瞳半径 a ? 1.46mm ,显然这一条件是极易满足 的。

3.2 一个余弦型振幅光栅,复振幅透过率为
t ( x0 , y 0 ) ? 1 1 ? cos 2?f 0 x 0 2 2

放在图 3.5 所示的成像系统的物面上,用单色平面波倾斜照明,平面波的传播方向在 x0z 平 面内,与 z 轴夹角为θ 。透镜焦距为 f,孔径为 D。 (1)求物体透射光场的频谱; (2)使像平面出现条纹的最大θ 角等于多少?求此时像面强度分布; (3) 若θ 采用上述极大值,使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少?与θ =0 时的截 止频率比较,结论如何?
27

解: (1)斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为 A exp( jkx0 sin ? ) ,为确定起见设

? ? 0 ,则物平面上的透射光场为
U0 ( x0 , y0 ) ? A exp( jkx0 sin ? )t ( x0 , y0 )

?

A? sin ? ? 1 sin ? ? 1 sin ? ? ? ? ? ? ) ? ? exp ?? j 2? x0 ( f0 ? )? ? ?exp ? j 2? x0 ? ? exp ? j 2? x0 ( f0 ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ?
其频谱为

A(? ,?) ? F ?U0 ( x0 , y0 )?
? A? ? sin ? ? 1 ? ? sin ? ? ? 1 ? ? sin ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? f 0 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? f 0 ? ?? 2? ? ? ? 2 ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? ?? ?

由此可见,相对于垂直入射照明,物频谱沿 ? 轴整体平移了 sin ? / ? 距离。

( 2 )欲使像面有强度变化,至少要有两个频谱分量通过系统,系统的截止频率

?c ? D / 4? f ,于是要求
sin ?

?
由此得

?

D 4? f

,?

D 4? f

? ? f0 ?

sin ?

?

?

D 4? f

? f0 ?
? 角的最大值为

D D ? sin ? ? 4f 4f

(1)

?max ? arcsin ?

? D? ? ?4f ?

(2)

此时像面上的复振幅分布和强度分布为

Ui ( xi , yi ) ?

? A D ? 1 exp ? j 2? xi ?[1 ? exp(? j 2? xi f 0 )] 2 4? f ? 2 ?
A2 4 ?5 ? ? cos 2? f0 x ? ? ?4 ?
28

Ii ( xi , yi ) ?

(3)照明光束的倾角取最大值时,由(1)式和(2)式可得

? f0 ?


D D ? 4f 4f

f0 ?

D 2? f



f 0 max ?

D 2? f

(3)

? ? 0 时,系统的截止频率为 ?c ? D / 4? f ,因此光栅的最大频率
f 0max ? ?c ? D 4? f
(4)

比较(3)和(4)式可知,当采用 ? ? ?max 倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了 一倍,也就提高了系统的极限分辨率,但系统的通带宽度不变。

3.3 光学传递函数在 fx= fy =0 处都等于 1,这是为什么?光学传递函数的值可能大于 1 吗?如果光学系统真的实现了点物成点像,这时的光学传递函数怎样? (1)在(3.4.5)式中,令

h( xi , yi ) ?

? ? h ( x , y )dx dy
1 i i i ??

?

h1 ( xi , yi )
i

为归一化强度点扩散函数,因此(3.4.5)式可写成

H (? ,? ) ? ?


?

??

? h( x , y ) exp[? j 2? (? x ?? y )]dx dy
i i i i i ?

i

H (0,0) ? 1 ? ?

??

? h( x , y )dx dy
i i i

i

即不考虑系统光能损失时,认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上, 这便是归一化点扩散函数的意义 (2)不能大于 1 (3)对于理想成像,归一化点扩散函数是 ? 函数,其频谱为常数 1,即系统对任何频

29

率的传递都是无损的。

3.4 当非相干成像系统的点扩散函数 hI(xi,yi)成点对称时,则其光学传递函数是实函 数。 解 : 由 于 hI ( xi , yi ) 是 实 函 数 并 且 是 中 心 对 称 的 , 即 有 hI ( xi , yi ) ? hI* ( xi , yi ) ,

hI ( xi , yi ) ? hI (? xi , ? yi ) , 应 用 光 学 传 递 函 数 的 定 义 式 ( 3.4.5 ) 易 于 证 明 H (? ,? ) ? H * (? ,? ) ,即 H (? ,? ) 为实函数。

3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为 2a, 出瞳到像面的距离为 di,光波长为λ ,这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频 率近似为多大? 解:用公式(3.4.15)来分析。首先,由于出瞳上的小圆孔是随机排列的,因此无论沿 哪个方向移动出瞳计算重叠面积,其结果都一样,即系统的截止频率在任何方向上均相同。 其次,作为近似估计,只考虑每个小孔自身的重叠情况,而不计及和其它小孔的重叠,这时 N 个小孔的重叠面积除以 N 个小孔的总面积,其结果与单个小孔的重叠情况是一样的,即截 止频率约为 2a / ?di ,由于 2 a 很小,所以系统实现了低通滤波。

3.6 试用场的观点证明在物的共轭面上得到物体的像 解:如图

t ( x0 , y 0 )

( x, y )

( xi , yi )

d0

di
图 3.6 题

设 ?1 是透过率函数为 t ( x0 , y0 ) 的物平面, ? 2 是与 ?1 共轭的像平面,即有

1 1 1 ? = d0 di f
30

式中 f 为透镜的焦距,设透镜无像差,成像过程分两步进行: (1) 射到物面上的平面波在物体上发生衍射,结果形成入射到透镜上的光场 U l ; (2) 这个入射到透镜上的光场经透镜作位相变换后,在透镜的后表面上形成衍射场

U l ,这个场传到像面上形成物体的像。
为了计算光场,我们用菲涅耳近似,透镜前表面的场为

'

e xp(jk Ul ?

x2 ? y2 )? 2 2 2d 0 x0 ? y 0 xx ? yy0 t ( x , y ) e xp( jk ) e xp(? jk 0 )dx0 dy0 0 0 ? ? jλ d i 2 d d 0 0 ??

这里假定 t ( x0 , y0 ) 只在物体孔径之内不为零,所以积分限变为 ? ? ,此积分可以看成

x ? y0 是函数 t ( x0 , y 0 ) e xp(jk 0 ) 的傅立叶变换,记为 F ( f x , f y ) ,其中 2d 0
fx ? x y , fy ? λ d0 λ d0

2

2

在紧靠透镜后表面处

x2 ? y2 e xp(jk ) 2d 0 x2 ? y2 ' Ul ? F ( f x , f y ) e xp(jk ) jλ d 0 2f
这个被透镜孔径所限制的场, 在孔径上发生衍射, 在用菲涅耳近似, 便可得到像面 ? 2 上 的光场

e xp(jk U i ( xi , y i ) ?

xi ? y i )? 2 2 x ?y 2d i xx ? yyi ? U l e xp(jk ) e xp(? jk i )dxdy ? ? jλ d i 2f di ??

2

2

x2 ? y2 e xp(jk ) x ? yi e xp(jk i )? 2d 0 x2 ? y2 x2 ? y2 F( f x , f y ) e xp(? jk ) e xp(jk ) 2d i ? jλ d 0 2f 2d i ? ? jλ d i ?? xx ? yyi e xp(? jk i )dxdy di
2 2

31

e xp(jk ?

xi ? y i )? 2d i xx ? yyi x2 ? y2 1 1 1 F ( f x , f y ) e xp[jk ( ? ? )]e xp(? jk i )dxdy ? ? 2 2 d0 di f di λ d0di ??

2

2

由题设知,

1 1 1 ? ? ?0 d0 di f

并且假定透镜孔径外的场等于零,且忽略透镜孔径

的限制,所以将上式中的积分限写成无穷,于是上述积分为

e xp(jk U i ( xi , y i ) ? ?

xi ? y i )? 2d i xx ? yyi F ( f x , f y ) e xp( ? jk i )dxdy ? ? 2 di λ d0di ??

2

2

x ? yi e xp(jk i )? 2d i x y x y ?? F( , f x , f y ) e xp( ? j 2π ( x i ? y i )dxdy ? ? 2 λ d0 λ d0 λ di λ di λ d0di ??
注意

2

2

xi x dx dy ? ? 0 , df x ? , df y ? , 于是得 di d0 λ d0 λ d0
2 2

x ? yi e xp(jk i )? 2d i U i ( xi , y i ) ? ? F ( f x , f y ) e xp(? j 2π ( xf x ? yf y ))df x df y ? ? di / d0 ??

??

d0 x ? yi x ? y0 e xp(jk i )t ( x0 , y0 ) e xp(jk 0 di 2d i 2d 0

2

2

2

2

d x ? yi x ? y0 ? ? 0 e xp(jk i ) e xp(jk 0 )t ( x0 , y0 ) di 2d i 2d 0
再考虑到 x0 和 x i 之间的关系得到

2

2

2

2

Ui ?

d0 d d t ( ? xi 0 ,? y i 0 ) di di di
di 倍的像。 d0
32

即得到像平面上倒立的,放大

3.7 试写出平移模糊系统,大气扰动系统的传递函数。 解:在照相系统的曝光期间,因线性平移使点变成小线段而造成图像模糊,这种系统称 为平移模糊系统,它的线扩散函数为一矩形函数

L( x ) ?

1 x rect ( ) a a

其传递函数为

H( fx ) ?

sin( π af x ) π af x

对于大气扰动系统,设目标物为一细线,若没有大气扰动,则理想成像为一条细线。由于大 气扰动,使在爆光期间内细线的像作随机晃动,按照概率理论,可以把晃动的线像用高斯函 数描述。设晃动摆幅的均方根值为 a,细线的线扩散函数为

L( x) ?

1 2π a

e xp( ?

x2 ) 2a 2

对上式作傅立叶变换,就得到大气扰动系统的传递函数

H ( f x ) ? exp( ?2π 2 a 2 f x )

2

3.8 有一光楔(即薄楔形棱镜) ,其折射率为 n,顶角α 很小,当一束傍轴平行光入射其上 时,出射光仍为平行光,只是光束方向向底边偏转了一角度(n-1)α ,试根据这一事实, 导出光束的位相变换函数 t。 解:如图所示, (x,y) δ =-(n-1)α θ

设入射平行光与 Z 轴成θ 角入射,按傍轴条件,θ 角很小,入射到光楔上的光场为

U1 ? A exp(jkx sinθ ) ? A exp(jkxθ )
通过光楔后的出射光场为

?jkx sin?θ ? ?n ? 1?α ?? ? Aexp ?jkx?θ ? ?n ? 1?α ?? U 2 ? A exp
其中 –(n-1)α 表示偏转是顺时针方向,即向底边偏转,又根据出射光场,入射光场和光楔变
33

换函数三者的关系 U 2 ? tU 1 有 A exp ?jkx?θ ? ?n ? 1?α ?? ? tAexp(jkxθ )

? jk (n ? 1)α ] 。 于是有 t ? e xp[

34

第四章

习题解答
Δ?

4.1 若光波的波长宽度为 Δ ? ,频率宽度为 Δ ? ,试证明:

?

?

Δ?

?

。设光波波长为

? ? ???.?nm ,Δ ? ? ? ? ???? nm ,试计算它的频宽Δ ? 。若把光谱分布看成是矩形线型,
那么相干长度 lc ? ? 证明: ?? ?

??

?

2

c ? 1.5 ? 104 赫, lc ? ctc ?

c ? 20 ?103 (m) ??

4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为 ?? ? ???.?nm , ?2 ? ???.?nm 的钠双线,每一谱线 的宽度为 ?.??nm 。 (1)试求光场的复自相干度的模。 (2)当移动一臂时,可见到的条纹总 数大约为多少?(3)可见度有几个变化周期?每个周期有多少条纹? 答:假设每一根谱线的线型为矩形,光源的归一化功率谱为

G ?? ? ?

^

1 ? ? ? ??1 ? ? ? ?? 2 ?? rect ? ? ? rect ? ?? ? 2?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?

(1)光场的复相干度为

r (? ) ? ? G (? ) exp( j 2??? )d?
0

? ^

1 ? sin c(??? ) exp( j 2?? 1? )[1 ? exp( j 2???? )] 2
式中 ?? ? ? 2 ?? 1 ,复相干度的模为

r (? ) ? sin c(??? ) cos????
由于 ??

?? ,故第一个因子是 ? 的慢变化非周期函数,第二个因子是 ? 的快变化周期函

数。 相干时间由第一个因子决定, 它的第一个零点出现在 ? c ? 1 ?? 的地方, ? c 为相干时间, 故相干长度 l c ? c? c ?

c

??

?

? 2 ?2 。 ? ?? ??
lc

(2)可见到的条纹总数 N ?

?

?

? 5893 ? ? 58930 ?? 0.1

(3)复相干度的模中第二个因子的变化周期 ? ? 1 ?? ,故

35

可见度的变化周期数 n ? 每个周期内的条纹数 ?

? c ?? ?? 6 ? ? ? ? 60 ? ?? ?? 0.1

N 58930 ? ? 982 n 60

4.3 假定气体激光器以 N 个等强度的纵模振荡,其归一化功率谱密度可表示为

? ?? ? ? g

? ? N ??? ? ?? ?? ?? ? nΔ ? ? N n??? N ??? ?

式中, Δ ? 是纵模间隔,? 为中心频率并假定 N 为奇数。 (1)证明复自相干度的模为

? ?? ? ?

sin?N?Δ ?? ? N sin??Δ ?? ?

(2)若 N ? ? ,且 0 ? ? ? 1 Δ

? ,画出 ? ?? ? 与 Δ ?? 的关系曲线。

证明: (1) ,复相干度 ?(?) 与归一化功率谱密度即光源的光谱特性间具有下列关系:

? ?? ? ? ? G (? )e? j 2??? d?
0

? ^

将(4.3.1)式带入得到

? ?? ? ?
? ?

1 N

?

?

( N ?1) 2 n ?? ( N ?1) 2

0

?

? (? ?? ? n?? )e? j 2??? d?

1 ? j 2??? e e j 2? n??? ? N n ?? ( n ?1) 2 1 ? j 2??? ? ( n ?1) 2 j 2???? n ( n ?1) 2 ? j 2???? n ? e ? ? ? ?e ? ? 1? ? ? ?e N n ?0 ? n ?0 ?
( N ?1) 2

( N ?1) 2

其中

?
n ?0

?e

j 2???? n

?

?

1 ? e j 2???? ( N ?1) / 2 1 ? e j 2????

( N ?1) 2 n ?0

? ?e

? j 2???? n

?

?

1 ? e ? j 2???? ( N ?1) / 2 1 ? e ? j 2????

因而

? ?? ? ?

1 e x p?(j 2??? )? e x ? pj 2???? ( N ? 1) / 2? ? e x ? p ? j 2???? ?N ? 1? / 2? ? e x ? pj 2???? ( N ? 1) / 2? N ?e x? p ? j 2???? ( N ? 1) / 2? /?2 ? e x pj( 2???? ) ? e x p?(j 2???? )? ?
36

1 ? j 2? ?? cos 2???? ( N ? 1) / 2 ? cos 2???? ( N ? 1) / 2 e N 1 ? cos 2???? 1 ? j 2? ?? sin ???? N = e N sin ????
= 复相干度的包络则为

? ?? ? ? ? ?? ? ?
(2) ,当 N=3 时,

sin ????N N sin ????

? ?? ? ?

sin 3???? 3 sin ????

其 ? ? ??? 曲线如图 1 所示。

?

???
图 1 多模激光复相干度包络曲线(N=3)

4.4 在衍射实验中采用一个均匀非相干光源,波长 ? ? 550nm,紧靠光源之前放置一个直 径 1mm 的小圆孔, 若希望对远处直径为 1mm 的圆孔产生近似相干的照明, 求衍射孔径到光源 的最小距离。 答:用做衍射实验的相干度应当用上题中提到的沃尔夫用的阈值,由理想值 1 下降到 0.88 为最大容许偏离值,因而相干面积直径与光源半径之间满足下列关系:

d?

0.16? z a

37



z?

da 1? 0.5 ? ?103 ? 5.68m 0.16? 0.16 ? 550

即光源小孔与衍射小孔之间最小相距 5.68m 才能在衍射实验中较好地满足相干照明的要求。

4.5 用迈克尔逊测星干涉仪测量距离地面 1 光年(约 10 m) 的一颗星的直径.当反射镜 M ? 与 M ? 之间距离调到 6m 时,干涉条纹消失.若平均波长 ? ? 550nm,求这颗星的直径。 答:φ? Dα ? D

16

?. ??λ ?. ?????? ????? km??. ?????? km 。 ? d ????

4.6 在杨氏双孔干涉实验中(图 4.17),用缝宽为 a 的准单色非相干缝光源照明,其均匀分布 的辐射光强为 I ? ,中心波长 ? ? ???nm .(1)写出距照明狭缝 z 处的间距为 d 的双孔 Q1 和 (2)若 a ? ?.?mm, z ? ?m, d ? ?mm, Q? (不考虑孔的大小)之间的复相干因子表达式。 求观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度。 (3)若 z 和 d 仍然取上述值,要求观察屏上干涉条纹 的对比度为 0.41, 缝光源的宽度应为多少?(4)若缝光源用两个相距为 a 的准单色点光源代 替, 如何表达 Q1 和 Q? 两点之间的复相干因子?

S'

a

Q

1

d Q z
2

38

图 题 4.6 答: 根据范西特-泽尼克定理, 当光源本身线度以及观察区域线度都比二者距离 z 小得多时, 观察区域上复相干因子正比于光源强度分布的归一化傅里叶变换。 本题的条件能够满足这个 要求。因而有

x1 ? ? ?π exp? jψ?? ? I 0 rect? x?Δ ξ? y?Δ η ? ? ?exp?? j ?dx? dy? a λ z ? ? ? ? ?? μ ?Λ ξ, Δ η?? ? ? x1 ?dxdy I rect ? ???? 0 ? ?a? ? ? x1 ? ? ?π ?π ? ? ? ? exp jψ ? rect? ?exp?? j x?Δ ξ?dx? ? exp? y?Δ η? ?? j ?dy? ?a? ? λ z ? ?? ? λ z ? ?? ? ? ? ? x1 ?dx? exp?? j ?π y Δ η?dy ? rect ? ? ? ? ? ? ? ? a ? ??? ? λ z ? ? ? ? Δ η?? ?? ? Δ ξ ? ? Δ η? exp? jψ?sinc? ?a ?δ ? ? λ z λ z ? ? ? ? ? δ ?? ? Δ ξ? ?exp? jψ?sinc? 当 Δ η?? ?a ? ? λ z? ? 当 Δ η??

?

?

?

(4.75)

式中? ?

k k ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ,而 ?? 和 ? ? 分别为 Q1 和 Q2 两点到光轴 ?z ?z

?

?

的距离。 (2)当 a ? ?.?mm, z ? ?m, d ? ?mm,有

Δ μ ??,???exp? jψ?sinc? ?a ? λ

ξ? 3 ? ???. ??? ??sinc? ?. ? ? -3 z? ? 0.6?10 ?1?103 ?

观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度为 0.637。 (3)若 z 和 d 仍然取上述值,观察屏上干涉条纹的对比度为 0.41, 缝光源的宽度应为

a?

0.667 ?0.6?10-3 ?????? ??. ???m m ?

(4)若缝光源用两个相距为 a 的准单色点光源代替, Q1 和 Q? 两点之间的复相干因子可以 表达为两个复指数函数之和,因而随着 Q1 和 Q? 两点之间的距离按照余弦函数方式变 化。

39

4.7 一准单色光源照明与其相距为 z 的平面上任意两点 P ?和P ? ,试问在傍轴条件下这两点 之间的复相干因子幅值为多大? 答:

x

?

y
?
) 1,Y1 P1(X

S
P1(X2,Y 2)

z

图 题 4.7 解:首先建立如上图的坐标系,光源位于 ξ-η 坐标原点,ξ-η 与 x-y 两平面间距为 z,P1 与 P2 两点坐标分别为(x1,y1)与(x2,y2),并满足如下近轴条件:

z

2 2 2 2 x1 ? y1 , x2 ? y2

做为准单色点光源,其光源可表示为

I (? ,? ) ? I0? (? ,? )
其中δ 为狄拉克函数。直接利用范西特-泽尼克定理计算复相干系数如下:

? (P1, P2 )
? ? 2a ? e ? j? ? ? I0? (? ,? )exp ? j ( ?x? ? ?y? )? d? d? ?? ? ?z ? ? ? ? ? I0? (? ,? )d? d? ??

?e

? j?

? ? 2 2 2 2 ? ? exp ? j ( x2 ? y2 ? x1 ? y1 )? ? ?z ?
因为

?(P1,P2 ) ? 1,由点光源发出的准单色是完全相干的,或者说 x-y 面上的相干面积趋
40

于无限大

4.8 在图 4-18 所示的记录全息图的光路中,非相干光源的强度在直径为 b 的圆孔内是均匀 的。 为使物体漫反射光与反射镜的参考光在 H 面上的复相干因子 ? ? ??? 。 光源前所加的小孔的最大允许直径是多少( ? ? 600nm)? 答:小孔的最大允许直径 b?

?12 不小于 0.88,

?. ???λ ?. ????. ? ? ????? m m??. ?????? m m 。 β ?. ???

b
β

S' M H

图 题 4.8

41

第五章

习题解答

5.1 两束夹角为 ? = 450 的平面波在记录平面上产生干涉,已知光波波长为 632.8nm, 求对称情况下(两平面波的入射角相等)该平面上记录的全息光栅的空间频率。 答:已知:? = 450,λ = 632.8nm,根据平面波相干原理,干涉条纹的空间分布满足关 系式 2 d sin(?/2)= λ 其中 d 是干涉条纹间隔。由于两平面波相对于全息干板是对称入射的,故记录 在干板上的全息光栅空间频率为 fx = (1/d)= (1/λ )·2 sin(?/2)= 1209.5 l/mm 故全息光栅的空间频率为 1209.5 l/mm。

5.2 如图 5.33 所示,点光源 A(0,-40,-150)和 B(0,30,-100)发出的球面波在 记录平面上产生干涉: x

A

O

z y

B

图 5.33 (5.2 题图) (1)写出两个球面波在记录平面上复振幅分布的表达式; 答:设:点源 A、B 发出的球面波在记录平面上的复振幅分布分别为 UA 和 UB, 则有

aA ex p ( jkz A ) e x p {( jk / 2 z A )[( x - x A ) 2 + ( y - y A ) 2 2 a U B = B exp( jkz B ) exp {( jk / 2 z B )[( x - x B ) 2 + ( y - y B ) 2 2 UA =
zA = -150, yB = 30, zB = -100;

]} ]}

其中: xA = xB = 0, yA = -40,

aA、aB 分别是球面波的振幅;k 为波数。 (2)写出干涉条纹强度分布的表达式; I = |UA+UB|2 = UA ·UA* + UB ·UB* +UA*·UB+ UA·UB*
42

=

a A + aB a ?a + A B {e xp(- jkz A + jkzB ) e xp{- ( jk / 2 z A )[( x - x A ) 2 + ( y - y A ) 2 4 4 +( jk / 2 z B )[( x - x B ) 2 + ( y - y B ) 2 ] } }
2 2

]

+

a A ?a B e xp( jkz A - jkzB ) e xp{( jk / 2 z A )[( x - x A ) 2 + ( y - y A ) 2 { 4 - ( jk / 2 z B )[( x - x B ) 2 + ( y - y B ) 2 ] } }

]

(3)设全息干板的尺寸为 100 × 100 mm2,? = 632.8nm,求全息图上最高和最低空 间频率;说明这对记录介质的分辨率有何要求? 解答:设全息干板对于坐标轴是对称的,设点源 A 与点源 B 到达干板的光线的最大 和最小夹角分别为θ
max

和θ

min

,A、B 发出的到达干板两个边缘的光线与干板的

夹角分别为θ A、θ B、θ A’和θ B’ ,如图所示,它们的关系为 θ A θ
max A

θ 0

B

z
θ A’ θ B’

B

θ θ
A=

min

y

tg-1[zA/(-yA - 50)] ,θ

B= B

tg-1[zB/(-yB - 50)] ’= tg-1[zB/(yB - 50)]

θ A’= tg-1[zA/(yA - 50)] ,θ θ
max=θ A -θ B



θ

min=θ B

’-θ A’

根据全息光栅记录原理,全息图上所记录的 最高空间频率 fmax= (2/?)sin(θ 最低空间频率 fmin= (2/?)sin(θ cos max/2)· cos min/2)· α α
1 2

其中α 角表示全息干板相对于对称记录情况的偏离角,由几何关系可知 cos α 1 = sin(θ A +θ B)/2 , cos α 2 = sin(θ A’+θ B’ )/2 将数据代入公式得 fmax= 882 l/mm ,fmin= 503 l/mm

故全息图的空间频率最高为 882 l/mm,最低为 503 l/mm,要求记录介质的分辨率不得 低于 900 l/mm。

5.3 请依据全息照相原理说明一个漫反射物体的菲涅耳全息图。

43

(1)为什么不能用白光再现?试证明如图 5.7 所记录和再现的菲涅耳全息图的线 模糊和色模糊的表达式(5.26)和(5.28) ; (2)为什么全息图的碎片仍能再现出物体完整的像?碎片尺寸的大小对再现像质 量有哪些影响? (3)由全息图再现的三维立体像与普通立体电影看到的立体像有何本质区别? 答: (1)首先证明(5.26)式,当 ? ?

? (5.21)式变 ? 1 。即记录光与再现光波长相同时, ?0

为:

x i xc x0 xr ? ? ? li lc l0 lr yi yc y0 yr ? ? ? li lc l0 lr

当再现光源没有展宽,即 ?C ? 0 ,一个点光源的像的展宽, ?I (?xi , ?yi ) 与参考光源的展 宽 ?R( ?xi , ?yi ) ,成正比,即:

? ?Ii ?R
li

?

?R lr

同样,当参考光源没有展宽,再现光源的展宽 ?C( ?xc , ?yc ) 也与像的展宽成正比

? ?Ii ?c
li

?

?C lc

参考光源与再现光源同时存在微小展宽其最后结果展宽是两者之和为:

?I i ? ? ?I i ? R ? ? ?I i ?c

? ?R ?C ? ?? ? ? li lr ? ? lr
此即式(5.26) 。对于色模糊,由图 5.8 可以看出: ?? ? li ? ?? 色散角与波长成一定函数关系,由于波长范围 ? ? 产生的色散角为:

?? ? ??

?? xi ?? ?? xi ??
44

因而有 ?I ? ? li ??

该式即为书上(5.27)式,根据书上 P132 以后分析即可证明(5.28)式。 (2)由于全息图上每一点都记录了物体上所有点发出的波的全部信息,故每一点都可以在 再现光照射下再现出像的整体, 因而全息图的碎片仍能再现出物体完整的像。 不过对再现像 有贡献的点越多,像的亮度越高。每个点都在不同角度再现像,因而点越多,再现像的孔径 角也越大,像的分辨率越高,这就是碎片大小对再现像质量的两个方面影响。

5.4 用波长 ?0= 632.8nm 记录的全息图,然后用 ?= 488.0nm 的光波再现,试问: (1)若 lo = 10cm,lc = lr = ∞,像距 li =? 解:根据菲涅耳全息图物像距关系式(5.21C) ,像距 li 由下式确定 原始像:

1 1 1 1 = + ?( - ) li l c lo l r 1 1 1 1 = - ?( - ) li l c lo l r

共轭像:

其中 ? = ? / ?0 , 将 lc = lr = ∞代入得 原始像距为

li =

lo

?

≈ 13cm

共轭像距为

li = -

lo

?

≈ - 13cm

(2)若 lo = 10cm,lr = 20cm,lC = ∞,li =?; 解:同理,原始像距为 共轭像距为

li = [ ? (

1 1 -1 - )] ≈ 26 cm lo l r

lI ≈ - 26 cm

(3) 第二种情况中,若 lC 改为 lC = -50cm,li =?; 解:同理,原始像距为 共轭像距为 lI ≈54 cm lI ≈ - 17 cm

(4)若再现波长与记录波长相同,求以上三种情况像的放大率 M = ? 解:当? = ?0 时 ? = 1 ,由成像放大率公式(5.25)可知

M = 1上述三种情况的放大率分别为

lo l ± o l r ?lc

-1

45

(1)M = 1 ;

(2)M = 2 ;

(3)M = 3.3

5.5 如图 5.34 所示,用一束平面波 R 和会聚球面波 A 相干,记录的全息图称为同轴 全息透镜(HL) ,通常将其焦距 f 定义为会聚球面波点源 A 的距离 zA。

R HL

A

z

图 5.34 (5.5 题图)

(1)试依据菲涅耳全息图的物像关系公式(5.21)—(5.22) ,证明该全息透镜的成像 公式为

1 1 ? ? ?? di d0 f
式中 di 为像距,d0 为物距,f 为焦距,? = ? / ?0(?0 为记录波长,?为再现波长) ,等号 右边的正号表示正透镜,负号表示它同时又具有负透镜的功能。 证明:根据菲涅耳全息图的物像关系公式(5.21c)和(5.22c)有

1 1 1 1 = ± ?( - ) li lc lo l r
根据题意,已知 di = li ,d0 = lc ,lr = ∞ ;焦距 f 是指当 ? = ?0 时平行光入射得到的

会聚点的距离,即当 lc=∞,? =1 时的像距 li ,此时 li = f (= zA) 。 根据公式可得 于是有 故:左边=

1 1 ? 1 = =± =± f li lo lo

f = + lo (=zA)

1 1 1 1 1 1 ? ? - = - = ±? ( - ) = ± = ± d i d 0 li lc lo lr lo f

=右边

证明完毕。 (2)若已知 zA= 20cm,?0 = 632.8nm,物距为 d0 = -10cm,物高为 hO= 2mm,物波长为
46

? = 488.0nm,问:能得到几个像?求出它们的位置和大小,并说明其虚、实和正、倒。
解:由已经证明了的全息透镜成像公式可得

1 1 ? = ± di d0 f
根据题意有 f = zA= 20cm,? = ? / ?0 = 488.0nm / 632.8nm,d0 = -10cm,代入上式 -16.3 cm 得 di = -7.2 cm 根据放大率公式(5.25) 共轭像 原始像

z z M = 1- 0 ± 0 z r ?z c

-1

由本题关系可知,上式中 z0 = lo = f = 20cm,zr = lr = ∞,zc = lc = d0 = -10cm,代入上式 得 0.6 原始像高 h = M·h0 = 1.20cm

f M = 1± ?d c

-1

= 0.28 共轭像高 h = M·h0 = 0.56cm

故能得到两个像, 原始像位于 -16. 3cm 处, 正立虚像, 像高 1. 20cm; 共轭像位于 -7. 2cm 处,正立虚像,像高 0.56cm。

5.6 用图 5.33 光路制作一个全息透镜,记录波长为?0 = 488.0nm,zA= 20cm,然后用 白光平面波再现,显然由于色散效应,不同波长的焦点将不再重合。请计算对应波长分别为

?1= 400.0nm、?2 = 500.0nm、?3 = 600.0nm 的透镜焦距。
答:由(5.23)式可知

± ?(

1 1 1 - )= lo l r f' 1 1 - ) lo l r

于是有

f '= [ ± ? (

]

-1

其中 lO = zA = 20cm,lc = lr = ∞,?1 = ?1 / ?0,?2 = ?2 / ?0,?3 = ?3 / ?0, 代入数据得 f1’= 24.4cm; f2’= 19.5cm; f3’= 16.3cm
47

故对应 3 个波长的焦距分别为 24.4cm,19.5cm 和 16.3cm。

5.7 用图 5.35 所示光路记录和再现傅里叶变换全息图。透镜 L1 和 L2 的焦距分别为 f1 和 f2,参考光角度为? ,求再现像的位置和全息成像的放大倍率。

O

L1

?

H

H

L2

P

f1

f1

f2 图 5.35 (5.7 题图)

f2

答:根据傅里叶变换全息图再现原理,由公式(5.33)可知,再现像对称分布于零级 两侧,且倾角分别为:+?,由几何关系可知: + sin ? = xp / f2

所以:xp = + f2 sin ?

即原始像和共轭像分别位于 xp = f2 sin ? 和 xp = - f2 sin ? 处(注:输出平面坐标 已作反转处理) 。 全息成像的放大倍率为

f2

f1 。

5.8 根据布拉格条件式(5.61) ,试解释为什么当体全息图乳胶收缩时,再现像波长会 发生“蓝移”现象;当乳胶膨胀时,又会发生“红移”现象。 答:根据布拉格条件式 2? sin ? ? ? ,当体全息图乳胶收缩时,条纹间隔变小,即 ? 减 小时,由于记录或再现时夹角 ? 不变,因此 ? 减小时 ? 也减小,再现像的波长 随之减小,发生“蓝移” 。 相反,当乳胶膨胀时 ? 增大,再现像的波长 ? 增大,发生“红移” 。

5.9 说明在用迂回相位法制作计算全息图时, 为什么可用长方形孔的中心离轴样点的距 离 d nm 来表征物函数的相位值,应满足怎样的条件才能保证这一表征的实施。 答:

48

y

Bmn

ny0

Hmn

dmn mx0
图 5.9 题(1)

x

d d d+Δ d
图 5.9 题(2) 如图 1 所示,迂回相位编码的基本思想是,在全息图的每个抽样单元中,放置一个通 光孔径,通过改变通光孔径的面积来实现光波场的振幅调制,而通过改变通光孔径中 心距抽样单元中心的位置 d mn 来实现光场相位编码。而这个思想是从光栅中得到启发 的。 如图 2 所示,当用一束平面波垂直照明一栅距 d 恒定的平面光栅时,产生的各 级衍射光仍为平面波,等相位面为垂直于相应衍射方向的平面。根据光栅方程,光栅 的任意两条相邻狭缝在第 K 级衍射方向的光程差为

?? ?

2?

?

d sin ? k ? 2? K

是等相位的。如果某一点的狭缝位置有偏差,如栅距增大,则该处在第 K 级衍射方向

49

的衍射光的光程差变为 L ' ? (d ? ?)sin ?k ,从而导致一附加相移:

?K ?

2?

?

? sin ? K ? 2? K

? d

因此,光栅中栅距的变化量 ? 和相位成正比。

5.10 试说明为什么光刻胶只能用来记录透射体全息图, 而不能用来记录反射体全息图, 重铬酸明胶和光致聚合物可以记录反射体全息图吗?请分别说明理由。 答:在进行反射体全息记录时,物光和参考光从介质的两侧相向射入,介质内干涉面 几乎与介质面平行。而光刻胶曝光机理是,曝光部分比未曝光波分溶解速率快, 显影时曝光区被迅速溶解,产生浮雕型的干涉条纹,只能记录与干涉面几乎与介 质面垂直的干涉条纹。因此光刻胶只能用来记录透射体全息图,不能用来记录反 射体全息图 重铬酸明胶和光致聚合物的记录原理是产生折射率的变化,折射率的变化是可以 记录在体积内的,因此重铬酸明胶和光致聚合物可以记录反射体全息图。

50

第六章

习题解答

6-1.置于两正交偏振片中的垂面排列液晶盒,在电控双折射效应中,电压 V=Vc 时透过率最 大,试从双折射和干涉角度说明此时对应何种情况?为什么透过率最大。 解: 如果用负型液晶ε






制成垂面排列液晶盒,并在两基片外表面镀上透明导电材

料氧化铟与氧化锡的混合物(ITO)作为电极,在液晶盒的前后光路中分别放置起偏器和检 偏器,且使两者正交。一束光经起偏器垂直入射到液晶盒上。当电极上的电压 V=0 时,由 于线偏振光沿液晶主轴方向传播,因而偏振方向不变,所以检偏器上透过的光强为零。当电 极上加一定电压后,液晶发生形变,大部分分子的指向矢 n 将转向垂直于 E 的方向,它平 行与基片(但不一定平行与起偏器) ,此时通过液晶盒的线偏振光将分解成 o 光和 e 光,检 偏器上将有光透过,其光强是 o 光和 e 光干涉的结果。当电极上的电压达到某一阈值电压 Vc 时,n 平行于液晶盒表面(垂直于 E)的分子比例达到最大。此时液晶双折射效应最强, 因而,透过率也达到最大值。

6-2

P 型 450 扭曲液晶盒在混合场效应中, 分析液晶分子指向矢的变化是如何改变液晶双折 射的,说明为什么最后能生成椭圆偏振光。

解:在 P 型 45°扭曲液晶盒电极上加一个中等电压时,形成一个中等强度的电场,这时液 晶分子出现展曲形变,指向矢并未完全平行于电场 E,但已出现倾斜,朝着垂直排列液晶的 趋势变化。同时电场对液晶分子的扭曲形变也有影响。这种中等强度的电场作用的结果,是 使液晶同时出现双折射效应和扭曲效应, 即混合场效应。 这时, 入射的线偏振光通过液晶后, 变成同时含有两个正交偏振方向的分量(o 光和 e 光)的椭圆偏振光。

6-3

在利用混合场效应时,为什么采用 450 扭曲液晶盒,而不采用 900 扭曲液晶盒?

解: 在利用混合场效应时,采用 450 扭曲液晶盒,是为了能在较低电压下较大的双折射效 应。若采用 900 扭曲液晶,则线偏振光在液晶盒内不能分解成两个偏振方向的分量,也就不 能产生椭圆偏振光,而仅使入射线偏振光的偏振方向旋转 900,因而通过检偏器的光功率为 零。可以看出,450 扭曲液晶盒可以产生最大双折射效应。

6-4

试写出 KDP 晶体的线性电光系数矩阵、在外电场 E=Exi+Eyj+Ezk 作用下?ij(E)的各

51

分量及其折射率椭球方程。 解:已知 KDP 的系数矩阵中只有 r41、r32、和 r63 不为零,所以可写出其电光系数矩阵为:

?0 ?0 ? ?0 ? ?r41 ?0 ? ? ?0

0 0 r32 0 0 0

0? 0? ? 0? ? 0? 0? ? r63 ? ?

在外电场 E 的作用下,由(6-24)式并忽略 Kerr 效应,可写出其逆介电常数章量?的 近似表达式:

?11(E)=?11(0)=1/nx2= 1/n02 ?22(E)=?22(0)=1/ny2=1/n02 ?33(E)=?33(0)=1/nz2=1/ne2 ?23(E)=?32(E)=?23(0)+ r41 Ex=r41Ex ?13(E)=?31(E)=?13(0)+ r52 Ey=r52Ey ?12(E)=?21(E)=?12(0)+ r63 Ez=r63Ez
由(6-21)式可写出折射率椭球方程: x2/no2 + y2/no2 + z2/ne2 + 2r41Exyz + 2r52Eyxz + 2r63Ezxy = 1

6-5

试写出外电场 E 与 KDP 晶体 z 轴方向平行时的折射率椭球方程, 并证明其变成双轴晶 体,写出此时的三个主折射率 nzˊnyˊ和 nzˊ。

解:

由上题结果,代入 Ex=Ey=0,折射率椭球方程变为: x2/no2 + y2/no2 + z2/ne2 + 2r63Ezxy = 1 由于出现了 xy 交叉项, 说明在外电场 Ez 作用下, 晶体主轴发生了转动。 作坐标变换, 令坐标轴绕 z 轴转 450,新坐标系为 x',y',z',它与旧坐标系的关系为: x = x'cos450 - y'sin450 = √2/2 (x'-y') y =x'sin450 +y'cos450 =√2/2(x'+ y') z = z'

52

代入前式可得新坐标系下的折射率椭球方程: x'2(1/no2 + r63Ez) + y'2(1/no2 - r63Ez) +z'2/ne2 = 1 变换成晶体主轴坐标系: x'2/n'x2 + y'2/n'y2 + z'2/n'z2 = 1 其中: 1/ /n'x2= 1/ /no2+ r63Ez 1/ n'y2 = 1/ no2- r63Ez 1/ /n'z2 = 1/ /ne2 可见外电场 Ez 的作用不仅使 KDP 的主轴绕 z 轴旋转了 450,而且使 n'x ≠ n'y≠n'z, 即变成了双轴晶体。

6-6

试写出外电场 E 与 KDP 晶体 x 轴方向平行时的折射率椭球方程, 并证明其晶轴发生旋 转,从而变成了双轴晶体,并写出此时的三个主折射率,nxˊnyˊ和 nzˊ,说明 nyˊ与 nzˊ近似与 Ex2 成正比。

解:

由 6-4 题结果,代入 Ey =Ez = 0,可得: x2/no2 + y2/no2 + z2/ne2 + 2yzr41Ex = 1 (A)

可见,外电场 Ex 使晶体主轴发生了旋转。令坐标系绕 x 轴旋转角,消去交叉项,可找 到新的主轴方向。新旧坐标系关系为: x = x' y = y'cosθ - z'sinθ z = y'sinθ + z'cosθ (B)

代入(A)式,并令 y'z'项系数为零,则为有: tg2θ = 2r41Ex/(1/no2 - 1/ne2) 在新坐标系下折射率椭球方程变为: x'2/no2 + y'2(1/no2 +r41Extgθ ) + z'2(1/ne2 - r41Extgθ ) = 1 或: 其中: 1/ /n'x2= 1/ /no2 1/ n'y2 = 1/ no2 + r63Ez 1/ /n'z2 = 1/ /ne2 - r63Ez
53

(C)

(D) (E)

x'2/n'x2 + y'2/n'y2 + z'2/ n'z 2 = 1

(F)

由于∣r41Ex∣<< 1/no2 (1/ne2),代入(F)式,近似有: nx' = no ny' ≈ no - 1/2no3r41Extgθ nz'≈ ne + 1/2ne3r41Extgθ

对 KDPθ 角很小,例如 Ex = 100V/m 时,θ ≈0.040。由(C)式可知,θ 近似正比于 Ex .所 以 ny'、n'z 近似与 Ex2 成正比。

6-7

设 MOSLM 将线偏振光的偏振方向分别旋转-450 和 450,作为数字“0”和“1”的输入。 (a) 描述如何利用 MOSLM 实现二进制位相滤波器功能。 (b) 如果 MOSLM 仅旋转-90 和 90,此位相滤波器的强度透过率是多少?(提示:使用马留定律)

解:a)如图 6-20 所示,经起偏器 P 的读出光的偏振方向为 y 方向,通过 MOSLM 上的两个 像素后,由于法拉第效应,其偏振方向将分别偏转+450 和-450 角,成为偏振方向为 P1 和 P2 的出射光。将检偏器 A 透光方向置于 x 轴方向,即与起偏器正交,φ = ±900。此时,P1 和 P2 在 A 上都存在 x、y 两个分量,它们的 y 分量不能通过 A,只有 x 分量可通过,但 P1、P2 的两 x 分量方向相反,即位相差π 。这样就构成了一个二进制位相滤波器。 b)此位相滤波器的强度透过滤为: T = I0cos2(φ -θ )/I0 = sin2810

6-8

在使用 MOSLM 时是否需要将读出光的偏振方向与 MOSLM 的某一特定轴方向一致? 为什么?

解: 读出光只要为任意方向的线偏振光,通过 MOSLM 时,由于法拉第效应,其偏振方向都 会旋转一定角度θ (或-θ ) 。但如果起偏器和检偏器的透光方向的夹角不同 MOSLM 的功能 也不同。若起偏器与检偏器透光方向夹角φ = ±900,则 MOSLM 可用作相位调制(或滤波) 器,当φ ≠±900 时,则可构成振幅调制器或强度调制器。所以,使用 MOSLM 时,应注意起 偏器和检偏器透光方向的夹角,而不是入射读出光的偏振方向。

54

第七章

习题解答

7.1 某种光盘的记录范围为内径 80mm,外径 180mm 的环形区域,记录轨道的间距为 2um.假设 各轨道记录位的线密度均相同?记录微斑的尺寸为???um,试估算其单面记录容量. (注: 内、外 径均指直径) 解: 记录轨道数为

N?

180 ? 80 ? 25000 2 ? 0.002

单面记录容量按位计算为

M ??

2? (40 ? 0.002? n) ? 1.7 ? 1010 bits = 17 Gb. 0 . 0006 n ?1
N

按字节数计算的存储容量为 2.1GB.

7.2 证明布拉格条件式(7-1)等效于(7-17)式中位相失配??= 0 的情形, 因而(7-18)式 描述了体光栅读出不满足布拉格条件时的位相失配。 证明: 将体光栅读出满足布拉格条件时的照明光波长(介质内) 和入射角 (照明光束与峰

值条纹面间夹角)分别记为?0 和 θ0, 则根据布拉格条件式(7-1)有: 2?sinθ0= ? 0 其中?为峰值条纹面间距. 对于任意波长?a (空气中) 和入射角 θr (介质内), 由(7-17)式, 位相失配 ? 定义为:

? ?Kcos ?( ? ? r ) ?

K 2 ?a 4?n0

其中 n0 为介质的平均折射率, K= 2?/?为光栅矢量 K 的大小,?为光栅矢量倾斜角,其值为

??

?r ??s
2


?

?
2

,?r 为再现光束与系统光轴夹角 (参见图 7-9).

? = 0 时,有
2 ?? ? ? s ? ? K ?a K cos? r ? ??r ? ? 2 ? 2 ? 4?n0

即:

2?? ? ?? ?? s ? sin? r ? ?? ? 2 ? 4?n0 ? 2?

55

?为介质中的波长. 由于角度
格条件 2? sinθ = ?.

? r ?? s
2

恰为照明光与峰值条纹面的夹角 θ??以上结果亦即布拉

当读出光偏离布拉格角 θo 和布拉格波长?o 的偏移量分别为?θ 和??时,有

? ? K cos?? ? (? 0 ? ?? )? ?

K 2 (? 0 ? ?? ) 4?n 0 K 2 ? 0 K 2 ?? ? 4?n 0 4?n 0

? K cos(? ? ? 0 ) cos ?? ? K sin(? ? ? 0 ) sin ?? ?

利用布拉格条件式(7-17), 以及?θ 和??很小时的近似关系 cos?θ≈1 和 sin?θ≈?θ, 立即可 得:

? =??Ksin(???0) ? ??K2/4?n0
原题得证。

即(7-18)式

7.3 用波长为 532nm 的激光在 KNSBN 晶体中记录非倾斜透射光栅,参考光与物光的夹角为 30o(空气中).欲用波长为 633nm 的探针光实时监测光栅记录过程中衍射效率的变化,计算探针 光的入射角.(假设在此二波长晶体折射率均为 2.27) 解: 532nm 为空气中激光波长记作?a1, 在晶体外的入射角为 θa1,其在晶体中波长为?1, 入 射角为 θ1;633nm 为空气中激光波长记作?a2, 在晶体外的入射角为 θa2,其在晶体中波长为

?2,入射角为 θa2。本题中涉及非倾斜光栅, 光束入射角即为与光栅峰值条纹面的夹角, 按题
意, 则波长 532nm 和 633nm 激光应分别满足布拉格条件: 晶体中: 2?sinθ1=?1 2?sinθ2=?2 (1)

由折射定律,换算成空气中角度和波长为: 空气中: 由(2)式得: 2?sinθa1=?a1 2?sinθa2=?a2 (2)

θa2 = arcsin (?a2 ? sin15?/?a1 )= arcsin (633 ? sin15? /532 ) = 17.936 ?

故探针光的入射角应为 17.936?。

7.4 为了与实验测量的选择角相比较,需要有体光栅在空气中的选择角的表达式 . 试对小调 制度近似(?<<1),导出一个计算非倾斜透射光栅空气中的选择角的表达式 (所有角度均应为 空气中可测量的值).

56

解:注意我们将对应着?-? 曲线的主瓣全宽度定义为选择角 , 体光栅晶体中选择角表达式 为:
?? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? a cos ? s ?nd sin( 2? )

(1)

? <<1 时,对非倾斜透射光栅,有:

? 2 ? ? 2 ?a ?a ?? ? ? ?nd sin ? r nd sin ? r
设空气中参考光入射角为?ro, 选择角为??o. 由折射定律有 sin(??o+?ro) = nsin(??+?r) 展开为 : sin??ocos?ro + cos??osin?ro= n (sin??cos?r + cos??sin?r) (4) (3)

(2)

因为??o 和??很小,有如下近似:cos??o≈cos??/2≈1, sin??o≈??o, sin??≈??. 因此(4) 式可化简为: ??ocos?ro+ sin?ro= n(??cos?r+ sin?r) 由折射定律,有 sin?ro = nsin?r,可得: ??o = n??cos?r/ cos?ro = n?a cos?r / (nd ? sin?r? cos?ro) = 2?a(n2-sin2 ?ro)1/2 / (d sin2?ro) 此式可作为空气中选择角的表达式。当 sin2 ?ro<< n2 时,还可进一步简化为:

?? ?

2 n? a d sin 2? r 0

? sin 2 ? r 0 ?1 ? ? 2n 2 ?

? 2 n? a ?? ? d sin 2? r0 ?

以最常用的铌酸锂晶体为例, n=2.2-2.3, 当?ro < 45?时, 用 ?? ? 择角, 误差只有 5%左右.

2n?a 估算空气中的选 d sin 2? r 0

7.5 铌酸锂晶体折射率 n =2.28, 厚度 d = 3mm, 全息时间常数之比 τE/τW = 4, 饱和折射率调 制度?nmax=5?10-5, 用? = 532nm 的激光在晶体中记录纯角度复用的全息图, 物光角度取为 θs=30?, 参考光角度范围 θr = 20?-40?. 若要求等衍射效率记录且目标衍射效率设定为 10-5, 试分析影响存储容量的主要因素.为了提高存储容量, 应当在哪些方面予以改进?
57

解:本题仅涉及纯角度复用技术, 且无页面容量的数据, 故主要讨论每个空间区域内复用存 储的数据页面数即角度复用度. 影响存储容量的主要因素有: (1)有限的角度选择性及实际选择角增宽 (2)光学系统对存储容量的限制 (3)噪声对存储容量的限制 本题可近似为准对称的透射式光路,以平均的参考光角度 θr=θs=30? 并利用第 4 题的结果, 可估算出平均选择角为:

?? ?

2n?a 2 ? 2.28 ? 532? 10?6 ? ? 0.0535? d sin 2? r 0 3 ? sin(60?)

由光学系统决定的参考光入射角范围?=20?, 故允许的角度复用度为: Ma ? ????? =20/0.0535 = 374 由于系统存在噪声, 要求有一定的目标衍射效率, 而记录材料具有有限的动态范围, 因而根 据(7-77)式,角度复用度限制为: Ma =

? E??nsat d ? W ? cos? s ?min

= 4?3.14?5?10-5?3 / (532?10-6?cos30??10-5/2) =1293 由以上结果可见, 本题中存储容量主要受到有限的角度选择性和光学系统有限的孔径角的限 制。 要提高存储容量, 需首先增大晶体厚度, 适当增大写入光的夹角和光学系统的孔径角, 采 用较短的激光波长.

7.6 用作组页器的空间光调制器为(24?36)mm2 的矩形液晶器件, 含有 480?640 个正方形像元. 用焦距为 15mm 的傅里叶变换透镜和 633nm 激光记录傅里叶变换全息图, 问允许的参考光 斑最小尺寸为多少? 解: 空间光调制器的复振幅透过率可描述为二维 rect 函数阵列. 当记录傅立叶变换全息图光 路中包括空间光调制器时,4f 系统中频谱面上的频谱是与像元间距有关的 sinc 函数。记录 物体基本信息的必要条件是参考光光斑至少包含物体的零频和正负基频频谱。 正方形像元间距为下式所求,二者取其小: 24/480 = 0.05mm 36/640 = 0.056mm

由于黑白相邻的两个像元构成物面上最小可分辨的周期, 故方波条纹的最高频率为
58

fmax = 1/(2?0.05) = 10 mm-1. 在焦距为 f 的傅里叶变换透镜的频谱面上, 物体+1 级频谱分量的间距为: DH = 2?f fmax = 2?633?10-6?15?10= 0.19 mm 所以,允许的参考光斑最小尺寸是直径为 0.19 mm 的圆斑。

7.7 用一种高级语言编写计算机程序, 计算在光折变晶体中角度复用存储 100 幅全息图的曝 光时间序列. 计算用到的参数为: 饱和衍射效率 0.5, 目标衍射效率 10-5, 写入时间常数 60s, 擦除时间常数 700s. 透射式准对称光路. 解: 对于透射式准对称光路,由(7-24)和(7-26)式, 光栅衍射效率表达式为:

? = sin2? = sin 2 ? ? ? cos? ? ? s ? ?
相应的折射率调制度为 ?n =

? ??nd ?

?cos? s sin ?1 ? , 则饱和折射率调制度?nsat 与饱和衍射效率 ?d

?sat 的关系为:
?nsat =

?cos? s sin ?1 ? sat ?d

而相应于目标衍射效率?0 的折射率调制度?n0 为: ?n0 =

?cos? s sin ?1 ? 0 ?d
? tW

由 可得出

? n0 = ?nsat(1- e

?W

) (1)

? ? sin ?1 ? sat ? ? tw = ? W ln ? sin ?1 ? ? sin ?1 ? ? sat 0 ? ?

tw 即为不会经受擦除效应的最后一个全息图(N=M)的曝光时间. 由(7-72)式, 对于足够大的 N, 曝光时序的近似递推公式为: tN =

t N ?1 t 1 ? N ?1

(2)

?E

或由(7-70)式, 更精确的递推公式为:

59

-t exp( N ?1 )
tN = τW ln

?E

-t -t exp( N ?1 ) ? exp( N ?1 ) - 1

(3)

?E

?W

按(3)式建立起计算模型, 从(1)式出发, 可从后往前逆推出每个全息图的曝光时间. 应当指出的是: a) 当计算出的 tN+1 足够大, (3)式右边的对数函数可能会不收敛,导致不能得出有意义的 tN. 此时有意义的曝光时间个数(M-N)即为在题设条件下可以达到的角度复用度. b) 若不指定全息图的个数, 按本题所给条件可以计算出角度复用度远大于 100. 亦即本题 中的 100 个全息图是大量全息图序列中的最后 100 个, 因此可以使用近似递推公式(2) 进行计算. 也就是说, 当目标衍射效率足够小时, 用(2)式计算也是相当精确的.

60

第八章

习 题解答

8.1 利用 4f 系统做阿贝—波特实验,设物函数 t(x1,y1)为一无限大正交光栅

?1 x x ? ?1 y y ? t ( x1 , y1 ) ? ? rect( 1 ) ? comb( 1 )? ? ? rect( 1 ) ? comb( 1 )? a1 b1 ? ? b 2 a2 b2 ? ? b1
其中 a1、a2 分别为 x、y 方向上缝的宽度,b1、b2 则是相应的缝间隔。频谱面上得 到如图 8-53(a)所示的频谱。分别用图 8-53(b) (c) (d)所示的三种滤波器进行滤 波,求输出面上的光强分布(图中阴影区表示不透明屏) 。

. . . . . . . . . .

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(a)

(b)

(c)

(d)

图 8.53(题 8.1 图) 答:根据傅里叶变换原理和性质,频谱函数为 T ( fx , fy ) = ? [ t ( x1 , y1 )] ={ 将函数展开得 T ( fx , fy ) =

x x y y 1 1 ? [ re ct( 1 ) ]·? [ com b( 1 ) ] } ?{ ? [ re ct( 1 ) ·? [ com b( 1 ) ]} b1 a1 b1 a2 b2 b2

a1 a 1 a 1 a1 f x ) + sinc( 1 )δ ( f x - ) + sinc( 1 )δ ( f x + ) +? ? ?} {sinc( b1 b1 b1 b1 b1

?

a2 a 1 a 1 sinc( a2 f y ) + sinc( 2 )δ ( f y - ) + sinc( 2 )δ ( f y + ) +? ? ?} b2 b2 b2 b2 b2

{

(1)用滤波器(b)时,其透过率函数可写为

61

?1 F ( fx , f y ) ? ? ?0
滤波后的光振幅函数为 T·F =

f x ? ?1/ b1 f x ? 1/ b1

fy ? 0 f y ? 任何值

a1 a 1 1 sinc( 1 )[ δ ( f x - ) +δ ( fx + ) b1 b1 b1 b1

]

输出平面光振幅函数为 t’ (x3,y3)= ? -1[ T·F ] =

2?x3 2?x3 a1 a sinc( 1 ){e xp[j( )]+ e xp[ - j( )]} b1 b1 b1 b1 2?x3 2a1 a si nc( 1 )?cos ( ) b1 b1 b1

=

输出强度分布为 I(x3,y3)=

2?x3 4a1 2 a1 sinc ( )?cos2 ( ) 2 b1 b1 b1
2

=

4?x 2a1 2 a1 sinc ( )?cos( 3 ) - C 2 b1 b1 b1
2

其中 C 是一个常数,输出平面上得到的是频率增加一倍的余弦光栅。 (2)用滤波器(c)时,其透过率函数可写为

?1 F ( fx , f y ) ? ? ?0
滤波后的光振幅函数为 T·F =

fx , f y ? 0 fx ? f y ? 0

a1 b1 a2 b2

{ {

a 1 a 1 sinc( 1 )? ( f x - ) + sinc( 1 )? ( f x + ) +? ? ?} b1 b1 b1 b1 a 1 a 1 sinc( 2 )? ( f y - ) + sinc( 2 )? ( f y + ) +? ? ?} b2 b2 b2 b2

?

输出平面光振幅函数为 t’ (x3,y3)= ? -1[ T·F ] ={

x x 1 [re ct( 3 ) ? com b( 3 ) b1 a1 b1
62

]

-

x a1 re ct( 3 ) } b1 b1

×{

y y 1 [re ct( 3 ) ? com b( 3 ) b2 a2 b2

]

-

y a2 re ct( 3 ) } b2 b2

输出强度分布为

I ( x3 , y3 ) ? t '( x3 , y3 )
有两种可能的结果,见课本中图 8.9 和图 8.10。

2

(3)用滤波器(d)时,输出平面将得到余弦光栅结构的强度分布,方向与滤波狭缝方向垂 直,周期为 b’ ,它与物光栅周期 b1、b2 的关系为

1 1 1 = + 2 2 b’ b1 b2

8.2

采用图 8-53(b)所示滤波器对光栅频谱进行滤波,可以改变光栅的空间频率,若

光栅线密度为 100 线/mm,滤波器仅允许 + 2 级频谱透过,求输出面上干板记录到的光栅的 线密度。 答:根据对 8.1 题的分析,当滤波器仅允许+ 2 级频谱通过时,输出平面上的光振幅应表 达为

t’ (x3)= ?

-1

a 2 2 { sinc( 1 )[? ( f x - ) + ? ( f x + )]} b1 b1 b1

=

4?x3 2a1 a sinc( 1 ) cos b1 b1 b1

其振幅分布为一周期函数,空间频率是基频的 2 倍。而干板记录到的是强度分布:

4?x3 4a1 2 a1 I= sinc ( ) cos2 2 b1 b1 b1
2

= 其中 C 是一个常数。

8?x3 2a1 2 a1 -C sinc ( ) cos 2 b1 b1 b1
2

故干板上记录到的光栅频率是基频的 4 倍,即 400 线/mm。

63

8.3

在 4f 系统中,输入物是一个无限大的矩形光栅,设光栅常数 d = 4,线宽 a =1,最 大透过率为 1,如不考虑透镜有限尺寸的影响, (a)写出傅里叶平面 P2 上的频谱分布表达式; (b)写出输出平面复振幅和光强分布表达式; (c) 在频谱面上作高通滤波, 挡住零频分量, 写出输出平面复振幅和光强分布表达 式; (d)若将一个π 位相滤波器

?exp( j? ) x2 , y2 ? x0 , y0 H ( x2 , y2 ) ? ? 其它 ? 0
放在 P2 平面的原点上,写出输出平面复振幅和光强分布表达式,并用图形表示。 答:将 8.1 题结果代入,其中 b1 = d = 4,a1 = a = 1,除去与 y 分量有关的项,可得 (a)P2 平面上的频谱分布为:

1 1 1 1 1 T ( f x ) = {sinc( f x ) + sinc( )? ( f x - ) + sinc( )? ( f x + ) +? ? ?} 4 4 4 4 4
(b)输出平面: 复振幅 t(x3)= ? -1 [T(fx)] 若不考虑透镜尺寸的影响,它应该是原物的几何像,即

x 1 [rect( x3 ) ? comb( 3 )] 4 4 x 1 [rect( x3 ) ? comb( 3 )] 2 光强分布 I (x3) = | t (x3)| 2 = 16 4
t (x3) = (c)挡住零频分量,输出平面情况与 8.1 题(3)相同,即 t (x3) =

x x 1 1 [rect( x3 ) ? comb( 3 )] - rect( 3 ) 4 4 4 4

I = | t (x3) | 2 由于 a = d / 4,所以强度将出现对比度反转,像光栅常数仍为 d = 4,线宽为 a’= 3,见下图 t(x3) I(x3)

0 ···

x3 ···

··· 0

··· x3

(d)将一个?位相滤波器置于零频上。滤波器可表达为
64

?exp( j? ) H ( fx , f y ) ? ? ? 1
只考虑一维情况,频谱变为 T’ (f x)= T(f x)·H(f x)

fx ? f y ? 0 fx , f y ? 0

1 1 1 1 1 {sinc( f x ) exp( j? ) + sinc( )? ( f x - ) + sinc( )? ( f x + ) +? ? ?} 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 ? ?} = {- sinc( f x ) + sinc( )? ( f x - ) + sinc( )? ( f x + ) +? 4 4 4 4 4
= 输出平面上的复振幅为 t (x3) = ? -1[T(f x)·H(f x)] =-

x x 1 1 1 rect( x3 ) + [rect( x3 ) ? comb( 3 )] - rect( 3 ) 4 4 4 4 4

8.4

图 8-54 所示的滤波器函数可表示为:

?1 ? H ( fx , f y ) ? ? 0 ? ?1 ?
此滤波器称为希尔伯特滤波器。

fx ? 0 fx ? 0 fx ? 0

证明希尔伯特滤波能够将弱位相物体的位相变化转变为光强的变化。

y x

L1

fy fx

L2

x' y'

图 题 8.4 答:位相物可表达为 t0(x1,y1)= A·exp [ j ?(x1,y1)] 对于弱位相物有? ? 1 弧度,上式近似为(忽略 A) t0(x1,y1)? 1+ j ?(x1,y1)

65

滤波平面得到 T(fx,fy)= ? [t0(x1,y1)] =?(fx,fy)+ j?(fx,fy) 其中 ?(fx,fy)= ? [?(x1,y1)]。 经希尔伯特滤波器,频谱面后的光
分布为 T '( f x , f y ) ? T ( f x , f y ) H ( f x , f y )

? j? ( f x , f y ) f x ? 0 ? ?? 0 fx ? 0 ? ? j? ( f , f ) f ? 0 x y x ?
像平面光场复振幅为

t ' (x3 y , 3 ? )F

?1

? j? (? x3 ,? y 3 ) x 3? 0 ? T [ f x' (f y , ? ?) ] 0 x 3? ?? j? (? x ,? y ) x ? 0 3 3 3 ?

0

光强分布为

I ? t ' t '?

??? 2 (? x3 , ? y3 ) x3 ? 0 ? ?? 0 x3 ? 0 ? ? 2 (? x , ? y ) x ? 0 3 3 3 ?

8.5

如图 8-55 所示,在激光束经透镜会聚的焦点上,放置针孔滤波器,可以提供一个比 较均匀的照明光场,试说明其原理。

针孔 激光器
L1

L2

题 8.5 图 答:在 8.55 图中,激光器通过两透镜产生平行光时会出现不均匀照明的主要原因常常是激 光器出射窗口及第一个透镜 L1 表面上污物,使光束产生衍射造成的。这些衍射光不会会聚

66

到 L1 焦点处,实际上是光束的高频分量。在针孔光栏的作用下,除了焦点处的光以外的高 频分量均不能通过 L2 传播出去,就会减少造成光束不均匀的衍射光,从而减少照明光场中 的不均匀。

8.6 光栅的复振幅透过率为 t(x)= cos 2π f0 x 把它放在 4f 系统输入平面 P1 上, 在频谱面 P2 上的某个一级谱位置放一块λ / 2 位相板, 求像面的强度分布。 答:将复振幅透过率函数变换为 t(x)= cos 2π f0 x = [1+cos 2π f0 x ] / 2 其频谱为 T(fx)= ? [t(x)]

=

1 1 ?(fx)+ ? [cos 2π f0 x] 2 2 1 1 1 = ?(fx)+ ?(fx- f0)+ ?(fx+ f0) 2 4 4

其中第一项为零级谱,后两项以次为+1 级和-1 级谱。设将λ / 2 位相板放在+1 级谱上,其透过率表达为 H(fx)= exp(jπ ) 则频谱面 P2 后的光振幅变为 T’= T·H

1 ?(fx)+ 2 1 = ?(fx)2
= 像平面光场复振幅为 t’ (x)= ? -1 [T’] =

1 1 ?(fx- f0)·exp(jπ )+ ?(fx+ f0) 4 4 1 1 ?(fx- f0)+ ?(fx+ f0) 4 4

1 1 1 exp(j2π f0x3)+ exp(-j2π f0x3) 2 4 4 1 1 = j sin(2π f0x3) 2 2

像平面强度分布为
67

I = ? t’ (x)?2 = t’ (x)· t’ (x)? =

1 [1- j sin(2π f0x3)][1+ j sin(2π f0x3)] 4 1 1 = + sin2(2π f0x3) 4 4

像平面得到的仍是一周期函数,其周期缩小 1 倍,振幅减小 4 倍,本底也有所变化, 并且出现图形的横向位移,位移量为 1/2 周期。

8.7 用照相机拍摄某物体时,不慎因手动摄下重叠影像,沿横向错开距离 b。为改善此照片 质量,试设计一个逆滤波器,给出滤波函数。 答:假设横向错开距离的中点为坐标原点,且手动是匀速的,则手动造成的重叠影像相对应 的模糊缺陷点扩散函数可以表示为

hI ( x) ?
而传递函数为

1 x rect ( ) b b

H I ( f x ) ? Sinc(bf x )
逆滤波器所要求的滤波函数为

H ( fx ) ?

1 Sinc(bf x )

因为 Sinc(bf x ) 不是复函数,制作并不困难,但是如果考虑手动是个变速运动,点扩散函数 不在可以用 rect 函数表示,逆滤波器要考虑用(8.45)相应的方法制作。

8.8

在用一维正弦光栅实现两个图象相加或相减的相干处理系统中,设图象 A、B 置于 输入平面 P1 原点两侧,其振幅透过率分别为:tA(x1- l,y1)和 tB(x1+ l,y1) ;P2 平面 上光栅的空间频率为 f0,它与 l 的关系为:f0 = l /λ f,其中λ 和 f 分别表示入射光的波 长和透镜的焦距;又设坐标原点处于光栅周期的 1/4 处,光栅的振幅透过率表示为:

G ( x2 , y2 ) ?

1? ? ? ? ?1 ? exp ? j (2? f 0 x2 ? ) ? 2? 2 ? ?

? ? ? ? exp ? ? j (2? f 0 x2 ? ) ? 2 ? ?
试从数学上证明:

68

1)在输出平面的原点位置得到图象 A、B 的相减运算; 2)当光栅原点与坐标原点重合时,在输出平面得到它们的相加运算。 证明: (1)用一维正弦光栅实现两个图像相加或相减的相干处理系统如图 8.18 所示,只是 在本题中输入面坐标为 ( x1 , y1 ) , 光栅面即频谱滤波面坐标 ( x2 , y2 ) , 为了使输出为原图像而 不是放大或缩小的图像相加减需 f 2 ? f3 ? f ,同时为统一用下标表示光场平面坐标,也将 图 8.18 所示输出坐标记为 ( x3 , y3 ) 。 不失一般性, 假设对输入面的垂直照明光束为振幅为 1 的平面波, 因而输入面上出射的 光场复振幅分布即为

t A ( x1 ? l , y1 ) ? t A ( x1 ? l , y1 )
经过透镜 L2 做傅立叶变换 ( x2 , y2 ) 平面上得到的光场复振幅分布为:

F ?[t A ( x1 ? l, y1 ) ? tB ( x1 ? l, y1 )]? ? TA ( f , x f y )e? j 2? lf x ? TB ( f ,x f y )e j 2? lf x
式中 TA ? F ?t A ( x1 , y1 )? 且 fx ?

TB ? F ?tB ( x1, y1 )?
fy ? y2 ?f

x2 ?f

通过原点置于周期的 1/4 处的光栅以后,透过的光场复振幅分布为:
? ? ?1 ? j (2? f 0 x2 ? ) ? j (2? f 0 x2 ? ) ? ? ? j 2? lf x j 2? lf x 2 2 ? ? T ( f , f ) e ? T ( f , f ) e ? 1 ? e ? e ?? B x y ? A x y ? ?2 ? ? ?? ? ? ?
? ? ?1 ? j (2? lf x ? ) ? j (2? lf x ? ) ? ? ? j 2? lf x j 2? lf x 2 2 ? ?? T ( f , f ) e ? T ( f , f ) e ? 1 ? e ? e ?? B x y ? A x y ? ?2 ? ? ?? ? ? ?

这是因为 f 0 ?

l

?f

,进一步展开应当有六项,但其中四项将含有带变量 f x 的指数项,在做

第二次傅立叶变换时会产生不位于 ( x3 , y3 ) 面中心的 ? 函数,与图像卷积产生不在原点处的 图像,可以不予考虑,余下两项为:

TA ( f x , f y )e

j

?
2

? TB ( f x , f y )e

?j

?
2

再经过 L3 的傅立叶反变换得到:

t A ( x3 , y3 )e

j

?
2

? tB ( x3 , y3 )e

?j

?
2

? e 2 [t A ( x3 , y3 ) ? t B ( x3 , y3 )]
69

j

?

常系数对于图像相减不产生影响, 因此在 ( x3 , y3 ) 面原点处得到的是图像 A 和 B 的相减结果。 (2)当光栅原点与坐标原点重合时,振幅透过率为

G ( x2 , y2 ) ?

1 1 ? e j 2? f0 x2 ? e ? j 2? f0 x2 2

?

?

输出面上相应两项为

F ?1 ?TA ( f x , f y ) ? TB ( f x , f y )? ? t A ( x3 , y3 ) ? t B ( x3 , y3 )
因而得到相加减运算。证毕。

8.9 如何实现图形 O1 和 O2 的卷积运算?画出光路图并写出相应的数学表达式。 答:第一步,制作 O1 的傅里叶变换全息图,光路如下: (x1,y1) O1 L R (x2,y2)

-b f 全息图 H 的透过率为 f

H

tH = | ?1 |2 + R02 + R0?1(fx,fy)exp_[ -j 2π fx b] +R0?1?(fx,fy)exp_[ j 2π fx b] 其中?1= ? [O1],R0 为平面参考波的振幅,b 为参考点源的横向位移量。 第二步,进行卷积运算。在 4f 系统中,将 O2 置于输入平面(x1,y1) ,全息图置 于频谱平面(x2,y2) ,如图

x1,y1 L1 O2(x1,y1)

x2,y2 H L2 O1? O2 O2 几何像 O1? O2
f
1

f '
1

f
2

f '
2

x3,y3

频谱面后的光场为

70

UH'= ? [O2]·tH = ?2·{| ?1 |2 + R02 + R0?1(fx,fy)exp_[ -j 2π fx b] +R0?1?(fx,fy)exp_[ j 2π fx b]} 输出平面光场为 O 2? ?
-1[

tH]

= R02O2 + O1 ? O1? O2 + R0O1(x3-b,y3)?O2 + R0O1?(-x3-b,-y3)?O2 式中第三项即为 O1 和 O2 的卷积运算,位置在 x3 = b 处。

8.10

在 4f 系统中用复合光栅滤波器实现图象的一维微分 ?g / ?x ,若输入图象 g 在 x

方向的宽度为 l,光栅频率应如何选取? 答: 设复合光栅的空间频率为 f0 和 f0+?, 则滤波的结果使像平面上得到两套物的三重像, 两个正一级像的位相差等于π ,它们离零级像的角间距?1、?2 分别由下式确定 sin ?1 = f0?, sin ?2 =( f0 +?)? 因而正一级像离零级像的线间距分别为 l1 = sin ?1·f l2 = sin ?2·f 其中 f 是透镜焦距。分析可知,得到微分结果的条件是 l1 - l2 ? l / 2 (l 为物的宽度) (5) (3) (4) (1) (2)

将(1) 、 (2)两式代入(3) 、 (4)两式,再代入(5)式,得到 l1 - l2 = ? ·? f ? l / 2

? ?

l 2?f

(6)

因而复合光栅的空间频率差应满足(6)式关系,才能得到微分图像。

8.11

用 4f 系统通过匹配滤波器作特征识别,物 g(x,y)的匹配滤波器为 G*(fx,fy) ,

当物在输入平面上平移后可表示为 g(x - a, y - b) ,求证此时输出平面上相关亮点的 位置坐标为 xi = a,yi = b。

71

证明:在如图 8.26 的 4f 系统中,匹配滤波器置于滤波平面 fx 上,根据(8.36) (8.37)式有 匹配滤波器的振幅透过率

G *( f x , f y ) ? F ?g( x, y)?
当物在输入面上平移后形成的输入光场为 G(x-a,y-b) 则在 4f 系统的滤波平面上有序的输入频谱为 F 通过匹配滤波器以后成为 e
? j 2? ( af x ?bf y )

?g ( x ? a, y ? b)? ? e? j 2? (af ?bf ) ? G( f x , f y )
x y

? G( f x , f y )

2

再通过第二个透镜在傅立叶反变换,在如图的倒置 X‘0 坐标中光场分布为

F

-1

?e

? j 2? ( af x ?bf y )

? G( f x , f y )

2

? ? ? (x ? a, y ? b)*? g(x, y) ? g(x, y)?

方括号内为 g(x,y)的自相关,与 ? ( x ? a, y ? b) 卷积说明该自相关即相关亮点的峰值将位于

xi ? a, yi ? b 的位置上。证毕。

8.12

用一个单透镜系统对图象进行θ 调制假彩色编码,如图 8-55 所示。已知调制物 Om 的光栅空间频率为 100 线/mm, 物离透镜的距离为 20cm, 图象的几何宽度为 6 ×6cm, 试问透镜的孔径至少应多大,才能保证在频谱面上可进行成功的滤波操作。 (工作波 长范围为 650.0—444.4nm) 。

L
白光

频谱面

O'

Om

d

f 图 8.56(题 8.11 图)

答:设:f0 = 100 线/mm,d = 20cm,a×b = 6× 6cm,?max= 650.0nm,?min= 444.4cm, 而调制物 Om 的最大线度为 2l =(a2+b2)1/2 = 6√2cm l = 3√2cm 欲在频谱面上进行成功的滤波操作,必须使所有物点的一级衍射波都能进入透 镜,最大衍射角θ
max 应与?max 相应,即

72

sinθ 由几何关系得到 sinθ 所以有

max / f0

= ?max

max =

[(? / 2)- l ] / d

? = 2 [d?f0??max + l ]
代入数据,得

? = 110.85mm ? 111mm

故透镜孔径至少应达到 111mm,才能保证在频谱面上进行成功的滤波操作。

73

第九章

习题解答

9-1. 用白光再现彩虹全息时,如果彩虹全息有实狭缝象,在狭缝实象处观察全息图,人眼 将能观察到单色的全息象, 试分析人眼在狭缝前后位置时的全息象的颜色分布情况。 如彩虹 全息再现的是虚狭缝,再分析人眼观察到的全息象情况。 答: A N B 在图示的情况下,物的两个端点为 A 和 B 点,它们被全息记录在一条线区域上,当白 光再现时,这一区域的衍射光是色散的,长波长的衍射角较大,而短波长的衍射较小, 。按 图示的光路结构, A 点的长波长沿 AM 方向衍射,短波长沿 AN 方向衍射,B 点的长波长 沿 BN 方向衍射,短波长沿 BM 方向衍射。假设沿 AP 和 BP 方向衍射的波长相同,那么人 眼在 P 处观察将看到单色象,当眼睛靠近全息图时,将看到象的上方偏蓝,而下方偏红, 反之则相反。 P M

P

A B

Q M Q′

对于虚狭缝的情况,如上图所示,P 点是某一衍射波长的虚狭缝,A 和 B 两点是两线全 息图,象上的两点与它们对应,AM 是线全息图 A 最短波长的衍射方向,BM 是线全息图 B 的最长波长衍射方向。显然,眼睛在 M 点观察,将能看到 A、B 之间的所有象点,但它们 的颜色呈光谱色分布,在图示情况下,上部是紫色,下部是红色。眼睛观察到的象的范围由 眼睛离全息图的距离决定,离得越远,观察到的范围越大。

9-2. 用白光点光源再现彩虹全息时,人眼将能观察到由光谱色组成的单色象。如果用白光

74

线光源作为再现光源, 线光源的扩展方向与狭缝方向垂直, 这时观察到的是消色差的黑白象, 试解释其原因。 答: 线光源可以看成由无数个点光源组成, 每一个点光源都按光谱色排列形成一组彩色狭缝, 线光源上不同点形成的狭缝的位置各不相同, 它们在与狭缝垂直的方向上平移。 这无数个狭 缝相互迭合在一起,使人眼在该处观察时,无数个不同波长的再现象重合在一起,这也就形 成了消色差的黑白象。

9-3. 在一步法彩虹全息记录光路中,物的大小为 10cm,人双眼的瞳孔间距为 6.5cm,透镜 的孔径为 20cm,对物体 1:1 成像,如狭缝距全息图 30cm,要求人双眼能同时看见完整的 象,试计算成像透镜的焦比。 解:

A D O′ B 2f L O

M d N

P

Q

设透镜 L 对物 1:1 成象, 由上图可见, 只有人眼在 POQ 三角区域内才能观察到整个物体 的象,显然狭缝应在使 MN 大于等于双眼间距处。设透镜孔径为 D,焦距为 f,物体 AB 大 小为 a,人眼瞳孔间距为 d,狭缝距象的距离为 L。由图中的几何关系可以得到

OO? ?

AB ? L aL ? AB ? MN a ? d

D?a a ? 2f OO ?
所以

D a?d D ?2 f L D?a
将 D=20cm,a=10cm,d=6.5cm,L=30cm 代入上式,得到 D/f=2.2,这是一个很不切合实际 的数据。实际上用一步彩虹全息是不可能获得大观察范围。
75

9-4. 在用横向面积分割法制作彩色彩虹全息母板的方法中,已知下列条件:三色光的中心 波长分别为 645.2nm、526.3nm 和 444.4nm;第一步记录时被记录物中心位于建在母全息图 HM 的坐标系的 z 轴,物体距 HM30cm;第二步记录时参考光为平行光,入射角 30?;白光再 现时入射光是入射角为 45? 的平行光,三色再现狭缝位于 z 轴;设两次记录的波长均为 442nm。 试据以上条件, 确定 HM 上 H1、 H2、 和 H3 的位置。 如果每个狭缝的光谱带宽为 10nm, 试确定狭缝宽度。 解: x r SR SG SB HM l H H c (b) O z O z x

(a)

图(a)和图(b)是本习题的记录和再现光路。在图(a)中设三个狭缝图象中心的入射角分别 是θ R、θ G 和θ B,参考光入射角是θ r,图(b)是共轭再现光路,再现光入射角是θ c,图象中 心三狭缝的不同色光的衍射光方向相同,设衍射角为θ i。由光栅方程

sin ? i ? sin ? c ?

? ?sin ? o ? sin ? r ?, ?0

得到共轭再现时的θ o,

sin ? o ? sin ? r ?

?0 ?sin ? i ? sin ? c ?, ?

式中λ 0 和λ 分别为记录波长和再现波长,θ o 的下标 o 分别对应于 R、G 和 B。按题中条件及 图(a)的坐标系,

?r ? ?30?, ?c ? 135?, ?i ? 180?
以λ 0=442.0nm 和λ =444.4nm、526.3nm、645.2 代入上式,得到

76

sin ? B ? ?0.203 , ? B ? ?11.73?

sin ?G ? ?0.094, ?G ? ?5.38?
sin ? R ? 0.016, ? R ? 0.89?
以 l=-30cm 计算,得到

xB ? l tan? B ? 6.23cm

xG ? l tan?G ? 2.82cm
xR ? l tan? R ? ?0.47cm
由于狭缝有一定宽度而引起的带宽可对光栅方程微分得到,即

?? o ?

? 0 sin ?i ? sin ? c ?? 。 cos? o ?2

由此可得到狭缝宽度

wB ? 0.97cm

wG ? 0.34cm
wR ? 0.22cm

9-5. 采用图示的双狭缝彩虹全息记录光路,可以在同一张底片上记录两个物体的彩虹全息 图,记录的方法步骤是:第一步,用挡板挡住 S2,用 S1 对物体 O1 曝光;第二步,用挡板挡 住 S1,用 S2 对物体 O2 曝光。然后将显影的全息图用白光照明,人眼在不同位置即可看到不 同物体的再现象。 (1)画出再现狭缝实象的示意图,说明再现象的特点。 (2)解释多狭缝彩虹全息图作多目标存储和假彩色编码的原理。 L O S1 S2

R

O?

图 习题 9-5
77

答: (1)以 R 的共轭光再现全息图,在原狭缝处得到实狭缝,此时在实狭缝处观察,观察 到的是赝象,即凹凸与原记录物体相反的象。 (2)记录多目标时,在透镜处放置多个狭缝,分别对应于不同的物体进行全息记录,再 现时用单色光,眼睛位于不同的狭缝处,将能见到不同的物体。进行假彩色编码时,将待编 码的物体分别置于透镜的物面,在透镜处分别遮挡不同的狭缝,记录在同一张全息图上,再 现时用白光再现,不同编码图象按不同颜色重叠在一起,结果形成假彩色图象。

9-6. 有人提出用蓝色单色激光以反射全息的方式也可以记录二维彩色照片,方法是:将三 张分色片分别置于记录介质一侧, 并用散射屏照明, 在记录介质另一侧分别用三个不同角度 的参考光入射,在同一记录介质上记录三张分色片,当白光以某一角度再现全息图时,三分 色片将分别被三原色再现,呈现彩色图象。试说明其原理,并作相应的三参考光入射角设计 计算。 (提示:用三棱镜与记录介质用匹配液匹配的方法可以增加参考光入射角;用布喇格 条件和光栅方程进行设计,参考第 5 章和第 7 章体全息部分) 。 答:反射体全息有很好的波长选择性,利用布喇格条件,可以按所要求的衍射方向和衍射波 长推算出两束相干记录光束的入射角, 这也就是本习题提出的记录彩色二维图片的原理。 体 全息中记录光与再现光之间的布喇格条件关系是

cos? o cos? r cos? c cos? i ? ? ? ?0 ?1 ?1 ?2 ?2 sin ? o sin ? r sin ? c sin ?i ? ? ? ?0 ?1 ?1 ?2 ?2
式中角度量θ 的下标 o、r、c、i 分别表示记录时的物光、参考光和再现时的再现光、衍射 光,它们均是介质内的量,λ 1 和λ 2 分别表示记录光和满足布喇格条件的再现光波长。按题 意,θ c、θ i 和λ 2 均由使用条件决定,利用上式求出θ o 和θ r,从上式可以求出

?o ? ?r ?

? ?1 ?i ? ? c ? ? ?c ? ? ? sin ?1 ? sin i ? 2 2 ? ? ?2 ? ? ?1 ?i ? ? c ?i ? ? c ? ? ? sin ?1 ? sin ?? ?。 2 2 ? 2 ?

在本习题中,θ c 取 207.7°(在记录介质中角度,空气中为 225°) ,θ I 取 0°,λ 2 则取三 原色波长, 利用上式可求出在记录介质内的物光和参考光入射角。 如取三原色波长为 450nm、 530nm 和 630nm,得到参考光和物光入射角如下表
78

波长λ 2(nm) 参考光入射角θ 物光入射角θ
o r

450 202.75° 4.95°

530 226.83° -19.13°

630 238.96° -31.26°

显然,如果在参考光入射的一边不采取其他措施,530nm 和 630nm 的介质内入射角是无法 实现的。采用 45°直角三棱镜匹配的光路如下图所示。 x

散射光 照明

?? r
z

二维照片 掩膜 记录干板 匹配液 三棱镜

把上表的数据折算成空气中的入射角如下表所示(表中 ?? r 为在直角三棱镜斜边的入射 角) ,如果物光由散射角非常大的散射屏照明,表中的物光散射角没有什么意义,因照明光 中总有一部分物光满足表中的入射条件。 实际上大散射角的照明会降低衍射效率, 采用有一 定散射角的散射屏更适合物光照明, 散射的中心光线因满足下表中物光入射角。 作全息记录 时,在全息干板前分别换三原色掩膜,对应于它们的光路参数作三次曝光。在对全息干板进 行后处理后,用白光以 45°角入射,就能观察到彩色二维照片。 波长λ 2(nm) 参考光入射角 ?? r 物光入射角 ?? o 450 35.14° 7.53° 530 -2.78° -29.88° 630 -21.51° -52.07°

79

第十章

习题解答

10.1 试比较被动三维传感和主动三维传感系统的原理、系统结构、适用范围和优缺点。 答: 被动三维传感采用非结构照明方式, 从一个或多个摄像系统获取的二维图像中确定距离 信息,形成三维面形数据。主动三维传感采用结构照明方式。由于三维面形对结构光场的空 间或时间调制, 可以从携带有三维面形信息的观察光场中解调得到三维面形数据。 被动三维 传感的方法常常用于对三维目标的识别、理解,以及用于位置、形态分析。这种方法的系统 构成比较简单, 在无法采用结构照明的时候更具有独特的优点。 主动三维传感技术具有较高 的测量精度, 大多数以三维面形测量为目的的三维传感都采用这种方法。 主动三维传感在采 用激光照明时,有亮度高、方向性和单色性好、易于实现强度调制等优点。而采用白光光源 的结构照明方式具有噪声低、噪声低、结构简单的优点。

10.2

在三角测量法中通常采用的三种坐标系统如图 10.6 所示。试推导三种坐标关系中,

物体的距离或高度 z 与测量变量△x 之间的关系式,即三角测量法中的测量方程。 答: (1)投影光轴与成像光轴平行。所构成的物三角形和像三角形是相似的直角三角形, 测 量方程是。

z?

bh ?x

式中:b 是物三角形的基线,h 是像三角形的高度,△x 是像三角形的基线,z 是物体的 距离或高度。 (2)投影光轴和成像光轴相交。θ 是投影光轴与成像光轴的夹角,O 是两光轴交点并 作为物体高度计量的原点, I 和 I′是成像系统的入瞳和出瞳, 线阵探测器与成像光轴垂直, 与 I′点的距离为 f;当物距 l 较大时,f 近似地等于成像透镜的焦距。由图中所示的几何关 系可以导出。

z?

l?x sin ? ? f ? cos? ? ?x

(3) 投 影 光 轴 和 成 像 光 轴 相 交 , 探 测 器 基 线 与 成 像 光 轴 成 一 倾 角 β , 当 满 足 Scheimpflug 条件,即满足关系 tg? ? k ? tg? 系式为 时, 待测距离 z 和可测变量△x 之间的关

80

z?

(OI ? f ) sin ? ? ?x f sin ? ? cos? sin ? ? ?x

10.3 为什么说激光散斑对三角法测量精度具有重要影响,试解释公式 (10.16)和(10.17) 的物理含义,并说明如何提高激光三角法测量精度。 答: 由于物体表面的微观起伏的不确定性, 在探测器上的像点的散斑分布也是不确定的, 这种不确定性引起的光点中心的定位误差,因此激光散斑对三角法测量精度具有重要影响。 公式(10.16)和(10.17)表明, 这种不确定性与透镜的数值孔径、 激光的波长和散斑的对比度 有关。通过增大透镜的数值孔径,减小波长 C,降低散斑的对比度可以提高激光三角法测量 精度。

10.4 在相位测量剖面术中, 由于变形光栅像与传统的干涉条纹图相类似, 因此变形光栅像 有时又被称为“干涉图” 。 在干涉计量中,光波长被作为度量微观起伏的尺度,而在位相测 量剖面术中与投影条纹间距有关的“等效波长”被作为度量三维宏观面形的尺度。试比较这 两种方法在物理概念上和条纹处理方法上的异同性。 答: 相位测量剖面术和干涉计量中都可以得到一系列的条纹分布, 前者是测量宏观物体的面 形尺度,后者是测量得到干涉的波面相位信息。相位测量剖面术借鉴了干涉计量的方法,通 过条纹的分布计算得到相位,把相位和物体的高度相联系,进而计算得到物体的高度,实现 物体的三维测量。 由于在概念与处理方法上的相似性, 数字相移干涉术中使用的相移算法与 相位测量剖面术中条纹处理方法是类似。

10.5 由于实际得到的位相数据是一个二维的采样点阵列,所以位相展开应针对二维进行。 模仿一维位相函数的位相展开过程,推导二维截断位相函数φ w(i,j) 展开过程的数学表达 式. 答:可以首先沿二维数据阵列中某一列进行位相展开,然后以该列展开后的位相为基准,沿 每一行进行位相展开, 得到连续分布的二维位相函数。 例如首先沿二维数据阵列中第一列展 开,然后以该列展开后的位相为基准,沿每一行展开。

81

φ u (i ,1) ? φ w (i ,1) ? 2π ni n0,1 ? 0

ni ? in t??φ w ?i,1? ? φ w ?i ? 1,1?? / 2π ? 0.5? ? ni ?1

φ u ?i , j ? ? φ w ?i , j ? ? 2π n j ? φ u ?i ,1? n j ? INT ??φ w ?i , j ? ? φ w ?i , j ? 1? 2π ? 0.5?? ? n j ?1 ni , 0 ? 0

10.6 采用远心光路的 PMP 系统如图 10.22 所示。设图中?=300 ,?’=00,在参考平面上看到 的投影正弦光栅是等周期分布的,其周斯 P0 =5mm,求该系统的等效波长。如果系统对条纹 位相的测量精度为 2?/100, 求系统的测量精度。试讨论提高系统的测量精度的方法。 答:等效波长

?e ? P0 / tg? =8.7mm,系统的测量精度为 0.087mm. 减小等效波长 ?e 可以提

高系统的测量精度。

10.7

相位测量轮廓术和傅立叶变换轮廓术是基于三角测量原理, 试比较调制度测量轮廓术

与上面两种方法在原理上的区别,并比较三种方法的测量精度。 答: 相位测量剖面术和傅立叶变换轮廓术都是基于三角测量原理, 条纹的投影方向和观察方 向之间存在一个角度,所以这种方法受到阴影、遮挡、相位截断的限制,不能测量剧烈的面 形变化。调制度量轮廓术测量时,投影方向和探测方向一致,可以是想对物体的垂直测量, 不用求解相位和相位展开, 亦即可以测量物表面高度剧烈变化或不连续的区域。 相位测量剖 面术和傅立叶变换轮廓术的测量精度高于调制度测量轮廓术。

10.8 飞行时间法(TOF)是基于直接测量激光或其他光源脉冲的飞行时间来确定物体面形 的方法。 图 10.43 是采用位相检测技术的 TOF 系统框图, 对时间的测量可以通过对调制光 波的位相测量来实现。 光束经 9MHz 的调制器调制后投射到物接收的信号经 9MHz 的滤波器 后与基准信号比较,然后从位相变化计算出距离的变化。假定位相的测量精度为 2?/100, 求系统的测量精度。如果保持位相的测量精度不变,光束的调制频率提高到 90MHz, 系统 的测量精度是多少。 答:系统的测量精度为 0.33m。如果光束的调制频率提高到 90MHz, 系统的测量精度提高 到 0.03m。
82

第十一章

习题解答

11.1 试证明任意两个相互统计独立的随机变量之间相关系数为零。 答:证明 设 U V 为两相互统计独立的随机变量,由于其相互独立, U V 的联合概率密度 函数可为边缘概率密度函数的乘积:

pU V (u, v) ? pU (u) ? pV (v)
因而 U和V 的相关函数为

?U V ? ? uvpU V (u, v)dudv
??

?

? uv

? ?

根据定义, U和V 的协方差则为

CU V ? ?U V ? u v ? 0
故相关系数 ? ( ? ? CUV / ? U ? V ) 为零。

? ?

11.2 若 N 个微小随机相幅矢量

? N

a k e j? k 之和中每一个幅值

ak N

及相位 ? k 都相互独立;

所有的 ak 具有相同的概率分布,数学期望与二阶矩分别为 a 和 a? ;随机位相 ? k 均 布于 ?? ? , ? ? 区间内。试计算: (1)当 N 趋近于无穷大时这 N 个随机相幅矢量之和的 实部和虚部的均值与方差及相关系数; (2)实部和虚部的联合概率密度函数并绘出复 平面上等概率密度曲线图。如果随机位相 ? k 均布于 ? ? 图象有何变化? 答:设和矢量为 a(用复数表示) ,即

? ? ?? 区间内计算结果及函数 , ? ? ?? ?

a ? ae j? ?

1

a e? ? N
j k ?1 k

N

k

其实部与虚部分别为

83

r ? Re ae j? ?

?

?

1 N 1

?a
k ?1 N k ?1 k

N

k

cos ?k

i ? Im ae j? ?

?

?

?a N

sin?k

根据 N 个微元矢量的相互独立性可得

r?

1 N 1 N

? a cos?
k ?1 N k

N

k

i?

? a sin?
k ?1 k

k

对于均布与 ? ?

? ? ?? , ? 之中的 Φk 有 ? 2 2?
1

cos ?k ? ? sin ?k ? ?
所以

? /2

?? / 2

?

cos ?k d?k ?

2

?

? /2

1

?? / 2

?

sin ?k d?k ? 0

r?

1 N

Na ?

2

?

?

2 N

?

a, i ? 0

r 为了要计算 ? 2 及 ? i2 ,首先计算二阶矩 r 2 及 i 2 ,

r2 ?

1 N N ?? ak an cos?k cos?n N k ?1 n ?1 1 N N ?? ak an sin?k sin?n N k ?1 n ?1

i2 ?
式中

4 ? , 2 ? ? ?cos ?k cos ?n , ? ? cos ?k cos ?n ? ? ?? 2 cos ? , ? ? ? / 2 1 1 (1 ? cos 2? )d? , ? k k k ? ? ??? / 2 ? 2 ?4 , 当n ? k ? ?? 2 ?? ? 1 , 当n ? k ? ?2

84

4 ? , 2 ? ? sin ? sin ? , ? ? k n ? sin ?k sin ?n ? ? ?? 2 sin ? , ? ? ? / 2 1 1 (1 ? cos 2? )d? , ? k k k ? ? ??? / 2 ? 2 ? 0, 当n ? k ? ? ?1 , 当n ? k ? ?2
因而

a2 4 a r ? ? 2 (N ? 1)a2 , i 2 ? 2 ? 2
2

2

故有
2 a2 4a a2 2 2 ? ? r ?r ? ? ,? i ? i ? i ? 2 ? 2 2 r 2 2 2

要计算相关函数,还需要计算实部与虚部之间相关函数,

ri ?
其中

1 N N ?? ak an cos?k cos?n N k ?1 n ?1

? ? cos ?k sin ?n , cos ?k sin ?n ? ? ? ?cos ?k sin ?n , 0, 当n ? k ? ? ? ? /2 1 sin2?k d?k , 当n ? k ? ? ??? / 2 2? ?0
最后可得出

??

ri ? r i

? r? i

?0

这说明实部与虚部之间仍是不相关的。 因为 N 是个很大的数,由中心极限定理知实部 r 与虚部 i 分别为高斯随机变量,即
2 ? ? ? ? 2 N ? ?r ? ? a? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? pR (r ) ? exp ?? ? ? 2 2 ? a2 4a ? ? ? a2 4a ? ? 2? ? ? 2? ? 2 ?2 ? ? 2 ? ? ? ?? ? ?

85

? ? 2 ? ? 1 ? i ? pI (i ) ? exp ?? ? 2 ? 2a ? a2 2? ? ? 2? ? 2
因为 r 与 i 不相关,其联合概率密度函数仍为高斯型,可写作

pRI (r , i )
2 ? ?? ? ? ? ? ?? r ? 2 N a ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 1 ? ?? i ? ? exp ?? ? ? ? ? 2 2 a2 ? 8a ? ? ? 2 a 2 a 2 4a 2? ( ? ) ? ? a ? ? ? ? 2 2 ?2 ? ? ? ?

图 1.12 为 r 与 i 的联合等概率密度曲线简图,若图中各椭圆之长短轴分别为 an 与 bn,则有

an : bn ? a : (a ?
2 2

8a

2

?

)



的等概率密度曲线简图 pRI (r ,i )

11.3 若图 11.3 中光学成像系统的脉冲响应函数为 h?x, y ? , 光瞳函数为 P?? ,? ? , 试证明全 息再现的变形前后两波面散斑场之间的相关因子的表达式( 11.27b )可以转化为 (11.13)式中复自相干度的表达形式。 证明:变形前后两波面散斑场之间的相关因子的表达式(11.27b)为

? h(r ? r )h ?r ? r ?? ? h(r ? r )
* 0 0

0

? d 2 (r)?dr0
2

dr0

该式右边分子是脉冲响应函数的自相关函数, 根据自相关定理, 可以表示成脉冲响应函数的 傅氏变换的模平方的傅氏反变换,即

86

?h(r?r )h ?r?r ?d
* 0 0

2

? ?π (r) dr0 ??? P( ξ , η ) exp? j ( ξ Δx?η Δy ) ? ? ? dξ dη ? λz ?

?

式中 Δ x和 Δ y是d 2 (r)的两个分量。当 Δ x和Δ y即d 2 (r)为零时,式 (11.27b) 右边分子变为 分母的形式,因而有

?h(r?r )h ?r?r ?dr ??? P( ξ ,η )
* 0 0 0

?

dξ dη

将上述两式代回相关因子的表达式中, (11.27b)即可转化为(11.13)式中复自相干度的表 达形式。

μ ?Δ x, Δ y ??

?? P( ξ ,η )

?

?π exp? j ( ξ Δx?η Δy ) ? dξ dη ? ? ? λz ?

?? P( ξ ,η ) dξ dη

?

(11.13)

11.4 在如图 11.2 的全息干涉记录光路中置于物面处的被测物在激振器驱动下垂直于物面 进行稳态振动, 照明参考光与物面法线方向夹角可近似为不变的 30°。 用时间平均法 记录下的全息图处理后放到图 11.3 的全息干涉再现光路中,再现参考光与物面之间 几何关系与记录光路中完全相同。 如果在再现时观察到的两条节线之间正好有五条暗 纹,试问稳态振型的振幅最大值是多少?假设记录和再现的光波长为 633 纳米。 答: 因为在时间平均法记录下的全息图重现像的振动图样中, 不运动的区域即节线处显示最 亮的条纹,随着条纹级次的增加,亮条纹的强度逐渐下降。如果在再现时观察到的两条节线 之间正好有五条暗纹,稳态振型的振幅最大值处是第三条暗纹。因此

?π Bmax ??. ???? λ
故振幅最大值为

Bmax ??. ?????

λ ??. ???μ ?π

11.5 分离再现外差全息干涉方法中,如果被测物的空间频谱分布在 ? f ? 与 f ? 之间,而且 两束参考光均为平面波,试问参考角 ? , ? (参阅图 11.7)需满足什么条件才能保 证外差全息干涉图与噪声项完全分离? 答: 分离再现外差全息干涉方法中, 复原到全息记录面上的处理好的全息图振幅透过率可表 示为
87

τ ( rh ) ?τ ? ?β R? ? A?( rh ) ? R? ? A? ( rh )

?

?

?

?

再现时用调制频率为 ?0 与 ?0 ? ?? 的两束光照明全息图,则由全息图射出的光场分布由三 部分组成,第一部分为再现光场中的直透项,不会产生干涉现象,第二部分为再现出的原物 光场及交叉再现光场, 第三部分为再现出的原物光场的共轭光场及交叉再现光场。 因为第二 部分和第三部分光场分布在第一部分直透光场的两侧, 只要第一部分直透光场与第二部分光 场不重叠, 第三部分光场就不会与第二部分再现出的原物光场重叠, 只需要保证第一部分直 透光场与第二部分光场不重叠就可以了。如果参考角 ? 和 ? 的两束参考光分别记录

A?( rh ) 和 A( rh ) ,两束参考光的空间频率可表示为

f? ?sinα λ


?

f ? ?sinβ λ
的空间频谱分布在 ?? f ? ? f? 与 ? f ? ? f? 之间,对应于

第一部分的直透项中对应于 A?( rh )
?

A? ( rh ) 的空间频谱分布在 ?? f ? ? f ? 与 ? f ? ? f ? 之间,其他直透项对应着频域的δ 函数。
第二部分中再现出的原物光场 A?( rh ) 和 A( rh ) 的空间频谱,分布在 ? f ? 与 f ? 之间。第二 部分中再现出的两个交叉再现光场的空间频谱,则分布在 ? f ? ? f? ? f ? 与 f ? ? f? ? f ? 之间和

? f ? ? f ? ? f? 与 f ? ? f ? ? f? 之间。不失一般性,假设 ? < ? 。欲使第二部分中再现出的原物光
场和两个交叉再现光场不重叠,则要求

f ? ?? f ? ? f ? ? f?
欲使第二部分中再现出的原物光场和第一部分中对应于 A?( rh ) 重叠,则要求
?

和 A? ( rh ) 的直透项不

?

f ? ??? f ? ? f?
因而需满足

α ?sin -1 ?λ f ?

sinα ? β ?sic ??λ ? ? ? f? ? ? λ ? ?

88

11.6 相移全息干涉技术中,已知三次相移 ? (t ) 分别取为

? ? ? , ? , ? ,相应光强测量 ? ? ?

结果为 I? (ri ) I ? (ri ) I ? (ri ) ,试计算(11-35)式中 ri 处的相对初位相 Δ (ri ) 。 答:相对初位相为:Δ( ri ) ?tg ??

I ? ?I ? I? ?I ?



11.7 在图 11.9 的双光楔剪切散斑干涉记录光路中,光楔玻璃折射率 n0 为 1.5,楔角 ? 为 0.05°,物距 l 0 为 500mm,照明使用波长为 633 纳米的氦氖激光且入射光与观察方向

z 夹角? 为 30°,而 ? ?x, y ? 及 u ?x, y ? 分别为 ? x, y ? 点沿 z 及 x 方向变形产生的位移
分量。 第一次拍摄两次曝光剪切散斑干涉图后, 使物体绕 z 轴旋转 180°再拍摄一次。 对应同一 ? x, y ? 点在两次拍摄的两次曝光剪切散斑干涉图中的条纹级数分别为 2.5 和 3,试问 ? x, y ? 点沿 z 及 x 方向的应变为多大? 答: 首先用式(11.41)计算剪切量

δ x??l? ( n? ??) α ?2?500 ??1.5-1???. ????. ???? ??. ????
根据式(11.43)可以计算出 x 方向的面内应变为

?u λ ? N ?( ??cosψ ? ) ? N ? ( ??cosψ? ) ? ? ? ? ?x ?δ x ? sin ψ ( ? ? cos ψ ) ? sin ψ ( ? ? cos ψ ) ? ? ? ? ? ? ?

?. ??? ????? ?. ????cos?-300 ???????cos300 ? ? ? ?. ???? sin?300 ????cos?-300 ??? sin?-300 ????cos300 ? ???. ???? ?????

再根据式(11.42) 计算出 z 方向的离面应变为

?. ???. ?????? ?? ??. ???. ???? ??? ?? ? . ???? ?ω ?x? ??. ????? ?? ???. ???

11.8 在图 11.16 所示的全场滤波光学系统中,透镜焦距为 500 毫米,使用波长为 633 纳米 的氦氖激光照明,放大率为 1,滤波孔中心离光轴 15MM,滤波孔直径有 1.5、3、6MM 三种。如果被测物是一个直径 55MM 的旋转圆盘,两次曝光之间转动角度为 0.35°, 记录两次曝光散斑图时的放大率也为 1,而且相对口径足够大。试问用三种不同口径
89

滤波时得到的全场滤波条纹图上可以观察到条纹的区域直径分别为多大? 答:该全场滤波光学系统可测量的面内位移的最大值分别为

d2

?. ????. ??? ????? ???? ??. ??λ f D f ? ??. ???m m 。 max ? ?. ? ?. ????. ??? ????? ???? ? ??. ???m m 。 max ? ? ?. ????. ??? ????? ???? ? ??. ???m m 。 max ? ?

d2

d2

因为被测物是一个直径 55MM 的旋转圆盘,两次曝光之间转动角度为 0.35°,面内位 移最大值为 0.257mm、0.129mm、0.064mm 的区域都是圆,其直径分别为

φ ? ? d ? ???? ?. ??????. ????. ??????? ?. ??????. ?????. ?? mm

φ ? ??. ??? ???? ?. ???? ??. ?????. ??mm φ ? ??. ??? ???? ?. ???? ??. ?????. ??mm

90


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