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吉安一中2010-2011学年度下学期期中考试高二年级数学试卷(理科)


2010吉安一中 2010-2011 学年度下学期期中考试 高二年级数学试卷(理科) 2011、 高二年级数学试卷(理科) 2011、4
说明:1.考试时间: 分钟,试卷满分: 说明:1.考试时间:120 分钟,试卷满分:150 分; 考试时间 2.有些题目有 题之分, 2.有些题目有 A、B 题之分,A 班做 A 卷,B 班做 B 卷; 3.要求将所有答案填写在答题卷上,考试结束时只交答题卷。 3.要求将所有答案填写在答题卷上,考试结束时只交答题卷。 要求将所有答案填写在答题卷上 选择题( 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,有且只有一个选项 是符合题目要求的) 是符合题目要求的)

1. 已知i ? z = 1 + i (i为虚数单位),那么复数 z对应的点位于复平面内的(
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.观察图示图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )

)

3.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2 ·1·3·…·(2n-1)” ,当“n 从 k 到 k+1”左端 需增乘的代数式为( ) 2k+1 2k+3 A.2k+1 B.2(2k+1) C. D. k+1 k+1 4.二项式 ( x + 2 ) 的展开式的第四项是
n

n

5 , 第三项的二项式系数是 15 ,则 x 的值为( 2
D. )
1 8



1 1 2 B. C. 2 4 8 5. 设 ξ 是一个离散型随机变量,其分布列为:则 q 等于(

A.

ξ

7.在区间 [0, π] 上随机取一个数 x,则事件“ sin x + 3 cos x ≤ 1 ”发生的概率为( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 8.(A 卷)设 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数,将 y = f ( x) 和 y = f '( x) 的图象画在同一直角坐标系中,不可能 . 正确的是( )

2 2 2 1 ? 2q P C.1- D.1+ 2 2 2 6.将 4 个相同的白球和 5 个相同的黑球全部放入 3 个不同的盒子中,每个盒子既要有白球,又 有黑球,且每个盒子中球数不能少于 2 个,则所有 不同的放法的种数为 ( ) A.12 B.10 C.6 D.18 A.1 B.1±

?1 0.5

0

1 q2

1 4 (B 卷)曲线 y = x 3 + 1 在点 (1, ) 处切线的倾斜角为 ( ) 3 3 π 5π 3π π A. B. C. D. 6 6 4 4 ) 9.设 f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数,则 f '( x0 ) = 0 是 x0 为函数 f ( x ) 的极值点的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.(A 卷)已知可导函数 f (x)的导函数为 g(x) ,且满足:① [ g ( x ) ? 1]( x ? 2) > 0 ② f (2 ? x ) ? f ( x ) = 2 ? 2 x, 记 a = f (4) ? 3, b = f (e) ? e + 1, c = f ( ?1)+2 ,则 a,b,c 的大小顺序为 ( ) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b 3 ) (B 卷)若函数 y = x ? 3ax + a 在 (1, 2) 内有极小值,则实数 a 的取值范围是 (

A. 1 < a < 2

B. 1 < a < 4

C. 2 < a < 4
1

D. a > 4或a < 1

小题, 题目横线上) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在 题目横线上) 填空题( 2 2 11. 半径为 r 的圆的面积 s ( r ) = π r , 周长 C ( r ) = 2π r , 若将 r 看作(0, +∞)上的变量, (π r ) ' = 2π r 则 ①,①式用语言可以叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为 R 的球,若将 R 看 作(0,+∞)上的变量,请写出类比① 的等式:____________________。上式用语言可以叙述为 _________________________。 12.若一个整数是 4 的倍数或这个整数中含有数字 4,我们则称这个数是“含 4 数” ,例如 20、34,将[0, 50]中所有“含 4 数”取出组成一个集合,则这个集合中的所有元素之和为 。

13. 曲线y = x 2上的点到直线2 x ? y ? 6 = 0的最短距离是______________ 。 14.(A卷)设(2 x + 1) 4 = a0 + a1 ( x + 1) + a2 ( x + 1) 2 + a3 ( x + 1)3 + a4 ( x + 1) 4 , a3 =
(B 卷) C3 + C4 + ... + C9 = ______________ 。
3 3 3



15.已知函数f ( x) = sin x, 对于满足0 < x1 < x2 < π 的任意x1,x2,给出下列结论
()(x1 ? x2)[f ( x2 ) ? f ( x1 )] > 0; 1

(2) x1 f ( x2 ) < x2 f ( x1 ); (3) f ( x2 ) ? f ( x1 ) < x2 ? x1 ; (4) f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x > ( 1 2 ). f 2 2

其中正确的结论为______________。 (把所有正确的序号都填上) 解答题( 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤) 三、解答题(本大题共 6 个小题共 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)

16.(本小题12分) 求由曲线y = ( x + 2) 2 ( x ≥ ?4 ) 与x轴,直线y = 4 ? x所围成的平面图形的面积。

17. (本小题 12 分)

已知抛物线y = x 2 + 4ax ? 4a + 3, y = x 2 + 2ax ? 2a至少有一条与x轴相交,求实数a的 取值范围。

18. (本小题12分) 一种变压器的铁芯的截面为正十字形,如图。为保证所需的磁通量,要求十字型具有4 5cm 2的 面积。问该如何设计正十字型的宽x及长y,才能使其外接圆的周长最短?
x

y

19. (本小题 12 分) 已知数列 {a n }的前 n 项和 S n 满足: S n =
2 an ? 2an + 2 ,且 an > 0, n ∈ N + . 2an (2)猜想{a n }的通项公式,并用数学 归纳法证明 .

(1)求a 1 , a 2 , a 3 ;

2

20. (本小题 13 分) 卷)在 1,2,3,4,5 的所有排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中, (A (1)求满足 a1 < a2 , a2 > a3 , a3 < a4 , a4 > a5 , 的概率; (2)记 ξ 为某一排列中满足 ai = i (i = 1, 2, 3, 4,5) 的个数,求 ξ 的分布列和数学 期望. (B 卷)假设电梯在每层停的概率相等且相互独立,则十层电梯从低层到顶层停不少于 3 次的概率是 多少?停几次概率最大?数学期望是多少?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = 2ln x ? x 2

1 (1)若方程 f ( x) + m = 0在[ , e] 内有两个不等的实根,求实数 m 的取值范围; e 为自然对数的底数) ( e (2)如果函数 g ( x ) = f ( x ) ? ax 的图象与 x 轴交于两点 A( x1 ,0) 、 B ( x2 ,0) 且 0 < x1 < x2 .求证: . g '( px1 + qx2 ) < 0 (其中正常数 p, q满足p + q = 1, 且q ≥ p )

2010吉安一中 2010-2011 学年度下学期期中考试 高二年级数学参考答案(理科) 高二年级数学参考答案(理科)
一.选择题(5×10=50 分) 题号 答案 1 A 2 A 3 B 4 B 5 C 6 D 7 C 8 D(D) 9 B 10 D(B)

二.填空题(5×5=25 分) 11. ( π R 3 ) ' = 4π R 2 ;球的体积函数的导数等于球的表面积函数 1 4. ( A) ? 32 ; 三.解答题(75 分)

4 3 13. 5

12.

673

( B ) 210

15. 、 、 (2)(3)(4)

2 16.如图,在同一坐标系内先画出曲线y=(x+2)(x ≥ ?4)与直线y=4-x的图形。

经计算可知A(-2,0),B(4,0), C(0,4). ………… 4分 故所求的面积为:
2 S = S1 + S 2 = ∫ (x + 2)dx + ∫ (4 ? x)dx ?2 0 0 4

1 1 4 = (x + 2)3 |0 2 +[4 x ? x 2 ] |0 ? 3 2 8 32 = + 8 = …………12分 3 3
17.由?1 =(4a) 2 ? 4(?4a + 3) < 0 ? ? 3 1 < a < …………3分 2 2 2 同理由? 2 =(2a ) + 8a < 0 ? ? 2 < a < 0………… 6分 若两条抛物线与x轴都不相交,则由上知 ? 因此a的取值范围为 3 ( ?∞, ? ] ∪ [0, +∞).…………12分 2
3

3 < a < 0, …………8分 2

18.设外接圆的半径为R,则R =
2

1 2 x + y 2 .………… 2分 2

4 5 + x2 由2 xy ? x = 4 5 得y = ………… 4分要使外接圆的周长最小, 2x 需要R取最小值,也即R 2取得最小值. 1 4 5 + x2 2 5 5 5 设f ( x) = R 2 = [ x 2 + ( ) ] = x2 + 2 + (0 < x < 2 R), …………6分 4 2x 16 x 2 5 10 解法一:f '( x)= x ? 3 .令f '( x)=0,解得x = 2或x = ?2(舍去). 8 x 当0 < x < 2时,f '( x) < 0; x > 2时,f '( x) > 0. 因此当x = 2时,R 2最小,即R最小,周长最小为 2π R = π 10 + 2 5 (cm)2 ……………………12分 解法二:f ( x) = 5 2 5 5 5 2 5 5 5 5 x + 2+ ≥2 x ? 2+ = + 16 x 2 16 x 2 2 2 5 5 当且仅当 x 2 = 2 即x = 2时,R 2最小,即R最小,周长最小为 16 x

2π R = π 10 + 2 5 (cm)2 ……………………12分 a 1 19.(1)a1 = S1 = 1 + ? 1, 所以a1 = ?1 ± 3, 又 ∵ an > 0, 所以a1 = 3 ? 1…… 2分 2 a1
S 2 =a1 + a2 = a2 1 + ? 1, 所以a2 = 5 ? 3 …………3分 2 a2 a3 1 + ? 1, 所以a3 = 7 ? 5 .………… 4分 2 a3

S3 =a1 + a2 + a3 =

(2)猜想an = 2n + 1 ? 2n ? 1, …………5分 证明:1ο当n = 1时,由(1)知a1 = 3 ? 1成立 ………… 6分 2ο 假设n=(k ∈ Z *)时,ak = 2k + 1 ? 2k ? 1成立 k ak +1 =S k +1 ? S k = ( = ak +1 a 1 1 + ? 1) ? ( k + ? 1) 2 ak +1 2 ak

ak +1 1 + ? 2k + 1 …………10分 2 ak +1

所以ak2+1 + 2 2k + 1ak +1 ? 2 = 0 ak +1 = 2(k + 1) + 1 ? 2(k + 1) ? 1, 所以当n = k + 1时猜想也成立。 综上可知,猜想对一切n ∈ N +都成立. …………12分
20. 卷)解: (A (1)所有的排列种数有 A 5 = 120 个.满足 a1 < a2 , a2 > a3 , a3 < a4 , a4 > a5 的排列中,若 5

a1 , a3 , a5 取集合 {1, 2, 3} 中的元素, 2 , a4 取集合 {4,5} 中的元素, a 都符合要求, A3 A2 = 12 个. a1 , a3 , a5 有 3 2 若
取 集 合 {1, 2, 4} 中 的 元 素 , a2 , a4 取 集 合 {3, 5} 中 的 元 素 , 这 时 符 合 要 求 的 排 列 只 有

1,3, 2,5, 4; 2,3,1,5, 4; 4, 5,1,3, 2; 4,5, 2,3,1 共 4 个.
4

故满足 a1 < a2 , a2 > a3 , a3 < a4 , a4 > a5 的概率 p =

A33 ? A22 + 4 2 = . A55 15

…………6 分

(2) 随机变量 ξ 可以取 0,1, 2, 3, 5.

P (ξ = 5 ) =

C3 1 2C 2 1 1 1 P (ξ = 3) = 5 = P (ξ = 2 ) = 55 = = A55 12 , A5 6, A55 120 ,

P (ξ = 1) =

故 ξ 的分布列为

1 3 1 9C5 3 1 + C5 + 2C52 + 9C5 11 = P (ξ = 0 ) = 1 ? = 5 A55 8 , A5 30 。

…………9 分

ξ
P

0

1

2

3

5

…………13 分 (B)解:依题意,从低层到顶层停不少于 3 次,应包括停 3 次,停 4 次,停 5 次,……,直到停 9 次 …………2 分 ∴从低层到顶层停不少于 3 次的概率
新疆 王新敞
奎屯

11 3 1 1 30 8 6 12 11 3 1 1 1 Eξ = 0 × + 1× + 2 × + 3 × + 5 × =1 ξ 的数学期望 30 8 6 12 120 。

1 120

1 1 1 1 1 1 5 1 P = C93 ( )3 ( ) 6 + C94 ( ) 4 ( )5 + C9 ( )5 ( ) 4 + ? + C99 ( )9 2 2 2 2 2 2 2 1 1 233 3 5 9 1 1 …6 分 = (C9 + C94 + C9 +?+ C9 )( )9 = ?29 ? (C90 + C9 + C92 )? ( )9 = (29 ? 46)( )9 = ? ? 2 2 2 256
k k 设从低层到顶层停 k 次,则其概率为 C9 ( ) k ( )9? k = C9 ( )9 ,

1 1 1 2 2 2 1 9 k k ∴当 k = 4 或 k = 5 时, C9 最大,即 C9 ( ) 最大. …………9 分 2 1 9 其分布为二项分布,所以 Eξ = 9 ? = ………13 分 2 2 233 9 ,停 4 次或 5 次概率最大,其数学期望为 答:从低层到顶层停不少于 3 次的概率为 256 2
21.解: (1)由 f ( x ) = 2 ln x ? x 2 , 求导数得到: f ′( x ) =

2 2(1 ? x )(1 + x ) ? 2x = x x

(2 分) ……………………

1 ∵ ≤ x ≤ e ,故 f ′( x ) = 0 在 x = 1 有唯一的极值点 e 1 1 1 f ( ) = ?2 ? 2 , f (e) = 2 ? e 2 , f ( x )极大值 = f (1) = ?1 ,且知 f (e) < f ( ) e e e ?1 ? 故 ? m = f ( x )在 ? , e ? 上有两个不等实根需满足: ?e ? 1 1? ? ?2 ? 2 ≤ ? m < ?1 故所求 m 的取值范围为 ?1, 2 + 2 ? .………………(6 分) e e ? ? 2 (2) g '( x) = ? 2 x ? a 又 f ( x) ? ax = 0 有两个实根 x1 , x2 x

5

则?

2 ? ?2 ln x1 ? x1 ? ax1 = 0 两式相减得到: 2 ?2 ln x2 ? x2 ? ax2 = 0 ? 2(ln x1 ? ln x2 ) a= ? ( x1 + x2 )(且x1 > 0, x2 > 0) x1 ? x2

……………………. 分) (8

? 2(ln x1 ? ln x2 ) ? 2 ? 2( px1 + qx2 ) ? ? ? ( x1 + x2 ) ? px1 + qx2 x1 ? x2 ? ? 2(ln x1 ? ln x2 ) 2 = ? + (2 p ? 1)( x2 ? x1 ) px1 + qx2 x1 ? x2 (9 分) ∵ 2q ≥ 1, 且x2 > x1 > 0 ,故 (2 p ? 1)( x2 ? x1 ) ≤ 0 ………………
于是 g ′( px1 + qx2 ) = 要证: g ′( px1 + qx2 ) < 0 ,只需证: 只需证:

2(ln x1 ? ln x2 ) 2 + <0 px1 + qx2 x2 ? x1
(11 分) …………………………….

x2 ? x1 x + ln 1 < 0? (*) px1 + qx2 x2



1? t x1 < 0 在 0 < t < 1 上恒成立. = t ,则 0 < t < 1 只需证明: u (t ) = ln t + pt + q x2 1 1 u '(t ) = ? , 令k ( t ) = pt ? t + q, 则由一元二次函数的单调性可知 t ( pt + q )2

k ( t ) > k (1) = 0 ∴ pt + q > t 0 < t < ( pt + q )2 < 1 故知u '(t ) > 0 ∴ u (t )在t ∈ (0,1) 上为增函数,则 u (t ) < u (1) = 0
从而可知 ln x1 + x2 ? x1 < 0 ,即(*)式成立, x2 px1 + qx2 从而原不等式得证.…………………(14 分)

6


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