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圆锥曲线的切线方程和切点弦方程的证明


第一种方法:判别式法。 点 P(x0 , y0 )在椭圆上,可以设 P 点的切线方程为 y ? y0 = (x ? x0 ) 代入椭圆方程,利用判别式等于 0,解出 k。 第二种方法:隐函数求导 x2 y2 + =1 a2 b 2 2x 2yy ′ + 2 =0 a2 b x yy ′ =? 2 a2 b b2 x y =? 2 a y


点 p(x0 , y0 ) 处切线斜率为? 切线方程为y ? y0 = ?
b2 x0 a2 y0

b2 x0 a2 y0

(x ? x0 )

a2 y0 y ? a2 y0 2 = ?b2 x0 (x ? x0 ) a2 y0 y + b2 x0 x = b2 x0 2 + a2 y0 2 因为点 p(x0 , y0 )在椭圆上, 所以 b2 x0 2 + a2 y0 2 = a2 b2 所以 a2 y0 y + b2 x0 x = b2 x0 2 + a2 y0 2 = a2 b2 x0 x y0 y + 2 =1 a2 b 同理双曲线点 P(x0 , y0 )处的切线方程为 x0 x y0 y ? 2 =1 a2 b 抛物线点 P(x0 , y0 )处的切线方程为
x0 2 a2

+

y0 2 b2

=1

y0 y = p(x + x0 )

下面证明椭圆外一点 P(x0 , y0 )向椭圆做两条切线 PA 和 PB,切点 为 A(x1 , y1 )B(x2 , y2 )切点弦所在的直线方程为 x0 x y0 y + 2 =1 a2 b 切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为 x1 x y1 y + 2 =1 a2 b x2 x y2 y + 2 =1 a2 b 两式相减得 x(x1 ? x2 ) y(y1 ? y2 ) = ? a2 a2 ?b2 x (y1 ? y2 ) = a2 y (x1 ? x2 ) 因为点 P(x0 , y0 )是两条切线的交点 所以
?b2 x0 a2 y0 (y1 ?y2 ) (x1 ?x2 ) ?b2 x0 a 2 y0

=

所以直线 AB 的斜率k =

直线 AB 的点斜式方程为 b2 x0 y ? y1 = ? 2 (x ? x1 ) a y0 b2 x0 y ? y2 = ? 2 (x ? x2 ) a y0 两式相加得

b2 x0 2y ? (y1 + y2 ) = ? 2 [2x ? (x1 + x2 )] a y0

切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为 x1 x y1 y + 2 =1 a2 b x2 x y2 y + 2 =1 a2 b 两式相加得 x(x1 + x2 ) y(y1 + y2 ) = +2 a2 a2 b2 x0 (x1 + x2 ) ? 2a2 b2 y1 + y2 = a2 y0 把y1 + y2 代入 b2 x0 2y ? (y1 + y2 ) = ? 2 [2x ? (x1 + x2 )] a y0 化简后得 x0 x y0 y + 2 =1 a2 b 同理过双曲线外一点 P(x0 , y0 )向双曲线做两条切线 PA 和 PB,切 点为 A(x1 , y1 )B(x2 , y2 )切点弦所在的直线方程为 x0 x y0 y ? 2 =1 a2 b 同理过抛物线外一点 P(x0 , y0 )向抛物线做两条切线 PA 和 PB,切 点为 A(x1 , y1 )B(x2 , y2 )切点弦所在的直线方程为 y0 y = p(x + x0 )


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