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2013年中考数学试题分类汇编二次函数


全国各地中考数学试题分类解析汇编二次函数
一、选择题 1. 抛物线 y = x ﹣6 x +5 的顶点坐标为( A A、 (3,﹣4) B、 (3,4) C、 (﹣3,﹣4) D ) (D) (-2,-3) (4)
2

) D、 (﹣3,4)

2.抛物线 y =-( x +2)2-3 的顶点坐标是( (A) (2,-3) ; (B) (-2,3) ;

(C) (2,3) ;

3.已知抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 在平面直角坐标系中的位置如图(4)所示,则下列结论中,正确的是 ( D ) A、 a >0 B、 b <0 C、 c <0 D、 a + b + c >0

4.二次函数的图象(0≤ x ≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内,下列 说法正确的是( C ) A、有最小值 0,有最大值 3 B、有最小值﹣1,有最大值 0 D、有最小值﹣1,无最大值

C、有最小值﹣1,有最大值 3

5.二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? )图象如图所示,现有下列结论:① b 2-4 a c >0 ② a >0 ③ b >0 ④ c >0 ⑤9 a +3 b + c <0,则其中结论正确的个数是( A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个 B )

6.函数 y=ax-2 (a≠0)与 y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( A )

7.已知二次函数 y ? ax 的图象开口向上,则直线 y ? ax ? 1 经过的象限是 ( D
2

) D、第一、三、四象限 B、

A、第一、二、三 象限 8.已知拋物线 y ? ?

B、第二、三、四象限 C、第一、二、四象限

1 2 x ? 2 ,当 1 ? x ? 5 时,y 的最大值是 ( C ) A、2 3

2 5 7 C、 D、 3 3 3

9.如图,关于抛物线 y ? ( x ? 1)2 ? 2 ,下列说法错误的是( D ) A.顶点坐标为(1, ?2 ) C.开口方向向上 B.对称轴是直线 x =l D.当 x >1 时, y 随 x 的增大而减小 C) A.其图象的开口向下 D.当 x ? 3 时,y 随 x 的增大而增大

10.由二次函数 y ? 2( x ? 3) 2 ? 1 ,可知( B.其图象的对称轴为直线 x ? ?3

C.其最小值为 1
2

11.在同一坐标系中,一次函数 y = a x +1 与二次函数 y = x + a 的图象可能是( C )

12. 下列二次函数中,图象以直线 x ? 2 为对称轴、且经过点(0,1)的是 ( C ) A. y ? ? x ? 2 ? ? 1
2

B. y ? ? x ? 2 ? ? 1
2

C. y ? ? x ? 2 ? ? 3
2

D. y ? ? x ? 2 ? ? 3
2

13.已知二次函数 y ?? 2 ?x? ,当自变量 x m 取 时对应的值大于 0,当自变量 x 分别取 m?1、 m?1 x 时对应的函数值为 y 1 、 y 2 ,则 y 1 、 y 2 必须满足 ( B ) A. y 1 >0、 y 2 >0 B. y 1 <0、 y 2 <0 C. y 1 <0、 y 2 >0 D. y 1 >0、 y 2 <0

1 5

14.已知二次函数 y=ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 的图象如图, 则下列结论中正确的是( D ) A. a >0 C. c <0 B.当 y 随 x 的增大 x >1 时, y 随 x 的增大而增大 D.3 是方程 ax2 ? bx ? c=0 的一个根

15.如图平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,则下列关系正 确的是( A ) A.m=n,k>h D.m<n,k=h B.m=n ,k<h

C.m>n,k=h

16.如图为抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象,A、B、C 为抛物线与坐标轴的 交点,且 OA=OC=1,则下列关系中正确的是( B ) A、 a ? b ? ?1 B、 a ? b ? ?1 C、 b < a D、 ac < 0

17.竖直向上发射的小球的高度 h(m)关于运动时间 t(s)的函数 表达式为 h= a t 2+ b t,其图象如图所示.若小球在发射后第 2s 与第 6s 时 的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是第( C ) A.3s B.3.5s C.4.2s D.6.5s[来

18.已知一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根 x1 、 x2 满足 x 1 + x 2 =4 和 x 1? x 2=3,那么二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? a > 0 ? 的图象可能是.( C )

A.

B.

C.

D

19. 已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 中, 其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示: A( x 1,y 1)、 点

x
y

… …

0 4

1 1

2 0

3 1

4 4

… …

B( x 2, y 2)在函数的图象上,则当 1< x 1<2,3< x 2<4 时, y 1 与 y 2 的大小关系正确的是( B ) A.

y1 > y2

B. y 1

< y2

C. y 1

≥ y2

D. y 1

≤ y2

20.若二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的 x 与 y 的部分对应值如下表:则当 x =1 时, y 的值为( D

)

x
y A、5 B、﹣3

-7 -27

-6 -13

-5 ﹣3

-4 3

-3 5

-2 3

C、-13

D、-27

21.二次函数 y = x 2 -2 x -3 图象如图所示。 y <0 时, 当 自变量 x 的取值范围是( A ) A.-1< x <3 B. x <-1 C. x >3 D. x <-3 或 x >3 )

22.对抛物线 y =- x 2+2 x -3 而言,下列结论正确的是( D

A.与 x 轴有两个交点 B.开口向上 C.与 y 轴交点坐标是(0,3) D.顶点坐标是(1,-2) 23.抛物线 y ? ?(a ? 8) ? 2 的顶点坐标是( B ) A、 (2,8)B、 (8,2)C、 (—8,2)D、 (—8,—2)
2

24.二次函教 y ? x ? 2 x ? 5 有( D ) A.最大值 ?5
2

B.最小值 ?5

C.最大值 ?6

D.最小值 ?6

25.一小球被抛出后,距离地面的高度 h (米)和飞行时间 t(秒)满足下面函数关系式:h=﹣5(t﹣1)2+6, 则小球距离地面的最大高度是( C )A、1 米 B、5 米 C、6 米 D、7 米

26. 已知二次函数 y=x2+bx-2 的图象与 x 轴的一个交点为(1,0),则它与 x 轴的另一个交点坐标是 ( C ) A .(1,0) B.(2,0) C.(-2,0) D.(-1,0)

27.已知函数 y ? (k ? 3) x2 ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴有交点,则 k 取值范围是 ( B ) A、 k <4 B、 k ≤4 C、 k <4 且 k ≠3 D、 k ≤4 且 k ≠3

?? x ? 1?2 ? 1 ? x ? 3 ? ? 28.函数 y ? ? ,若使 y ? k 成立 x 值恰好有三个,则 k 的值为 ( D ) 2 ?? x ? 5? ? 1 ? x > 3 ? ?
A、0 B、1 C、2 D、3 (28)
y 1

1 29.如图,二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图像与 y 轴正半轴相交,其顶点坐标为( ,1 ) , 2
下列结论:① ac<0 ;② a ? b ? 0 ; ③ 4ac ? b ? 4a ;④ a ? b ? c<0 .其中正确结论
2

O

1 2

x

的个数是( C

)
2

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

(29)

30.二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象如图所示,对称轴为直线 x =1,则下列结论正确的是 ( B ) A, ac ? 0 C. 2a ? b ? 0

, B.方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根是 x1 ? ?1 x2 ? 3
2

D.当 y >0 时, y 随 x 的增大而减小.
2

(30)

31.已知二次函数 y=ax +bx+c 同时满足下列条件:①对称轴是 x=1;②最值是 15; ③二次函数的图象与 x 轴有两个交点,其横坐标的平方和为 15﹣a,则 b 的值是 ( C ) A、4 或﹣30 B、﹣30 C、4 D、6 或﹣20
? ? ? ?

32.已知一元二次方程 x2 ? bx ? 3 ? 0 的一根为 ?3 ,在二次函数 y ? x2 ? bx ? 3 的图象上有三点? ? 4 , y1 ? 、? ? 5 , y2 ? 、 ? ? ? ? 5 4

?1 ? ? , y3 ? ,y1 、y2 、y3 的大小关系是 ( A ) ?6 ?

A. y1 ? y2 ? y3 B. y2 ? y1 ? y3 C. y3 ? y1 ? y2 D. y1 ? y3 ? y2 ( A ) A.( 1, 1 ) B. ? 1,1 C. ? 1,?1 D.( ,?1 ( )( ) 1 )
2

33. 抛物线 y ? 3( x ? 1) ? 1 的顶点坐标
2

34.已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图, 其对称轴 x=﹣1, 给出下列结果①b >4ac; ②abc>0;③2a +b=0;④a+b+c>0;⑤a﹣b+c<0,则正确的结论是 ( D A、①②③④
2

2

) (34)

B、②④⑤

C、②③④

D. ①④⑤

35.二次函数 y ? ( x ? m) ? 1 , x ? 1时, 随 x 的增大而减小, m 取值范围是( C ) 当 y 则 A、 m ? 1 B、 m ? 1 C、 m ? 1 D、 m ? 1

36.若是方程(x-a) (x-b)= 1(a<b)的两个根,则实数 x1,x2,a,b 的大小关系为( C ) A.x1<x2<a<b
2

B.x1<a<x2<b
2

C.x1<a<b<x2

D.a<x1<b<x2

37.已知二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结论: ①abc>0, ②b ﹣4ac<0, ③a﹣b+c>0, ④4a﹣2b+c<0, 其中正确结论的个数是( A ) A、1 B、2
2

C、3

D、4

(37)

38.若二次函数 y ? x ? 6 x ? c 的图象经过 A(-1, y 1) 、B(2, y 2) 、C( 3 ? 2 , y 3)三点,则关于 y 1、

y 2、 y 3 大小关系正确的是( B )A. y 1> y 2> y 3 B. y 1> y 3> y 2 C. y 2> y 1> y 3
39.将二次函数 y=x -2x+3 化为 y=(x-h) +k 的形式,结果为 ( D ) A、y=(x+1) +4
2 2 2 2 2 2

D. y 3> y 1> y 2

B、y=(x-1) +4

C、y=(x+1) +2

D、y=(x-1) +2

2

40.抛物线 y=x ﹣2x+1 的顶点坐标是 ( A )A、 (1,0)B、 (﹣1,0)C、 (﹣2,1)D、 (2,﹣1) 41.如图所示的二次函数 y=ax +bx+c 的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息: (1)b ﹣4ac>0;(2)c>1;(3)2a﹣b<0;(4)a+b+c<0.你认为其中错误的有( D A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、1 个 ) (42)
2 2

)

(41)

42.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说法正确的是( C A、b2﹣4ac<0 B、abc<0 C、 ?

b ? ?1 2a

D、a﹣b+c<0

43.如图,函数 y ? ? x 2 ? bx ? c 的部分图象与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A(1,0),B(0,3), y 对称轴是 x =-1.在下列结论中,错误的是( C ) A.顶点坐标为(-1,4) B.函数的解析式为 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 A(1,0) C.当 x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大 D.抛物线与 x 轴的另一个交点是(-3,0) (43) 44.如图一次函数 y1 ? kx ? n(k ? 0) 与二次函数 y 2 ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象相
2

B(0,3)

o
x=-1

x

交于 A( ? 1 , B(9, 5)、 2)两点, 则关于 x 的不等式 kx ? n ? ax ? bx ? c 解集为( A )
2

A、 ?1 ? x ? 9

B、 ?1 ? x ? 9

C、 ?1 ? x ? 9

D、 x ? ?1 或 x ? 9

二、填空题 1.如图,一次函数 y ? ?2 x 的图象与二次函数 y ? ? x 2 ? 3x 图象的对称轴交于点 B. (1)写出点 B 的坐标 ; (2)已知点 P 是二次函数 y ? ? x 2 ? 3x 图象在 y 轴

右侧部分上的一个动点, 将直线 y ? ?2 x 沿 y 轴向上平移, 分别交 x 轴、y 轴于 C、 .. D 两点. 若以 CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似, 则点 P 的坐标为 【答案】 ( .

3 1 5 ?1 1 , ?3) ( , ) ; ,(2,2) ? , , 6 2 2 4 ?4 1

? ? 13 26 ? , ? ,? ?。 ? ? 5 25 ?

【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,待定系数法,勾股定理,相似三角形的判定和 性质,解二元方程组。

3 3 代入 y ? ?2 x 中, 可求 B 点坐标 ( , ?3) 。 2 2 (2)设 D(0,2 a ) ,则直线 CD 解析式为 y ? ?2 x ? 2a ,可知 C( a ,0) ,即 OC:OD=1:2。则 OD=2 a ,
2 【分析】 由 y ?? x ? x 可知图象的对称轴为 , x ? (1) 将 3

OC= a ,根据勾股定理可得 CD= 5a 。则以 CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似,因此分为∠CDP=90° 和∠DCP=90° 两种情况,分别求 P 点坐标: 当∠CDP=90° 时,若 PD:DC=OC:OD=1:2,则 PD= 设 P 的坐标是 x ,则纵坐标是- ? x 2 ? 3x
2 ? ? 5a ? 2 ? x 2 ? ? ? x 2 ? 3x ? 1? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 5 ? ? 2 ? ?x ? 根据题意得: ? ,解得 ? 2 。则 P 的坐标为 。 ( ,) 2 2 4 2 ? 5a ? ? ?a ? 1 2 2 2 ? ? 5a ? ? ? 2 ? ? ? ? x ? 3x ? ? a ? ? ? ? ?

5a , 2

? ?

若 DC:PD=OC:OD=1:2,同理可以求得 P(2,2) 。

? 11 11 ? 当∠DCP=90° 时,若 PD:DC=OC:OD=1:2,则 P ? , ?。 ? 4 16 ? ? 13 26 ? 若 DC:PD=OC:OD=1:2,则 P ? , ?。 ? 5 25 ?

1 5 ?1 1 综上所述,点 P 的坐标为 ,(2,2) ? , , ( ,) 6 2 4 ?4 1

? ? 13 26 ? , ? ,? ?。 ? ? 5 25 ?

2.(辽宁大连 3 分)如图 5,抛物线 y =- x 2+2 x +m(m<0)与 x 轴相交于点 A( x 1,0)、B( x 2,0), 点 A 在点 B 的左侧.当 x = x 2-2 时, y 【答案】<。 【考点】二次函数图象的性质,一元二次方程根与系数的关系。 0(填“>”“=”或“<”号).

【分析】 ∵抛物线 y ? ? x 2 ? 2 x ? m(m<0) x 轴相交于点 A x 1, 、 ( x 2, , ? x2 ? 2 x ? m ? 0 与 ( 0) B 0) ∴ 有 x 1+ x 2=2, x 1 x 2=-m>0,∴ x 1=2- x 2,∴ x =- x 1<0,由图象知,当 x <0 时, y <0。 3.(黑龙江龙东五市 3 分)抛物线 y=- 【答案】 (-1,-1) 。 【考点】二次函数的性质。 【分析】根据二次函数顶点形式,直接可以得出二次函数的顶点坐标。 4.(湖南怀化 3 分)出售某种手工艺品,若每个获利 x 元,一天可售出 (8 ? x) 个,则当 x = 一天出售该种手工艺品的总利润 y 最大. 【答案】4。 【考点】二次函数的最值 【分析】依题意得 y 与 x 的函数关系式 y =(8- x ) x =- x 2+8 x ,化为顶点式为 y =-( x -4)2+16, ∴当 x =4 时, y 取得最大值。 5.(江苏淮安 3 分)抛物线 y=x 2 ? 2 x ? 3 的顶点坐标是 【答案】 (1,-4) 。 【考点】二次函数的性质(顶点坐标) ,配方法求顶点式。 【分析】对于二次函数一般式 y=ax 2 ? bx ? c ,总可以用配方法化为顶点式 y=a ? x ? h ? ? k 形式,根据
2

1 (x+1)2-1 的顶点坐标为 2







元,



.

顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标 ? h,k ? : y=x 2 ? 2 x ? 3=x 2 ? 2 x ? 1 ? 4=? x ? 1? ? 4 ,它的顶点坐
2

标为(1,-4) 。 6. (山东济宁 3 分)将二次函数 y ? x 2 ? 4 x ? 5 化成 y ? ? x ? h ? ? k 的形式,则 y =
2





【答案】 y ? ? x ? 2 ? ? 1 。
2

【考点】二次函数的配方法。 【分析】 y ? x 2 ? 4 x ? 5 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 1 ? ? x ? 2 ? ? 1 。
2

?

?

7.(山东枣 庄 4 分 )抛物线 y ? ax 2 ? bx ? c 上部分点的横坐标 x ,纵坐标 y 的对应值如下表:

x
y

… …

-2 0 ▲

-1 4

0 6

1 6

2 4

… …

从上表可知,下列说法中正确的是

. (填写序号)

①抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0) ②函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的最大值为 6; ; ③抛物线的对称轴是 x ?

1 ; 2

④在对称轴左侧, y 随 x 增大而增大.

【答案】①③④。 【考点】二次函数的性质,解方程组。

?a ? ?1 ? 【分析】把表中任三点代入 y ? ax ? bx ? c ,即可求出 ?b ? 1 ,抛物线函数关系式为 y ? ? x 2 ? x ? 6 。据 ?c ? 6 ?
2

此即可作出判断:①(3,0)代入 y ? ? x 2 ? x ? 6 成立,选项正确;②函数 y ? ? x 2 ? x ? 6 的最大值为 选项错误;③抛物线的对称轴是 x ? ? 大,选项正确。

25 , 4

b 1 ? ,选项正确;④ a < 0 ,所以在对称轴左侧, y 随 x 增大而增 2a 2

8. (河南省 3 分)点 A(2,y1) 、B(3,y2)是二次函数 y=x -2x+1 的图象上两点,则 y1 与 y2 的大小 关系为 y1 ▲ y2(填“>”、“<”、“=”) .

2

【答案】<。 【考点】二次函数图象上点的坐标特征。 【分析】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴,再根据点 A、B 的横坐标的大小即可判断出 y1 与 y2 的大小关系: ∵二次函数 y=x ﹣2x+1 的图象的对称轴是 x=1, 在对称轴的右面 y 随 x 的增大而增大, ∵点 A(2,y1) 、B(3,y2)是二次函数 y=x ﹣2x+1 的图象上两点,1<2<3, ∴y1<y2。故答案为:<。 9.(甘肃天水 4 分)抛物线 y=﹣x +bx+c 的部分图象如图所示,若 y>0,则 x 的取值 范围是 ▲ .
2 2 2

【答案】﹣3<x<1。 【考点】二次函数的性质和图象。 【分析】根据抛物线的对称轴为 x=﹣1,一个交点为(1,0) ,根据抛物线的对称性,得另一交点为(﹣3, 0) ,结合图象求出 y>0 时, x 的取值范围是﹣3<x<1。 10.(福建泉州 4 分)已知函数 y ? ?3 ? x ? 2 ? ? 4 ,当 x =
2



时,函数取得最大值为_



【答案】2,4。 【考点】二次函数的最值。 【分析】由抛物线的顶点式 y ? ?3 ? x ? 2 ? ? 4 ,得到抛物线的顶点坐标为(2,4),又 a =-3<0,抛物
2

线的开口向下,于是 x =2 时,函数有最大值为 4。 三、解答题
2 2 1.(浙江舟山、嘉兴 6 分)如图,已知直线 y?? x经过点 P( ? , a ,点 )

P 关于 y轴的对称点 P′在反比例函数 y ?

k ( k ?0)的图象上. x

(1)求 a 的值; (2)直接写出点 P′的坐标; (3)求反比例函数的解析式. 【答案】解: (1)把(﹣2, a )代入 y?? x中,得 2 =﹣2× (﹣2)=4,∴ a =4。 a (2)∵P 点的坐标是(﹣2,4) , ∴点 P 关于 y 轴的对称点 P′的坐标是(2,4) ; (3)把 P′(2,4)代入函数式 y = ∴反比例函数的解析式是 y =

k k ,得 4= ,∴ k =8 。 x 2

8 . x

【考点】待定系数法,一次函数图象上点的坐标特征,对称的性质。 【分析】 (1)把(﹣2, a )代入 y =﹣2 x 中即可求 a 。 (2)坐标系中任一点关于 y 轴对称的点的坐标,其中横坐标等于原来点横坐标的相反数,纵坐标 不变。 (3)把 P′代入 y =

k 中,求出 k ,即可得出反比例函数的解析式。 x

2.(浙江温州 10 分)如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 A 的坐标是(﹣2,4) ,过点 A 作 AB⊥ y 轴,垂足为 B,连接 OA. (1)求△OAB 的面积; (2)若抛物线

y ? ? x 2 ? 2 x ? c 经过点 A.①求 c 的值;②将抛物线向下平移 m 个单位,
使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部(不包括△OAB 的边界) , 求 m 的取值范围(直接写出答案即可) . 【答案】解: (1)∵点 A 的坐标是(﹣2,4) ,AB⊥ y 轴,∴AB=2,OB=4, ∴△OAB 的面积为:

1 1 × AB× OB= × 4=4。 2× 2 2

(2)①把点 A 的坐标(﹣2,4)代入 y ? ? x 2 ? 2 x ? c 中,得﹣(﹣2)2﹣2× (﹣2)+ c =4, ∴ c =4。 ②m 的取值范围是:1<m<3。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,图形的平移。 【分析】 (1)根据点 A 的坐标是(﹣2,4) ,得出 AB,BO 的长度,即可得出△OAB 的面积。 (2)①把点 A 的坐标(﹣2,4)代入 y ? ? x 2 ? 2 x ? c 中,直接得出即可。 ②利用配方法把二次函数解析式化为顶点式即可得出顶点坐标,根据 AB 的中点 E 的坐标以及 F 点的坐标即可得出 m 的取值范围:

∵ y ? ? x 2 ? 2 x ? 4 ? ? ? x ? 1? ? 5 ,
2

∴抛物线顶点 D 的坐标是(﹣1,5) 。 又∵AB 的中点 E 的坐标是(﹣1,4) ,OA 的中点 F 的坐标是(﹣1,2) , ∴m 的取值范围是:1<m<3。 3.(黑龙江龙东五市 6 分)已知:抛物线与直线 y=x+3 分别交于 x 轴和 y 轴上同一点,交点 分别是点 A 和点 C,且抛物线的对称轴为直线 x=-2。 (1)求出抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 的坐标。 (2)试确定抛物线的解析式。 (3)观察图象,请直接写出二次函数值小于一次函数值的自变量 x 的取值范围。 【答案】解: (1)在 y = x +3 中, 当 y =0 时, x =3, ∴点 A 的坐标为(-3,0)。 当 x =0 时, y =3,∴点 C 坐标为(0,3) 。 ∵抛物线的对称轴为直线 x =-2,∴点 A 与点 B 关于直线 x =-2 对称。 ∴点 B 的坐标是(-1,0) 。 (2)∵抛物线的对称轴为直线 x =-2,∴设二次函数的解析式为 y ? a ? x ? 2 ? ? c
2

∵二次函数的图象经过点 C(0,3)和点 A(-3,0), ∴可得方程组: ?

? 4a ? c ? 3 ?a ? 1 ,解得 ? 。 ?a ? c ? 0 ? c ? ?1
2

∴二次函数的解析式为 y ? ? x ? 2 ? ? 1 ,即 y ? x 2 ? 4 x ? 3 。 (3)由图象观察可知,当-3< x <0 时,二次函数值小于一次函数值。 【考点】待定系数法,点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组,一、二次函数的图象。 【分析】 (1)根据已知得出点 A、C 的坐标,再由点 A 与点 B 关于直线 x =-2 对称,即可求出 B 点坐 标。 (2)利用待定系数法求二次函数解析式,即可得出答案。 (3)由图象观察可知,当-3< x <0 时,二次函数的图象在一次函数值的图象下方,即二次函数值小于 一次函数值,从而得出 x 的取值范围。 4.(黑龙江牡丹江 6 分)如图,抛物线 y ? x2 ? bx ? c 经过 A(-1,O),B(4,5)两点,请解答 下列问题: (1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线的顶点为点 D, 对称轴所在的直线交 x 轴于点 E, 连接 AD, F 为 AD 的中点, 点

求出线段 EF 的长.

【答案】解: (1)∵抛物线 y ? x2 ? bx ? c 经过 A(-1,0),B(4,5)两点

?1 ? b ? c ? 0 ?b ? ?2 ∴? ,解得 ? 。∴抛物线的解析式为 y ? x 2 ? 2 x ? 3 。 16 ? 4b ? c ? 5 c ? ?3 ? ?
(2)∵ y ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ? x ? 1? ? 4 ,
2

∴抛物线的顶点坐标为 D(1,-4) 。∴E(1,0)。 ∴在 Rt△AED 中, AE=2,ED=4,AD= AE 2 ? ED2 ? 22 ? 42 ? 2 5 。 又∵AO=OE,OF⊥AE,∴EF=AF= 1 AD= 5 。 2

【考点】二次函数综合题,点的坐标与方程的关系,勾股定理,线段垂直平分线的性质。 【分析】(1)将 A(-1,O),B(4,5)两点代入 y ? x2 ? bx ? c 中,求出 b 、 c 的值即可。 (2)根据抛物线顶点式可求 D、E 两点的坐标,根据勾股定理可求 AD,再根据线段垂直平分线上的点到 线段两端距离相等的性质和点 F 为 AD 的中点可求线段 EF 的长度。 5.(江苏南京 7 分)已知函数 . y ? mx 2 ? 6 x ? 1 ( m 是常数)

⑴求证:不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点; ⑵若该函数的图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值. 【答案】解:⑴当 x =0 时, y ? 1 。 ∴不论 m 为何值,函数 y ? mx 2 ? 6 x ? 1 的图象经过 y 轴上的一个定点(0,1) 。 ⑵①当 m ? 0 时,函数 y ? ?6 x ? 1 的图象与 x 轴只有一个交点; ②当 m ? 0 时,若函数 y ? mx 2 ? 6 x ? 1 的图象与 x 轴只有一个交点, 则方程 mx2 ? 6 x ? 1 ? 0 有两个相等的实数根,所以 (?6)2 ? 4m ? 0 , m ? 9 。 综上所述,若函数 y ? mx 2 ? 6 x ? 1 的图象与 x 轴只有一个交点,则 m 的值为 0 或 9。 【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系, 二次函数与一元二次方程的关系。 【分析】⑴由于二次函数的常数项为 1, 故 x =0 时, y ? 1 而得证。 ⑵考虑一次函数和二次函数两种情况: m ? 0 时,函数为一次函数, 与 x 轴有一个交点。 m ? 0 时,函数 为二次函数, 由函数 y ? f ? x ? 与 x 轴有一个交点的要求, 对应的一元二次方程 y ? f ? x ? 有两个相等的实数 根 , 即 根 的 判 别 式 等 于 0, 从 而 求 解 。 也 可 以 考 虑 二 次 函 数 顶 点 的 纵 坐 标 为 0 求 解 , 即

4 ? m ? 1 ? ? ?6 ? 4m

2

?0?m?9。
2

6. 江苏南通 12 分) ( 已知 A(1, B(0, 0)、 -1)、 C(-1, D(2, 2)、 -1)、 E(4, 2)五个点, 抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)经过其中的三个点. (1)求证:C、E 两点不可能同时在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上;
2

(2)点 A 在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上吗?为什么?
2

(3)求 a 和 k 的值. 【答案】解:(1)证明:用反证法。假设 C(-1,2)和 E(4,2)都在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上,
2

?a ? ?1 ? 1?2 ? k ? 2 ? 联立方程 ? 2 ?a ? 4 ? 1? ? k ? 2 ?

, 解之得 a =0, k =2。这与要求的 a >0 不符。

∴C、E 两点不可能同时在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上。
2

(2)点 A 不在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上。这是因为如果点 A 在抛物线上,则 k =0。
2

这时,若 B(0,-1)在抛物线上,得到 a =-1,D(2,-1)在抛物线上,得到 a =-1,这与已知 a >0 不 符;而由(1)知,C、E 两点不可能同时在抛物线上。 因此点 A 不在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上。
2

(3)综合(1)(2),分两种情况讨论: ①抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)经过 B(0,-1)、C(-1,2)、D(2,-1)三个点,
2

?a ? 0 ? 1?2 ? k ? ?1 ? 2 ? 联立方程 ? a ? ?1 ? 1? ? k ? 2 ,解之得 a =1, k =-2。 ? 2 ?a ? 2 ? 1? ? k ? ?1 ?
②抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)经过 B(0,-1)、D(2,-1)、E(4,2)三个点,
2

?a ? 0 ? 1?2 ? k ? ?1 ? 3 11 2 ? 联立方程 ? a ? 2 ? 1? ? k ? ?1 , 解之得 a = , k = ? 。 8 8 ? 2 a ? 4 ? 1? ? k ? 2 ? ?
因此,抛物线经过 B、C、D 三个点时, a =1, k =-2。抛物线经过 B、D、E 三个点时,

a = ,k =?

3 8

11 。 8

【考点】二次函数,二元一次方程组。

【分析】(1)用反证法证明只要先假设结论成立,得到与已知相矛盾的结论即可。 (2)要证点 A 不在抛物线上,只要证点 A 和其他任意两点不在同一抛物线上即可。 (3)分别列出任意三点在抛物线上的所有情况,由(2)去掉点 A,还有 B、C、D、E 四个点,可能 情况有 ①B、C、D, ②B、C、E, ③B、D、E 和④C、D、E。而由(1)去掉②B、C、E 和④C、D、E 两种 C、E 两点同时在抛物线上的情况。这样只剩下①B、C、D 和③B、D、E 两种情况,分别联立方程 求解即可。 7.(广东省 6 分)已知抛物线 y ? (1)求 c 的取值范围; (2)试确定直线 y ? cx ? 1 经过的象限,并说明理由.

1 2 x ? x ? c 与 x 轴没有交点. 2

1 【答案】解: (1)∵抛物线 y = x 2 ? x ? c 与 x 轴没有交点, 2 1 ∴对应的一元二次方程 x2 ? x ? c=0 没有实数根。 2 1 1 ∴ ?=12 ? 4 ? ? c=1 ? 2c < 0, c > 。 ? 2 2 1 (2)顺次经过三、二、一象限。因为对于直线 y =kx ? b ,k =c > > 0 ,b=1 > 0 ,所以根据一 2
次函数的图象特征,知道直线 y =cx ? 1 顺次经过三、二、一象限。 【考点】二次函数与一元二次方程的关系,一次一次函数的图象特征。 【分析】 (1)根据二次函数与一元二次方程的关系知,二次函数的图象与 x 轴没有交点,对应的一元二次 方程没有实数根,其根的判别式小于 0。据此求出 c 的取值范围。 (2)根据一次函数的图象特征,即可确定直线 y =cx ? 1 经过的象限。
B

y
C

8.(广东佛山 8 分)如图,已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图象经过 A(?1, ?1) 、 B(0,2) 、 C(1,3) ;
2

o
(1)求二次函数的解析式; (2)画出二次函数的图象; 【答案】解: (1)根据题意,得
A

1

x

?a ? b ? c = ? 1 ? ?c =2 ?a ? b ? c =3 ?

,解得, a= ? 1 b=2,c=2 。 ,

∴二次函数的解析式为 y ? ? x 2 ? 2 x ? 2 。 (2)二次函数的图象如图: 【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系,待定系数法,解二元一次方程组,作二次函数图象。 【分析】 (1)根据点 A,B,C 在二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象上,点的坐标 y ? ax 2 ? bx ? c 满足方程

的关系,将 A(?1, ?1) 、 B(0,2) 、 C(1,3) 代入 y ? ax 2 ? bx ? c 即可求出 a,b,c ,从而求得二次函数的解析 式。 (2)描点作图。 9.(内蒙古巴彦淖、赤峰尔 12 分)如图,直线 y=x+3 与坐标轴分别交于 A,B 两点,抛物线 y=ax +bx﹣ 3a 经过点 A,B,顶点为 C,连接 CB 并延长交 x 轴于点 E,点 D 与点 B 关于抛物线的对称轴 MN 对称. (1)求抛物线的解析式及顶点 C 的坐标; (2)求证:四边形 ABCD 是直角梯形.
2

【答案】解: (1)∵y=x+3 与坐标轴分别交与 A、B 两点, ∴A 点坐标(﹣3,0) 点坐标(0,3) 、B 。 ∵抛物线 y=ax +bx﹣3a 经过 A、B 两点,
2

?9a ? 3b ? 3a ? 0 ? a ? ?1 2 ∴? ,解得 ? 。∴抛物线解析式为:y=﹣x ﹣2x+3。 ?3a ? 3 b ? ?2 ? ?
∵y=﹣x ﹣2x+3=﹣(x+1) +4, ∴顶点 C 的坐标为(﹣1,4) 。 (2)∵B、D 关于 MN 对称,C(﹣1,4) ,B(0,3) ,∴D(﹣2,3) 。 ∵B(3,0) ,A(﹣3,0) ,∴OA=OB。 又∠AOB=90° ,∴∠ABO=∠BAO=45° 。 ∵B、D 关于 MN 对称,∴BD⊥MN。 又∵MN⊥X 轴,∴BD∥X 轴。 ∴∠DBA=∠BAO=45° 。∴∠DBO=∠DBA+∠ABO=45° +45° =90° 。 ∴∠ABC=180° ﹣∠DBO=90° 。∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=45° 。 ∵CM⊥BD,∴∠MCB=45° 。 ∵B,D 关于 MN 对称,∴∠CDM=∠CBD=45° ,CD∥AB。 又∵AD 与 BC 不平行,∴四边形 ABCD 是梯形。 ∵∠ABC=90° ,∴四边形 ABCD 是直角梯形。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,抛物线的顶点和对称轴,轴对称的性质,平行 的判定和性质,直角梯形的判定。 【分析】 (1)先根据直线 y=x+3 求得点 A 与点 B 的坐标,然后代入二次函数的解析式求得其解析式,然 后求得其顶点坐标即可。
2 2

(2)根据 B、D 关于 MN 对称,C(﹣1,4) ,B(0,3)求得点 D 的坐标,然后得到 AD 与 BC 不平行, ∴四边形 ABCD 是梯形,再根据∠ABC=90° 得到四边形 ABCD 是直角梯形。 10.(新疆自治区、兵团 8 分)已知抛物线 y ? ? x ? 4 x ? 3 与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) ,
2

顶点为 P.[来源:学|科|网] (1)求 A、B、P 三点的坐标; (2)在直角坐标系中,用列表描点法作出抛物线的图象,并根据图象写出 x 取何值时,函数值大于零; (3)将此抛物线的图象向下平移一个单位,请写出平称后图象的函数表达式

x y

【答案】解;(1)∵ y ? ? x ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2) ? 1 ,∴P(2,1) 。
2 2

令 y ? 0 ,得 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 1 , x ? 3 。
2

∵A 点在 B 点左侧。∴A(1,0),B(3,0)。 (2)列表:

x
y
描点作图如下:

·· · ·· ·

0 -3

1 0

2 1

3 0

4 -3

·· · ·· ·

y
3

2

1

-1 -1

O

1

2

3

4

x

-2

-3

-4

由图象可知,当 1 ? x ? 3 时,函数值大于零。

(3)向下平移一个单位后图象的函数表达式 y ? ? x ? 4 x ? 3 ? 1 ? ? x ? 4 x ? 4 。
2 2

【考点】抛物线与 x 轴的交点,二次函数的图象,二次函数图象与平移变换。 【分析】 (1)令 y ? 0 求得点 A、B 的坐标,根据抛物线的顶点公式求得点 P 的坐标。 (2)首先写出以顶点为中心的 5 个点的坐标,从而画出图象,结合与 x 轴的交点,写出 x 取何 值时,函数值大于零。 (3)将此抛物线的图象向下平移一个单位,即对应点的纵坐标少 1,从而写出函数解析式。

2011 年全国 2011 年中考数学试题分类解析汇编 二次函数(2)
一、选择题 1.(广西梧州 3 分)2011 年 5 月 22 日—29 日在美丽的青岛市举行了苏迪曼 杯羽毛球混合团体锦标赛.在比赛中,某次羽毛球的运动路线 可以看作是抛 1 物线 y=- x2+bx+c 的一部分(如图) ,其中出球点 B 离地面 O 点的距离是 1m, 4 球落地点 A 到 O 点的距离是 4m,那么这条抛物线的解析式是 1 3 (A)y=- x2+ x+1 4 4 【答案】A。 【考点】二次函数的应用,点的坐标与方程的关系。 【分析】由已知知,点 A 和 B 的坐标分别为(4,0)(0,1) , 。根据点在抛物线上,点的坐标满足方程的 1 1 3 3 关系将它们分别代入抛物线 y=- x2+bx+c 可求出 b= , c=1。 因此这条抛物线的解析式是 y=- x2+ x+1。 4 4 4 4 故选 A。 2.(湖南株洲 3 分)某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为 x 轴, 出水点为原点, 建立平面直角坐标系, 水在空中划出的曲线是抛物线 y ? ? x 2 ? 4 x(单 位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是 A. 4 米 【答案】A。 【考点】二次函数的应用。 【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 y ? ? x 2 ? 4 x 的顶点坐标的纵坐 标,利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即可:∵ y ? ? x 2 ? 4 x ? ? ? x ? 2 ? ? 4 ,∴抛物线顶点
2

1 3 (B)y=- x2+ x-1 4 4

1 3 (C)y=- x2- x+1 4 4

1 3 (D)y=- x2- x-1 4 4

B. 3 米

C. 2 米

D. 1 米

坐标为: (2,4) ,∴喷水的最大高度为 4 米。故选 A。 3.(山东聊城 3 分)某公园草坪的防护栏由 100 段形状相同的抛物线形

构件组成, 为了牢固起见, 每段护栏需要间距 0.4m 加设一根不锈钢的支柱, 防护栏的最高点距底部 0.5m(如 图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 A.50m 【答案】C。 【考点】二次函数的应用。 【分析】建立如图所示的直角坐标系,由于抛物线的顶点为(0,0.5) , 所以可设抛物线函数表达式为 y =ax 2 ? 0.5 。则由于点(1,0)在抛物 线上,代入后得 a= ? 0.5 ,从而抛物线函数表达式为 y = ? 0.5 x 2 ? 0.5 。 当 x=0.2 时, y =0.48 ;当 x=0.6 时, y =0.32 。则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为: 100× (0.48+0.32)=160(m) 2× 。故选 C。 4.(广东台山 3 分)如图,正方形 ABCD 边长为 1,E、F、G、H 分别为各边上的点,且 AE=BF=CG= DH,设小正方形 EFGH 的面积为 Y,AE 为 X,则 Y 关于 X 的函数图象大致是 B.100m C.160m D.200m

【答案】B。 【考点】二次函数的应用和图象,勾股定理。 【分析】根据已知可得二次函数关系式:Y=X2+(1-X)2=2X2-2X+1,它是开口向上的抛物线,且经过 点(1,1) 。故选 B。 5,(甘肃兰州 4 分) 如图, 已知: 正方形 ABCD 边长为 1, F、 H 分别为各边上的点, AE=BF=CG=DH, E、 G、 且 设小正方形 EFGH 的面积为 s,AE 为 x,则 s 关于 x 的函数图象大致是

A、 【答案】B。

B、

C、

D、

【考点】二次函数的应用,全等三角形的判定和性质,勾股定理。 【分析】∵根据正方形的四边相等,四个角都是直角,且 AE=BF=CG=DH, ∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG。 设 AE 为 x,则 AH=1﹣x,根据勾股定理,得 EH =AE +AH =x +(1﹣x) , 即 s=x +(1﹣x) =2x ﹣2x+1。 ∴所求函数是一个开口向上,对称轴是 x=
2 2 2 2 2 2 2 2

1 的抛物线在 0<x <1 部分。故选 B。 2

6.(青海西宁 3 分)西宁中心广场有各种音乐喷泉,其中一个喷水管的最大高度为 3 1 米,此时距喷水管的水平距离为 米,在如图所示的坐标系中,这个喷泉的函数关系式 2 是 1 A.y=-(x- )2+3 2 1 C.y=-12(x- )2+3 2 【答案】C。 【考点】二次函数的应用。 1 【分析】∵一支高度为 1 米的喷水管喷水的最大高度为 3 米,此时喷水水平距离为 米, 2 1 ∴顶点坐标为( ,3) 。 2 1 ∴设抛物线的解析式为 y=a(x- )2+3,而抛物线还经过(0,0) , 2 1 1 ∴0=a(- )2+3,∴a=-12。∴抛物线的解析式为 y=-12(x- )2+3。故选 C。 2 2 二、填空题 1.(浙江舟山、嘉兴 4 分)如图,已知二次函数 y? 2 ? ? 的图象经过点(-1,0)(1,-2) , ,当 y随 x x bx c 的增大而增大时, x 的取值范围是 ▲ . 【答案】 x > 1 D.y=-12(x+ )2+3 2 1 B.y=-3(x+ )2+3 2

1 。 2

【考点】待定系数法,二次函数的图象和性质。 【分析】先把(﹣1,0)(1,﹣2)代入二次函数 y? 2 ? ? 中,得到关于 b、 , x bx c

?1 ? b ? c =0 c 的方程 ? ?1 ? b ? c = ? 2
的 对称轴为 x =

,求出 b=-1、c=-2 ,即可求解析式: y ? x 2 ? x ? 2 。它

1 1 。根据二次函数图象和的性质,当 x > 时, y 随 x 的增大而增大。 2 2

2.(四川泸州 2 分)如图,半径为 2 的圆内接等腰梯形 ABCD,它的下底 AB 是圆 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,则该梯形周长的最大值是 ▲

【答案】10。 【考点】二次函数的最值,等腰梯形的性质,勾股定理。 【分析】∵圆心为 O,则 OA=OB=OC=OD=2,设腰长为 x 设上底长是 2b,过 C 作直径的垂线,垂足是 P, 则 x ﹣(2﹣b) =2 ﹣b =CP 整理得 b=2﹣
2 2 2 2 2

x2 。 4 x2 x2 1 2 =﹣ +2x+8= ? ? x ? 2 ? ? 10 2 2 2

∴梯形周长=4+2x+2b=4+2x+4﹣ ∴该梯形周长的最大值是:10。

3.(贵州安顺 3 分)正方形 ABCD 边长为 1,E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 上的点,且 AE=BF=CG=DH.设小正方形 EFGH 的面积为 y,AE= x .则 y 关于 x 的函数 图象大致是

A. 【答案】C。

B.

C.

D.

【考点】二次函数综合题。 【分析】依题意,得 y=S

1 (1﹣ x ) 2 1 ,抛物线开口向上, 对称轴为 x = 。故选 C。 x =2 x 2﹣2 x +1,即 y=2 x 2﹣2 x +1(0≤ x ≤1) 2
正方形

ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH=1﹣4×

三、解答题 1. 北京 7 分) ( 在平面直角坐标系 x Oy 中, 二次函数 y ? mx 2 ? m- 3)x- 3(m>0 的图象与 x 轴交于 A、 ( ) B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C. (1)求点 A 的坐标; (2)当∠ABC=45° 时,求 m 的值; (3)已知一次函数 y =k x +b,点 P(n,0)是 x 轴上的一个动点,在(2)的条件下,过点 P 垂直于 x 轴

( ) 的直线交这个一次函数的图象于点 M,交二次函数 y ? mx 2 ? m- 3)x- 3(m>0 的图象于 N.若只有当
﹣2<n<2 时,点 M 位于点 N 的上方,求这个一次函数的解析式.

( ) 【答案】解: (1)∵点 A、B 是二次函数 y ? mx 2 ? m- 3)x- 3(m>0 的图象与 x 轴的交点,
∴令 y =0,即 m x +(m﹣3) x ﹣3=0 解得 x 1=﹣1, x2 =
2

3 。 m

又∵点 A 在点 B 左侧且 m>0,∴点 A 的坐标为(﹣1,0) 。

?3 ? (2)由(1)可知点 B 的坐标为 ? , ? , 0 ?m ?
∵二次函数的图象与 y 轴交于点 C,∴点 C 的坐标为(0,﹣3) 。 ∵∠ABC=45° ,∴

3 =3 。∴m=1。 m
2

(3)由(2)得,二次函数解析式为 y = x ﹣2 x ﹣3。 依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2 和 2。 由此可得交点坐标为(﹣2,5)和(2,﹣3) , 将交点坐标分别代入一次函数解析式 y =k x +b 中, 得?

??2k ? b=5 ? k= ? 2 解得: ? 。 ?2k ? b= ? 3 ? b=1
∴一次函数解析式为 y=﹣2 x +1。

【考点】二次函数综合题。 【分析】 (1)令 y =0 则求得两根,又由点 A 在点 B 左侧且 m>0,所以求得点 A 的坐标。 (2)二次函数的图象与 y 轴交于点 C,即求得点 C,由∠ABC=45° ,从而求得。 (3)由 m 值代入求得二次函数式,并能求得交点坐标,则代入一次函数式即求得。 2. (天津 8 分) 注意:为了使同学们更好她解答本题,我们提供了—种分析问题的方法,你可以依照这个方法按要 求完成本题的解答.也可以选用其他方法,按照解答题的一般要求进行解答即可. 某商品现在的售价为每件 35 元.每天可卖出 50 件.市场调查反映:如果调整价格.每降价 1 元,每 天可多卖出 2 件.请你帮助分析,当每件商品降价多少元时,可使每天的销售额最大, 最大销售额是多少? 设每件商品降价 x 元.每天的销售额为 y 元. (I) 分析:根据问题中的数量关系.用含 x 的式子填表:

(Ⅱ) (由以上分析,用含 x 的式子表示 y ,并求出问题的解) 【答案】解: (Ⅰ)

(Ⅱ)根据题意,每天的销售额 y ? (35 ? x)(50 ? 2 x), (0 ? x ? 35) 整理配方,得 y ? ?2( x ? 5)2 ? 1800 。 ∴当 x =5 时, y 取得最大值 1800。 答:当每件商品降价 5 元时,可使每天的销售额最大,最大销售额为 l 800 元。 【考点】列函数关系式,二次函数的应用。 【分析】 (Ⅰ)根据题意,可分析出结果。 (Ⅱ)列函数关系式是找出等量关系: 每天的销售额=每件售价× 每天销量

y

? (35 ? x) ? (50 ? 2 x)

求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少,只要把二次函数变形为 顶点式 y ? a ? x ? m ? ? n 的形式即可求出。
2

(Ⅱ)列函数关系式是找出等量关系: 每天的销售额=每件售价× 每天销量

y

? (35 ? x) ? (50 ? 2 x)

求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少,只要把二次函数变形为 顶点式 y ? a ? x ? m ? ? n 的形式即可求出。
2

3.(辽宁沈阳 12 分)一玩具厂去年生产某种玩具,成本为 10 元/件,出厂价为 12 元/件,年销售量为 2 万件.今年计划通过适当增加成本来提高产品档次,以拓展市场.若今年这种玩具每件的成本比去年成本 增加 0.7 x 倍, 今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高 0.5 x 倍, 则预计今年年销售量将比去年 年销售量增加 x 倍(本题中 0< x ≤11) . ⑴用含 x 的代数式表示,今年生产的这种玩具每件的成本为________元,今年生产的这种玩具每件 的出厂价为_________元. ⑵求今年这种玩具的每件利润 y 元与 x 之间的函数关系式. ⑶设今年这种玩具的年销售利润为 w 万元,求当 x 为何值时,今年的年销售利润最大?最大年销售 利润是多少万元? 注:年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)× 年销售量. 【答案】解:⑴10+7 x ; 2+6 x 。

⑵由⑴,得 y =(12+6 x )-(10+7 x ) 。即 y =2- x 。 ∴年这种玩具的每件利润 y 元与 x 之间的函数关系式为 y =2- x 。 ⑶∵w=2(1+ x ) (2- x )=-2 x 2+2 x +4,∴w=-2( x -0.5)2+4.5。 ∵-2<0,0< x ≤11,∴w 有最大值。 ∴当 x =0.5 时,w 最大=4.5(万元) 。 答:当 x 为 0.5 时,今年的年销售利润最大,最大年销售利润是 4.5 万元。 【考点】二次函数的应用。 【分析】(1)根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加 0.7 x 倍,即为(10+10?0.7 x )元/件; 这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高 0.5 x 倍,即为(12+12?0.5 x )元/件。 (2)今年这种玩具的每件利润 y 等于每件的出厂价减去每件的成本价,即 y =(12+6 x )-(10+7 x ), 然后整理即可。 (3)今年的年销售量为(2+2 x )万件,再根据年销售利润=(每件玩具的出厂价-每件玩具的成本)× 年销售量,得到 w=-2(1+ x )( x -2),然后把它配成顶点式,利用二次函数的最值问题即可得到答 案。 4.(辽宁本溪 12 分)我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件 20 元得工艺品,投放市场进行试销后 发现每天的销售量 y (件)是售价 x (元∕件)的一次函数,当售价为 22 元∕件时,每天销售量为 780 件; 当售价为 25 元∕件时,每天的销售量为 750 件. (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)如果该工艺品售价最高不能超过每件 30 元,那么售价定为每件多少元时,工艺厂销售该工艺品每天 获得的利润最大?最大利润是多少元?(利润=售价-成本) 【答案】解: (1)设 y 与 x 的函数关系式为 y ? kx ? b (k ? 0) ,

? 22k ? b ? 780 把 x =22, y =780 和 x =25, y =750 代入 y ? kx ? b ,得 ? , ? 25k ? b ? 750 ?k ? ?10 解得, ? 。 ?b ? 1000
∴ y 与 x 的函数关系式为 y ? ?10 x ? 1000 。 (2)设该工艺品每天获得的利润为 w 元, 则 W ? y( x ? 20) ? (?10 x ? 1000)( x ? 20) ? ?10( x ? 60)2 ? 16000 , ∵ ?10 ? 0 ,∴当 20 ? x ? 30 时,w 随 x 的增大而增大。 所以当售价定为 30 元/时,该工艺品每天获得的利润最大。

W最大 ? ?10(30 ? 60)2 ? 16000 ? 7000 元。

答:当售价定为 30 元/时,该工艺品每天获得的利润最大,最大利润为 7000 元。 【考点】待定系数法求一次函数解式,解二元一次方程组,二次函数性质的应用。 【分析】(1)用待定系数法将 x =22, y =780 和 x =25, y =750 代入 y ? kx ? b 即可求得 y 与 x 的函数关 系式。 (2)先求得每天获得的利润 w 关于 x 的函数关系式,再利用二次函最大值的性质求出当 x =30 时获得的 利润最大。 5.(吉林长春 7 分)如图,平面直角坐标系中,抛物线 y ?

1 2 x ? 2 x ? 3 交 y 轴于点 2

A.P 为抛物线上一点,且与点 A 不重合.连结 AP,以 AO、AP 为邻边作 PQ 所在直线与 x 轴交于点 B.设点 P 的横坐标为 m . (1)点 Q 落在 x 轴上时 m 的值.

?

OAPQ,

(3)若点 Q 在 x 轴下方,则 m 为何值时,线段 BQ 的长取最大值,并求出这个最大值.

b 4ac ? b 2 【参考公式:二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的顶点坐标为( ? ) 】 , 2a 4a
2

【答案】解:(1)令 x =0 可得点 A 坐标为(0,3),当 Q 落在 x 轴上时,PQ=OA=3。 在 y=

1 2 x -2 x +3 中,令 y =3 可求得点 P 横坐标 m=4。 2

(2)∵QB=OA-PB=3-PB,∴当 PB 取最小值时,QB 最大。 当 x =2 时,二次函数 y =

1 2 x -2 x +3 有最小值 y=1。 2

∴当 m=2 时,QB 的最大值为 2。 【考点】二次函数综合题,点的坐标与方程的关系,二次函数的性质。 【分析】(1)可以令 x =0 可得点 A 坐标为(0,3),当 Q 落在 x 轴上时,PQ=OA=3,即可得出 y=3 时 m 的值。 (2) 根据当 PB 取最小值时, 最大, x =2 时,二次函数 y = QB 当

1 2 x -2 x +3 有最小值即可得出答案。 2

6.(黑龙江哈尔滨 3 分)手工课上,小明准备做一个形状是菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和 恰好为 60cm,菱形的面积 S(单位:cm2)随其中一条对角线的长 x (单位:cm)的变化而变 化. (1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围); (2)当 x 是多少时,菱形风筝面积 S 最大?最大面积是多少?

【答案】解: (1) S ? ? (2)把 S ? ?

1 2 x ? 30 x 。 2

1 2 1 2 x ? 30 x 化为顶点式: S ? ? ? x ? 30 ? ? 450 2 2

∵a ??

1 <0, 2

∴当 x ? 30 时,S 有最大值,最大值为 450。 ∴当 x 为 30cm 时,菱形风筝的面积最大,最大面积是 450cm 2。 【考点】二次函数的应用,菱形的性质,二次函数的最值。 【分析】 (1)根据菱形的面积等于对角线乘积的一半,即可得出 S 与 x 之间的函数关系式。 (2)把二次函数化为顶点式,根据二次函数的最值原理,即可求出。 7.(黑龙江大庆 7 分)某商店购进一批单价为 8 元的商品,如果按每件 10 元出售,那么每天可销售 100 件.经过调查发现,这种商品的销售单价每提高 1 元,其销售量相应减少 10 件.将销售价定为多少时, 才能使每天所获利润最大?最大利润是多少? 【答案】解:设销售单价定为 x 元( x ? 10 ) ,每天所获利润为 y 元, 则 y ? [100 ? 10( x ? 10)] ? ( x ? 8) ? ?10 x2 ? 280 x ? 1600 ? ?10( x ? 14)2 ? 360 ∴将销售定价定为 14 元时,每天所获利润最大,且最大利润是 360 元。 【考点】二次函数的应用。 【分析】根据题意列出二次函数,将函数化为顶点式,便可知当 x =14 时,所获得的利润最大。 8.(黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西 6 分)已知:二次函数 y ? 对称轴为直线 x =1,且经过点(2,- (1)求此二次函数的解析式. (2)设该图象与 x 轴交于 B、C 两点(B 点在 C 点的左侧) ,请在此二次函数 x 轴下方的图象上确定一点 E,使△EBC 的面积最大,并求出最大面积. 注:二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 的对称轴是直线 x =- 【答案】解: (1)由二次函数 y ?

3 2 x ? bx ? c ,其图象 4

9 ) . 4

b . 2a

3 2 9 x ? bx ? c 的图象对称轴为直线 x =1,且经过点(2,- )得 4 4

? b 3 ? ?? 3 ? 1 ?b ? ? 2 3 3 9 ? 2? ? ,解得, ? 。∴此二次函数的解析式为 y ? x 2 ? x ? 。 4 ? 4 2 4 ? ?c ? ? 9 9 ? ?3 ? 2b ? c ? ? 4 ? 4 ?
(2)∵由

3 2 3 9 x ? x ? ? 0 得 x 1=-1, x 2=3。 4 2 4

∴B(-1,0) ,C(3,0) 。∴BC=4。 又∵E 点在 x 轴下方,且△EBC 面积最大, ∴E 点是抛物线的顶点,其坐标为(1,-3) 。 ∴△EBC 的最大面积=

1 ? 4?3 ? 6 。 2

【考点】二次函数综合题,二次函数上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质。 【分析】 (1)利用二次函数上点的坐标与方程的关系将点(2,- 直线 x =1,得二元一次方程组,即可求得。 (2)利用二次函数与 x 轴相交即 y =0,求出即可,再利用 E 点在 x 轴下方,且 E 为顶点坐标时△EBC 面积最大,求出即可。 9. (湖南长沙 10 分)使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如,对于函数 y ? x ? 1 ,令 y =0, 可得 x =1,我们就说 1 是函数 y ? x ? 1 的零点。 己知函数 y ? x 2 ? 2mx ? 2(m ? 3) ( m 为常数)。 (1)当 m =0 时,求该函数的零点; (2)证明:无论 m 取何值,该函数总有两个零点; (3)设函数的两个零点分别为 x1 和 x2 ,且

9 ) )代入二次函数解析式和对称轴为 4

1 1 1 ? ? ? ,此时函数图象与 x 轴的交点分别为 A、B(点 A x1 x2 4

在点 B 左侧),点 M 在直线 y ? x ? 10 上,当 MA+MB 最小时,求直线 AM 的函数解析式。 【答案】解: (1)当 m =0 时,该函数为 y ? x 2 ? 6 ,令 y =0,可得 x ? ? 6 , ∴当 m =0 时,求该函数的零点为 6 和 ? 6 。 (2)令 y =0,得△= (?2m)2 ? 4[?2(m ? 3)] ? 4(m ? 1)2 ? 20 ? 0 , ∴无论 m 取何值,方程 y ? x 2 ? 2mx ? 2(m ? 3) 总有两个不相等的实数根。 即无论 m 取何值,该函数总有两个零点。 (3)依题意有 x1 ? x2 ? 2m , x1 x2 ? ?2(m ? 3) 由

?2 ? m ? 3? 1 1 1 1 x ?x 1 ? ? ? 得 1 2 ? ? ,即 ? ? ,解得 m ? 1。 x1 x2 4 x1 x2 4 2m 4

∴函数的解析式为 y ? x 2 ? 2 x ? 8 。 令 y =0,解得 x1 ? ?2,x2 ? 4 。 ∵点 A 在点 B 左侧,∴A( ?2 , ),B(4,0)。 0 作点 B 关于直线 y ? x ? 10 的对称点 B’,连结 AB’, 则 AB’与直线 y ? x ? 10 的交点就是满足条件的 M 点。 易求得直线 y ? x ? 10 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 C(10,0) ,D(0,10) 。 连结 CB’,则∠BCD=45° ,∴BC=CB’=6,∠B’CD=∠BCD=45° 。 ∴∠BCB’=90°,即 B’( 10 , 6 ) - 。

设直线 AB’的解析式为 y ? kx ? b ,则

??2k ? b ? 0 1 ,解得 k ? ? ,b ? ?1 ? 2 ?10k ? b ? ?6

1 1 ∴直线 AB’的解析式为 y ? ? x ? 1 ,即 AM 的解析式为 y ? ? x ? 1 。 2 2
【考点】二次函数综合题,解一元二次方程,一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,等量代换,对 称的性质,线段垂直平分线的性质,待定系数法,曲线上的点与方程的关系,解二元一次方程组。 【分析】 (1)根据题中给出的函数的零点的定义,将 m =0 代入 y ? x 2 ? 2mx ? 2(m ? 3) ,然后令 y =0 即可 解得函数的零点; (2)令 y =0,函数变为一元二次方程,要想证明方程有两个解,只需证明△>0 即可。 (3)根据题中条件求出函数解析式从而求得 A、B 两点坐标,作点 B 关于直线 y ? x ? 10 的对称点 B′, 连接 AB′,求出点 B′的坐标,应用待定系数法即可求得当 MA+MB 最小时,直线 AM 的函数解析式。 10. 湖南永州 10 分) ( 如图, 已知二次函数 y ? ? x 2 ? bx ? c 的图象经过 A ?2 ,?1 ) ( , B(0,7)两点. ⑴求该抛物线的解析式及对称轴; ⑵当 x 为何值时, y ? 0 ? ⑶在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l ,与抛物线交于 C,D 两点(点 C 在对称轴的左 侧) ,过点 C,D 作 x 轴的垂线,垂足分别为 F,E.当矩形 CDEF 为正方形时,求 C 点的坐标. 【答案】解: (1)把 A(-2,-1) ,B(0,7)两点的坐标代入 y ? ? x 2 ? bx ? c ,

??4 ? 2b ? c ? ?1 ?b ? 2 得? , 解得 ? 。∴该抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? 2 x ? 7 。 c?7 c?7 ? ?
又∵ y ? ? x 2 ? 2 x ? 7 ? ? ? x ? 1? ? 8 ,所以对称轴为直线 x ? 1 。
2

(2)当函数值 y ? 0 时, ? x2 ? 2 x ? 7 ? 0 的解为 x ? 1 ? 2 2 。 ∴结合图象,容易知道 1 ? 2 2 < x < 1 ? 2 2 时, y > 0 。 (3)当矩形 CDEF 为正方形时,设 C 点的坐标为(m,n) , 则 n ? ?m2 ? 2m ? 7 ,即 CF ? ?m2 ? 2m ? 7 。 ∵C,D 两点的纵坐标相等,所以 C,D 两点关于对称轴 x ? 1 对称,设点 D 的横坐标为 p , 则 1 ? m ? p ? 1 ,∴ p ? 2 ? m ,∴CD= (2 ? m) ? m ? 2 ? 2m 。 ∵CD=CF,∴ 2 ? 2m ? ?m2 ? 2m ? 7 ,整理,得 m2 ? 4m ? 5 ? 0 ,解得 m ? ?1 或 5。

∵点 C 在对称轴的左侧,∴ m 只能取-1。 当 m ? ?1 时, n ? ?m2 ? 2m ? 7 ? ?(?1)2 ? 2 ? (?1) ? 7 ? 4 , ∴点 C 的坐标为(-1,4) 。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,解一元二次方程,正 方形的性质,对称的性质。 【分析】 (1)根据点在抛物线上,点的坐标满足方程的关系,求二次函数解析式,再用配方法或公式法求 出对称轴即可。 (2)求出二次函数与 x 轴交点坐标即可,再利用函数图象得出 x 取值范围; (3)利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案。 11.(江苏常州、镇江 7 分)某商店以 6 元/千克的价格购进某种干果 1140 千克,并对其进行筛选分成甲级 干果与乙级干果后同时开始销售。这批干果销售结束后,店主从销售统计中发出:甲级干果与乙级干果在 销售过程中每天都有销量,且在同一天卖完;甲级干果从开始销售至销售的第 x 天的总销量 y1 (千克)与

x 的关系为 y1 ? ? x 2 ? 40 x ;乙级干果从开始销售至销售的第 t天的总销量 y2 (千克)与 t的关系为
y2 ? at2 ? bt,且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表:

t
y2

1 21

2 44

3 69

⑴求 a b的值; 、 ⑵若甲级干果与乙级干果分别以 8 元/千克的 6 元/千克的零售价出售,则卖完这批干果获得的毛利润是多 少元? ⑶问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克? (说明:毛利润=销售总金额-进货总金额。这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计) 【答案】解:⑴选取表中任两组 t , y2 数据,代入 y2 ? at 2 ? bt ,得

? a ? b ? 21 , 解得, a=1 b=20 。 , ? ? 4a ? 2b ? 44
⑵设甲级干果与乙级干果 m 天销完这批货。

则有 ?m2 ? 4m ? m2 ? 20m=1140,解得m ? 19 , 当 m ? 19时, y1 ? 39, y2 ? 741 毛利润=399× 8+741× 6-1140× 6=798(元) ⑶第 n 天甲级干果的销售量为

第n天的总销量-第n ? 1天的总销量= ? - n 2 ? 40n ? ? ? ? ? n ? 1? ? 40 ? n ? 1? ? ? ?2n ? 41 , ? ?
2

第 n 天乙级干果的销售量为
2 第n天的总销量-第n ? 1天的总销量= ? n 2 ? 20n ? ? ?? n ? 1? ? 20 ? n ? 1? ? ? 2n ? 19 。 ? ?

依题意有 ? 2n ? 19 ? ? ? ?2n ? 41? ? 6 ? n ? 7 。 答:从第 7 天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多 6 千克。 【考点】二次函数的应用,解二元一次方程组和一元一次不等式,待定系数法。 【分析】⑴用待定系数法得二元一次方程组直接求解。 ⑵列方程解应用题。关键是找出等量关系:

m 天甲级干果销量+ m 天乙级干果销量=总销量

? ?m

2

? 4m ?

?

?m

2

? 20m ?

? 1140

⑶关键在表示第 n 天干果的销售量,然后列不等式求解。 12. 江苏徐州 8 分) ( 某网店以每件 60 元的价格进一批商品, 若以单价 80 元销售,每月可售出 300 件, 调查 表明:单价每上涨 1 元,该商品每月的销量就减少 10 件。 (1)请写出每月销售该商品的利润 y (元)与单价上涨 x (元)间的函数关系式; (2)单价定为多少元时,每月销售该商品的利润最大?最大利润为多少? 【答案】 (1) 解: 每月销售该商品的利润 y (元) 与单价上涨 x (元) 间的函数关系式为 y = ? 10 x2 ? 100 x ? 6000 。
2 2 (2)∵ y = ? 10 x ? 100 x ? 6000= ? 10 x ? 10 x ? 25 ? 6250= ? 10 ? x ? 5 ? ? 6250 2

?

?

∴ 当 x=5 时,即单价定为 85 元时,每月销售该商品的利润最大,最大利润为 6250 元。 【考点】列二次函数关系式,二次函数的顶点式,求二次函数的最大(小)值。 【分析】 (1)关键是找出等量关系:利润=收入—成本,即

利润 ?

销量 ? 单价 -

销量

? 进价

y = ? 300 ? 10 x ?? 8 ? x ? ? ? 300 ? 10 x ? ? 60 ? ?10 x 2 ? 100 x ? 6000
(2) 根据二次函数的最大 (小) 值的概念, 二次函数 y =a ? x ? b ? ? c ,对于a < 0 , 当x ? b 时,
2

故只要通过配方法把 y = ? 10 x 2 ? 100 x ? 6000 化为 y = ? 10 ? x ? 5 ? ? 6250 即可。 y 有最大值 c 。
2

13. (山东济南 9 分)如图,在矩形 OABC 中,点 O 为原点,点 A 的坐标为(0,8),点 C 的 坐标为(6,

0).抛物线 y = ?

4 2 x ? bx ? c 经过点 A、C,与 AB 交于点 D. 9

(1)求抛物线的函数解析式; (2)点 P 为线段 BC 上一个动点(不与点 C 重合),点 Q 为线段 AC 上一个动点,AQ=CP,连接 PQ,设 CP=m,△CPQ 的面积为 S. ①求 S 关于 m 的函数表达式;

4 2 x ? bx ? c 的对称轴 l 上,若存在点 F,使△DFQ 为直角三角形, 9 请直接写出所有符合条件的点 F 的坐标;若不存在,请说明理由. ..
②当 S 最大时,在抛物线 y = ?

【答案】解:(1)由点 A、C 在抛物线 y = ?

4 2 x ? bx ? c 上,得 9

?8=c ? ,解之,得 4 2 ? ?0= ? 9 ? 6 ? 6b ? c ?
∴抛物线的函数解析式为 y = ? (2) ①作 QE⊥X 轴于 E,QF⊥Y 轴于 F。 ∵OC=6,OA=8,∴AC=10。 由△AFQ∽△AOE,有

? 4 ?b = ? 3。 ?c =8 ?

4 2 4 x ? x ? 8。 9 3

FQ AQ 3 ? , ? FQ ? m 。 OC AC 5

3 3 ∴EC=OC-OE=OC-FQ=6- m ? ?10 ? m ? 。 5 5
∴S ?

1 1 3 3 PC ? EC ? m ? ?10 ? m ? ? ? m2 ? 3m ? 0 < m ? 8? 。 2 2 5 10 3 3 3 1 3 1 , ),( ,8 ),( ,6+ 4 7 )或( ,67 )。 2 2 2 2 2 2

②存在。坐标为(

【考点】二次函数的性质和应用,点的坐标与方程的关系,相似三角形的判定和性质,直 角三角形的判定,勾股定理的逆定理。 【分析】(1)根据点在抛物线上,点的坐标满足方程的关系,可求出抛物线的函数解析式。 (2)①把△CPQ 的高表示成 m 的函数即可求出 S 关于 m 的函数表达式。 ②∵ S ? ?

3 2 3 15 2 m ? 3m ? ? ? m ? 5? ? 10 10 2

∴当 m=5 时,S 最大。此时点 Q 的坐标为(3,4)。(这一点同①用相似三角形可证) 又∵点 D 在抛物线 y = ? ∴有 8= ?

4 2 4 x ? x ? 8 上, 9 3

4 2 4 x ? x ? 8 ,解之可得点 D 横坐标 3。 9 3

∴当 S 最大时,点 D 和点 Q 在直线 x =3 上。

4 4 4? 3? 又∵ y = ? x 2 ? x ? 8= ? ? x ? ? ? 9 , 9 3 9? 2?
∴抛物线 y = ?

2

4 2 4 3 x ? x ? 8 对称轴 l 为 x = 。 9 3 2

∴如果 DQ 是直角边,则当点 F 的纵坐标与点 D 或点 Q 在同一水平线,即 y =8或y ? 4 时,△DFQ 为直角 三角形。此时点 F 的坐标为(

3 3 , )或( ,8 )。 4 2 2

如果 DQ 是斜边,则当点 F 的坐标满足 FD2 ? FQ2 ? DQ2 时,△DFQ 为直角三角形。

3? 265 3 2 ? 设点 F 的坐标为( ,k )则 DQ2=16, FD 2 ? ? 3 ? ? ? ? 8 ? k ? ? k 2 ? 16k ? , 2? 4 2 ? 3? 73 2 ? FQ ? ? 3 ? ? ? ? k ? 4 ? ? k 2 ? 8k ? 。 2? 4 ?
2 2

2

∴ k 2 ? 16k ?

265 73 1 ? k 2 ? 8k ? ? 16 ,即 4k 2 ? 48k ? 137 ? 0 ,解之,得 k ? 6 ? 7。 4 4 2

3 1 3 1 ∴此时点 F 的坐标为( ,6+ 7 )或( ,67 )。 2 2 2 2
综上所述,对称轴 l 上,使△DFQ 为直角三角形的点 F 的坐标为: (

3 3 3 1 3 1 , 。 , ),( ,8 )( ,6+ 4 7 )或( ,67) 2 2 2 2 2 2

14. (山东潍坊 10 分)2010 年上半年,某种农产品受不良炒作的影响,价格一路上扬. 8 月初国家实施调 控措施后,该农产品的价格开始回落. 已知 1 月份至 7 月份,该农产品的月平均价格 y 元/千克与月份 x 呈 一次函数关系;7 月份至 12 月份,月平均价格 y 元/千克与月份 x 满足二次函数关系式 y ? ax 2 ? bx ? c . 其 中 1 月、7 月、9 月和 12 月这四个月的月平均价格分别为 8 元/千克、26 元/千克、14 元/千克、11 元/千克. (1)分别求出当 1≤ x ≤7 和 7≤ x ≤12 时, y 关于 x 的函数关系式; (2)2010 年 1 月至 12 月中,这种农产品的月平均价格哪个月最低?最低为多少? (3)若以 12 个月份的月平均价格的平均数为年平均价格,月平均价格高于年平均价格的月份有哪些? 【答案】解: (1)当 1≤ x ≤7 时,设 y ? kx ? b

?k ? b ? 8 ?k ? 3 将点(1,8)(7,26)分别代入 y ? kx ? b 得: ? 、 ,解之得, ? 。 ?7 k ? b ? 26 ?b ? 5
∴函数的解析式为: y ? 3x ? 5 。

当 7≤ x ≤12 时,将点(7,26)(9,14)(12,11)代入 y ? ax 2 ? bx ? c 得: 、 、

?49a ? 7b ? c ? 26 ?a ? 1 ? ? ?81a ? 9b ? c ? 14 ,解之得, ?b ? ?22 。 ?144a ? 12b ? c ? 11 ?c ? 131 ? ?
∴函数的解析式为 y ? x 2 ? 22 x ? 131 。 (2)当 1≤ x ≤7 时, y ? 3x ? 5 为增函数,∴当 x =1 时, y 有最小值 8。 当 7≤ x ≤12 时, y ? x 2 ? 22 x ? 131 ? ? x ? 11? ? 10 ,∴当 x =11 时, y 有最小值 10。
2

∴该农产品月平均价格最低的是 1 月,最低为 8 元/千克。 (3)∵1 至 7 月份的月平均价格呈一次函数,∴ x =4 时的月平均价格 17 是前 7 个月的平均值。 将 x =8 和 x =10 分别代入 y ? x 2 ? 22 x ? 131 得 y =19 和 y =11。 ∴后 5 个月的月平均价格分别为 19、14、11、10、11。 ∴年平均价格为

17 ? 7 +19 +14 +11+10 +11 ≈15.3(元/千克) 。 12

又当 x =3 时, y =14<15.3, ∴4,5,6,7,8 这五个月的月平均价格高于年平均价格。 【考点】一、二次函数的应用(销售问题) ,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,一、二次函数 的性质,加权平均数。 【分析】 (1)根据自变量的不同取值范围内不同的函数关系设出不同的函数的解析式,利用待定系数法求 得函数的解析式即可。 (2)根据一次函数的增减性和二次函数的最值确定该农产品的最低月份和最低价格即可。 (3)分别计算 5 个月的平均价格和年平均价格,比较得到结论即可。 15. (山东泰安 10 分)某商店经营一种小商品,进价为每件 20 元,据市场分析,在一个月内,售价定为 25 元时,可卖出 105 件,而售价每上涨 1 元,就少卖 5 件. (1)当售价定为 30 元时,一个月可获利多少元? (2)当售价定为每件多少元时,一个月的获利最大?最大利润是多少元? 【答案】解: (1)获利: (30-20)[105-5(30-25)]=800。 (2)设售价为每件 x 元时,一个月的获利为 y 元, 由题意,得 y =( x -20)[105-5( x -25)]=-5 x 2+330 x -4600=-5( x -33)2+845。 ∵-5<0,∴当 x =33 时, y 的最大值为 845。 故当售价定为 33 元时,一个月的利润最大,最大利润是 845 元。 【考点】二次函数的应用(销售问题) 。 【分析】 (1)当售价定为 30 元时,可知每一件赚 10 元钱,再有售价定为 25 元时,可卖出 105 件,而售

价每上涨 1 元,就少卖 5 件.可计算出一个月可获利多少元。 (2)设售价为每件 x 元时,一个月的获利为 y 元,得到 y 与 x 的二次函数关系式求出函数的最大值即可。 16.(山东青岛 10 分)某商场经营某种品牌的童装,购进时的单价是 60 元.根据市场调查,在一段时间 内,销售单价是 80 元时,销售量是 200 件,而销售单价每降低 1 元,就可多售出 20 件. (1)写出销售量 y 件与销售单价 x 元之间的函数关系式; (2)写出销售该品牌童装获得的利润 w 元与销售单价 x 元之间的函数关系式; (3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于 76 元,且商场要完成不少于 240 件的销售任务,则商场 销售该品牌童装获得的最大利润是多少? 【答案】解:(1)由题意,得: y =200+(80- x )· 20=-20 x +1800, ∴销售量 y 件与销售单价 x 元之间的函数关系式为: y =-20 x +1800。 (2) 由题意,得: w =( x -60) (-20 x +1800)=-20 x 2+3000 x -108000, ∴利润 w 元与销售单价 x 元之间的函数关系式为: w =-20 x 2+3000 x -108000。 (3) 由题意,得: ?

? ?20 x ? 1800 ? 240 ,解得 76≤ x ≤78。 ? x ? 76
3000 =75,又a ? ?20 < 0 , 2 ? ? ?2 ?

对于 w =-20 x 2+3000 x -108000,对称轴为 x = ? ∴当 76≤ x ≤78 时, w 随 x 增大而减小。

∴当 x =76 时, wmax =(76-60) (-20× 76+1800)=4480。 ∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是 4480 元。 【考点】列一次、二次函数关系式,二次函数的性质。 【分析】(1) (2)根据已知条件,直接得出结果。 (3)根据已知条件,求出 x 的取值范围,然后根据二次函数的性质求出函数的最大值。 17.(广东佛山 10 分)商场对某种商品进行市场调查,1 至 6 月份该种商品的销售情况如下:[来源:Z_ ①销售成本 p (元/千克)与销售月份 x 的关系如图所示 :

3 ②销售收入 q (元/千克)与销售月份 x 满足 q ? ? x ? 15 ; 2
③销售量 m (千克)与销售月份 x 满足 m ? 100x ? 200 ; 试解决以下问题: (1) (2) 根据图形,求 p 与 x 之间的函数关系式; 求该种商品每月的销售利润 y (元)与销售月份 x 的函数关系式,并求出哪个月的

销售利润最大? 【答案】解: (1)根据图形,知 p 与 x 之间的函数关系是一次函数关系,

故设为 p=kx ? b ,并有

?9=k ? b ?k = ? 1 ,解之得 ? ? ?4=6k ? b ?b=10



故 p 与 x 之间的函数关系式为 p = ? x ? 10 。

?? 3 ? ? (2)依题意,月销售利润 y = ? q ? p ? m= ?? ? x ? 15 ? ? ? ? x ? 10 ? ? ?100 x ? 200 ? , ? ?? 2 ?
化简,得 y = ? 50 x 2 ? 400 x ? 1000= ? 50 ? x ? 4 ? ? 1800 。
2

所以 4 月份的销售利润最大。 【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系,待定系数法,解二元一次方 程组,列二次函数关系式,二次函数最大值。 【分析】 (1)根据点(1,9)(6,4)在一次函数 p=kx ? b 的图象上,点 , 的坐标满足方程的关系,将(1,9)(6,4)代入 p=kx ? b 即可求出 k,b , , 从而求得一次函数的解析式。 (2)根据“销售利润=(单位销售收入—单位销售成本)×销售量” 这一等量关系列出该种商品每月的销售利润 y (元)与销售月份 x 的函数关系式。然后利用二次函数最大 值求法求出求出哪个月的销售利润最大。 18..(广东广州 14 分)已知关于 x 的二次函数 y=ax 2 ? bx ? c ? a ? 0 ? 的图象经过点 C(0,1) ,且与 x 轴 交于不同的两点 A、B,点 A 的坐标是(1,0) (1)求 c 的值; (2)求 a 的取值范围; (3)该二次函数的图象与直线 y =1 交于 C、D 两点,设 A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相交 于点 P,记△PCD 的面积为 S1,△PAB 的面积为 S2,当 0< a <1 时,求证:S1﹣S2 为常数,并求出该常 数. 【答案】解: (1)把 C(0,1)代入二次函数 y=ax 2 ? bx ? c 得:1=0+0+ c ,解得: c =1。 ∴ c 的值是 1。 (2)由(1)二次函数为 y=ax 2 ? bx ? 1 ,把 A(1,0)代入得:0= a + b +1, ∴ b =-1- a 。 ∵二次函数为 y=ax 2 ? bx ? 1 与 x 轴有两个交点,

= ∴ 一元一次方程 ax 2 ? bx ? 1 0 根的判别式?>0,即

? ?1 ? a ?2 ? 4a =a 2 ? 2a ? 1=? a ? 1?2 >0,
∴ a ≠1 且 a >0。 ∴ a 的取值范围是 a ≠1 且 a >0。 (3)证明:∵0< a <1, ∴B 在 A 的右边,设 A(1,0) ,B( xb ,0) , ∵ ax 2 ? ? ?1 ? a ? x ? 1=0 由根与系数的关系得:1+ xb = ∴AB=

1? a 1 ,∴ xb= 。 a a

1 1? a 。 ? 1= a a

把 y =1 代入二次函数得: ax 2 ? ? ?1 ? a ? x ? 1=1解得: x 1=0, x 2=错误!未找到引用 源。 , ∴CD=错误!未找到引用源。 。 过 P 作 MN⊥CD 于 M,交 x 轴于 N,则 MN⊥ x 轴, ∵CD∥AB,∴△CPD∽△BPA。

1? a PM CD PN 1? a 1? a ? = ,? = a 。 PN= ? ,PM= 。 PN AB 1 ? PN 1 ? a 2 2 a

1 1 1 1? a 1? a 1 1? a 1? a ∴ S1 ? S2= CD ? PM ? AB ? PN= ? ? ? ? ? = 。 1 2 2 2 a 2 2 a 2
即不论 a 为何值,S1-S2 的值都是常数。这个常数是 1。 【考点】二次函数综合题,解一元一次方程,解二元一次方程组,根的判别式,根与系数的关系,二次函 数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式,相似三角形的判定和性质。 【分析】 (1)把 C(0,1)代入抛物线即可求出 c 。

= (2)把 A(1,0 )代入得到 0= a + b +1,推出 b =-1- a ,求出方程 ax 2 ? bx ? 1 0 的?的值
即可。 (3)设 A(1,0) ,B( xb ,0) ,由根与系数的关系求出 AB 错误!未找到引用源。 ,把 y =1 代 入抛物线得到方程 ax 2 ? ? ?1 ? a ? x ? 1=1,求出方程的解,进一步求出 CD 过 P 作 MN⊥CD 于 M,交 x 轴 于 N,根据△CPD∽△BPA,求出 PN、PM 的长,根据三角形的面积公式即可求出 S1-S2 的值即可。 19. (江西省 B 卷 10 分)已知:抛物线 y ? a( x ? 2)2 ? b (ab ? 0) 的顶点为 A,与 x 轴的交点为 B,C (点 B 在点 C 的左侧). (1)直接写出抛物线对称轴方程; (2)若抛物线经过原点,且△ABC 为直角三角形,求 a , b 的值;

(3)若 D 为抛物线对称轴上一点,则以 A,B,C,D 为顶点的四边形能否为正方形?若能,请写出 a ,

b 满足的关系式;若不能,说明理由.
【答案】解: (1)抛物线对称轴方程: x ? 2 。 (2)设直线 x ? 2 与 x 轴交于点 E,则 E(2,0) 。 ∵抛物线经过原点,∴B(0,0),C(4,0)。 ∵△ABC为直角三角形,根据抛物线的对称性可知AB=AC, ∴AE=BE=EC。∴A(2,-2)或(2,2)。 当抛物线的顶点为A(2,-2))时, y ? a ? x ? 2 ? ? 2 ,把(0,0)代入,得: a ?
2

1 ,此时, b ? ?2 。 2

1 2 当抛物线的顶点为A(2,2)时, y ? a ? x ? 2 ? ? 2 ,把(0,0)代入,得: a ? ? ,此时, b ? 2 。 2 1 1 ∴ a ? , b ? ?2 或 a ? ? , b ? 2 。 2 2
(3)依题意,B、C关于点E中心对称,当A,D也关于点E对称,且BE=AE时, 四边形ABDC是 正方形。 ∵ A ? 0, b ? , ∴ AE ? b 。∴ B ? 2 ? b , 0 ? 。 把 B ? 2 ? b , 0 ? 代入 y ? a( x ? 2)2 ? b ,得 ab2 ? b ? 0 , ∵ b ? 0 ,∴ ab ? ?1 。 【考点】抛物线的对称性,曲线上点的坐标与方程的关系,正方形的性质。 【分析】 (1)根据 y ? a( x ? 2)2 ? b 直接得出答案。

y A O B E C x

(2)根据直线 x ? 2 与 x 轴交于点 E,则 E(2,0) ,以及抛物线经过原点,得出 B(0,0) ,C(4,0) , 从而求出 AE=BE=EC,当抛物线的顶点为 A(2,﹣2)或 A(2,2)时求出即可。 (3)根据 B、C 关于点 E 中心对称,当 A,D 也关于点 E 对称,且 BE=AE 时,四边形 ABDC 是正方形, 即可求出。 20.( 湖 北 武 汉 10 分 ) 星 光 中 学 课 外 活 动 小 组 准 备 围 建 一 个 矩 形 生 物 苗 圃 园 .其 中 一 边 靠 墙 , 另 外 三 边 用 长 为 30 米 的 篱 笆 围 成 .已 知 墙 长 为 18 米 ( 如 图 所 示 ) 设 这 个 苗 圃 园 垂 , 直于墙的一边的长为 x米.

( 1) 若 平 行 于 墙 的 一 边 的 长 为 y 米 , 直 接 写 出 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 及 其 自 变 量 x 的 取值范围;

( 2) 垂 直 于 墙 的 一 边 的 长 为 多 少 米 时 , 这 个 苗 圃 园 的 面 积 最 大 , 并 求 出 这 个 最 大 值 ; ( 3) 当 这 个 苗 圃 园 的 面 积 不 小 于 88 平 方 米 时 , 试 结 合 函 数 图 像 , 直 接 写 出 x 的 取 值 范 围. 【答案】解 : 1) y =30- 2 x (6 ≤ x <15)。 ( ( 2) 设 矩 形 苗 圃 园 的 面 积 为 S, 则 S= x y = x (30- 2 x )=- 2 x 2 + 30 x , ∴ S=- 2( x - 7.5) 2 + 112 . 5。 由 ( 1) 知 , 6≤ x <15, ∴ 当 x =7.5 时 ,S 最 大 值 = 112.5。 即 当 矩 形 苗 圃 园 垂 直 于 墙 的 边 长 为 7.5 米 时 , 这 个 苗 圃 园 的 面 积 最 大 , 最 大 值 为 112.5。 ( 3) 6≤ x ≤11。 【考点】二 次 函 数 的 应 用 ( 几 何 问 题 ) 。 【分析】 1) 据 题 意 即 可 求 得 y 与 x 的 函 数 关 系 式 为 y =30- 2 x 与 自 变 量 x 的 ( 根 取 值 范 围 为 6≤ x < 15。 ( 2) 设 矩 形 苗 圃 园 的 面 积 为 S, 由 S= x y , 即 可 求 得 S 与 x 的 函 数 关 系 式 , 根 据 二 次 函 数的最值问题,即可求得这个苗圃园的面积最大值。 ( 3) 根 据 题 意 得 - 2 ( x - 7.5) 2 + 112.5≥88 , 根 据 图 象 , 即 可 求 得 x 的 取 值 范 围 。 21.(湖北荆州 10 分)2011 年长江中下游地区发生了特大旱情,为抗旱保丰收,某地政府制定了农户投 资购买抗旱设备的补贴办法, 其中购买Ⅰ型、 Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示 的函数对应关系.? 型号 金额 投资金额 x (万元) 补贴金额 y (万元) Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 5 2

x
y1 ? k x ( k ? 0)

x
y 2 ? ax 2 ? bx ( a ? 0)

2 2.4

4 3.2

(1)分别求 y1 和 y 2 的函数解析式;? (2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资 10 万元购买,请你设计一个能获得最大补贴金额的方 案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额.

2 2 , ∴ y1 ? x 。 5 5 4a ? 2b ? 2.4, 1 2 8 ? 1 8 ②? ∴ a ? ? , b ? . ∴ y2 ? ? x ? x 。 5 5 5 5 ?16a ? 4b ? 3.2,
【答案】解: (1)由题意得:①5 k =2, k = (2)设购Ⅱ型设备投资 t 万元,购Ⅰ型设备投资(10-t)万元,共获补贴 Q 万元。? ∴ y1 ?

1 8 2 2 (10 ? t ) ? 4 ? t , y 2 ? ? t 2 ? t 5 5 5 5

∴ Q ? y1 ? y2 ? 4 ? ∵?

2 1 2 8 1 6 1 29 。 t ? t ? t ? ? t 2 ? t ? 4 ? ? (t ? 3) 2 ? 5 5 5 5 5 5 5

29 1 <0,∴Q 有最大值,即当 t ? 3 时,Q 最大= 。 5 5

∴ 10 ? t ? 7 (万元) 。 即投资 7 万元购Ⅰ型设备, 3 万元购Ⅱ型设备,共获最大补贴 5.8 万元。 【考点】二次函数的应用,曲线图上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值。 【分析】 (1)根据图表得出函数上点的坐标,利用待定系数法求出函数解析式即可。 (2)根据 Q ? y1 ? y2 得出关于 x 的二次函数,求出二次函数最值即可。 22.(湖北黄冈、鄂州 12 分随州 14 分)我市某镇的一种特产由于运输原因,长期只能在当地销售.当地 政府对该特产的销售投资收益为:每投入 x 万元,可获得利润 P= ?

1 2 .当地政府 ? x ? 60? ? 41 (万元) 100

拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售,其规划方案为:在规划前后对该项目每年最多可投人 100 万元的销售投资,在实施规划 5 年的前两年中,每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路,两 年修成,通车前该特产只能在当地销售;公路通车后的 3 年中,该特产既在本地销售,也在外地销售.在 外地销售的投资收益为:每投入 x 万元,可获利润 Q= ?

99 294 2 . ?100 ? x ? ? ?100 ? x ? ? 160 (万元) 100 5

(1)若不进行开发,求 5 年所获利润的最大值是多少? (2)若按规划实施,求 5 年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少? (3)根据(1)(2) 、 ,该方案是否具有实施价值? 【答案】解: (1)∵每投入 x 万元,可获得利润 P= ? ∴当 x =60 时,所获利润最大,最大值为 41 万元。 ∴若不进行开发,5 年所获利润的最大值是:41× 5=205(万元) 。 (2)前两年:0≤ x ≤50,此时因为 P 随 x 的增大而增大, 所以 x =50 时,P 值最大, 即这两年的获利最大为:2× ? [

1 2 , ? x ? 60? ? 41 (万元) 100

1 2 。 ? 50 ? 60? ? 41 ]=80(万元) 100

后三年:设每年获利 y ,设当地投资额为 x ,则外地投资额为 100- x , ∴ y =P+Q=[ ?
2

1 99 294 2 x ? 160 ] ? x ? 60? ? 41 ]+[ ? x2 ? 100 100 5
2

=﹣ x +60 x +165=﹣( x ﹣30) +1065。 ∴当 x =30 时,y 最大且为 1065。 ∴这三年的获利最大为 1065× 3=3195(万元) 。 ∴5 年所获利润(扣除修路后)的最大值是:80+3495﹣50× 2=3175(万元) 。 (3)规划后 5 年总利润为 3175 万元,不实施规划方案仅为 205 万元,故具有很大的实施价值。 【考点】二次函数的应用(销售问题) 。

【分析】 (1)由可获得利润 P= ?

1 2 ,即可知当 x =60 时,P 最大,最大值为 41, ? x ? 60? ? 41 (万元) 100

继而求得 5 年所获利润的最大值; (2)首先求得前两年的获利最大值,注意前两年:0≤ x ≤50,此时因为 P 随 x 的增大而增大,所以 x =50 时,P 值最大;然后后三年:设每年获利 y,设每年获利 y ,设当地投资额为 x ,则外地投资额为 100- x , 即可得函数 y =P+Q=[ ?

1 99 294 2 x ? 160 ],整理求解即可求得最大值,则可 ? x ? 60? ? 41 ]+[ ? x2 ? 100 100 5

求得按规划实施,5 年所获利润(扣除修路后)的最大值。 (3)比较可知,该方案是具有极大的实施价值。 23.(湖北荆门 10 分)2011 年长江中下游地区发生了特大旱情,为抗旱保丰收,某地政府制定了农户投 资购买抗旱设备的补贴办法, 其中购买Ⅰ型、 Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示 的函数对应关系.? 型号 金额 投资金额 x (万元) 补贴金额 y (万元) Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 5 2

x
y1 ? k x ( k ? 0)

x
y 2 ? ax 2 ? bx ( a ? 0)

2 2.4

4 3.2

(1)分别求 y1 和 y 2 的函数解析式;? (2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资 10 万元购买,请你设计一个能获得最大补贴金额的方 案,并求出按此方案能获得的最大补贴金额.

2 2 , ∴ y1 ? x 。 5 5 1 2 8 ? 4a ? 2b ? 2.4, 1 8 ②? ∴ a ? ? , b ? . ∴ y2 ? ? x ? x 。 16a ? 4b ? 3.2, 5 5 5 5 ?
【答案】解: (1)由题意得:①5 k =2, k = (2)设购Ⅱ型设备投资 t 万元,购Ⅰ型设备投资(10-t)万元,共获补贴 Q 万元。? ∴ y1 ?

1 8 2 2 (10 ? t ) ? 4 ? t , y 2 ? ? t 2 ? t 5 5 5 5 2 1 2 8 1 6 1 29 。 t ? t ? t ? ? t 2 ? t ? 4 ? ? (t ? 3) 2 ? 5 5 5 5 5 5 5

∴ Q ? y1 ? y2 ? 4 ? ∵?

29 1 <0,∴Q 有最大值,即当 t ? 3 时,Q 最大= 。 5 5

∴ 10 ? t ? 7 (万元) 。 即投资 7 万元购Ⅰ型设备, 3 万元购Ⅱ型设备,共获最大补贴 5.8 万元。 【考点】二次函数的应用,曲线图上点的坐标与方程的关系,二次函数的最值。 【分析】 (1)根据图表得出函数上点的坐标,利用待定系数法求出函数解析式即可。 (2)根据 Q ? y1 ? y2 得出关于 x 的二次函数,求出二次函数最值即可。

24.(湖北咸宁 9 分)某农机服务站销售一批柴油,平均每天可售出 20 桶,每桶盈利 40 元.为了支援我 市抗旱救灾,农机服务站决定采取降价措施.经市场调研发现:如果每桶柴油降价 1 元,农机服务站平均 每天可多售出 2 桶. (1)假设每桶柴油降价 x 元,每天销售这种柴油所获利润为 y 元,求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)每桶柴油降价多少元后出售,农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润?此时,与降价前比较, 每天销售这种柴油可多获利多少元? 【答案】解: (1) y ? (40 ? x)(20 ? 2x) ? ?2 x 2 ? 60x ? 800 。 (2)∵ y ? ?2 x ? 60 x ? 800 ? ?2( x ? 15) ? 1250 .
2 2

∴当 x ? 15 时, y 有最大值 1250. 因此,每桶柴油降价 15 元后出售,可获得最大利润。 ∵ 1250 ? 40 ? 20 ? 450 , ∴与降价前比较,每天销售这种柴油可多获利 450 元。 【考点】二次函数的应用。 【分析】 (1)根据每桶柴油的利润乘以销售量等于销售利润,可以得到 y 与 x 的函数关系式。 (2)根据二次函数的性质,用顶点式表示二次函数,可以求出最大利用和降价数。 25. (四川成都 8 分)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃,苗圃的一边靠围墙(墙的 长度不限) ,另三边用木栏围成,建成的苗圃为如图所示的长方形
A 围墙 D

ABCD.已知木栏总长为 120 米,设 AB 边的长为 x 米,长方形 ABCD 的 面积为 S 平方米. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围) .当 x 为何值时,S 取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值; (2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等
B O1 O2

C

圆,其圆心分别为 O1 和 O2,且 O1 到 AB、BC、AD 的距离与 O2 到 CD、BC、AD 的距离都相等,并要 求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够 0.5 米宽的平直路面,以方便同学们参观学习.当(l)中 S 取得最值时,请问这个设计是否可行?若可行,求出圆的半径;若不可行,请说明理由. 【答案】解: (1)∵AB=x,∴BC=120﹣2x。 ∴S=x(120﹣2x)=﹣2x2+120x。 ∴当 x= ?

120 0 ? 1202 ? 1800 。 ? 30 时,S 有最大值为 4 ? ? ?2 ? 2 ? ? ?2 ?

(2)设圆的半径为 r,路面宽为 a,

?4r ? 2a ? 60 ?r ? 15 根据题意得: ? ,解得: ? 。 ?2r ? 2a ? 30 ?a ? 0
∵路面宽至少要留够 0.5 米宽,∴这个设计不可行。 【考点】二次函数的应用,相切两圆的性质。 【分析】 (1)表示出 BC 的长 120﹣2x,由矩形的面积公式得出答案。

(2)设出圆的半径和药材种植区外四中平面路面的宽,利用题目中的等量关系列出二元一次方程组,求 得半径和路面宽,当路面宽满足题目要求时,方案可行,否则不行。 26.(辽宁盘锦 10 分)如图,二次函数 y=ax2+bx 的图象经过 A(1,-1)、B(4,0)两点. (1)求这个二次函数解析式; (2)点 M 为坐标平面内一点,若以点 O、A、B、M 为顶点的四边形是平行四边形,请直接 写出点 M 的坐标. 【答案】解:(1)∵ 二次函数 y=ax2+bx 的图象经过 A(1,-1)、B(4,0)两点,

?a ? b= ? 1 ∴ ? ?16a ? 4b=0

? 1 ?a= 3 1 4 ? ,解得 ? 。∴ 二次函数的解析式为 y= x2- x。 3 3 ? b= ? 4 ? 3 ?

(2)M1(3,1)、M2(-3,-1)、M3(5,-1)。 【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,平行四边形的判定,点的对称,坐标平移的性质。 【分析】(1) 由二次函数的图象经过 A、B 两点,根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将 A、B 两点代入二次函数表达式即可求解。 (2)若 AB 是平行四边形的对角线,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定,只要求 出点 A(1,-1)关于 OB 中点(2,0)的对称点 M1(2+1,-(-1) )即(1,3) ,得到的四边形 OAB M1 即是平行四边形。 若 AB 是平行四边形的边,根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定,只要将点 A(1, -1)向左或右平移 OA=4 个单位得 M2(-3,-1)、M3(5,-1),得到的四边形 OM2AB 和 OA M3B 即 是平行四边形。 综上所述,以点 O、A、B、M 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 为 M1(3,1)、M2(-3,-1)、M3(5,-1)。 27.(辽宁盘锦 12 分) 如图,在一个矩形空地 ABC D 上修建一个矩形花坛 AMPQ,要求点 M 在 AB 上, 点 Q 在 AD 上,点 P 在对角线 BD 上.若 AB=6m,AD=4m,设 AM 的长为 xm, 矩形 AMPQ 的面积为 S 平方米 . (1)求 S 与 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,S 有最大值?请求出最大值. 【答案】解:(1)∵ 四边形 AMPQ 是矩形,∴ PQ=AM=x。 DQ PQ ∵ AB,∴ PQD∽ BAD。∴ = 。 PQ∥ △ △ DA BA 2 2 ∵ AB=6,AD=4,∴ DQ= x。∴ AQ=4- x。 3 3 2 2 ∴ S=AQ· AM=?4-3x?x=- x2+4x(0<x<6) ? ? 3 2 2 2 (2)∵ S=- x2+4x=- (x-3)2+6,又- <0, 3 3 3 ∴ 有最大值。 S

∴ x=3 时,S 的最大值为 6。 当 答:当 AM 的长为 3 米时,矩形 AMPQ 的面积最大;最大面积为 6 平方米。 【考点】二次函数的应用,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,二次函数的最值。 DQ PQ 【分析】(1)由△PQD∽△BAD 得 = ,把 AQ 用 x 不表示,即可求出 S 与 x 的函数关系式。 DA BA (2)把函数关系式化为顶点式,根据二次函数的最值原理即可求出答案。 28.(云南曲靖 9 分)一名男生推铅球,铅球行进高度 y (单位:m)与水平距离 x (单位:m)之间的关 系是 y ? ?

1 2 2 5 x ? x ? ,铅球运行路线如图。 12 3 3

(1)求铅球推出的水平距离; (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到 4m。 【答案】解: (1)由 y =0,得 ?

1 2 2 5 x ? x ? =0 ,解之,得 12 3 3

。 x1 =10,x2 = ? 2 (不合题意,舍去) ∴铅球推出的水平距离是 10m。 (2)∵ y = ?

1 2 2 5 1 2 x ? x ? = ? ? x ? 4? ? 3 , 12 3 3 12

∴函数的最大值为 3m。 ∴铅球行进高度不能达到 4m。 【考点】二次函数点的坐标和性质。 【分析】 (1)根据点 A 在 x 轴上, y =0 即可求。 (2)根据二次函数最大值的求法,比较 4m 和函数的最大值的关系即可得出结论。 29.(贵州贵阳 10 分)如图所示,二次函数 y=﹣x2+2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A(3,0) , 另一个交点为 B,且与 y 轴交于点 C. (1)求 m 的值; (2)求点 B 的坐标; (3)该二次函数图象上有一点 D(x,y) (其中 x>0,y>0) 使 S△ABD=S△ABC,求点 D 的坐 标. 【答案】解: (1)∵二次函数 y=﹣x2+2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A(3,0) , ∴﹣9+2× 3+m=0,解得:m=3。 (2)由 m=3 得,二次函数的解析式为:y=﹣x2+2x+3。 当 y=0 时,﹣x2+2x+3=0, 解得:x=3 或 x=﹣1, ∴B(﹣1,0) 。

(3)过点 D 作 DE⊥AB, ∵当 x=0 时,y=3,∴C(3,0) 。 若 S△ABD=S△ABC, ∵D(x,y) (其中 x>0,y>0) ,则可得 OC=DE=3。 ∴当 y=3 时,﹣x2+2x+3=3,解得:x=0 或 x=2, ∴点 D 的坐标为(2,3) 。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】 (1)由二次函数 y=﹣x2+2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A(3,0) ,利用待定系数法将点 A 的 坐标代入函数解析式即可求得 m 的值。 (2)根据(1)求得二次函数的解析式,然后将 y=0 代入函数解析式,即可求得点 B 的坐标。 (3)根据(2)中的函数解析式求得点 C 的坐标,由二次函数图象上有一点 D(x,y) (其中 x>0,y>0) , 可得点 D 在第一象限,又由 S△ABD=S△ABC,可知点 D 与点 C 的纵坐标相等,代入函数的解析式即可求得 点 D 的坐标。 30.(福建三明 12 分)如图,抛物线 y=ax2﹣4ax+c(a≠0)经过 A(0,﹣1) ,B(5,0)两点,点 P 是抛 物线上的一个动点,且位于直线 AB 的下方(不与 A,B 重合) ,过点 P 作直线 PQ⊥x 轴,交 AB 于点 Q, 设点 P 的横坐标为 m. (1)求 a,c 的值; (2)设 PQ 的长为 S,求 S 与 m 的函数关系式,写出 m 的取值范围; (3)以 PQ 为直径的圆与抛物线的对称轴 l 有哪些位置关系?并写出 对应的 m 取值范围. (不必写过程) 【答案】解: (1)∵抛物线 y=ax2-4ax+c 过 A(0,-1) ,B(5,0) ,

?a=1 ? ?c=-1 ∴? ,解得:? 5 。 ?25a-20a+c=0 ? ?c=-1
1 (2)∵直线 AB 经过 A(0,-1) ,B(5,0) ,∴直线 AB 的解析式为 y= x -1。 5 1 4 由(1)知抛物线的解析式为:y= x2- x-1。 5 5 ∵点 P 的横坐标为 m,点 P 在抛物线上,点 Q 在直线 AB 上,PQ⊥x 轴, 1 4 1 ∴P(m, m 2- m-1) ,Q(m, m -1) 。 5 5 5 1 1 4 ∴S=PQ=( m -1)-( m 2- m-1) 。 5 5 5 1 即 S=- m 2+m(0<m<5) 。 5 (3)抛物线的对称轴 l 为:x=2。

以 PQ 为直径的圆与抛物线的对称轴 l 的位置关系有:相离、相切、相交三种关系。 15- 145 -5+ 105 相离时:0<m< 或 <m<5; 2 2 相切时:m= 15- 145 -5+ 105 m= ; 2 2

15- 145 -5+ 105 相交时: <m< 。 2 2 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组,直线与圆的 位置关系。 【分析】 (1)利用待定系数法把点 A、B 的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可。 (2)先求出直线 AB 的解析式,然后分别求出点 P 与点 Q 的坐标,则 PQ 的长度 S 就等于点 Q 的纵坐标 减去点 P 的纵坐标,然后整理即可。 (3)根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况,又点 P 可以在对称轴左边也可以在对称 轴右边,进行讨论列式求解即可。

2012 年全国各地中考数学真题分类汇编 第 13 章 二次函数
一.选择题 1. (2012 菏泽)已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图像如图所示,那么一次函数 y ? bx ? c 和反比例函数

y?

a 在同一平面直角坐标系中的图像大致是( x



A.

B.

C.

D.

考点:二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象。 解答:解:∵二次函数图象开口向下, ∴a<0, ∵对称轴 x=﹣ <0,

∴b<0, ∵二次函数图象经过坐标原点,

∴c=0, ∴一次函数 y=bx+c 过第二四象限且经过原点,反比例函数 y ? 纵观各选项,只有 C 选项符合.

a 位于第二四象限, x

2. (2012?烟台)已知二次函数 y=2(x﹣3) +1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为 直线 x=﹣3;③其图象顶点坐标为(3,﹣1) ;④当 x<3 时,y 随 x 的增大而减小.则其中说法正确的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 考点:二次函数的性质。 专题:常规题型。 分析:结合二次函数解析式,根据函数的性质对各小题分析判断解答即可. 解答:解:①∵2>0,∴图象的开口向上,故本小题错误; ②图象的对称轴为直线 x=3,故本小题错误; ③其图象顶点坐标为(3,1) ,故本小题错误; ④当 x<3 时,y 随 x 的增大而减小,正确; 综上所述,说法正确的有④共 1 个. 故选 A. 点评:本题考查了二次函数的性质,主要考查了函数图象的开口方向,对称轴解析式,顶点坐标,以及函 数的增减性,都是基本性质,熟练掌握性质是解题的关键.

2

3. (2012?广州)将二次函数 y=x 的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函数的解析式为( 2 2 2 2 A.y=x ﹣1 B.y=x +1 C.y=(x﹣1) D.y=( x+1)

2



考点:二次函数图象与几何变换。 专题:探究型。 分析:直接根据上加下减的原则进行解答即可. 解答:解:由“上加下减”的原则可知,将二次函数 y=x2 的图象向下平移一个单位,则平移以后的二次函 2 数的解析式为:y=x ﹣1. 故选 A. 点评:本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键. 4. (2012 泰安)将抛物线 y ? 3 x 向上平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位,那么得到的抛物线的解析式
2

为(


2

A. y ? 3( x ? 2) ? 3

B. y ? 3( x ? 2) ? 3
2

C. y ? 3( x ? 2) ? 3
2

D. y ? 3( x ? 2) ? 3
2

考点:二次函数图象与几何变换。 解答:解:由“上加下减”的原则可知,将抛物线 y ? 3 x 向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为:
2

y ? 3x 2 ? 3 ;

由“左加右减”的原则可知,将抛物线 y ? 3x ? 3 向左平移 2 个单位所得抛物线的解析式为:
2

y ? 3( x ? 2)2 ? 3 .
故选 A. 5. (2012 泰安) 二次函数 y ? ax ? bx 的图象如图, 若一元二次方程 ax ? bx ? m ? 0 有实数根, m 的 则
2

2

最大值为(



A. ?3 B.3 C. ?6 D.9 考点:抛物线与 x 轴的交点。 解答:解:∵抛物线的开口向上,顶点纵坐标为﹣3, ∴a>0.

?b 2 ? ?3 ,即 b2 ? 12a , 4a
2

∵一元二次方程 ax ? bx ? m ? 0 有实数根, ∴△= b ? 4am ? 0 ,即 12a ? 4am ? 0 ,即 12 ? 4m ? 0 ,解得 m ? 3 ,
2

∴m 的最大值为 3. 故选 B.

6. (2012 泰安)二次函数 y ? a( x ? m) ? n 的图象如图,则一次函数 y ? mx ? n 的图象经过(
2



A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限

D.第一、三、四象

限 考点:二次函数的图象;一次函数的性质。 解答:解:∵抛物线的顶点在第四象限, ∴﹣m>0,n<0, ∴m<0, ∴一次函数 y ? mx ? n 的图象经过二、三、四象限, 故选 C.

7. (2012 泰安)设 A (?2,y1 ) ,B (1 y2 ) ,C (2,y3 ) 是抛物线 y ? ?( x ? 1) ? a 上的三点,则 y1 , y2 , ,
2

y3 的大小关系为(
A. y1 ? y2 ? y3

) B. y1 ? y3 ? y2 C. y3 ? y2 ? y1 D. y3 ? y1 ? y2

考点:二次函数图象上点的坐标特征。 解答:解:∵函数的解析式是 y ? ?( x ? 1) ? a ,如右图,
2

∴对称轴是 x ? ?1 , ∴点 A 关于对称轴的点 A′是(0,y1) , 那么点 A′、B、C 都在对称轴的右边,而对称轴右边 y 随 x 的增大而减小, 于是 y1 ? y2 ? y3 . 故选 A.

8. (2012?乐山)二次函数 y=ax +bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(﹣1,0) .设 t=a+b+1, 则 t 值的变化范围是( ) A.0<t<1 B.0<t<2 C.1<t<2 D.﹣1<t<1 考点:二次函数图象与系数的关系。 2 分析:由二次函数的解析式可知, x=1 时, 当 所对应的函数值 y=t=a+b+1. (﹣1, 代入 y=ax +bx+1, 把点 0) a﹣b+1=0,然后根据顶点在第一象限,可以画出草图并判断出 a 与 b 的符号,进而求出 t=a+b+1 的 变化范围. 解答:解:∵二次函数 y=ax2+bx+1 的顶点在第一象限, 且经过点(﹣1,0) , ∴易得:a﹣b+1=0,a<0,b>0, 由 a=b﹣1<0 得到 b<1,结合上面 b>0,所以 0<b<1①, 由 b=a+1>0 得到 a>﹣1,结合上面 a<0,所以﹣1<a<0②, ∴由①②得:﹣1<a+b<1,且 c=1, 得到 0<a+b+1<2, ∴0<t<2. 故选:B.

2

9. (2012?衢州)已知二次函数 y=﹣ x ﹣7x+

2

,若自变量 x 分别取 x1,x2,x3,且 0<x1<x2<x3,则

对应的函数值 y1,y2,y3 的大小关系正确的是( ) A.y1>y2>y3 B.y1<y2<y3 C.y2>y3>y1

D.y2<y3<y1

考点:二次函数图象上点的坐标特征。 分析:根据 x1、x2、x3 与对称轴的大小关系,判断 y1、y2、y3 的大小关系. 解答: 2 解:∵二次函数 y=﹣ x ﹣7x+ , ∴此函数的对称轴为:x=﹣ =﹣ =﹣7,

∵0<x1<x2<x3,三点都在对称轴右侧,a<0, ∴对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小, ∴y1>y2>y3. 故选:A. 点评:此题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性,利用二次函数的增减性解题时,利用对称轴得 出是解题关键. 2 10. (2012 义乌市)如图,已知抛物线 y1=﹣2x +2,直线 y2=2x+2,当 x 任取一值时,x 对应的函数值分 别为 y1、y2.若 y1≠y2,取 y1、y2 中的较小值记为 M;若 y1=y2,记 M=y1=y2.例如:当 x=1 时,y1=0, y2=4,y1<y2,此时 M=0.下列判断: ①当 x>0 时,y1>y2; ②当 x<0 时,x 值越大,M 值越小; ③使得 M 大于 2 的 x 值不存在; ④使得 M=1 的 x 值是 其中正确的是( ) 或 .

A.①② B.①④ 考点:二次函数综合题。

C.②③

D.③④

解答:解:∵①当 x>0 时,利用函数图象可以得出 y2>y1;∴此选项错误; 2 ∵抛物线 y1=﹣2x +2,直线 y2=2x+2,当 x 任取一值时,x 对应的函数值分别为 y1、y2.若 y1≠y2,取 y1、 y2 中的较小值记为 M; ∴②当 x<0 时,根据函数图象可以得出 x 值越大,M 值越大;∴此选项错误; 2 2 ∵抛物线 y1=﹣2x +2,直线 y2=2x+2,与 y 轴交点坐标为: (0,2) ,当 x=0 时,M=2,抛物线 y1=﹣2x +2, 最大值为 2,故 M 大于 2 的 x 值不存在; ∴③使得 M 大于 2 的 x 值不存在,此选项正确; ∵使得 M=1 时,可能是 y1=﹣2x +2=1,解得:x1= 当 y2=2x+2=1,解得:x=﹣ , 由图象可得出:当 x=
2 2

,x2=﹣



>0,此时对应 y2=M,

∵抛物线 y1=﹣2x +2 与 x 轴交点坐标为: (1,0)(﹣1,0) , ,

∴当﹣1<x<0,此时对应 y1=M, 故 M=1 时,x1= ,x=﹣ , 或 .此选项正确;

故④使得 M=1 的 x 值是 故正确的有:③④. 故选:D.

11. (2012?杭州)已知抛物线 y=k(x+1) (x﹣ )与 x 轴交于点 A,B,与 y 轴交于点 C,则能使△ ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 考点:抛物线与 x 轴的交点。 分析:根据抛物线的解析式可得 C(0,3) ,再表示出抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,再根据 ABC 是 等腰三角形分三种情况讨论,求得 k 的值,即可求出答案. 解答:解:根据题意,得 C(0,﹣3) . 令 y=0,则 k(x+1) (x﹣ )=0, x=﹣1 或 x= , 设 A 点的坐标为(﹣1,0) ,则 B( ,0) , ①当 AC=BC 时, OA=OB=1, B 点的坐标为(1,0) , =1, k=3; ②当 AC=AB 时,点 B 在点 A 的右面时, ∵AC= = ,

则 AB=AC= , B 点的坐标为( ﹣1,0) , = k= ﹣1, ;

③当 AC=AB 时,点 B 在点 A 的左面时, B 点的坐标为( ,0) , = k= , ;

所以能使△ ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是 3 条; 故选 B. 点评:此题考查了抛物线与 x 轴的交点,此题要能够根据解析式分别求得抛物线与坐标轴的交点,结合等 腰三角形的性质和勾股定理列出关于 k 的方程进行求解是解题的关键.

12.(2012?扬州)将抛物线 y=x2+1 先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位,那么所得抛物线的函数 关系式是( ) A. y=(x+2)2+2 B. y=(x+2)2-2 C. y=(x-2)2+2 D. y=(x-2)2-2 考点: 二次函数图象与几何变换。 分析: 直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答即可. 解答: 解:将抛物线 y=x2+1 先向左平移 2 个单位所得抛物线的函数关系式是:y=(x+2)2+1; 将抛物线 y=(x+2)2+1 先向下平移 3 个单位所得抛物线的函数关系式是:y=(x+2)2+1-3,即 y=(x+2)2-2. 故选 B. 点评: 本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键. 13.2012?资阳) ( 如图是二次函数 y=ax +bx+c 的部分图象, 由图象可知不等式 ax +bx+c<0 的解集是 (
2 2



A. ﹣1<x<5

B. x>5

C. x<﹣1 且 x>5

D. x<﹣1 或 x>5

考点: 二次函数与不等式(组) 。 2 分析: 利用二次函数的对称性,可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标,结合图象可得出 ax +bx+c<0 的 解集. 解答: 解:由图象得:对称轴是 x=2,其中一个点的坐标为(5,0) , ∴图象与 x 轴的另一个交点坐标为(﹣1,0) . 利用图象可知: ax +bx+c<0 的解集即是 y<0 的解集, ∴x<﹣1 或 x>5. 故选:D. 点评: 此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况,很好地利用数形结合,题目非常典 型. 14. (2012?德阳)在同一平面直角坐标系内,将函数 y=2x +4x+1 的图象沿 x 轴方向向右平移 2 个单位长 度后再沿 y 轴向下平移 1 个单位长度,得到图象的顶点坐标是( ) A. (﹣1,1) B. (1,﹣2) C. (2,﹣2) D. (1,﹣1) 考点: 二次函数图象与几何变换。 分析: 易得原抛物线的顶点坐标,根据横坐标与纵坐标“左加右减”可得到平移后的顶点坐标. 解答: 解:∵y=2x2+4x+1=2(x2+2x)+1=2[(x+1)2﹣1]+1=2(x+1)2﹣1, ∴原抛物线的顶点坐标为(﹣1,﹣1) , 2 ∵将二次函数 y=2(x+1) ﹣1,的图象沿 x 轴方向向右平移 2 个单位长度后再沿 y 轴向下平移 1 个单位长度, 2 2 ∴y=2(x+1﹣2) ﹣1﹣1=2(x﹣1) ﹣2, 故得到图象的顶点坐标是(1,﹣2) . 故选:B.
2 2

点评: 此题考查了二次函数的平移问题;用到的知识点为:二次函数的平移,看顶点的平移即可;上下 平移只改变顶点的纵坐标,上加下减.

15. (2012?德阳)设二次函数 y=x +bx+c,当 x≤1 时,总有 y≥0,当 1≤x≤3 时,总有 y≤0,那么 c 的取值 范围是( ) c≥3 1≤c≤3 c≤3 c=3 A. B. C. D. 考点: 二次函数的性质。 分析: 因为当 x≤1 时,总有 y≥0,当 1≤x≤3 时,总有 y≤0,所以函数图象过(1,0)点,即 1+b+c=0①, 有题意可知当 x=3 时,y=9+3b+c≤0②,所以①②联立即可求出 c 的取值范围. 解答: 解:∵当 x≤1 时,总有 y≥0,当 1≤x≤3 时,总有 y≤0, ∴函数图象过(1,0)点,即 1+b+c=0①, ∵当 1≤x≤3 时,总有 y≤0, ∴当 x=3 时,y=9+3b+c≤0②, ①②联立解得:c≥3, 故选 B. 点评: 本题考查了二次函数的增减性,解题的关键是有给出的条件得到抛物线过(1,0) ,再代入函数的 解析式得到一次项系数和常数项的关系. 16. (2012?兰州)抛物线 y=-2x2+1 的对称轴是( ) A. B. C.y 轴 直线 直线

2

D. 直线 x=2

考点: 二次函数的性质。 分析: 已知抛物线解析式为顶点式,可直接写出顶点坐标及对称轴. 解答: 解:∵抛物线 y=-2x2+1 的顶点坐标为(0,1), ∴对称轴是直线 x=0(y 轴), 故选 C. 点评: 主要考查了求抛物线的顶点坐标与对称轴的方法.

17. (2012 张家界)当 a≠0 时,函数 y=ax+1 与函数 y= 在同一坐标系中的图象可能是(



A.

B.

C

D

考点:反比例函数的图象;一次函数的图象。

解答:解:当 a>0 时,y=ax+1 过一.二.三象限,y= 过一.三象限; 当 a<0 时,y=ax+1 过一.二.四象限,y= 过二.四象限; 故选 C.

18. (2012 宜宾)给出定义:设一条直线与一条抛物线只有一个公共点,只这条直线与这条抛物线的对称 轴不平行,就称直线与抛物线相切,这条直线是抛物线的切线.有下列命题: ①直线 y=0 是抛物线 y= x 的切线 ②直线 x=﹣2 与抛物线 y= x 相切于点(﹣2,1) ③直线 y=x+b 与抛物线 y= x 相切,则相切于点(2,1) ④若直线 y=kx﹣2 与抛物线 y= x 相切,则实数 k= 其中正确命题的是( ) A. ①②④ 考点:二次函数的性质;根的判别式。
2 2 2 2

B. ①③

C. ②③

D. ①③④

解答:解:①∵直线 y=0 是 x 轴,抛物线 y= x 的顶点在 x 轴上,∴直线 y=0 是抛物线 y= x 的切线, 故本小题正确; ②∵抛物线 y= x 的顶点在 x 轴上,开口向上,直线 x=2 与 y 轴平行,∴直线 x=﹣2 与抛物线 y= x 相 交,故本小题错误; ③∵直线 y=x+b 与抛物线 y= x 相切,∴ x ﹣4x﹣b=0,∴△=16+4b=0,解得 b=﹣4,把 b=﹣4 代入 x
2 2 2 2 2 2

2

2

﹣4x﹣b=0 得 x=2,把 x=2 代入抛物线解析式可知 y=1,∴直线 y=x+b 与抛物线 y= x 相切,则相切于点 (2,1) ,故本小题正确; ④∵直线 y=kx﹣2 与抛物线 y= x 相切,∴ x =kx﹣2,即 x ﹣kx+2=0,△ =k ﹣2=0,解得 k=± 故本小题错误. 故选 B.
2 2 2 2



19. (2012 潜江)已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图所示,它与 x 轴的两个交点分别为(﹣1,0)(3, , 0) .对于下列命题:①b﹣2a=0;②abc<0;③a﹣2b+4c<0;④8a+c>0.其中正确的有( )

2

A. 个 3

B. 个 2

C. 个 1

D. 个 0

考点: 二次函数图象与系数的关系。 分析: 首先根据二次函数图象开口方向可得 a>0,根据图象与 y 轴交点可得 c<0,再根据二次函数的对 称轴 x=﹣ ,结合图象与 x 轴的交点可得对称轴为 x=1,结合对称轴公式可判断出①的正误;根

据对称轴公式结合 a 的取值可判定出 b>0, 根据 a、 c 的正负即可判断出②的正误; b、 利用 b﹣2a=0

时,求出 a﹣2b+4c<0,再利用当 x=4 时,y>0,则 16a+4b+c>0,由①知,b=﹣2a,得出 8a+c >0. 解答: 解:根据图象可得:a>0,c>0, 对称轴:x=﹣ >0,

①∵它与 x 轴的两个交点分别为(﹣1,0)(3,0) , , ∴对称轴是 x=1, ∴﹣ =1,

∴b+2a=0, 故①错误; ②∵a>0, ∴b<0, ∴abc<0,故②正确; ③a﹣2b+4c<0; ∵b+2a=0, ∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c, ∵a﹣b+c=0, ∴4a﹣4b+4c=0, ∴﹣4b+4c=﹣4a, ∵a>0, ∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a<0, 故此选项正确; ④根据图示知,当 x=4 时,y>0, ∴16a+4b+c>0, 由①知,b=﹣2a, ∴8a+c>0; 故④正确; 故正确为:①②③三个. 故选:A. 点评: 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系,关键是熟练掌握①二次项系数 a 决定抛物线的开口 方向,当 a>0 时,抛物线向上开口;当 a<0 时,抛物线向下开口;②一次项系数 b 和二次项系 数 a 共同决定对称轴的位置: a 与 b 同号时 当 (即 ab>0) 对称轴在 y 轴左; 当 a 与 b 异号时 , (即 ab<0) ,对称轴在 y 轴右. (简称:左同右异)③常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点,抛物线与 y 轴 交于(0,c) .

二.填空题 1. (2012 绍兴)教练对小明推铅球的录像进行技术分析,发现铅球行进高度 y(m)与水平距离 x(m) 之间的关系为 y ? ?

1 ( x ? 4)2 ? 3 ,由此可知铅球推出的距离是 12

m。

考点:二次函数的应用。

解答:解:令函数式 y ? ?

1 ( x ? 4)2 ? 3 中, y ? 0 , 12

?

1 ( x ? 4)2 ? 3 ? 0 , 12

解得 x1 ? 10 , x2 ? ?2 (舍去) , 即铅球推出的距离是 10m。 故答案为:10。 2.(2012?扬州)如图,线段 AB 的长为 2,C 为 AB 上一个动点,分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧作两 个等腰直角三角形△ACD 和△BCE,那么 DE 长的最小值是 1 .

考点: 二次函数的最值;等腰直角三角形。 专题: 计算题。 分析: 设 AC=x,则 BC=2-x,然后分别表示出 DC、EC,继而在 RT△DCE 中,利用勾股定理求出 DE 的表达式,利用函数的知识进行解答即可. 解答: 解:如图,连接 DE. 设 AC=x,则 BC=2-x, ∵△ACD 和△BCE 分别是等腰直角三角形, ∴∠DCA=45° ,∠ECB=45° ,DC= ∴∠DCE=90° , 故 DE2=DC2+CE2= x2+ (2-x)2=x2-2x+2=(x-1)2+1, 当 x=1 时,DE2 取得最小值,DE 也取得最小值,最小值为 1. 故答案为:1. ,CE= (2-x),

点评: 此题考查了二次函数最值及等腰直角三角形,难度不大,关键是表示出 DC、CE,得出 DE 的表达 式,还要求我们掌握配方法求二次函数最值. 3. (2012 无锡)若抛物线 y=ax +bx+c 的顶点是 A(2,1) ,且经过点 B(1,0) ,则抛物线的函数关系式 2 为 y=﹣x +4x﹣3 . 考点:待定系数法求二次函数解析式。 专题:计算题。 2 分析:设抛物线的解析式为 y=a(x﹣2) +1,将点 B(1,0)代入解析式即可求出 a 的值,从而得到二 次函数解析式. 2 解答:解:设抛物线的解析式为 y=a(x﹣2) +1, 2 将 B(1,0)代入 y=a(x﹣2) +1 得, a=﹣1, 2 函数解析式为 y=﹣(x﹣2) +1, 2 展开得 y=﹣x +4x﹣3.
2

故答案为 y=﹣x +4x﹣3. 点评:本题考查了待定系数法求函数解析式,知道二次函数的顶点式是解题的关键,要注意,最后结果要 化为一般式.
2

2

4. (2012 广安)如图,把抛物线 y= x 平移得到抛物线 m,抛物线 m 经过点 A(﹣6,0)和原点 O(0, 0) ,它的顶点为 P,它的对称轴与抛物线 y= x 交于点 Q,则图中阴影部分的面积为
2



考点: 二次函数图象与几何变换。 分析: 根据点 O 与点 A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴,然后求出点 P 的坐标,过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M,根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形 NPMO 的面积,然后求解即可. 解答: 解:过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M, ∵抛物线平移后经过原点 O 和点 A(﹣6,0) , ∴平移后的抛物线对称轴为 x=﹣3, 得出二次函数解析式为:y= (x+3) +h, 将(﹣6,0)代入得出: 0= (﹣6+3) +h, 解得:h=﹣ , ∴点 P 的坐标是(3,﹣ ) , 根据抛物线的对称性可知,阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积, ∴S=3×|﹣ |= 故答案为: . .
2 2

点评: 本题考查了二次函数的问题,根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式,并对 阴影部分的面积进行转换是解题的关键.

5. (2012 苏州)已知点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)在二次函数 y=(x﹣1) +1 的图象上,若 x1>x2>1, 则 y1 > y2(填“>”、“<”或“=”) . 考点: 二次函数图象上点的坐标特征。 分析: 先根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴,再判断出两点的位置及函数的增减性,进而可 得出结论. 解答: 解:由二次函数 y=(x﹣1)2+1 可,其对称轴为 x=1, ∵x1>x2>1, ∴两点均在对称轴的右侧, ∵此函数图象开口向上, ∴在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大, ∵x1>x2>1, ∴y1>y2. 故答案为:>. 点评: 本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点,根据题意判断出 A、B 两点的位置是解答此题的关 键. 6. (2012 深圳)二次函数 y ? x ? 2 x ? 6 的最小值是
2

2



.[来源:学。科。网]

【答案】5。 【考点】二次函数的性质。 【分析】∵ y ? x 2 ? 2 x ? 6= ? x ? 1? +5 ,∴当 x=1 时,函数有最小值 5。
2

三.解答题 【1.2012 临沂】http://www.21cnjy.com/ 26.如图,点 A 在 x 轴上,OA=4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置. (1)求点 B 的坐标; (2)求经过点 A.O、B 的抛物线的解析式; (3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在, 求点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

考点:二次函数综合题;分类讨论。 解答:解: (1)如图,过 B 点作 BC⊥x 轴,垂足为 C,则∠BCO=90°, ∵∠AOB=120°, ∴∠BOC=60°, 又∵OA=OB=4,

∴OC= OB= ×4=2,BC=OB?sin60°=4× ∴点 B 的坐标为(﹣2,﹣2 ) ; (2)∵抛物线过原点 O 和点 A.B, ∴可设抛物线解析式为 y=ax +bx, 将 A(4,0) ,B(﹣2.﹣2 )代入,得 ,
2

=2



解得



∴此抛物线的解析式为 y=﹣

x+

2

x

(3)存在, 如图,抛物线的对称轴是 x=2,直线 x=2 与 x 轴的交点为 D,设点 P 的坐标为(2,y) , ①若 OB=OP, (21 世纪教育网版权所有) 2 2 2 则 2 +|y| =4 , 解得 y=±2 , 当 y=2 时,在 Rt△ POD 中,∠PDO=90°,sin∠POD= = ,

∴∠POD=60°, ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°, 即 P、O、B 三点在同一直线上, ∴y=2 不符合题意,舍去, ∴点 P 的坐标为(2,﹣2 ) 2 2 2 ②若 OB=PB,则 4 +|y+2 | =4 , 解得 y=﹣2 , 故点 P 的坐标为(2,﹣2 ) , 2 2 2 2 ③若 OP=BP,则 2 +|y| =4 +|y+2 | , 解得 y=﹣2 , 故点 P 的坐标为(2,﹣2 ) , 综上所述,符合条件的点 P 只有一个,其坐标为(2,﹣2

) ,

【2.2012 菏泽】 21.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为 A(0,1) ,B(2,0) ,O(0,0) ,将此三 角板绕原点 O 逆时针旋转 90°,得到△ A′B′O. (1)一抛物线经过点 A′、B′、B,求该抛物线的解析式;

(2) 设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点, 是否存在点 P, 使四边形 PB′A′B 的面积是△ A′B′O 面积 4 倍?若存在,请求出 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)在(2)的条件下,试指出四边形 PB′A′B 是哪种形状的四边形?并写出四边形 PB′A′B 的两 条性质.

考点:二次函数综合题。 解答:解: (1)△A′B′O 是由△ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90°得到的, 又 A(0,1) ,B(2,0) ,O(0,0) , ∴A′(﹣1,0) ,B′(0,2) . 设抛物线的解析式为: y ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) , ∵抛物线经过点 A′、B′、B, ?0 ? a ? b ? c ?a ? ?1 ? ? ? ?2 ? c ,解之得 ?b ? 1 , ?0 ? 4a ? 2b ? c ?c ? 2 ? ?

?满足条件的抛物线的解析式为 y ? ? x 2 ? x ? 2 ..
(2)∵P 为第一象限内抛物线上的一动点, 设 P(x,y) ,则 x>0,y>0,P 点坐标满足 y ? ? x 2 ? x ? 2 . 连接 PB,PO,PB′, ? S四边形PB?A?B ? S?B?OA? ? S?PB?O ? S?POB

1 1 1 ? ?1 ? 2+ ? 2 ? x+ ? 2 ? y 2 2 2 2 ? x ? (? x ? x ? 2) ? 1 ? ? x 2 ? 2 x ? 3 . 假设四边形 PB?A?B 的面积是 ?A?B?O 面积的 4 倍,则 ? x2 ? 2 x ? 3 ? 4 , 即 x2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解之得 x ? 1 ,此时 y ? ?12 ? 1 ? 2 ? 2 ,即 P(1,2) .
∴存在点 P(1,2) ,使四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍. (3)四边形 PB′A′B 为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意 2 个均可. ①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等; ③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等. 或用符号表示: ①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②PA′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.

【3. 2012 义乌市】 24.如图 1,已知直线 y=kx 与抛物线 y= 交于点 A(3,6) .

(1)求直线 y=kx 的解析式和线段 OA 的长度; (2)点 P 为抛物线第一象限内的动点,过点 P 作直线 PM,交 x 轴于点 M(点 M、O 不重合) ,交直线 OA 于点 Q,再过点 Q 作直线 PM 的垂线,交 y 轴于点 N.试探究:线段 QM 与线段 QN 的长度之比是否 为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由; (3)如图 2,若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点,点 E 在线段 OA 上(与点 O、A 不重合) ,点 D(m, 0)是 x 轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m 在什么范围时,符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、2 个?

考点:二次函数综合题。 解答:解: (1)把点 A(3,6)代入 y=kx 得; ∵6=3k, ∴k=2, ∴y=2x. (2012 义乌市) OA= (2) .…(3 分) 是一个定值,理由如下:

如答图 1,过点 Q 作 QG⊥y 轴于点 G,QH⊥x 轴于点 H. ①当 QH 与 QM 重合时,显然 QG 与 QN 重合, 此时 ②当 QH 与 QM 不重合时, ;

∵QN⊥QM,QG⊥QH 不妨设点 H,G 分别在 x、y 轴的正半轴上, ∴∠MQH=∠GQN, 又∵∠QHM=∠QGN=90° ∴△QHM∽△QGN…(5 分) , ∴ , . …(7 分)①①

当点 P、Q 在抛物线和直线上不同位置时,同理可得

(3)如答图 2,延长 AB 交 x 轴于点 F,过点 F 作 FC⊥OA 于点 C,过点 A 作 AR⊥x 轴于点 R ∵∠AOD=∠BAE, ∴AF=OF, ∴OC=AC= OA= ∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC, ∴△AOR∽△FOC, ∴ ∴OF= ∴点 F( ,0) , ) , , ,

设点 B(x,

过点 B 作 BK⊥AR 于点 K,则△ AKB∽△ARF, ∴ ,

即 解得 x1=6,x2=3(舍去) , ∴点 B(6,2) , ∴BK=6﹣3=3,AK=6﹣2=4, ∴AB=5 …(8 分) ; (求 AB 也可采用下面的方法)



设直线 AF 为 y=kx+b(k≠0)把点 A(3,6) ,点 F( k= ∴ ,b=10, ,

,0)代入得







(舍去) ,



∴B(6,2) , ∴AB=5…(8 分) (其它方法求出 AB 的长酌情给分) 在△ ABE 与△ OED 中 ∵∠BAE=∠BED, ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB, ∴∠ABE=∠DEO, ∵∠BAE=∠EOD, ∴△ABE∽△OED.…(9 分) 设 OE=x,则 AE= 由△ ABE∽△OED 得 ∴ ∴ ∴顶点为( 如答图 3,当 当 ∴当 当 , ) 时,OE=x= ,此时 E 点有 1 个; ( )…(10 分) ﹣x ( , ) ,

时,任取一个 m 的值都对应着两个 x 值,此时 E 点有 2 个. 时,E 点只有 1 个…(11 分) 时,E 点有 2 个…(12 分) .

【4.2012?杭州】 2 22.在平面直角坐标系内,反比例函数和二次函数 y=k(x +x﹣1)的图象交于点 A(1,k)和点 B(﹣1, ﹣k) . (1)当 k=﹣2 时,求反比例函数的解析式; (2)要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大,求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围; (3)设二次函数的图象的顶点为 Q,当△ ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时,求 k 的值. 考点:二次函数综合题。 分析: (1)当 k=﹣2 时,即可求得点 A 的坐标,然后设反比例函数的解析式为:y= ,利用待定系数法 即可求得答案; 2 (2)由反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大,可得 k<0,又由二次函数 y=k(x +x ﹣1)的对称轴为 x=﹣ ,可得 x<﹣ 时,才能使得 y 随着 x 的增大而增大; (3)由△ ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形,A 点与 B 点关于原点对称,利用直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半,即可得 OQ=OA=OB,又由 Q(﹣ , k) ,A(1,k) ,即可得 = ,继而求得答案.

解答:解: (1)当 k=﹣2 时,A(1,﹣2) , ∵A 在反比例函数图象上, ∴设反比例函数的解析式为:y= , 代入 A(1,﹣2)得:﹣2= , 解得:m=﹣2, ∴反比例函数的解析式为:y=﹣ ;

(2)∵要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大, ∴k<0, ∵二次函数 y=k(x +x﹣1)=k(x+ ) ﹣ k,的对称轴为:直线 x=﹣ , 要使二次函数 y=k(x +x﹣1)满足上述条件,在 k<0 的情况下,x 必须在对称轴的左边, 即 x<﹣ 时,才能使得 y 随着 x 的增大而增大, ∴综上所述,k<0 且 x<﹣ ;
2 2 2

(3)由(2)可得:Q(﹣ , k) , ∵△ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形,A 点与 B 点关于原点对称, (如图是其中的一种情况) ∴原点 O 平分 AB, ∴OQ=OA=OB, 作 AD⊥OC,QC⊥OC, ∴OQ= ∵OA= ∴ 解得:k=± = . = = , , ,

点评:此题考查了二次函数的性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质等知识.此题综合性较强, 难度较大,注意掌握待定系数法求函数解析式,注意数形结合思想的应用.

【5.2012?烟台】 26.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(1,0) ,C(3,0) ,D(3,4) .以 A 2 为顶点的抛物线 y=ax +bx+c 过点 C.动点 P 从点 A 出发,沿线段 AB 向点 B 运动.同时动点 Q 从点 C 出发, 沿线段 CD 向点 D 运动. P, 的运动速度均为每秒 1 个单位. 点 Q 运动时间为 t 秒. 过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E. (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)过点 E 作 EF⊥AD 于 F,交抛物线于点 G,当 t 为何值时,△ ACG 的面积最大?最大值为多少? (3)在动点 P,Q 运动的过程中,当 t 为何值时,在矩形 ABCD 内(包括边界)存在点 H,使以 C,Q, E,H 为顶点的四边形为菱形?请直接写出 t 的值.

考点:二次函数综合题。 分析:(1)根据矩形的性质可以写出点 A 得到坐标;由顶点 A 的坐标可设该抛物线的顶点式方程为 y=a

(x﹣1) +4, 然后将点 C 的坐标代入, 即可求得系数 a 的值 (利用待定系数法求抛物线的解析式) ; (2)利用待定系数法求得直线 AC 的方程 y=﹣2x+6;由图形与坐标变换可以求得点 P 的坐标(1, 4﹣t) ,据此可以求得点 E 的纵坐标,将其代入直线 AC 方程可以求得点 E 或点 G 的横坐标;然后 结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得 GE=4﹣ 为 2﹣ ;最后根据三角形的面积公式可以求得 S△ ACG=S△ AEG+S△ CEG=﹣ (t﹣2) +1,由二次函数的最值可以解得 t=2 时, △ ACG 的最大值为 1; S (3)因为菱形是邻边相等的平行四边形,所以点 H 在直线 EF 上. 解答:解: (1)A(1,4) .…(1 分) 由题意知,可设抛物线解析式为 y=a(x﹣1) +4 ∵抛物线过点 C(3,0) , 2 ∴0=a(3﹣1) +4, 解得,a=﹣1, ∴抛物线的解析式为 y=﹣(x﹣1) +4,即 y=﹣x +2x+3.…(2 分) (2)∵A(1,4) ,C(3,0) , ∴可求直线 AC 的解析式为 y=﹣2x+6. ∵点 P(1,4﹣t) .…(3 分)? ∴将 y=4﹣t 代入 y=﹣2x+6 中,解得点 E 的横坐标为 x=1+ .…(4 分) ∴点 G 的横坐标为 1+ ,代入抛物线的解析式中,可求点 G 的纵坐标为 4﹣ ∴GE=(4﹣ )﹣(4﹣t)=t﹣ .…(5 分) .
2 2 2 2

2

、点 A 到 GE 的距离为 ,C 到 GE 的距离

又点 A 到 GE 的距离为 ,C 到 GE 的距离为 2﹣ , 即 S△ ACG=S△ AEG+S△ CEG= ?EG? + ?EG(2﹣ ) = ?2(t﹣ )=﹣ (t﹣2) +1.…(7 分)
2

当 t=2 时,S△ ACG 的最大值为 1.…(8 分) (3)t= 或 t=20﹣8 .…(12 分)

(说明:每值各占(2 分) ,多出的值未舍去,每个扣 1 分)

点评:本题考查了二次函数的综合题.其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式,待定系数 法求一次函数的解析式以及三角形面积的求法.

【6.2012?益阳】 20.已知:如图,抛物线 y=a(x﹣1) +c 与 x 轴交于点 A( ,0)和点 B,将抛物线沿 x 轴向上 翻折,顶点 P 落在点 P'(1,3)处. (1)求原抛物线的解析式; (2)学校举行班徽设计比赛,九年级 5 班的小明在解答此题时顿生灵感:过点 P'作 x 轴的平行线交抛物 线于 C、D 两点,将翻折后得到的新图象在直线 CD 以上的部分去掉,设计成一个“W”型的班徽,“5”的拼 音开头字母为 W,“W”图案似大鹏展翅,寓意深远;而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽 (CD)的比非常接近黄金分割比 少?(参考数据: , (约等于 0.618) .请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多 ,结果可保留根号)
2

考点:二次函数的应用。 分析:(1)利用 P 与 P′(1,3)关于 x 轴对称,得出 P 点坐标,利用待定系数法求出二次函数的解析 式即可; (2)根据已知得出 C,D 两点坐标,进而得出“W”图案的高与宽(CD)的比. 解答:解: (1)∵P 与 P′(1,3)关于 x 轴对称, ∴P 点坐标为(1,﹣3) ; …(2 分) ∵抛物线 y=a(x﹣1) +c 过点 A( ∴ ;…(3 分)
2

,0) ,顶点是 P(1,﹣3) ,

解得

;…(4 分)
2

则抛物线的解析式为 y=(x﹣1) ﹣3,…(5 分) 2 即 y=x ﹣2x﹣2. (2)∵CD 平行 x 轴,P′(1,3)在 CD 上, ∴C、D 两点纵坐标为 3; …(6 分) 2 由(x﹣1) ﹣3=3, 解得: , ,…(7 分) ,3)( , ,3)

∴C、D 两点的坐标分别为( ∴CD= …(8 分) ∴“W”图案的高与宽(CD)的比=

(或约等于 0.6124)…(10 分) .

点评:此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用,根据已知得出 C,D 两点坐 标是解题关键.

【7.2012?广州】 24.如图,抛物线 y= 与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧) ,与 y 轴交于点 C.

(1)求点 A、B 的坐标; (2)设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ ACD 的面积等于△ ACB 的面积时,求点 D 的坐标; (3)若直线 l 过点 E(4,0) ,M 为直线 l 上的动点,当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有 三个时,求直线 l 的解析式.

考点:二次函数综合题。 分析:(1)A、B 点为抛物线与 x 轴交点,令 y=0,解一元二次方程即可求解. (2)根据题意求出△ ACD 中 AC 边上的高,设为 h.在坐标平面内,作 AC 的平行线,平行线之 间 的距离等于 h.根据等底等高面积相等的原理,则平行线与坐标轴的交点即为所求的 D 点. 从一次函数的观点来看,这样的平行线可以看做是直线 AC 向上或向下平移而形成.因此先求出直 线 AC 的解析式,再求出平移距离,即可求得所作平行线的解析式,从而求得 D 点坐标. 注意:这样的平行线有两条,如答图 1 所示. (3)本问关键是理解“以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义. 因为过 A、B 点作 x 轴的垂线,其与直线 l 的两个交点均可以与 A、B 点构成直角三角形,这样已 经有符合题意的两个直角三角形;第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑,以 AB 为直 径作圆,当直线与圆相切时,根据圆周角定理,切点与 A、B 点构成直角三角形.从而问题得解. 注意:这样的切线有两条,如答图 2 所示. 解答: 解: (1)令 y=0,即 =0, 解得 x1=﹣4,x2=2, ∴A、B 点的坐标为 A(﹣4,0) 、B(2,0) . (2)S△ ACB= AB?OC=9, 在 Rt△ AOC 中,AC= = =5, . ,这样的直线有 2 条,分别是

设△ ACD 中 AC 边上的高为 h,则有 AC?h=9,解得 h=

如答图 1,在坐标平面内作直线平行于 AC,且到 AC 的距离=h= l1 和 l2,则直线与对称轴 x=﹣1 的两个交点即为所求的点 D. 设 l1 交 y 轴于 E,过 C 作 CF⊥l1 于 F,则 CF=h= ,

∴CE=

= .

设直线 AC 的解析式为 y=kx+b,将 A(﹣4,0) ,B(0,3)坐标代入, 得到 ,解得 ,∴直线 AC 解析式为 y= x+3.

[来源:21 世纪教育网]

直线 l1 可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位( 个长度单位)而形成的, ∴直线 l1 的解析式为 y= x+3﹣ = x﹣ . 则 D1 的纵坐标为 ×(﹣1)﹣ = ,∴D1(﹣4, ) . )

同理,直线 AC 向上平移 个长度单位得到 l2,可求得 D2(﹣1, 综上所述,D 点坐标为:D1(﹣4, ) 2(﹣1, ,D ) .

(3)如答图 2,以 AB 为直径作⊙F,圆心为 F.过 E 点作⊙F 的切线,这样的切线有 2 条. 连接 FM,过 M 作 MN⊥x 轴于点 N. ∵A(﹣4,0) ,B(2,0) ,∴F(﹣1,0) ,⊙F 半径 FM=FB=3. 又 FE=5,则在 Rt△ MEF 中, ME= =4,sin∠MFE= ,cos∠MFE= . ,

在 Rt△ FMN 中,MN=MN?sin∠MFE=3× = FN=MN?cos∠MFE=3× = ,则 ON= , ∴M 点坐标为( , 直线 l 过 M( , ) ) ,E(4,0) ,

设直线 l 的解析式为 y=kx+b,则有 ,解得 ,

所以直线 l 的解析式为 y=

x+3. x﹣3. x﹣3.

同理,可以求得另一条切线的解析式为 y= 综上所述,直线 l 的解析式为 y= x+3 或 y=

点评:本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用.难点在于第(3)问中对于“以 A、 B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解,这可以从直线与圆的位置关系方面入 手解决.本题难度较大,需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用.

【8. 2012 成都】 28. (本小题满分 l2 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 一次函数 y ?

5 0), x ? m ( m 为常数)的图象与 x 轴交于点 A( ?3 , 4
2

与 y 轴交于点 C.以直线 x=1 为对称轴的抛物线 y ? ax ? bx ? c

( a,b,c 为常数,且 a ≠0)经过 A,

C 两点,并与 x 轴的正半轴交于点 B. (1)求 m 的值及抛物线的函数表达式; (2)设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点,过点 E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F.是否存在这样的点 E, 使得以 A,C,E,F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点 E 的坐标及相应的平行四边形的面积; 若不存在,请说明理由; (3)若 P 是抛物线对称轴上使△ACP 的周长取得最小值的点,过点 P 任意作一条与 y 轴不平行的直线 交抛物线于 M1 ( x1,y1 ) , M 2 ( x2,y2 ) 两点,试探究

M1 P ? M 2 P 是否为定值,并写出探究过程. M1 M 2

考点:二次函数综合题。 解答:解: (1)∵ ∴0= +m,解得 m= 经过点(﹣3,0) , , ,C(0, ) .

∴直线解析式为
2

∵抛物线 y=ax +bx+c 对称轴为 x=1,且与 x 轴交于 A(﹣3,0) ,∴另一交点为 B(5,0) , 设抛物线解析式为 y=a(x+3) (x﹣5) , ∵抛物线经过 C(0, ∴ ) , ,
2

=a?3(﹣5) ,解得 a=

∴抛物线解析式为 y=

x + x+



(2)假设存在点 E 使得以 A、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形, 则 AC∥EF 且 AC=EF.如答图 1,

(i)当点 E 在点 E 位置时,过点 E 作 EG⊥x 轴于点 G, ∵AC∥EF,∴∠CAO=∠EFG, 又∵ ,∴△CAO≌△EFG,

∴EG=CO= ∴ =

,即 yE= xE + xE+
2

, ,解得 xE=2(xE=0 与 C 点重合,舍去) , ;

∴E(2,

) ?ACEF= ,S

(ii)当点 E 在点 E′位置时,过点 E′作 E′G′⊥x 轴于点 G′, 同理可求得 E′( +1, ) ?ACE′F′= ,S .

(3)要使△ ACP 的周长最小,只需 AP+CP 最小即可. 如答图 2,连接 BC 交 x=1 于 P 点,因为点 A、B 关于 x=1 对称,根据轴对称性质以及两点之间线段最短, 可知此时 AP+CP 最小(AP+CP 最小值为线段 BC 的长度) . ∵B(5,0) ,C(0, ) ,∴直线 BC 解析式为 y= x+ ,

∵xP=1,∴yP=3,即 P(1,3) . 令经过点 P(1,3)的直线为 y=kx+3﹣k, ∵y=kx+3﹣k,y=
2

x + x+

2



联立化简得:x +(4k﹣2)x﹣4k﹣3=0, ∴x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3. ∵y1=kx1+3﹣k,y2=kx2+3﹣k,∴y1﹣y2=k(x1﹣x2) . 根据两点间距离公式得到: M1M2= = =

∴M1M2= =4(1+k ) . 又 M1P= ; 同理 M2P= ∴M1P?M2P=(1+k )? ? ∴M1P?M2P=M1M2, ∴ =1 为定值. =(1+k )?
2 2 2

=

=

=

=(1+k ) =4(1+k ) .
2

2

【9. 2012 铜仁】 25.如图,已知:直线 y ? ? x ? 3 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B ,抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、 B、C(1,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 D 的坐标为(-1,0) ,在直线 y ? ? x ? 3 上有一点 P,使 ΔABO 与 ΔADP 相似, 求出点 P 的坐标; (3)在(2)的条件下,在 x 轴下方的抛物线上,是否存在点 E,使 ΔADE 的面积等于 四边形 APCE 的面积?如果存在,请求出点 E 的坐标;如果不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。 解答:解: :由题意得,A(3,0) (1) ,B(0,3)

∵抛物线经过 A、 C 三点, B、 ∴把 A (3, , 0) B (0, , 3) C (1, 三点分别代入 y = ax + bx + c 0) 得方程组

2

?9a ? 3b ? c ? 0 ? ?c ? 3 ?a ? b ? c ? 0 ? ?a ? 1 ? 解得: ?b ? ?4 ?c ? 3 ?
∴抛物线的解析式为 y = x - 4 x + 3 (2)由题意可得:△ ABO 为等腰三角形,如图所示,
2

若△ ABO∽△AP1D,则

AO OB ? AD DP1

∴DP1=AD=4 , ∴P1 (- 1, 4) (21 世纪教育网版权所有) 若△ ABO∽△ADP2 ,过点 P2 作 P2 M⊥x 轴于 M,AD=4, ∵△ABO 为等腰三角形, ∴△ADP2 是等腰三角形,由三线合一可得:DM=AM=2= P2M,即 点 M 与点 C 重合∴P2(1,2) (3)如图设点 E ( x, y ) ,则

S?ADE ?

1 ? AD? | y |? 2 | y | 2

①当 P1(-1,4)时,

S
?

四边形 AP1CE

=S 三角形 ACP +S 三角形 ACE
1

1 1 ? 2 ? 4 ? ? 2? | y | 2 2

= 4+ y ∴2 y = 4+ y ∴ y = 4

∵点 E 在 x 轴下方 ∴ y = - 4 代入得: x - 4 x + 3 = - 4 ,即 x ? 4 x ? 7 ? 0
2

2

∵△=(-4) -4×7=-12<0 ∴此方程无解 ②当 P2(1,2)时,S 四边形 AP CE=S 三角形 ACP +S 三角形 ACE = 2 + y
2 2
21 世纪教育网

2

∴2 y = 2+ y

∴ y = 2 代入得: x - 4 x + 3 = - 2
2

∵点 E 在 x 轴下方 ∴ y = - 2
2
2

即 x ? 4 x ? 5 ? 0 ,∵△=(-4) -4×5=-4<0 ∴此方程无解 综上所述,在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点 E。

【10. 2012 泰安】 (21 世纪教育网版权所有) 29.如图,半径为 2 的⊙C 与 x 轴的正半轴交于点 A,与 y 轴的正半轴交于点 B,点 C 的坐 标为(1,0) .若抛物线 y ? ?

3 2 x ? bx ? c 过 A、B 两点. 3

(1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上是否存在点 P,使得∠PBO=∠POB?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在 说明理由; (3)若点 M 是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,△ MAB 的面积为 S,求 S 的最大 (小)值.

考点:二次函数综合题。 解答:解: (1)如答图 1,连接 OB.

∵BC=2,OC=1 ∴OB= 4 ? 1 ? 3 ∴B(0, 3 ) 将 A(3,0) ,B(0, 3 )代入二次函数的表达式

? 3 ? 2 3 ? 9 ? 3b ? c ? 0 ?? ?b ? 得? 3 ,解得: ? 3 , ?c ? 3 ?c ? 3 ? ?
∴y??

3 2 2 3 x ? x? 3 . (21 世纪教育网版权所有) 3 3

(2)存在. 如答图 2,作线段 OB 的垂直平分线 l,与抛物线的交点即为点 P.

∵B(0, 3 ) ,O(0,0) , ∴直线 l 的表达式为 y ?

3 .代入抛物线的表达式, 2

得y??

3 2 2 3 3 x ? x? 3 ? ; 3 3 2 10 , 2

解得 x ? 1 ?

∴P( 1 ?

10 3 , ) . 2 2

(3)如答图 3,作 MH⊥x 轴于点 H.

设 M( xm,ym ) , 则 S△ MAB=S 梯形 MBOH+S△ MHA﹣S△ OAB= =

1 1 1 (MH+OB)?OH+ HA?MH﹣ OA?OB 2 2 2

1 1 1 ( ym ? 3) xm ? (3 ? xm ) ym ? ? 3 ? 3 2 2 2
3 3 3 xm ? ym ? 3 (21 世纪教育网版权所有) 2 2 2 3 2 2 3 xm ? xm ? 3 , 3 3

=

∵ ym ? ?

∴ SΔMAB ?

3 3 3 2 2 3 3 3 xm ? (? xm ? xm ? 3) ? 2 2 3 3 2

=?

3 2 3 3 3 3 9 3 xm ? xm ? ? ( xm ? )2 ? 2 2 2 2 8

∴当 xm ?

9 3 3 时, SΔMAB 取得最大值,最大值为 . (21 世纪教育网版权所有) 8 2

(21 世纪教育网版权所有)

【11. 2012?乐山】 26.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(m,m) ,点 B 的坐标为(n,﹣n) ,抛物 线经过 A、O、B 三点,连接 OA、OB、AB,线段 AB 交 y 轴于点 C.已知实数 m、n(m 2 <n)分别是方程 x ﹣2x﹣3=0 的两根. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 为线段 OB 上的一个动点(不与点 O、B 重合) ,直线 PC 与抛物线交于 D、E 两点(点 D 在 y 轴右侧) ,连接 OD、BD. ①当△ OPC 为等腰三角形时,求点 P 的坐标; ②求△ BOD 面积的最大值,并写出此时点 D 的坐标.

考点:二次函数综合题。 分析:(1)首先解方程得出 A,B 两点的坐标,进而利用待定系数法求出二次函数解析式 即可; (2)①首先求出 AB 的直线解析式,以及 BO 解析式,再利用等腰三角形的性质得 出当 OC=OP 时,当 OP=PC 时,点 P 在线段 OC 的中垂线上,当 OC=PC 时分别求出 x 的值即可; ②利用 S△ BOD=S△ ODQ+S△ BDQ 得出关于 x 的二次函数,进而得出最值即可. 解答:解(1)解方程 x2﹣2x﹣3=0, 得 x1=3,x2=﹣1. ∵m<n, ∴m=﹣1,n=3…(1 分) ∴A(﹣1,﹣1) ,B(3,﹣3) . 2 ∵抛物线过原点,设抛物线的解析式为 y=ax +bx.



解得:



∴抛物线的解析式为

.…(4 分)

(2)①设直线 AB 的解析式为 y=kx+b. ∴

解得:



∴直线 AB 的解析式为 ∴C 点坐标为(0,

. ) .…(6 分)

∵直线 OB 过点 O(0,0) ,B(3,﹣3) , ∴直线 OB 的解析式为 y=﹣x. ∵△OPC 为等腰三角形, ∴OC=OP 或 OP=PC 或 OC=PC. 设 P(x,﹣x) , (i)当 OC=OP 时, 解得 ∴P1( , , ) . (舍去) . .

(ii)当 OP=PC 时,点 P 在线段 OC 的中垂线上, ∴P2( ,﹣ ) . (iii)当 OC=PC 时,由 解得 ,x2=0(舍去) . ,

∴P3( ,﹣ ) . ∴P 点坐标为 P1( , )或 P2( ,﹣ )或 P3( ,﹣ ) .…(9 分)

②过点 D 作 DG⊥x 轴,垂足为 G,交 OB 于 Q,过 B 作 BH⊥x 轴,垂足为 H. 设 Q(x,﹣x) ,D(x, ) .

S△ BOD=S△ ODQ+S△ BDQ= DQ?OG+ DQ?GH, = DQ(OG+GH) , = = ∵0<x<3, ∴当 时,S 取得最大值为 ,此时 D( ,﹣ ) .…(13 分) , ,

点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知 识,求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出.

【12. 2012?衢州】 24. 如图, 把两个全等的 Rt△ AOB 和 Rt△ COD 分别置于平面直角坐标系中, 使直角边 OB、 OD 在 x 轴上.已知点 A(1,2) ,过 A、C 两点的直线分别交 x 轴、y 轴于点 E、F.抛物 线 y=ax +bx+c 经过 O、A、C 三点. (1)求该抛物线的函数解析式; (2)点 P 为线段 OC 上一个动点,过点 P 作 y 轴的平行线交抛物线于点 M,交 x 轴于点 N, 问是否存在这样的点 P,使得四边形 ABPM 为等腰梯形?若存在,求出此时点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由. (3)若△ AOB 沿 AC 方向平移(点 A 始终在线段 AC 上,且不与点 C 重合) AOB 在平 ,△ 移过程中与△ COD 重叠部分面积记为 S.试探究 S 是否存在最大值?若存在,求出这个最 大值;若不存在,请说明理由.
2

考点:二次函数综合题。 分析:(1)抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 O、A、C,利用待定系数法求抛物线的解析式; (2)根据等腰梯形的性质,确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系,得到一元 二次方程,求出 t 的值,从而可解.结论:存在点 P( , ) ,使得四边形 ABPM 为 等腰梯形; (3)本问关键是求得重叠部分面积 S 的表达式,然后利用二次函数的极值求得 S 的 最大值.解答中提供了三种求解面积 S 表达式的方法,殊途同归,可仔细体味. 2 解答:解: (1)∵抛物线 y=ax +bx+c 经过点 O、A、C, 可得 c=0,∴ 解得 a= ,b= , x + x.
2



∴抛物线解析式为 y=

(2)设点 P 的横坐标为 t,∵PN∥CD,∴△OPN∽△OCD,可得 PN= ∴P(t, ) ,∵点 M 在抛物线上,∴M(t, t + t) .
2

如解答图 1,过 M 点作 MG⊥AB 于 G,过 P 点作 PH⊥AB 于 H, AG=yA﹣yM=2﹣( t + t)= t ﹣ t+2,BH=PN= .
2 2

当 AG=BH 时,四边形 ABPM 为等腰梯形, ∴ t ﹣ t+2= , 化简得 3t ﹣8t+4=0,解得 t1=2(不合题意,舍去) 2= , ,t ∴点 P 的坐标为( , ) ∴存在点 P( , ) ,使得四边形 ABPM 为等腰梯形.
2 2

(3)如解答图 2,△ AOB 沿 AC 方向平移至△ A′O′B′,A′B′交 x 轴于 T,交 OC 于 Q,A′O′交 x 轴于 K,交 OC 于 R.

求得过 A、C 的直线为 yAC=﹣x+3,可设点 A′的横坐标为 a,则点 A′(a,﹣a+3) , 易知△ OQT∽△OCD,可得 QT= , ∴点 Q 的坐标为(a, ) .

解法一: 设 AB 与 OC 相交于点 J, ∵△ARQ∽△AOJ,相似三角形对应高的比等于相似比,∴ =

∴HT=

=

=2﹣a,

KT= A′T= (3﹣a) ,A′Q=yA′﹣yQ=(﹣a+3)﹣ =3﹣ a. S 四边形 RKTQ=S△ A′KT﹣S△ A′RQ= KT?A′T﹣ A′Q?HT = ? = 由于
2

?(3﹣a)﹣ ?(3﹣ a)?(﹣a+2) a + a﹣ = <0, (a﹣ ) +
2

∴在线段 AC 上存在点 A′( , ) ,能使重叠部分面积 S 取到最大值,最大值为 .

解法二: 过点 R 作 RH⊥x 轴于 H,则由△ ORH∽△OCD,得 由△ RKH∽△A′O′B′,得 由①,②得 KH= OH, OK= OH,KT=OT﹣OK=a﹣ OH 由△ A′KT∽△A′O′B′,得 则 KT= 由③,④得 a﹣1) S 四边形 RKTQ=S△ QOT﹣S△ ROK= ?OT?QT﹣ ?OK?RH = a? a﹣ (1+ a﹣ )?(a﹣1) ④ =a﹣ OH,即 OH=2a﹣2,RH=a﹣1,所以点 R 的坐标为 R(2a﹣2, ③ , ② ①

= 由于

a + a﹣ = <0,

2

(a﹣ ) +

2

∴在线段 AC 上存在点 A′( , ) ,能使重叠部分面积 S 取到最大值,最大值为 .

解法三: ∵AB=2,OB=1,∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB= , ∴KT=A′T?tan∠O′A′B′=(﹣a+3)? = ∴OK=OT﹣KT=a﹣( a+ )= a﹣ , =2,∴RH=2KH a+ ,

过点 R 作 RH⊥x 轴于 H,∵tan∠OAB=tan∠RKH= 又∵tan∠OAB=tan∠ROH= = = ,

∴2RH=OK+KH= a﹣ + RH,∴RH=a﹣1,OH=2(a﹣1) , ∴点 R 坐标 R(2a﹣2,a﹣1) S 四边形 RKTQ=S△ A′KT﹣S△ A′RQ= ?KT?A′T﹣ A′Q?(xQ﹣xR) = ? = 由于
2

?(3﹣a)﹣ ?(3﹣ a)?(﹣a+2) a + a﹣ = <0, (a﹣ ) +
2

∴在线段 AC 上存在点 A′( , ) ,能使重叠部分面积 S 取到最大值,最大值为 .

点评:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、等腰梯形、 相似三角形、 图形的平移以及几何图形面积的求法, 涉及到的知识点众多, 难度较大, 对学生能力要求较高,有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力.

【13. 2012 绍兴】 25.如图,矩形 OABC 的两边在坐标轴上,连接 AC,抛物线 y ? x ? 4 x ? 2 经过 A,B 两
2

点。 (1)求 A 点坐标及线段 AB 的长; (2)若点 P 由点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB 边向点 B 移动,1 秒后点 Q 也由点 A 出发以每秒 7 个单位的速度沿 AO,OC,CB 边向点 B 移动,当其中一个点到达终点时另一 个点也停止移动,点 P 的移动时间为 t 秒。 ①当 PQ⊥AC 时,求 t 的值; ②当 PQ∥AC 时,对于抛物线对称轴上一点 H,∠HOQ>∠POQ,求点 H 的纵坐标的取值 范围。

考点:二次函数综合题。 解答:解: (1)由抛物线 y ? x ? 4 x ? 2 知:当 x=0 时,y=﹣2,
2

∴A(0,﹣2) 。 由于四边形 OABC 是矩形,所以 AB∥x 轴,即 A、B 的纵坐标相同; 当 y ? ?2 时, ?2 ? x ? 4 x ? 2 ,解得 x1 ? 0,x2 ? 4 ,
2

∴B(4,﹣2) , ∴AB=4。 (2)①由题意知:A 点移动路程为 AP=t,

Q 点移动路程为 7(t ? 1) ? 7t ? 7 。 当 Q 点在 OA 上时,即 0 ? 7t ? 7 ? 2 , 1 ? t ?

9 时, 7

如图 1,若 PQ⊥AC,则有 Rt△ QAP∽Rt△ ABC。

QA AP 7t ? 7 t ,即 = ? , AB BC 4 2 7 ∴t ? 。 5 7 9 ∵ ? , 5 7
∴ ∴此时 t 值不合题意。 当 Q 点在 OC 上时,即 2 ? 7t ? 7 ? 6 ,

9 13 ? t ? 时, 7 7

如图 2,过 Q 点作 QD⊥AB。 ∴AD=OQ=7(t﹣1)﹣2=7t﹣9。 ∴DP=t﹣(7t﹣9)=9﹣6t。 若 PQ⊥AC,则有 Rt△ QDP∽Rt△ ABC,

QA DP 2 9 ? 6t ,即 ? , = AB BC 4 4 4 ∴t ? 。 3 9 4 13 ∵ ? ? , 7 3 7 4 ∴ t ? 符合题意。 3
∴ 当 Q 点在 BC 上时,即 6 ? 7t ? 7 ? 8 ,

13 15 ? t ? 时, 7 7

如图 3,若 PQ⊥AC,过 Q 点作 QG∥AC, 则 QG⊥PG,即∠GQP=90°。 ∴∠QPB>90°,这与△ QPB 的内角和为 180°矛盾, 此时 PQ 不与 AC 垂直。 综上所述,当 t ?

4 时,有 PQ⊥AC。 3

②当 PQ∥AC 时,如图 4,△ BPQ∽△BAC,

BP BQ , = BA BC 4 ? t 8 ? 7(t ? 1) ∴ , ? 4 2
∴ 解得 t=2,即当 t=2 时,PQ∥AC。 此时 AP=2,BQ=CQ=1, ∴P(2,﹣2) ,Q(4,﹣1) 。 抛物线对称轴的解析式为 x=2, 当 H1 为对称轴与 OP 的交点时, 有∠H1OQ=∠POQ, ∴当 yH<﹣2 时,∠HOQ>∠POQ。 作 P 点关于 OQ 的对称点 P′,连接 PP′交 OQ 于点 M, 过 P′作 P′N 垂直于对称轴,垂足为 N,连接 OP′,

在 Rt△ OCQ 中,∵OC=4,CQ=1。 ∴OQ= 17 , ∵S△ OPQ=S 四边形 ABCD﹣S△ AOP﹣S△ COQ﹣S△ QBP=3=

1 OQ×PM, 2

∴PM=

6 17 , 17 12 17 , 17

∴PP′=2PM=

∵NPP′=∠COQ。 ∴Rt△ COQ∽△Rt△ NPP′ ∴

CQ P ' N , = OQ PP '
'

12 48 , PN ? , 17 17 46 14 ∴P′( , ) , 17 17
∴P N ?

7 x, 23 14 ∴OP′与 NP 的交点 H2(2, ) 。 23 14 ∴当 yH ? 时,∠HOP>∠POQ。 23 14 综上所述,当 yH ? ?2 或 yH ? 时,∠HOQ>∠POQ。 23
∴直线 OP′的解析式为 y ?

【14. 2012?扬州】 27.已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线 l 是抛物线 的对称轴. (1)求抛物线的函数关系式; (2)设点 P 是直线 l 上的一个动点,当△PAC 的周长最小时,求点 P 的坐标; (3)在直线 l 上是否存在点 M,使△MAC 为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的 点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

考 点: 二次函数综合题。 专题: 综合题;分类讨论。 分析: (1)直接将 A、B、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可. (2)由图知:A、B 点关于抛物线的对称轴对称,那么根据抛物线的对称性以及两点 之间线段最短可知:若连接 BC,那么 BC 与直线 l 的交点即为符合条件的 P 点. (3)由于△MAC 的腰和底没有明确,因此要分三种情况来讨论:①MA=AC、②MA =MC、②AC=MC;可先设出 M 点的坐标,然后用 M 点纵坐标表示△MAC 的三边 长,再按上面的三种情况列式求解. 解答: 解:(1)将 A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线 y=ax2+bx+c 中,得:

,解得:

∴抛物线的解析式:y=-x2+2x+3. (2)连接 BC,直线 BC 与直线 l 的交点为 P; 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b,将 B(3,0),C(0,3)代入上式,得: ,解得: ∴直线 BC 的函数关系式 y=-x+3; 当 x-1 时,y=2,即 P 的坐标(1,2). (3)抛物线的解析式为:x=- =1,设 M(1,m),已知 A(-1,0)、C(0,3),则:

MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=10; ①若 MA=MC,则 MA2=MC2,得: m2+4=m2-6m+10,得:m=1; ②若 MA=AC,则 MA2=AC2,得: m2+4=10,得:m=± ; ③若 MC=AC,则 MC2=AC2,得: m2-6m+10=10,得:m=0,m=6; 当 m=6 时,M、A、C 三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去; 综上可知,符合条件的 M 点,且坐标为 M(1, )(1,- )(1,1)(1,0).

点评: 该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识, 在判定等腰三角形时,一定要根据不同的腰和底分类进行讨论,以免漏解.

【15.2012 上海】(21 世纪教育网版权所有) 24.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax +6x+c 的图象经过点 A(4,0) 、B(﹣1, 0)与 y 轴交于点 C, D 在线段 OC 上, , 点 OD=t, E 在第二象限, 点 ∠ADE=90°, tan∠DAE= , EF⊥OD,垂足为 F. (1)求这个二次函数的解析式;(21 世纪教育网版权所有) (2)求线段 EF、OF 的长(用含 t 的代数式表示) ; (3)当∠ECA=∠OAC 时,求 t 的值.
2

考点: 相似三角形的判定与性质; 待定系数法求二次函数解析式; 全等三角形的判定与性质; 勾股定理。 2 解答:解: (1)二次函数 y=ax +6x+c 的图象经过点 A(4,0) 、B(﹣1,0) , ∴ ,解得 ,
2

∴这个二次函数的解析式为:y=﹣2x +6x+8; (2)∵∠EFD=∠EDA=90°http://www.21cnjy.com/ ∴∠DEF+∠EDF=90°,∠EDF+∠ODA=90°,∴∠DEF=∠ODA ∴△EDF∽△DAO ∴ ∵ ∴ = , . ,

∴ 同理

,∴EF= t. ,

∴DF=2,∴OF=t﹣2. (3)∵抛物线的解析式为:y=﹣2x +6x+8, ∴C(0,8) ,OC=8. 如图,连接 EC、AC,过 A 作 EC 的垂线交 CE 于 G 点. ∵∠ECA=∠OAC,∴∠OAC=∠GCA(等角的余角相等) ; 在△ CAG 与△ OCA 中, ,
2

∴△CAG≌△OCA,∴CG=4,AG=OC=8. 如图,过 E 点作 EM⊥x 轴于点 M,则在 Rt△ AEM 中, ∴EM=OF=t﹣2,AM=OA+AM=OA+EF=4+ t, 由勾股定理得: ∵AE =AM +EM = 在 Rt△ AEG 中,由勾股定理得: ∴EG= = =
2 2 2



∵在 Rt△ ECF 中,EF= t,CF=OC﹣OF=10﹣t,CE=CG+EG= 由勾股定理得:EF +CF =CE , 即 ,
2 2 2

+4

解得 t1=10(不合题意,舍去) 2=6,(21 世纪教育网版权所有) ,t ∴t=6.

【16. 2012 广东】 22.如图,抛物线 y= x ﹣ x﹣9 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,连接 BC、AC. (1)求 AB 和 OC 的长;
2

(2)点 E 从点 A 出发,沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A、B 不重合) ,过点 E 作直线 l 平 行 BC,交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m,△ ADE 的面积为 s,求 s 关于 m 的函数关系式, 并写出自变量 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,连接 CE,求△ CDE 面积的最大值;此时,求出以点 E 为圆心,与 BC 相切的圆的面积(结果保留 π) .

(21 世纪教育网版权所有) 考点:二次函数综合题。 解答:解: (1)已知:抛物线 y= x ﹣ x﹣9; 当 x=0 时,y=﹣9,则:C(0,﹣9) ; 当 y=0 时, x ﹣ x﹣9=0,得:x1=﹣3,x2=6,则:A(﹣3,0) 、B(6,0) ; ∴AB=9,OC=9. (2)∵ED∥BC, ∴△AED∽△ABC, ∴ =( ) ,即:
2 2 2

=( ) ,得:s= m (0<m<9) .

2

2

(3)S△ AEC= AE?OC= m,S△ AED=s= m ; 则:S△ EDC=S△ AEC﹣S△ AED=﹣ m + m=﹣ (m﹣ ) + ∴△CDE 的最大面积为
2 2

2



,此时,AE=m= ,BE=AB﹣AE= .

过 E 作 EF⊥BC 于 F,则 Rt△ BEF∽Rt△ BCO,得: = ∴EF= ,即: ;
2

=

∴以 E 点为圆心,与 BC 相切的圆的面积 S⊙E=π?EF =



【17. 2012 嘉兴】 24. 在平面直角坐标系 xOy 中, P 是抛物线: 点 y=x 上的动点 (点在第一象限内) 连接 OP, . 过点 0 作 OP 的垂线交抛物线于另一点 Q.连接 PQ,交 y 轴于点 M.作 PA 丄 x 轴于点 A, QB 丄 x 轴于点 B.设点 P 的横坐标为 m. (1)如图 1,当 m= 时, ①求线段 OP 的长和 tan∠POM 的值; ②在 y 轴上找一点 C,使△ OCQ 是以 OQ 为腰的等腰三角形,求点 C 的坐标; (2)如图 2,连接 AM、BM,分别与 OP、OQ 相交于点 D、E. ①用含 m 的代数式表示点 Q 的坐标; ②求证:四边形 ODME 是矩形.(21 世纪教育网版权所有)
2

考点:二次函数综合题。 2 解答:解: (1)①把 x= 代入 y=x ,得 y=2,∴P( ∵PA 丄 x 轴,∴PA∥MO.∴tan∠P0M=tan∠0PA= ②设 Q(n,n ) ,∵tan∠QOB=tan∠POM, ∴ .∴n=
2

,2) ,∴OP= .

=

∴Q(

, ) ,∴OQ=

. ) 2(0, ,C ) ;

当 OQ=OC 时,则 C1(0,

当 OQ=CQ 时,则 C3(0,1) .(21 世纪教育网版权所有)

(2)①∵P(m,m ) ,设 Q(n,n ) ,∵△APO∽△BOQ,∴

2

2



,得 n=

,∴Q(



) .
2

②设直线 PO 的解析式为:y=kx+b,把 P(m,m ) 、Q(



)代入,得:

解得 b=1,∴M(0,1) ∵ ,∠QBO=∠MOA=90°,

∴△QBO∽△MOA ∴∠MAO=∠QOB, ∴QO∥MA 同理可证:EM∥OD 又∵∠EOD=90°, ∴四边形 ODME 是矩形. 【18. 2012 贵州安顺】(21 世纪教育网版权所有) 26. 如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,矩形 OABC 的边长 OA、OC 分别为 12cm、6cm, 2 点 A、 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上, C 抛物线 y=ax +bx+c 经过点 A、 且 18a+c=0. B, (1)求抛物线的解析式. (2)如果点 P 由点 A 开始沿 AB 边以 1cm/s 的速度向终点 B 移动,同时点 Q 由点 B 开始 沿 BC 边以 2cm/s 的速度向终点 C 移动. ①移动开始后第 t 秒时,设△ PBQ 的面积为 S,试写出 S 与 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值范围. ②当 S 取得最大值时,在抛物线上是否存在点 R,使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是 平行四边形?如果存在,求出 R 点的坐标;如果不存在,请说明理由.

考点:二次函数综合题。 2 解答:解: (1)设抛物线的解析式为 y=ax +bx+c, 由题意知点 A(0,﹣12) , 所以 c=﹣12,

又 18a+c=0, , ∵AB∥OC,且 AB=6, ∴抛物线的对称轴是 ∴b=﹣4, 所以抛物线的解析式为 (2)① ; , (0<t<6) ,

②当 t=3 时,S 取最大值为 9. 这时点 P 的坐标(3,﹣12) , 点 Q 坐标(6,﹣6) 若以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形,有如下三种情况: (Ⅰ)当点 R 在 BQ 的左边,且在 PB 下方时,点 R 的坐标(3,﹣18) ,将(3,﹣18)代 入抛物线的解析式中,满足解析式,所以存在,点 R 的坐标就是(3,﹣18) , (Ⅱ)当点 R 在 BQ 的左边,且在 PB 上方时,点 R 的坐标(3,﹣6) ,将(3,﹣6)代入 抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点 R 不满足条件. (Ⅲ)当点 R 在 BQ 的右边,且在 PB 上方时,点 R 的坐标(9,﹣6) ,将(9,﹣6)代入 抛物线的解析式中,不满足解析式,所以点 R 不满足条件. 综上所述,点 R 坐标为(3,﹣18) .

【19. 2012?资阳】(21 世纪教育网版权所有) 25.抛物线 的顶点在直线 y=x+3 上,过点 F(﹣2,2)的直线交该抛物线于点

M、N 两点(点 M 在点 N 的左边) ,MA⊥x 轴于点 A,NB⊥x 轴于点 B. (1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含 m 的代数式表示) ,再求 m 的值; (2)设点 N 的横坐标为 a,试用含 a 的代数式表示点 N 的纵坐标,并说明 NF=NB; (3)若射线 NM 交 x 轴于点 P,且 PA?PB= ,求点 M 的坐标.

考点: 二次函数综合题。 专题: 压轴题。 分析: (1)利用配方法将二次函数整理成顶点式即可,再利用点在直线上的性质得出答案 即可; 2 2 2 (2) 首先利用点 N 在抛物线上, 得出 N 点坐标, 再利用勾股定理得出 NF =NC +FC , 2 2 进而得出 NF =NB ,即可得出答案; (3) 求点 M 的坐标, 需要先求出直线 PF 的解析式. 首先由 (2) 的思路得出 MF=MA, 然后连接 AF、FB,通过证明△PFA∽△PBF,利用相关的比例线段将 PA?PB 的值转

化为 PF 的值,进而求出点 F 的坐标和直线 PF 的解析式,即可得解. 解答: 解: (1)y= x +x+m= (x+2) +(m﹣1) ∴顶点坐标为(﹣2,m﹣1) ∵顶点在直线 y=x+3 上, ∴﹣2+3=m﹣1, 得 m=2; (2)∵点 N 在抛物线上, ∴点 N 的纵坐标为: a +a+2, 即点 N(a, a +a+2) 过点 F 作 FC⊥NB 于点 C, 在 Rt△FCN 中,FC=a+2,NC=NB﹣CB= a +a, ∴NF =NC +FC =( a +a) +(a+2) , =( a +a) +(a +4a)+4, 而 NB =( a +a+2) , =( a +a) +(a +4a)+4 ∴NF =NB , NF=NB; (3)连接 AF、BF, 由 NF=NB,得∠NFB=∠NBF,由(2)的结论知,MF=MA, ∴∠MAF=∠MFA, ∵MA⊥x 轴,NB⊥x 轴, ∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180° ∵△MAF 和△NFB 的内角总和为 360°, ∴2∠MAF+2∠NBF=180°,∠MAF+∠NBF=90°, ∵∠MAB+∠NBA=180°, ∴∠FBA+∠FAB=90°, 又∵∠FAB+∠MAF=90°, ∴∠FBA=∠MAF=∠MFA, 又∵∠FPA=∠BPF, ∴△PFA∽△PBF, ∴ = ,PF =PA×PB=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



过点 F 作 FG⊥x 轴于点 G,在 Rt△PFG 中, PG= ∴PO=PG+GO= = , ,

∴P(﹣

,0) ,0)代入 y=kx+b,

设直线 PF:y=kx+b,把点 F(﹣2,2) 、点 P(﹣ 解得 k= ,b= , ∴直线 PF:y= x+ , 解方程 x +x+2= x+ , 得 x=﹣3 或 x=2(不合题意,舍去) , 当 x=﹣3 时,y= , ∴M(﹣3, ) .
2

点评: 考查了二次函数综合题,在该二次函数综合题中,融入了勾股定理、相似三角形等 重点知识, (3)题通过构建相似三角形将 PA?PB 转化为 PF 的值是解题的关键,也 是该题的难点.

【20. 2012?湘潭】 26.如图,抛物线 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C

点,已知 B 点坐标为(4,0) . (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求△MBC 的面积的最大值,并求出此时 M 点的坐标.

考点: 二次函数综合题。 专题: 转化思想。 分析: (1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将 B 点坐标代入解析式中即可. (2)首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标,然后通过证明△ABC 是直角三角形

来推导出直径 AB 和圆心的位置,由此确定圆心坐标. (3)△MBC 的面积可由 S△MBC=BC×h 表示,若要它的面积最大,需要使 h 取最大 值,即点 M 到直线 BC 的距离最大,若设一条平行于 BC 的直线,那么当该直线与 抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点 M. 解答: 解: (1)将 B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=; ∴抛物线的解析式为:y=x ﹣x﹣2.(21 世纪教育网版权所有) (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0) 、C(0,﹣2) ; ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即:OC =OA?OB,又:OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC 为直角三角形,AB 为△ABC 外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为 AB 的中点,且坐标为: (,0) . (3)已求得:B(4,0) 、C(0,﹣2) ,可得直线 BC 的解析式为:y=x﹣2; 设直线 l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线 l 与抛物线只有一个交 点时,可列方程: 2 2 x+b=x ﹣x﹣2,即: x ﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即 b=4; ∴直线 l:y=x﹣4. 由于 S△MBC=BC×h,当 h 最大(即点 M 到直线 BC 的距离最远)时,△ABC 的面积 最大 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点,有:
2 2



解得: 即 M(2,﹣3) . 点评: 考查了二次函数综合题,该题的难度不算太大,但用到的琐碎知识点较多,综合性 很强.熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键.


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