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2013年4月杭州市重点高中2013高考命题比赛参赛试题高中数学7


高三数学质量检测卷
数学(文)试卷 (时间 120 分钟 命题人:王燕燕 满分 150 分)

参考公式: 球的表面积公式: S ? 4?R ,其中 R 表示球的半径;
2

球的体积公式: V ?

4 3 ?R , 其中 R 表示球的半径; 3

柱体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高;

1 Sh ,其中 S 表示椎体的底面积, h 表示椎体的高; 3 1 台体的体积公式:V ? h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) ,其中 S1 、 S 2 分别表示台体的上、下底面 3
锥体的积公式: V ? 积, h 表示台体的高 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? x y ? (A) [1,2)

?

x ? 1 , N ? ?x y ? log2 (2 ? x)?,则 C R (M ? N ) ? (
(C) [0,1]

?



(B) (??,1) ? [2,??)

(D) (??,0) ? [2,??)

2.已知 cos(

?
2

? ?) ?

? 3 ,且 | ? |? ,则 tan ? = 2 2
3 3
(C) ? 3 (D) 3





(A) ?

3 3

(B)

3. log m

1 1 ? log n ? 0 ,则 2 2
(B) m ? n ? 1 (C) 1 ? m ? n





(A) n ? m ? 1

(D) 1 ? n ? m )

4.已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,以下命题正确的是( (A)若 m // ? , n ? ? , 则 m // n (C)若 m // ? , n // ? , 则 m // n (B) 若 ? ? ? ? m, m ? n, 则 n ? ? (D) 若 m // ? , m ? ? , ? ? ? ? n 则 m // n

5.阅读右面的程序框图,则输出的 S 等于 (A)40 (B)38 (C)32

( (D)20



开始

S ?0
i?4

6.为了得到函数 y ? sin 2 x 的图像,只需把 y ? cos 2 x 的图像 ( )

S ? S ? i(i ? 1)
i ? i ?1

? 4 ? (C)向左平移 2
(A)向左平移

? 4 ? (D)向左平移 2
(B)向右平移
2 2

i ?1 ?
是 输出 S 结束



7. 已知正数 a , b 满足 ab ? 1 , a ? b ? 1 ”是“ a ? b ? 2 ” 的 则“ ( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 8.函数 f ( x ) ? sin 2 x ? (A) (0,1) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

(第 5 题)

?
x

存在零点的区间为( (B) (1,2)

) (C) (2,3) (D) (3,4)

x2 y 2 9.过双曲线 2 ? 2 ? 1 的左焦点 F 作⊙ x 2 ? y 2 ? a 2 的两条切线,记切点为 A,B,双曲 O: a b
线左顶点为 C,若 ?ACB ? 120 ,则双曲线的渐近线方程为
?

( (D) y ? ?



(A) y ? ? 3x 10.设函数

(B)

y??

3 x 3

(C) y ? ? 2 x

2 x 2

f ( x) ? ( x 2 ? 10x ? c1 )(x 2 ? 10x ? c2 )(x 2 ? 10x ? c3 )(x 2 ? 10x ? c4 ) (x 2 ? 10 x ? c5 ) ,
设集合 M ? {x | f ( x) ? 0} ? {x1 , x2 ,?, x9 } ? N * , c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? c5 , c1 ? c5 ? 设 则 ( (A) 20 (B) 18 (C) 16 (D) 14
1 1 1
1 2 1 2 1 2



第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.某高中共有 2000 名学生,采用分层抽样的方法,分别在三个 年级的学生中抽取容量为 100 的一个样本,其中在高一、高二年 级中分别抽取 30、30 名学生,则该校高三有 _名学生。 12.设 z ? 1? i(i 是虚数单位),则
1
1 2

1

1

正视图
1

左视图

2 ?z? z2



1

13. 一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的体积为_____。

俯视图

14 . 已 知长 方 体的 所 有棱 长 之 和为 48, 表 面积为 94 ,则 该 长方 体 的外接 球 的 半径 为 。

?y ? 2 y ? 15.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 的最小值为 。 x ?x ? y ? 2 ? 0 ? ? ? ? ? 16.已知 a, b 均为单位向量,且它们的夹角为 60° ,当 | a ? ? b | (? ? R ) 取最小值时, ? ? ___________。
17.连续抛掷两枚正方体骰子(它们的六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6),记所得朝上的面 的点数分别为 x, y , 过坐标原点和点 P( x ? 3, y ? 3) 的直线的倾斜角为 ? , ? ? 60 的 则
?

概率为___________( P 与坐标原点重合算不满足)。 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 3b ? 2a sin B , AB ? AC ? 0 , (1)求角 A ; (2)若 cos( A ? C ) ? cos B ?

3 , a ? 6 ,求 ?ABC 的面积。 2

19.已知数列 {an } 中, an ? 2 n p ? qn( p, q 为常数) (1)若 p ? q ? 1 ,求数列 {an } 的前 n 项和 S n ; (2)若 p ? 1 ,问常数 q 如何取值时,使数列 {an } 为等比数列?

20.在直角梯形 A1 A2 A3 D 中, A A2 ? A D, A A2 ? A2 A3 ,且 B, C 分别是边 A1 A2 , A2 A3 上 1 1 1 的点,沿线段 BC, CD, DB分别 将 ?BCA2 , ?CDA3 , ?DBA 翻折上去恰好使 1

A1,A2,A3重合于一点 . , (1) 求证: AB ? CD ; A
(2)已知 A1D ? 10, A1 A2 ? 8, 试求: 与平面 ABC 所成角的正弦值。 BD

21.(本题满分 15 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? x2 (ax ? 3) ,其中 a 为常数。 (1)若 x ? 1 是函数 y ? f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; (2)若函数 y ? f ( x) 在区间 (?1, 0) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? 0 时,若 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x), x ?[0, 2] ,在 x ? 0 处取得最大值,求实数 a 的 取值范围。

22.(本题满分 15 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) , F 为抛物线 C 的焦点, A 为抛物线 C 上的动点, 过 A 作抛物线准线 l 的垂线,垂足为 Q . (1)若点 P(0,2) 与点 F 的连线恰好过点 A ,且 ?PQF ? 90? ,求抛物线方程; (2)设点 M (m,0) 在 x 轴上,若要使 ?MAF 总为锐角,求 m 的取值范围.

高三数学质量检测卷 数学(文)答卷
一、 选择题:(每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题:(每小题 4 分,共 28 分)

11.___________

12.___________

13.___________

14.___________

15.___________

16.___________

17.___________

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 72 分) 18.(本小题 14 分)

19.(本小题 14 分)

20.(本小题 14 分)

21.(本小题 15 分)

22.(本小题 15 分)

答案 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D B B C D A C 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分。 (11) 800 (15) (12)1 (16) (13) ? ? 1 (14)

5 2 2

1 3

?

1 2

(17)

5 9

三. 解答题: 本大题共 5 小题,满分 72 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18.解:(1)? 3b ? 2a sin B ,? 3 sin B ? 2 sin A sin B ,------------------------------2 分

? sin B ? 0 ,? sin A ?

3 ,-------------------------------------------------------4 分 2

又 AB ? AC ? 0 ,? A 为锐角,? A ? (2)由(1)知: B ? C ?

?
3

。--------------------------------------6 分

2? 2? ,? B ? ? C ,---------------------------------------7 分 3 3

? 2? 1 3 1 3 ? cos(A ? C ) ? cos B ? cos( ? C ) ? cos( ? C ) ? cosC ? sin C ? cosC ? sin C ? 3 sin C 3 3 2 2 2 2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------10 分

? 3s i n ? C


1 ? 5? 3 C , ? s i n ? ,得 C ? (舍去 ),-------------------------------11 2 6 6 2

?B ?

?
2

, ?c ? 2 3 ------------------------------------------------------------------------------12 分

? S ?ABC ?

1 1 ac ? ? 6 ? 2 3 ? 6 3 ---------------------------------------------------------14 分 2 2

19.解:(1) p ? q ? 1 时, an ? 2 n ? n -----------------------------------2 分

2(1 ? 2 n ) n(n ? 1) ? S n ? (2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ? 1? 2 2
2 3 n

? 2 n ?1 ? 2 ?

n(n ? 1) ----------------------------------------7 分 2

(2) p ? 1 时, an ? 2 n ? qn ,---------------------------------------------8 分 得 a1 ? 2 ? q, a2 ? 4 ? 2q, a3 ? 8 ? 3q, a4 ? 16 ? 4q -------------------------------------9 分
2 若数列 {an } 为等比数列,则 a3 ? a2 ? a4 ,-----------------------11 分

即 (8 ? 3q) 2 ? (4 ? 2q)(16 ? 4q) ,得 q ? 0 ,--------------------------------------13 分 此时 an ? 2 n ,得 ?an ? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列。

?q ? 0 ---------------------------------------------14 分
20.解:(1)? AB ? AC, AB ? AD, AC ? AD ? A , AC 、 AD ? 平面 ACD ,

? AB ? 平面 A C D,--------------------------------------------------4 分 又? CD ? 平面 A C D,? AB ? CD ---------------------------------------------6
分 (2)过 D 作 DE ? AC 于 E ,连接 BE , ? AB ? 平面 A C D, ? AB ? DE ,而 AB ? AC ? A ,可得 DE ? 平面

ABC ,
? ?D B E即 BD 与平面 ABC 所成的角,-------------------------------------10
分 易 知 B 、 C 分 别 为 A1 A2 和 A2 A3 的 中 点 , A1 B ? A2 B ? AB ? 4 ,

A1 D ? A3 D ? AD ? 10 ,
在直角梯形 A1 A2 A3 D 中,可求得 A2 A3 ? 16 , A2 C ? A3C ? AC ? 8 , DE ? A1 A2 ? 8 , ----11 分 在直角三角形 ABD 中,可求得 BD ? 2 29 ,-------------------------------12 分

? 在直角三角形 DEB 中, sin ?DBE ?

DE 8 4 29 ---------------14 分 ? ? BD 2 29 29

? 22.解(1)由题意知: | AQ |?| AF | ,? ?PQF ? 90 ,? A 为 PF 的中点,

p ? F ( ,0), 2

p p ? A( ,1) ,且点 A 在抛物线上,代入得1 ? 2 p ? ? p ? 2 4 4

所以抛物线方程为 y 2 ? 2 2x .…………5 分 (2)设 A( x, y) , y ? 2 px ,
2

根据题意: ?MAF 为锐角 ? AM ? AF ? 0 且 m ?

p 2

p ? x, ? y ) , 2 p p pm AM ? AF ? 0 ? ( x ? m)( x ? ) ? y 2 ? 0 ? x 2 ? ( ? m) x ? ? y2 ? 0 2 2 2 3p pm ? 0 对 x ? 0 都成立 ? y 2 ? 2 px , 所以得 x 2 ? ( ? m) x ? 2 2 3p pm 3 p m 2 mp 3p m 2 2 ? m) x ? ? (x ? ? ) ? ?( ? ) ?0 令 f ( x) ? x ? ( 2 2 4 2 2 4 2 AM ? (m ? x,? y ), AF ? (
对 x ? 0 都成立………………9 分

m 3p 3p mp 3p m 2 ? ? 0 ,即 m ? ?( ? ) ? 0 成立, 时,只要使 2 4 2 2 4 2 p 9p 3p 2 2 ?m? 整理得: 4m ? 20 mp ? 9 p ? 0 ? ,且 m ? , 2 2 2 3p 9p ?m? 所以 .……11 分 2 2 mp m 3p 3p ? 0 成立,得 m ? 0 ? 0 ,即 m ? (2)若 ? ,只要使 2 2 4 2 3p 所以 0 ? m ? ……13 分 2 p 9p 由(1)(2)得 m 的取值范围是 0 ? m ? 且 m ? .……15 分 2 2
(1)若


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