数学
R A（文）
常考题型强化练——函数
第二章 函数与基本初等函数 I
练出高分
1 2 3
A组
4
专项基础训练
5 6 7 8 9
练出高分
1 2 3
A组
4
专项基础训练
5 6 7 8 9
1．(2011· 江西)若 f(x)＝
1 ，则 f(x)的定义域为 log 1 ?2x＋1?
2
(
)
? 1 ? A.?－2，0? ? ? ? 1 ? C.?－2，0?∪(0，＋∞) ? ?
? 1 ? B.?－2，＋∞? ? ? ? 1 ? D.?－2，2? ? ?
解 析
练出高分
1 2 3
A组
4
专项基础训练
5 6 7 8 9
1．(2011· 江西)若 f(x)＝
1 ，则 f(x)的定义域为 log 1 ?2x＋1?
2
( C )
? 1 ? A.?－2，0? ? ? ? 1 ? C.?－2，0?∪(0，＋∞) ? ?
? 1 ? B.?－2，＋∞? ? ? ? 1 ? D.?－2，2? ? ?
解 析
1 ? ? ?x>－ ， ?2x＋1>0， 2 由已知得? log ?2x＋1?≠0， ∴? 1 ? ? ? 2 ?2x＋1≠1，
1 即 x>－2且 x≠0，∴选 C.
练出高分
1 2 3
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4
专项基础训练
5 6 7 8 9
9 2．已知函数 f(x)＝x－4＋ ， x＋ 1 x∈(0,4) ，当 x ＝ a 时， f(x) 取得最小值 b，则函数 g(x) ?1? ＋ ＝?a?|x b|的图象为 ( ) ? ?
解 析
练出高分
1 2 3
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4
专项基础训练
5 6 7 8 9
9 解 析 2．已知函数 f(x)＝x－4＋ ， x＋ 1 由 基 本 不 等 式 得 f(x) ＝ x ＋ 1 ＋ x∈(0,4) ，当 x ＝ a 时， f(x) 取得最小值 b，则函数 g(x) ?1? ＋ ＝?a?|x b|的图象为 ( B ) ? ?
9 －5≥2 x＋1 9 ?x＋1?× － 5＝ x＋1
9 1，当且仅当 x＋1＝ ， x＋ 1 即 x＝2 时取得最小值 1， 故 a＝2， ?1? ＋ ?1? ＋ |x b| b＝1，因此 g(x)＝?a? ＝?2?|x 1|， ? ? ? ? ?1? 只需将 y＝?2?|x|的图象向左平移 1 ? ? 个单位即可， ?1? 其中 y＝?2?|x|的图象可利用其为偶 ? ? ? 1? 函数通过 y＝?2?x 作出，故选 B.
练出高分
1 2 3
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3．已知函数 f(x)＝ex－e－x＋1(e 是自然对数的底数)，若 f(a)＝2，则 f(－a)的值为 A．3 B． 2 C．1 D．0 ( )
解 析
练出高分
1 2 3
A组
4
专项基础训练
5 6 7 8 9
3．已知函数 f(x)＝ex－e－x＋1(e 是自然对数的底数)，若 f(a)＝2，则 f(－a)的值为 A．3 B． 2 C．1 D．0 ( D )
解 析
依题意得，f(a)＋f(－a)＝2,2＋f(－a)＝2， f(－a)＝0，选 D.
练出高分
1 2 3
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4
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5 6 7 8 9
1＋ax 4． 设定义在区间(－b， b)上的函数 f(x)＝lg 是奇函数(a， b∈R， 1－2x 且 a≠－2)，则 ab 的取值范围是 A．(1， 2] B．(0， 2] C．(1， 2) ( D．(0， 2) )
解 析
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1 2 3
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4
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5 6 7 8 9
1＋ax 4． 设定义在区间(－b， b)上的函数 f(x)＝lg 是奇函数(a， b∈R， 1－2x 且 a≠－2)，则 ab 的取值范围是 A．(1， 2] ( A ) B．(0， 2] C．(1， 2) D．(0， 2) 1＋ax ∵函数 f(x)＝lg 是区间(－b，b)上的奇函数， 1－2x 1＋ax 1－ax 1－a2x2 ∴f(x)＋f(－x)＝lg ＋lg ＝lg ＝0， 1－2x 1＋2x 1－4x2 1－a2x2 即得 从而可得 a2＝4， 由 a≠－2 可得 a＝2， 2 ＝1， 1－4x 1＋2x 由此可得 f(x)＝lg ， 1－2x ? 1 1? 1 ? ? 因此函数的定义域为 －2，2 ，则有 0<b≤2， ? ?
b b 0
1 2
解 析
∴a ＝2 ∈(2 , 2 ]＝(1， 2]，故应选 A.
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1 2 3
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4
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5 6 7 8 9
?x＋1??x≥1?， ? ? log 1 5．已知函数 f(x)＝? 2 则不等式 f(3－x2)>f(2x)的 ? ?1?x<1?， 解集为___________．
解 析
练出高分
1 2 3
A组
4
专项基础训练
5 6 7 8 9
?x＋1??x≥1?， ? ? log 1 5．已知函数 f(x)＝? 2 则不等式 f(3－x2)>f(2x)的 ? ?1?x<1?，
(1，＋∞) ． 解集为___________ 解 析
如图，作出已知函数的图象，据图象可得不等式 f(3－x2)
2 3 － x ≥1， ? 2 ? ? ?3－x <1， >f(2x)?? 或?2x≥1， ? ?2x≥1 ?3－x2<2x， ?
解两不等式组的解集且取并集为 (1，＋∞)，即为原不 等式解集．
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1 2 3
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4
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6． (2012· 上海)已知函数 f(x)＝e|x－a|(a 为常数)． 若 f(x)在区间[1， ＋∞) 上是增函数，则 a 的取值范围是___________．
解 析
练出高分
1 2 3
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4
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5 6 7 8 9
6． (2012· 上海)已知函数 f(x)＝e|x－a|(a 为常数)． 若 f(x)在区间[1， ＋∞)
(－∞，1] ． 上是增函数，则 a 的取值范围是___________ 解 析
g(x)＝|x－a|的增区间为[a，＋∞)，
∴f(x)＝e|x－a|的增区间为[a，＋∞)． ∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴[1，＋∞)?[a，＋∞)，∴a≤1.
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1 2 3
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5 6 7 8 9
7． (2012· 上海)已知 y＝f(x)＋x2 是奇函数， 且 f(1)＝1.若 g(x)＝f(x)＋2， 则 g(－1)＝________.
解 析
A组
1 2 3 4
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5 6 7 8 9
7． (2012· 上海)已知 y＝f(x)＋x2 是奇函数， 且 f(1)＝1.若 g(x)＝f(x)＋2，
－1 则 g(－1)＝________. 解 析
∵y＝f(x)＋x2 是奇函数，
∴f(－x)＋(－x)2＝－[ f(x)＋x2] ，
∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0.∴f(1)＋f(－1)＋2＝0. ∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3. ∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.
练出高分
1 2 3
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4
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5 6 7 8 9
8．(10 分)(2011· 上海)已知函数 f(x)＝a· 2x＋b· 3x，其中常数 a，b 满 足 ab≠0. (1)若 ab>0，判断函数 f(x)的单调性； (2)若 ab<0，求 f(x＋1)>f(x)时 x 的取值范围．
解 析
练出高分
1 2 3
A组
4
专项基础训练
5 6 7 8 9
8．(10 分)(2011· 上海)已知函数 f(x)＝a· 2x＋b· 3x，其中常数 a，b 满 足 ab≠0. (1)若 ab>0，判断函数 f(x)的单调性； (2)若 ab<0，求 f(x＋1)>f(x)时 x 的取值范围．
解 析
解 (1)当 a>0，b>0 时，任意 x1，x2∈R，x1<x2，
1 2 1 2
则 f(x1)－f(x2)＝a(2 x －2 x )＋b(3 x －3 x )．
∵2 x <2 x ，a>0?a(2 x －2 x )<0，
1 2 1 2
3 x <3 x ，b>0?b(3 x －3 x )<0，
1 2 1 2
∴f(x1)－f(x2)<0，函数 f(x)在 R 上是增函数．
当 a<0，b<0 时，同理，函数 f(x)在 R 上是减函数．
练出高分
1 2 3
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4
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5 6 7 8 9
8．(10 分)(2011· 上海)已知函数 f(x)＝a· 2x＋b· 3x，其中常数 a，b 满 足 ab≠0. (1)若 ab>0，判断函数 f(x)的单调性； (2)若 ab<0，求 f(x＋1)>f(x)时 x 的取值范围．
解 析
(2)f(x＋1)－f(x)＝a· 2x＋2b· 3x>0，
?3? a x 时，?2? >－2b，则 ? ? ?3? a x ? ? 时， 2 <－2b，则 ? ? ? a? x>log1.5?－2b?； ? ? ? a? x<log1.5?－2b?. ? ?
当 a<0，b>0 当 a>0，b<0
练出高分
1 2 3
A组
4
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5 6 7 8 9
9．(12 分)某工厂生产某种产品，每日的成本 C(单位：万元)与日产 量 x(单位：吨)满足函数关系式 C＝3＋x，每日的销售额 S(单位： k ? ?3x＋ ＋5，0<x<6， x － 8 万元)与日产量 x 满足函数关系式 S＝? ? ?14， x≥6. 已知每日的利润 L＝S－C，且当 x＝2 时，L＝3. (1)求 k 的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最 大值．
练出高分
1 2 3
A组
4
专项基础训练
5 6 7 8 9
k 因为 x＝2 时，L＝3，所以 3＝2×2＋ ＋2. 所以 k＝18. 2 － 8 18 (2)当 0<x<6 时，L＝2x＋ ＋2. 8－x ? 18 ? 18 ? 所以 L＝2(x－8)＋ ＋18＝－?2?8－x?＋8－x? ?＋18 8－x ? ?
18 ≤－2 2?8－x?· ＋18＝6. 8－x 18 当且仅当 2(8－x)＝ ，即 x＝5 时取得等号． 8－x 当 x≥6 时，L＝11－x≤5.
k 解 析 ? ?2x＋ ＋2，0<x<6， x － 8 解 (1)由题意可得 L＝? ? ?11－x， x≥6.
所以当 x＝5 时，L 取得最大值 6. 所以当日产量为 5 吨时，每日的利润可以达到最大值 6 万元．
练出高分
1 2
B组
3
专项能力提升
4 5 6 7
练出高分
1
B组
2 3
专项能力提升
4
5
6
7
1．(2011· 四川)函数 致是
?1? y＝?2?x＋1 ? ?
的图象关于直线 y＝x 对称的图象大 ( )
解 析
练出高分
1 2
B组
3
专项能力提升
4
5
6
7
1．(2011· 四川)函数 致是
?1? y＝?2?x＋1 ? ?
的图象关于直线 y＝x 对称的图象大 (A )
解 析
函数
?1? y＝?2?x＋1 ? ?
的图象如图所示，关于 y＝x
对称的图象大致为 A 选项对应图象．
练出高分
1 2
B组
3
专项能力提升
4
5
6
7
2．(2011· 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 A．6 B． 7 C． 8 ( D．9 )
解 析
练出高分
1 2
B组
3
专项能力提升
4
5
6
7
2．(2011· 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x，则函数 y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 A．6 B． 7 C． 8 ( B ) D．9
解 析
∵f(x)是最小正周期为 2 的周期函数，且 0≤x<2 时，f(x)＝x3－x＝ x(x－1)(x＋1)，∴当 0≤x<2 时，f(x)＝0 有两个根,即 x1＝0，x2＝1.
由周期函数的性质知，当 2≤x<4 时，f(x)＝0 有两个根，即 x3＝2， x4＝3；当 4≤x<6 时，f(x)＝0 有两个根，即 x5＝4，x6＝5；x7＝6 也是 f(x)＝0 的根．
故函数 f(x)的图象在区间[0,6] 上与 x 轴交点的个数为 7.
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
3．(2011· 重庆)设 m，k 为整数，方程 mx2－kx＋2＝0 在区间(0,1) 内有两个不同的根，则 m＋k 的最小值为 A．－8 B． 8 C．12 D．13 ( )
解 析
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
3．(2011· 重庆)设 m，k 为整数，方程 mx2－kx＋2＝0 在区间(0,1) 内有两个不同的根，则 m＋k 的最小值为 A．－8 B． 8 C．12 D．13 ( )
解 析
方程 mx2－kx＋2＝0 在区间(0,1)内有两个不同的根可转化为二 次函数 f(x)＝mx2－kx＋2 在区间(0,1)上有两个不同的零点．
?Δ＝k2－8m>0， ? ?0< k <1， ∵f(0)＝2，故需满足? 2m ?m>0， ? ?f?1?>0
2 k ? ? >8m， ?m>0， ?? ?0<k<2m， ? ?m－k＋2>0，
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
3．(2011· 重庆)设 m，k 为整数，方程 mx2－kx＋2＝0 在区间(0,1) 内有两个不同的根，则 m＋k 的最小值为 A．－8 B． 8 C．12 D．13 ( D )
解 析
将 k 看做函数值，m 看做自变量， 画出可行域如图阴影部分所示，因 为 m，k 均为整数，结合可行域可 知 k＝7，m＝6 时，m＋k 最小，最 小值为 13.
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
1＋?－1?x 4．设函数 f(x)＝ (x∈Z)，给出以下三个结论： 2 ①f(x)为偶函数；②f(x)为周期函数；③f(x＋1)＋f(x)＝1，其中 正确结论的序号是________．
解 析
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
1＋?－1?x 4．设函数 f(x)＝ (x∈Z)，给出以下三个结论： 2 ①f(x)为偶函数；②f(x)为周期函数；③f(x＋1)＋f(x)＝1，其中
①②③ ． 正确结论的序号是________
解 析
对于 x∈Z，f(x)的图象为离散的点，关于 y 轴对称，①正 确； f(x) 为周期函数， T ＝ 2 ， ② 正确； f(x ＋ 1) ＋ f(x) ＝ ＋ ＋ 1＋?－1?x 1 1＋?－1?x ?－1?x 1＋?－1?x ＋ ＝1＋ ＝1， ③正确． 2 2 2
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
5．设 f(x)＝x2＋ax＋3，当 x∈[－2,2]时，f(x)≥a 恒成立，则实数 a 的取值范围为________．
解 析
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
5．设 f(x)＝x2＋ax＋3，当 x∈[－2,2]时，f(x)≥a 恒成立，则实数 a 的取值范围为________．
解 析
a (1)若－ <－2 即 a>4， 则 f(x)在 x∈[－2,2]上的最小值为 f(－2) 2 ＝7－2a， 7 于是 7－2a≥a?a≤3，矛盾，这种情况不可能． a (2)若－2≤－ ≤2 即－4≤a≤4，则 f(x)在 x∈[ －2,2] 上的最小 2 ? a? a2 值为 f?－2?＝3－ ， 4 ? ?
a2 于是 3－ 4 ≥a?－6≤a≤2，故此时有：－4≤a≤2.
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
5．设 f(x)＝x2＋ax＋3，当 x∈[－2,2]时，f(x)≥a 恒成立，则实数 a
[－7,2]． 的取值范围为________ 解 析
a (3)若－ >2 即 a<－4，则 f(x)在 x∈[－2,2]上的最小值为 f(2) 2 ＝7＋2a，
于是 7＋2a≥a?a≥－7，故此时有：－7≤a<－4. 综上所述：a 的取值范围是[ －7,2] ．
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
6． (2012· 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数， 在区间[－1,1] ?ax＋1，－1≤x<0， ? 上，f(x)＝?bx＋2 ，0≤x≤1， ? ? x＋1 a＋3b 的值为________． 其中 a，b∈R.若
?1? ?3? f?2?＝f?2?，则 ? ? ? ?
解 析
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
6． (2012· 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数， 在区间[－1,1] ?ax＋1，－1≤x<0， ? 上，f(x)＝?bx＋2 ，0≤x≤1， ? ? x＋1 a＋3b 的值为________． 其中 a，b∈R.若
?1? ?3? f?2?＝f?2?，则 ? ? ? ?
解 析
因为 f(x)的周期为 2，所以
?3? ?3 ? ? 1? ?1? ? 1? f?2?＝f?2－2?＝f?－2?，即 f?2?＝f?－2?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
b ? 1? ?1? 2＋2 b＋4 1 又因为 f?－2?＝－ a＋1，f?2?＝ ＝ ， 2 1 3 ? ? ? ? 2＋1 b＋4 1 所以－ a＋1＝ . 2 3
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
6． (2012· 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数， 在区间[－1,1] ?ax＋1，－1≤x<0， ? 上，f(x)＝?bx＋2 ，0≤x≤1， ? ? x＋1 其中 a，b∈R.若
?1? ?3? f?2?＝f?2?，则 ? ? ? ?
－10 ． a＋3b 的值为________
2 整理，得 a＝－ (b＋1)． 3 又因为 f(－1)＝f(1)，
解 析
①
b＋2 所以－a＋1＝ 2 ，即 b＝－2a.
②
将②代入①，得 a＝2，b＝－4.
所以 a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
7． (13 分)已知函数 f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)， 当 x∈(－3,2) 时，f(x)>0；当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域； (2)c 为何值时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在[1,4]上恒成立？
解 析
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
7． (13 分)已知函数 f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)， 当 x∈(－3,2) 时，f(x)>0；当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域； (2)c 为何值时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在[1,4]上恒成立？
解 析
解 由题意得 x＝－3 和 x＝2 是函数 f(x)的零点且 a≠0，
? ?－3?2＋?b－8?· ?－3?－a－ab， ?0＝a· 则? 2 ? 0 ＝ a · 2 ＋?b－8?· 2－a－ab， ? ? ?a＝－3， 解得? ∴f(x)＝－3x2－3x＋18. ? ?b＝5，
(1)由图象知，函数在[0,1] 内单调递减，
∴当 x＝0 时，y＝18；当 x＝1 时，y＝12， ∴f(x)在[0,1] 内的值域为[12,18] ．
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
7． (13 分)已知函数 f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)， 当 x∈(－3,2) 时，f(x)>0；当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域； (2)c 为何值时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在[1,4]上恒成立？
解 析
(2)方法一 令 g(x)＝－3x2＋5x＋c.
5 ∵g(x)在[6，＋∞)上单调递减， 要使 g(x)≤0 在[1,4] 上恒成立，
则需要 g(x)max＝g(1)≤0， 即－3＋5＋c≤0，解得 c≤－2.
∴当 c≤－2 时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在[1,4] 上恒成立．
练出高分
1
2
B组
3
专项能力提升
4 5 6
7
7． (13 分)已知函数 f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)， 当 x∈(－3,2) 时，f(x)>0；当 x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域； (2)c 为何值时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在[1,4]上恒成立？
解 析
方法二 不等式－3x2＋5x＋c≤0 在[1,4]上恒成立，
即 c≤3x2－5x 在[1,4] 上恒成立． 令 g(x)＝3x2－5x， ∵x∈[1,4] ，且 g(x)在[1,4] 上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2. 即 c≤－2 时，不等式 ax2＋bx＋c≤0 在[1,4] 上恒成立．