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常考题型强化练——函数b


数学

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常考题型强化练——函数
第二章 函数与基本初等函数 I

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

练出高分
1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9

1.(2011· 江西)若 f(x)=

1 ,则 f(x)的定义域为 log 1 ?2x+1?
2

(

)

? 1 ? A.?-2,0? ? ? ? 1 ? C.?-2,0?∪(0,+∞) ? ?

? 1 ? B.?-2,+∞? ? ? ? 1 ? D.?-2,2? ? ?

解 析

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1 2 3

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4

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5 6 7 8 9

1.(2011· 江西)若 f(x)=

1 ,则 f(x)的定义域为 log 1 ?2x+1?
2

( C )

? 1 ? A.?-2,0? ? ? ? 1 ? C.?-2,0?∪(0,+∞) ? ?

? 1 ? B.?-2,+∞? ? ? ? 1 ? D.?-2,2? ? ?

解 析
1 ? ? ?x>- , ?2x+1>0, 2 由已知得? log ?2x+1?≠0, ∴? 1 ? ? ? 2 ?2x+1≠1,

1 即 x>-2且 x≠0,∴选 C.

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9 2.已知函数 f(x)=x-4+ , x+ 1 x∈(0,4) ,当 x = a 时, f(x) 取得最小值 b,则函数 g(x) ?1? + =?a?|x b|的图象为 ( ) ? ?

解 析

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9 解 析 2.已知函数 f(x)=x-4+ , x+ 1 由 基 本 不 等 式 得 f(x) = x + 1 + x∈(0,4) ,当 x = a 时, f(x) 取得最小值 b,则函数 g(x) ?1? + =?a?|x b|的图象为 ( B ) ? ?
9 -5≥2 x+1 9 ?x+1?× - 5= x+1

9 1,当且仅当 x+1= , x+ 1 即 x=2 时取得最小值 1, 故 a=2, ?1? + ?1? + |x b| b=1,因此 g(x)=?a? =?2?|x 1|, ? ? ? ? ?1? 只需将 y=?2?|x|的图象向左平移 1 ? ? 个单位即可, ?1? 其中 y=?2?|x|的图象可利用其为偶 ? ? ? 1? 函数通过 y=?2?x 作出,故选 B.

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3.已知函数 f(x)=ex-e-x+1(e 是自然对数的底数),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B. 2 C.1 D.0 ( )

解 析

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3.已知函数 f(x)=ex-e-x+1(e 是自然对数的底数),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B. 2 C.1 D.0 ( D )

解 析
依题意得,f(a)+f(-a)=2,2+f(-a)=2, f(-a)=0,选 D.

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1+ax 4. 设定义在区间(-b, b)上的函数 f(x)=lg 是奇函数(a, b∈R, 1-2x 且 a≠-2),则 ab 的取值范围是 A.(1, 2] B.(0, 2] C.(1, 2) ( D.(0, 2) )

解 析

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1+ax 4. 设定义在区间(-b, b)上的函数 f(x)=lg 是奇函数(a, b∈R, 1-2x 且 a≠-2),则 ab 的取值范围是 A.(1, 2] ( A ) B.(0, 2] C.(1, 2) D.(0, 2) 1+ax ∵函数 f(x)=lg 是区间(-b,b)上的奇函数, 1-2x 1+ax 1-ax 1-a2x2 ∴f(x)+f(-x)=lg +lg =lg =0, 1-2x 1+2x 1-4x2 1-a2x2 即得 从而可得 a2=4, 由 a≠-2 可得 a=2, 2 =1, 1-4x 1+2x 由此可得 f(x)=lg , 1-2x ? 1 1? 1 ? ? 因此函数的定义域为 -2,2 ,则有 0<b≤2, ? ?
b b 0
1 2

解 析

∴a =2 ∈(2 , 2 ]=(1, 2],故应选 A.

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?x+1??x≥1?, ? ? log 1 5.已知函数 f(x)=? 2 则不等式 f(3-x2)>f(2x)的 ? ?1?x<1?, 解集为___________.

解 析

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?x+1??x≥1?, ? ? log 1 5.已知函数 f(x)=? 2 则不等式 f(3-x2)>f(2x)的 ? ?1?x<1?,

(1,+∞) . 解集为___________ 解 析
如图,作出已知函数的图象,据图象可得不等式 f(3-x2)
2 3 - x ≥1, ? 2 ? ? ?3-x <1, >f(2x)?? 或?2x≥1, ? ?2x≥1 ?3-x2<2x, ?

解两不等式组的解集且取并集为 (1,+∞),即为原不 等式解集.

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6. (2012· 上海)已知函数 f(x)=e|x-a|(a 为常数). 若 f(x)在区间[1, +∞) 上是增函数,则 a 的取值范围是___________.

解 析

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6. (2012· 上海)已知函数 f(x)=e|x-a|(a 为常数). 若 f(x)在区间[1, +∞)

(-∞,1] . 上是增函数,则 a 的取值范围是___________ 解 析
g(x)=|x-a|的增区间为[a,+∞),

∴f(x)=e|x-a|的增区间为[a,+∞). ∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴[1,+∞)?[a,+∞),∴a≤1.

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7. (2012· 上海)已知 y=f(x)+x2 是奇函数, 且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2, 则 g(-1)=________.

解 析

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7. (2012· 上海)已知 y=f(x)+x2 是奇函数, 且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,

-1 则 g(-1)=________. 解 析
∵y=f(x)+x2 是奇函数,

∴f(-x)+(-x)2=-[ f(x)+x2] ,
∴f(x)+f(-x)+2x2=0.∴f(1)+f(-1)+2=0. ∵f(1)=1,∴f(-1)=-3. ∵g(x)=f(x)+2,∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1.

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8.(10 分)(2011· 上海)已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满 足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围.

解 析

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8.(10 分)(2011· 上海)已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满 足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围.

解 析
解 (1)当 a>0,b>0 时,任意 x1,x2∈R,x1<x2,
1 2 1 2

则 f(x1)-f(x2)=a(2 x -2 x )+b(3 x -3 x ).

∵2 x <2 x ,a>0?a(2 x -2 x )<0,
1 2 1 2

3 x <3 x ,b>0?b(3 x -3 x )<0,
1 2 1 2

∴f(x1)-f(x2)<0,函数 f(x)在 R 上是增函数.
当 a<0,b<0 时,同理,函数 f(x)在 R 上是减函数.

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8.(10 分)(2011· 上海)已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满 足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围.

解 析
(2)f(x+1)-f(x)=a· 2x+2b· 3x>0,
?3? a x 时,?2? >-2b,则 ? ? ?3? a x ? ? 时, 2 <-2b,则 ? ? ? a? x>log1.5?-2b?; ? ? ? a? x<log1.5?-2b?. ? ?

当 a<0,b>0 当 a>0,b<0

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9.(12 分)某工厂生产某种产品,每日的成本 C(单位:万元)与日产 量 x(单位:吨)满足函数关系式 C=3+x,每日的销售额 S(单位: k ? ?3x+ +5,0<x<6, x - 8 万元)与日产量 x 满足函数关系式 S=? ? ?14, x≥6. 已知每日的利润 L=S-C,且当 x=2 时,L=3. (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最 大值.

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k 因为 x=2 时,L=3,所以 3=2×2+ +2. 所以 k=18. 2 - 8 18 (2)当 0<x<6 时,L=2x+ +2. 8-x ? 18 ? 18 ? 所以 L=2(x-8)+ +18=-?2?8-x?+8-x? ?+18 8-x ? ?
18 ≤-2 2?8-x?· +18=6. 8-x 18 当且仅当 2(8-x)= ,即 x=5 时取得等号. 8-x 当 x≥6 时,L=11-x≤5.

k 解 析 ? ?2x+ +2,0<x<6, x - 8 解 (1)由题意可得 L=? ? ?11-x, x≥6.

所以当 x=5 时,L 取得最大值 6. 所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大值 6 万元.

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1.(2011· 四川)函数 致是

?1? y=?2?x+1 ? ?

的图象关于直线 y=x 对称的图象大 ( )

解 析

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1.(2011· 四川)函数 致是

?1? y=?2?x+1 ? ?

的图象关于直线 y=x 对称的图象大 (A )

解 析
函数
?1? y=?2?x+1 ? ?

的图象如图所示,关于 y=x

对称的图象大致为 A 选项对应图象.

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2.(2011· 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 A.6 B. 7 C. 8 ( D.9 )

解 析

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5

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7

2.(2011· 山东)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 A.6 B. 7 C. 8 ( B ) D.9

解 析
∵f(x)是最小正周期为 2 的周期函数,且 0≤x<2 时,f(x)=x3-x= x(x-1)(x+1),∴当 0≤x<2 时,f(x)=0 有两个根,即 x1=0,x2=1.
由周期函数的性质知,当 2≤x<4 时,f(x)=0 有两个根,即 x3=2, x4=3;当 4≤x<6 时,f(x)=0 有两个根,即 x5=4,x6=5;x7=6 也是 f(x)=0 的根.

故函数 f(x)的图象在区间[0,6] 上与 x 轴交点的个数为 7.

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3.(2011· 重庆)设 m,k 为整数,方程 mx2-kx+2=0 在区间(0,1) 内有两个不同的根,则 m+k 的最小值为 A.-8 B. 8 C.12 D.13 ( )

解 析

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1
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3

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4 5 6

7

3.(2011· 重庆)设 m,k 为整数,方程 mx2-kx+2=0 在区间(0,1) 内有两个不同的根,则 m+k 的最小值为 A.-8 B. 8 C.12 D.13 ( )

解 析
方程 mx2-kx+2=0 在区间(0,1)内有两个不同的根可转化为二 次函数 f(x)=mx2-kx+2 在区间(0,1)上有两个不同的零点.

?Δ=k2-8m>0, ? ?0< k <1, ∵f(0)=2,故需满足? 2m ?m>0, ? ?f?1?>0

2 k ? ? >8m, ?m>0, ?? ?0<k<2m, ? ?m-k+2>0,

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3.(2011· 重庆)设 m,k 为整数,方程 mx2-kx+2=0 在区间(0,1) 内有两个不同的根,则 m+k 的最小值为 A.-8 B. 8 C.12 D.13 ( D )

解 析
将 k 看做函数值,m 看做自变量, 画出可行域如图阴影部分所示,因 为 m,k 均为整数,结合可行域可 知 k=7,m=6 时,m+k 最小,最 小值为 13.

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7

1+?-1?x 4.设函数 f(x)= (x∈Z),给出以下三个结论: 2 ①f(x)为偶函数;②f(x)为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中 正确结论的序号是________.

解 析

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7

1+?-1?x 4.设函数 f(x)= (x∈Z),给出以下三个结论: 2 ①f(x)为偶函数;②f(x)为周期函数;③f(x+1)+f(x)=1,其中

①②③ . 正确结论的序号是________

解 析
对于 x∈Z,f(x)的图象为离散的点,关于 y 轴对称,①正 确; f(x) 为周期函数, T = 2 , ② 正确; f(x + 1) + f(x) = + + 1+?-1?x 1 1+?-1?x ?-1?x 1+?-1?x + =1+ =1, ③正确. 2 2 2

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5.设 f(x)=x2+ax+3,当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围为________.

解 析

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5.设 f(x)=x2+ax+3,当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围为________.

解 析
a (1)若- <-2 即 a>4, 则 f(x)在 x∈[-2,2]上的最小值为 f(-2) 2 =7-2a, 7 于是 7-2a≥a?a≤3,矛盾,这种情况不可能. a (2)若-2≤- ≤2 即-4≤a≤4,则 f(x)在 x∈[ -2,2] 上的最小 2 ? a? a2 值为 f?-2?=3- , 4 ? ?

a2 于是 3- 4 ≥a?-6≤a≤2,故此时有:-4≤a≤2.

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5.设 f(x)=x2+ax+3,当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,则实数 a

[-7,2]. 的取值范围为________ 解 析
a (3)若- >2 即 a<-4,则 f(x)在 x∈[-2,2]上的最小值为 f(2) 2 =7+2a,
于是 7+2a≥a?a≥-7,故此时有:-7≤a<-4. 综上所述:a 的取值范围是[ -7,2] .

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6. (2012· 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间[-1,1] ?ax+1,-1≤x<0, ? 上,f(x)=?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1 a+3b 的值为________. 其中 a,b∈R.若
?1? ?3? f?2?=f?2?,则 ? ? ? ?

解 析

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6. (2012· 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间[-1,1] ?ax+1,-1≤x<0, ? 上,f(x)=?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1 a+3b 的值为________. 其中 a,b∈R.若
?1? ?3? f?2?=f?2?,则 ? ? ? ?

解 析
因为 f(x)的周期为 2,所以
?3? ?3 ? ? 1? ?1? ? 1? f?2?=f?2-2?=f?-2?,即 f?2?=f?-2?. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

b ? 1? ?1? 2+2 b+4 1 又因为 f?-2?=- a+1,f?2?= = , 2 1 3 ? ? ? ? 2+1 b+4 1 所以- a+1= . 2 3

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6. (2012· 江苏)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 在区间[-1,1] ?ax+1,-1≤x<0, ? 上,f(x)=?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1 其中 a,b∈R.若
?1? ?3? f?2?=f?2?,则 ? ? ? ?

-10 . a+3b 的值为________
2 整理,得 a=- (b+1). 3 又因为 f(-1)=f(1),

解 析



b+2 所以-a+1= 2 ,即 b=-2a.



将②代入①,得 a=2,b=-4.

所以 a+3b=2+3×(-4)=-10.

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7. (13 分)已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0), 当 x∈(-3,2) 时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立?

解 析

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7. (13 分)已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0), 当 x∈(-3,2) 时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立?

解 析
解 由题意得 x=-3 和 x=2 是函数 f(x)的零点且 a≠0,
? ?-3?2+?b-8?· ?-3?-a-ab, ?0=a· 则? 2 ? 0 = a · 2 +?b-8?· 2-a-ab, ? ? ?a=-3, 解得? ∴f(x)=-3x2-3x+18. ? ?b=5,

(1)由图象知,函数在[0,1] 内单调递减,
∴当 x=0 时,y=18;当 x=1 时,y=12, ∴f(x)在[0,1] 内的值域为[12,18] .

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7. (13 分)已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0), 当 x∈(-3,2) 时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立?

解 析
(2)方法一 令 g(x)=-3x2+5x+c.
5 ∵g(x)在[6,+∞)上单调递减, 要使 g(x)≤0 在[1,4] 上恒成立,

则需要 g(x)max=g(1)≤0, 即-3+5+c≤0,解得 c≤-2.

∴当 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4] 上恒成立.

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7. (13 分)已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0), 当 x∈(-3,2) 时,f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)c 为何值时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立?

解 析
方法二 不等式-3x2+5x+c≤0 在[1,4]上恒成立,

即 c≤3x2-5x 在[1,4] 上恒成立. 令 g(x)=3x2-5x, ∵x∈[1,4] ,且 g(x)在[1,4] 上单调递增, ∴g(x)min=g(1)=3×12-5×1=-2,∴c≤-2. 即 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4] 上恒成立.


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