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直线与圆锥曲线的位置关系--高考精品班理科数学寒假特训班辅导《数学》第二章第一节讲义


正保远程教育旗下品牌网站 美国纽交所上市公司(NYSE:DL) 高考精品班理科数学寒假特训班《数学》第二章第一节讲义 直线与圆锥曲线的位置关系的判定 从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组, 无解时必相离; 有两组解必相交; 一组解时, 若化为 x 或 y 的方程二次项系数非零,判别式⊿=0 时必相切,若二次项系数为零,有一组解仍是相交. 中小学教育网 www.g12e.com 1 正保远程教育旗下品牌网站 美国纽交所上市公司(NYSE:DL) 中小学教育网 www.g12e.com 2 正保远程教育旗下品牌网站 美国纽交所上市公司(NYSE:DL) 例 1.直线 y=x+3 与曲线 A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 『正确答案』D ( ) 例 2.已知直线 y=(a+1)x-1 与曲线 y 2=ax 恰有一个公共点,求实数 a 的值。 『正确答案』联立方程 中小学教育网 www.g12e.com 3 正保远程教育旗下品牌网站 美国纽交所上市公司(NYSE:DL) (1) 当 a=0 时,此方程恰有一组解为: (2)a≠0 时,消去 x,得 y2-y-1=0。 ①若 =0,即 a=-1,方程变为一元一次方程:-y-1=0,方程组恰有一组解: ②若 ≠0,即 α≠-1,令⊿=0 得:1+4 =0,可得 α=-4/5,这时直线与曲线相切,只有一个公共点. 综上所述知,当 a=0、-1、-4/5 时,直线 y=(a+1)x-1 与曲线 y2=ax 恰有一个公共点。 例 3.已知双曲线 C:2x 2-y2=2 与点 P(1,2)求过 P 点的直线 l 的斜率 k 的取值范围,使 l 与 C 分别有一个 交点、两个交点、没有交点。 『正确答案』如图设直线 l 方程为 y-2=k(x-1) ,代入 C 的方程,并整理得: (2-k 2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0 (*) 令⊿=0,解之得 k=3/2。 由于两渐近线斜率分别为 当 <k<3/2 或 k<或- 、<k< 因此当 k=± 或 k=3/2 或 k 不存在时, l 与 C 只有一个交点; 时, 与 C 有两个交点; 当 k>3/2 时,l 与 C 有没有交点。 注意: 判断直线与双曲线、直线与抛物线的交点时要注意直线与双曲线的渐近线平行时,及与抛物线的对称轴平 行时。 例 4.在抛物线 y 2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称,求 k 的取值范围。 『正确答案』设 B、C 关于直线 y=kx+3 对称,直线 BC 方程为 x=-ky+m 代入 y2=4x 得: y 2+4ky-4m=0, 设 B(x 1,y1) 、C(x2,y2) ,BC 中点 M(x0,y0) , 则 y 0=(y1+y2)/2=-2k。x0=2k2+m, ∵点 M(x 0,y0)在直线上。∴-2k(2k2+m)+3,∴m=∴⊿=16k2+16m>0 把 m 代入化简得 即 又 BC 与抛物线交于不同两点, ,解得-1<k<0。 中小学教育网 www.g12e.com 4 正保远程教育旗下品牌网站 美国纽交所上市公司(NYSE:DL) 中小学教育网 www.g12e.com 5 正保远程教育旗下品牌网站 美国纽交所上市公司(NYSE:DL) 中小学教育网 www.g12e.com 6

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