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高一数学必修1同步练习函数及其表示


2011-2012 学年高一数学必修 1(人教版)同步练习第一章 第二节函数及其表示
一、学习目标:
1、了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。 2、会根据需要选择恰当的方法表示函数。 3、了解分段函数,并能简单应用。

二、重点、难点:
重点是会求一些简单函数的定义域和值域,会根据需要选择恰当的方法表示函数。 难点是函数的值域和分段函数的应用。

三、考点分析:
掌握函数的概念与表示,对于映射的概念只需要了解,本节知识点在单独出题时多为简单题,揉在综 合题中考查。

知识梳理
1、函数的概念: 一般地, A、 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f , 设 B 使对于集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x ) 和它对应,那么就称 f :A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记 作: y ? f ( x ) , x ∈A,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域,y 叫函数值,y 的取值范围 C= {f(x)|x∈A}叫做函数的值域,且 C ? B。 说明:①函数首先是两个数集之间建立的对应关系 ②对于 x 的每一个值,按照某种确定的对应关系 f,都有唯一的 y 值与它对应,这种对应应为数与数 之间的“一一”对应或“多一”对应 ③认真理解 y ? f ( x ) 的含义: y ? f ( x ) 是一个整体, f ( x ) 并不表示 f 与 x 的乘积,它是一种符号, 可以是解析式,也可以是图象,还可以是表格; y ? f ( x ) 如同一个加工厂,把输入的数 x,按照某种加工 过程(如解析式、图象或表格) ,加工成另外一个数值 y。 ④要强调定义域,值域都是一个集合,且值域是集合 B 的子集。 2、函数的三要素:定义域,值域和对应法则。 3、区间的概念: 闭区间:满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[ a , b ]; 开区间:满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为( a , b ) ; 半开半闭区间: 满足不等式 a ? x ? b 或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间, 分别表示为[ a ,
b ) , ( a , b ]。

4、函数的表示方法: 解析法,就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

第1页

图象法,就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 列表法,就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 5、映射: 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元 素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个 映射(mapping) ,记作“f:A ? B” 说明: (1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的。其中 f 表示具体的对应 法则,可以用汉字表示出来。 (2) “都有唯一”包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。

典型例题
知识点一:函数的概念
? 1? x 例 1. 已知 且 x ? ? 1 ), g ( x ) ? x ? 2 ( x ? R ) 。 (1)求 f(2) ,g(2)的值;
2

f (x ) ?

1

(x ? R

(2)求 f[ g ( 2 )] 的值; (3)求 f[ g ( x )] 和 g[ f ( x )] 的解析式。 思路分析: 1)题意分析:本题给出了两个函数解析式,第一问是给出了自变量,求函数值;第二问是把 g ( 2 ) 作 为“ f ”的自变量,第三问是把 g ( x ) 和 f ( x ) 分别作为“ f ”和“ g ”的自变量。 2)解题思路:按自变量的取值代入函数式求之即可。 解答过程: (1) (2)
f (2) ? 1 1? 2 ? 1 3 , g (2) ? 2 ? 2 ? 6
2



? g ( 2 ) ? 6 ,? f [ g ( 2 )] ? f ( 6 ) ?

1 1? 6
2

? ?

1 7 。 1 x ?3。
2

1

(3)f[ g ( x )] =f( x ? 2 )= 1 ? x ? 2
2

1

1

g[ f ( x ) ]=g( 1 ? x )=( 1 ? x )2+2。 解题后的思考:求函数值时,要正确理解对应法则“f”和“g”的含义;求 f[g(x)]时,应先求 g(x) , 然后将 f(x)解析式中的 x 换为 g(x) ,同时要注意函数的定义域。 例 2. 已知 y ? f ( x ) 的定义域为 [ ? 1 ,1 ] ,求下列函数的定义域:
1 y ? f( ) x ; (1)

(2)y= f ( x ) 。

2

思路分析:

第2页

1) 题意分析: 区间 [ ? 1 ,1 ] 是函数 y ? f ( x ) 中的 x 的取值范围, 函数
1

y ? f(

1

x 的定义域是

)

y ? f(

1 x

)

中的 x 的取值范围,它由 x 的取值范围来确定,第二问可同理解决。
1
2 2)解题思路:解决本题关键在于理解“ x ”和“ x ”的取值范围就是 [ ? 1 ,1 ] 。

解答过程: (1)? y ? f ( x ) 的定义域为 [ ? 1 ,1 ] ∴
1 ?1

?1?

1 x

?1

即| x |

解得 x ? ? 1 或 x ? 1 因此

y ? f(

1 x

)

的定义域为 ( ?? , -1] ? [ 1 ,?? ) 。
2

2 (2)? y ? f ( x ) 的定义域为 [ ? 1 ,1 ] ,∴ f ( x ) 中的 x 必须满足 ? 1 ? x ? 1 ,

2 ∴ x ? 1 ,|x| ? 1 ,∴ ? 1 ? x ? 1 ,故 y=f(x2)的定义域是[-1,1]。

解题后的思考:
x ? 1。

y ? f(

1

) 2 x 的对应法则不是 “f” 而是由 , “f” “取倒数” 和 复合而成的, 函数 y= f ( x )

2 的对应法则是由“f”和“平方”复合而成的. 另外在解 x ? 1 时要注意,不要出错,应该是|x| ? 1 ,而不是

知识点二:函数的表示方法 例 3. 若 f ( x ? 1) ? 2 x ? 1 ,求 f ( x ) 。 思路分析:
2

1)题意分析:已知 f ( x ? 1) ,求 f ( x ) 2)解题思路:换元法 解答过程:令 t ? x ? 1 ,则 x ? t ? 1 ,? f ( t ) ? 2( t ? 1) ? 1 ? 2 t ? 4 t ? 3 。
2 2

? f (x) ? 2 x ? 4 x ? 3 。
2

解题后的思考:凡是已知 f [ g ( x )] ,求 f ( x ) 的题型,均可用换元法求解,在换元的过程中要注意新 元的取值范围。 例 4. 若 2 f ( x ) ? f ( ? x ) ? x ? 1 ,求 f ( x ) 。 思路分析: 1)题意分析:已知 f ( x ) 和 f ( ? x ) 的关系式,求 f ( x ) ,相当于有两个未知数,但只有一个方程,显 然解不出来。所以解此题的关键在于再找到一个 f ( x ) 和 f ( ? x ) 的关系式。 2)解题思路:用 ? x 去替换已知式中的 x ,可以再造一个 f ( x ) 和 f ( ? x ) 的关系式,然后解方程组求 解。 解答过程:? 2 f ( x ) ? f ( ? x ) ? x ? 1 ,用 ? x 去替换式中的 x ,
? 2 f ( x ) ? f ( ? x ) ? x ? 1, ? 得 2 f ( ? x ) ? f ( x ) ? ? x ? 1 ,即有 ? 2 f ( ? x ) ? f ( x ) ? ? x ? 1,

第3页

解方程组消去 f ( ? x ) ,得

f (x) ?

x 3

?1



解题后的思考:若已知 f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 是未知量外,还出现其他未知量(如
?1? ?1? f ? ? f ? ? f ( ? x ) , ? x ? 等) ,可以利用相互代换得到方程组,消去 f ( ? x ) 或 ? x ? ,进而得到 f ( x ) 的解析式。

知识点三:求函数的值域

? ? 的值域。 例 5. 求函数 思路分析: 1)题意分析:求二次函数在指定区间上的值域 2)解题思路:配方,画图,找区间
y ? x ? 4 x ? 6( x ? 1, ) 5
2

? ? ,结合图象,知函数的值域是 ? 解答过程:配方,得 y ? ( x ? 2 ) ? 2 ,又 解题后的思考: “配方,画图,找区间”适用于解析式为二次函数的题目。
2

x ? 1, 5

2,1 ? 1



x ? 1 的值域。 例 6. 求函数 思路分析: 1)题意分析:这是求分式型函数的值域,而且分子、分母是同次幂。 2)解题思路:分离出常数,使问题简化。
2

y ?

2x ?1
2

解答过程:分离常数,得
2

y ?

2x ?1
2

x ?1
2

? 2?

3 x ?1 。
2

?。 x ?1 由 x ? 1 ≥ 1 ,得 ,即有 ? 1 ≤ y ? 2 . 所以函数的值域是 ? 解题后的思考:该方法适用于分式型函数,且分子、分母是同次幂,这时可以通过多项式的除法,分 离出常数,使问题简化。
2

0?

3

≤3

? 1, 2

例 7. 求函数 y ? x ? 2 x ? 1 的值域。 思路分析: 1)题意分析:这个函数是由一个有理式和一个无理式构成。 2)解题思路:将无理式转化成有理式。 解答过程:设 t ? 又 t ≥ 0 ,得
y≥ 1

2 x ? 1 ,则

x ?

1? t 2

2

(t ≥ 0 )

,于是

y ?

1? t 2

2

?t ?

1 2

(1 ? t )

2



?1 ? ? ? 2, ∞ ? ?。 2 . 所以函数的值域是 ?

解题后的思考:对形如 y ? a x ? b ? cx ? d 的函数,可通过换元法将其转化为有理函数再求解。在 用换元法转化的过程中要注意新元的取值范围。

第4页

知识点四:分段函数
? x 2 ? 4 x, ( x ? ?2) ? ?x ? , ( x ? ?2) 例 8. 求函数 f ( x ) = ? 2 的值域。

思路分析: 1)题意分析:求分段函数的值域 2)解题思路:先分别求出各段函数的值域,再求并集即可。 解答过程:当 x ≤-2 时, y ? x ? 4 x ? ( x ? 2 ) ? 4 ,∴ y ≥-4。
2 2

x

?2

当 x >-2 时, y = 2 ,∴ y > 2 =-1。 ∴函数 f ( x ) 的值域是{ y ∣ y ≥-4} 。 解题后的思考:分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集;分段函数的值域是各 段函数取值集合的并集。
? x ? 1, ( x ? 0 ) ? ?? , ( x ? 0 ) ? 0 .( x ? 0 ) 例 9. 已知 f ( x ) = ? 求 f ( f ( f ( ? 3))) 的值。

解答过程:∵-3<0 ∴ f (-3)=0, ∴ f ( f (-3) )= f (0)= ? ,又 ? >0 ∴ f ( f ( f ( ? 3))) =f( ? )= ? +1。 解题后的思考:求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中所处的范围,然后按相应的对 应关系求值。

提分技巧
抓住换元思想,并注意在换元的过程中新元的取值范围

预习导学
学习完函数以后,我们最关注什么?对!函数的性质,那么一般我们都研究函数的哪些性质呢?请同 学们先预习函数的基本性质。

一、预习新知
函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了解了函数的变化规律,那么也就基本把握了相应事 物的变化规律。因此研究函数的性质,如函数在什么时候递增或递减,有没有最大值或最小值,函数图象 有什么特征等,是非常重要的。 观察下图中的各个函数图象,你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗?

第5页

二、预习点拨
增函数的定义是 减函数的定义是 奇函数的定义是 偶函数的定义是 。 。 。 。

同步练习
(答题时间:60 分钟)
一、选择题 1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( (1)
y1 ? ( x ? 3 )( x ? 5 ) x?3
x ?1



, y2 ? x ? 5 ;
( x ? 1)( x ? 1) ;

(2) y 1 ?

x ? 1 , y2 ?

(3) f ( x ) ? x , g ( x ) ? (4) f ( x ) ?
3 4 3

x

2



x ? x , F (x) ? x 3 x ? 1 ;

2 (5) f 1 ( x ) ? ( 2 x ? 5 ) , f 2 ( x ) ? 2 x ? 5 。 A. (1)(2) 、 B. (2)(3) 、 C. (4)

D. (3)(5) 、 ) D. 1 或 2 , a ? N , x ? A, y ? B , 且 若使 B 中元素 y ? 3 x ? 1 和
*

2. 函数 y ? f ( x ) 的图象与直线 x ? 1 的公共点的数目是( A. 1 3. 已知集合 A. 2,3 B. 0 C. 0 或 1
4 2

A ? ?1, 2, 3, k ? , B ? ? 4, 7 , a , a ? 3 a ?

A 中的元素 x 对应,则 a , k 的值分别为(

B. 3,4
( x ? ? 1) ( ?1 ? x ? 2) ( x ? 2)
3

) C. 3,5

D. 2,5

?x ? 2 ? 2 f ( x) ? ? x ?2 x ? 4. 已知

,若 f ( x ) ? 3 ,则 x 的值是(
3



A. 1

B. 1 或 2

C. 1 , 2 或 ? 3 D.

3

第6页

5. 为了得到函数 y ? f ( ? 2 x ) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x ) 的图象适当平移,这个平移是(
1



A. 沿 x 轴向右平移 1 个单位 C. 沿 x 轴向左平移 1 个单位

B. 沿 x 轴向右平移 2 个单位
1

D. 沿 x 轴向左平移 2 个单位

( x ? 10 ) ? x ? 2, f (x ) ? ? ? f [ f ( x ? 6 )], ( x ? 10 ) 则 f ( 5 ) 的值为( 6. 设 A. 10 B. 1 1 C. 12

) D. 13

二、填空题
?1 ? 2 x ? 1( x ? 0 ), ? f (x) ? ? 若 f (a ) ? a. ?1 ( x ? 0 ). ?x ? 7. 设函数 则实数 a 的取值范围是



8. 函数

y ?

x?2 x ? 4 的定义域为
2
2



9. 若二次函数 y ? a x ? b x ? c 的图象与 x 轴交于 A ( ? 2, 0), B (4, 0) ,且函数的最大值为 9 ,则这个二次 函数的表达式是 。
y ? ( x ? 1)
0

10. 函数

x ? x
2

的定义域是_____________________。

11. 函数 f ( x ) ? x ? x ? 1 的最小值是_________________。 三、解答题
3

f (x) ?

x ?1 x ?1
2

12. 求函数 13. 求函数 y ?

的定义域。

x ? x ? 1 的值域。

2 2 2 14. x1 , x 2 是关于 x 的一元二次方程 x ? 2( m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的两个实根,又 y ? x1 ? x 2 ,求

y ? f ( m ) 的解析式及此函数的定义域。

15. 已知函数 f ( x ) ? ax ? 2 ax ? 3 ? b ( a ? 0) 在 [1, 3] 上有最大值 5 和最小值 2 ,求 a 、 b 的值。
2

试题答案
一、选择题 1. C (1)定义域不同; (2)定义域不同; (3)对应法则不同; (4)定义域相同,且对应法则相同; (5)定义域不同。

第7页

2. C 有可能是没有交点的,如果有交点,那么对于 x ? 1 仅有一个函数值
4 2 B ? ? 4, 7 ,1 0, 3 k ? 1? ? ? 4, 7 , a , a ? 3 a ? 3. D 按照对应法则 y ? 3 x ? 1 ,

而 a ? N , a ? 1 0 ,∴ a ? 3 a ? 10, a ? 2, 3 k ? 1 ? a ? 16, k ? 5
* 4 2 4

4. D 该分段函数的三段各自的值域为 ?

? ? ,1 ? , ? 0, 4 ? , ? 4, ? ? ?
3

,而

3 ? ? 0, 4 ?

2 ∴ f ( x ) ? x ? 3, x ? ? 3 , 而 ? 1 ? x ? 2, ∴ x ?

5. D 平移前的为“

1 ? 2 x ? ?2( x ?
x? 1 2” ,即 x?

1

) 2 ” ,平移后的为“ ? 2 x ” ,
1 2 ? 1 2 ? x 1

用“ x ”代替了“ 6. B 二、填空题
f (5) ? f

,左移 2 个单位 。

? f (11) ? ?

f (9) ? f

? f (15) ? ?

f (13) ? 11

? ? , ? 1? 7. ? 当

a ? 0时 , f ( a ) ?

1 2

a ? 1 ? a, a ? ?2

,这是矛盾的;

a ? 0时 , f ( a ) ?

1 a

? a, a ? ?1

当 8.


x ?4? 0
2

?x | x ?

? 2, 且 x ? 2 ?

9. y ? ? ( x ? 2)( x ? 4)

设 y ? a ( x ? 2)( x ? 4) ,对称轴 x ? 1 ,

y ? ? 9 a ? 9, a ? ? 1 当 x ? 1 时, m ax

10. 11.

? ?? , 0 ?
? 5 4

?x ?1 ? 0 ? ,x ? 0 ? ? x ?x ?0 ?
f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ?
2

1 2

) ?
2

5 4

? ?

5 4 。

三、解答题 12. 解:∵
x ? 1 ? 0, x ? 1 ? 0, x ? ? 1
x ? x ? 1 ? (x ?
2

,∴定义域为 ?
3 4 ,

x | x ? ? 1?

1 2

) ?
2

3 4

?

13. 解: ∵
y? 3



? 3 , ?? ? 2 2 ,∴值域为 ?
2

? ? ? ?

14. 解: ? ? 4( m ? 1) ? 4( m ? 1) ? 0, 得 m ? 3 或 m ? 0 ,
y ? x1 ? x 2 ? ( x 1 ? x 2 ) ? 2 x 1 x 2
2 2 2

? 4 ( m ? 1) ? 2 ( m ? 1)
2

? 4m ? 10m ? 2
2

∴ f ( m ) ? 4 m ? 10 m ? 2,{ m | m ? 3或 m ? 0} 。
2

第8页

1, 3 15. 解:对称轴 x ? 1 , ? ? 是 f ( x ) 的递增区间,
f ( x ) m ax ? f (3) ? 5, 即 3 a ? b ? 3 ? 5 f ( x ) m in ? f (1) ? 2, 即 ? a ? b ? 3 ? 2,
?3a ? b ? 2 3 1 得 a ? ,b ? ? 4 4 ?? a ? b ? ?1





第9页


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