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18版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案新人教A版必修3

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2.2.2

用样本的数字特征估计总体的数字特征

1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.(重点) 2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.(重点) 3.会应用相关知识解决实际统计问题.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 众数、中位数、平均数 阅读教材 P72~P73 的内容,完成下列问题. 1.众数:在一组数据中,出现次数最多的数叫做众数.如果有两个或两个以上数据出 现的最多且出现的次数相等,那么这些数据都是这组数据的众数;如果一组数据中,所有数 据出现的次数都相等,那么认为这组数据没有众数. 2.中位数:将一组数据按从小到大的顺序依次排列,当数据有奇数个时,处在最中间 的那个数是这组数据的中位数; 当数据有偶数个时, 处在最中间的两个数的平均数是这组数 据的中位数. 3.平均数:一组数据的总和除以这组数据的个数取得的商叫做这组数据的平均数,一 1 般记为 x = (x1+x2+…+xn).

n

4.三种数字特征的比较 名称 优点 ①体现了样本数据的最大集中点; ②容易计算 ①不受少数几个极端数据(即排序靠前或 靠后的数据)的影响; 缺点 ①它只能表达样本数据中很少 的一部分信息; ②无法客观地反映总体的特征 对极端值不敏感

众数

中位数

1

②容易计算,便于利用中间数据的信息 代表性较好, 是反映数据集中趋势的量. 一 平均数 般情况下,可以反映出更多的关于样本数 据全体的信息 任何一个数据的改变都会引起 平均数的改变.数据越“离 群”,对平均数的影响越大

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)中位数一定是样本数据中的某个数.( (2)在一组样本数据中,众数一定是唯一的.( 【答案】 (1)× (2)× ) )

2.已知一组数据为 20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系 是( ) A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 1 【解析】 众数为 50,平均数 x = (20+30+40+50+50+60+70+80)=50,中位数 8 1 为 (50+50)=50,故选 D. 2 【答案】 D 3.一组观察值 4,3,5,6 出现的次数分别为 3,2,4,2,则样本平均值为( A.4.55 C.12.5 【解析】 B.4.5 D.1.64 )

x=

4×3+3×2+5×4+6×2 ≈4.55. 3+2+4+2

【答案】 A 教材整理 2 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 阅读教材 P72~P73 的内容,完成下列问题. 在频率分布直方图中, 众数是最高矩形中点的横坐标, 中位数左边和右边的直方图的面 积应该相等, 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点 的横坐标之和. 教材整理 3 标准差、方差 阅读教材 P74~P77 例 2 上面的内容,完成下列问题. 1.标准差的计算公式 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示,
2

s=

1

n

x1- x

2

+ x2- x

2

+…+ xn- x

2

].

2.方差的计算公式 标准差的平方 s 叫做方差.
2

s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]. n
其中,xi(i=1,2,…,n)是样本数据,n 是样本容量, x 是样本平均数.

1

某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则:(1)平均命中环数为________; (2)命中环数的标准差为________. 7+8+7+9+5+4+9+10+7+4 【解析】 (1) x = =7. 10 (2)s =
2 2

1 2 2 2 2 2 2 2 [(7-7) +(8-7) +(7-7) +(9-7) +(5-7) +(4-7) +(9-7) +(10- 10
2

7) +(7-7) +(4-7) ]=4,∴s=2. 【答案】 (1)7 (2)2

2

[小组合作型] 众数、中位数、平均数 某工厂人员及工资构成如下表: 人员 周工资/元 人数 经理 2 200 1 管理人员 1 250 6 高级技工 1 220 5 工人 1 200 10 学徒 490 1 23 合计

(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数; (2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗?为什么? 【精彩点拨】 先结合众数、中位数、平均数的意义求出众数、中位数、平均数,再结 合影响平均数的因素作答. 【尝试解答】 (1)由题中表格可知:众数为 1 200,中位数为 1 220,平均数为(2 200 +1 250×6+1 220×5+1 200×10+490)÷23=1 230(元/周). (2)虽然平均数为 1 230 元/周,但从题中表格中所列出的数据可见,只有经理在平均数 以上,其余的人都在平均数以下,故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平.
3

1.众数、中位数、平均数都是刻画数据特征的,但任何一个样本数据改变都会引起平 均数的改变,而众数、中位数不具有这个性质.所以平均数可以反映出更多的关于样本数据 全体的信息,它是样本数据的重心. 2.在样本中出现极端值的情况下,众数、中位数更能反映样本数据的平均水平.

[再练一题] 1.已知一组数据按从小到大排列为-1,0,4,x,6,15,且这组数据的中位数是 5,那么 数据的众数是________,平均数是________. 4+x 【解析】 ∵中位数为 5,∴ =5,即 x=6. 2 -1+0+4+6+6+15 ∴该组数据的众数为 6,平均数为 =5. 6 【答案】 6 5 方差和标准差

甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件,为检验质量,从中抽取 6 件测 量数据为: 甲:99 100 98 100 100 103

乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定. 【精彩点拨】

1 【尝试解答】 (1) x 甲= [99+100+98+100+100+103]=100, 6

x 乙= [99+100+102+99+100+100]=100,

1 6

4

2 2 2 2 2 s2 甲 = [(99 - 100) + (100 - 100) + (98 - 100) + (100 - 100) + (100 - 100) + (103 -

1 6

7 2 100) ]= , 3
2 2 2 2 2 s2 乙 = [(99 - 100) + (100 - 100) + (102 - 100) + (99 - 100) + (100 - 100) + (100 -

1 6

100) ]=1. (2)由(1)知 x 甲= x 乙,比较它们的方差,∵s甲>s乙,故乙机床加工零件的质量更稳定.
2 2

2

1. 在实际问题中, 仅靠平均数不能完全反映问题, 还要研究其偏离平均值的离散程度(即 方差或标准差),方差大说明取值分散性大,方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定. 2.关于统计的有关性质及规律 (1)若 x1,x2,…,xn 的平均数为 x ,那么 mx1+a,mx2+a,…,mxn+a 的平均数是 m x +a; (2)数据 x1,x2,…,xn 与数据 x1+a,x2+a,…,xn+a 的方差相等; (3)若 x1,x2,…,xn 的方差为 s ,那么 ax1,ax2,…,axn 的方差为 a s .
2 2 2

[再练一题] 2.某校高二年级在一次数学选拔赛中,由于甲、乙两人的竞赛成绩相同,从而决定根 据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如下: 甲 乙 127 133 138 129 130 138 137 134 135 128 131 136

求两人比赛成绩的平均数以及方差, 并且分析成绩的稳定性, 从中选出一位参加数学竞 赛. 【解】 设甲、乙两人成绩的平均数分别为 x 甲, x 乙, 1 则 x 甲=130+ (-3+8+0+7+5+1)=133, 6

x 乙=130+ (3-1+8+4-2+6)=133,
2 2 2 2 2 2 s2 , 甲= [(-6) +5 +(-3) +4 +2 +(-2) ]=

1 6

1 6

47 3

5

2 2 2 2 2 2 s2 . 乙= [(0 +(-4) +5 +1 +(-5) +3 ]=

1 6

38 3

因此,甲与乙的平均数相同,由于乙的方差较小,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,应该 选乙参加竞赛比较合适.

频率分布直方图与数字特征 的综合应用 已知一组数据: 125 129 121 123 125 127 129 125 128 126 124 125 127 126 122 124 130 125 126 128

(1)填写下面的频率分布表: 分组 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5] 合计 (2)作出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 【精彩点拨】 将数据分组后依次填写分布表.然后画出直方图,最后根据数字特征在 直方图中的求法求解. 【尝试解答】 (1) 分组 [120.5,122.5) [122.5,124.5) [124.5,126.5) [126.5,128.5) [128.5,130.5] 合计 (2) 频数累计 频数 2 3 8 4 3 20 频率 0.1 0.15 0.4 0.2 0.15 1 频数累计 频数 频率

6

(3)在[124.5,126.5)中的数据最多, 取这个区间的中点值作为众数的近似值, 得众数为 5 125.5,事实上,众数的精确值为 125.图中虚线对应的数据是 124.5+2× =125.75,事实 8 - 上中位数为 125.5.使用“组中值”求平均数: x =121.5×0.1+123.5×0.15+125.5×0.4 - +127.5×0.2+129.5×0.15=125.8,事实上平均数的精确值为 x =125.75.

1.利用频率分布直方图求数字特征 (1)众数是最高的矩形的底边的中点; (2)中位数左右两侧直方图的面积相等; (3)平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和. 2.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值,往往与实际数据得出的不一致, 但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.

[再练一题] 3.某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组,绘制成 如图 2?2?20 所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频 率分别是 0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.求:

图 2?2?20 (1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数;

7

(2)高一参赛学生的平均成绩. 【解】 (1)由题图可知众数为 65, 又∵第一个小矩形的面积为 0.3, ∴设中位数为 60+x,则 0.3+x×0.04=0.5,得 x=5, ∴中位数为 60+5=65. (2)依题意,平均成绩为: 55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67, ∴平均成绩约为 67. [探究共研型] 平均数、中位数、众数的特征 探究 1 一组数据的平均数、中位数、众数唯一吗? 【提示】 一组数据的平均数、中位数都是唯一的,众数不唯一,可以有一个,也可以 有多个,还可以没有.如果有两个数据出现的次数相同,并且比其他数据出现的次数都多, 那么这两个数据都是这组数据的众数. 探究 2 如何从样本的数字特征中了解数据中是否存在极端数据? 【提示】 中位数不受几个极端数据的影响,而平均数受每个数据的影响,“越离群” 的数据,对平均数的影响越大,因此如果样本平均数大于样本中位数,说明数据中存在许多 较大的极端值;反之,说明数据中存在许多较小的极端值.在实际应用中,如果同时知道样 本中位数和样本平均数,可以了解样本数据中极端数据的信息. 探究 3 众数、中位数有哪些应用? 【提示】 (1)众数只与这组数据中的部分数据有关,当一组数据中有不少数据重复出 现时,众数往往更能反映问题. (2)中位数仅与数据的排列位置有关,中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据 中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.

方差、标准差的特征 探究 4 从数据的哪些数字特征可以得到数据的离散程度? 【提示】 (1)数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述,极差反映了一组 数据变化的最大幅度,它对一组数据中的极端值极为敏感,一般情况下,极差大,则数据波 动性大;极差小,则数据波动性小.极差只需考虑两个极端值,便于计算,但没有考虑中间 的数据,可靠性较差. (2)标准差和方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小,方差、标准差的运算量较 大.因为方差与原始数据单位不同,且平方后可能夸大了偏差程度,所以虽然标准差与方差 在体现数据离散程度上是一样的,但解决问题时一般用标准差.
8

样本的数字特征 探究 5 样本的数字特征具有哪些性质? 【提示】 (1)样本的数字特征具有随机性,这种随机性是由样本的随机性引起的. (2)样本的数字特征具有规律性, 在很广泛的条件下, 简单随机样本的数字特征(如众数、 中位数、 平均数和标准差等)随样本容量的增加而稳定于总体相应的数字特征(总体的数字特 征是一定的,不存在随机性). 某班 4 个小组的人数为 10,10,x,8,已知该组数据的中位数与平均数相等,求 这组数据的中位数. 【精彩点拨】 x 的大小未知,可根据 x 的取值不同分别求中位数. 1 【尝试解答】 该组数据的平均数为 (x+28),中位数一定是其中两个数的平均数,由 4 于 x 不知是多少,所以要分几种情况讨论: 1 (1)当 x≤8 时,原数据按从小到大的顺序排列为 x,8,10,10,其中位数为 ×(10+8)= 2 1 9.若 (x+28)=9,则 x=8,此时中位数为 9. 4 1 (2)当 8<x≤10 时, 原数据按从小到大的顺序排列为 8, x,10,10, 其中位数为 (x+10). 若 2 1 (x+28)= 4 1 ·(x+10),则 x=8,而 8 不在 8<x≤10 的范围内,所以舍去. 2 1 (3)当 x>10 时,原数据按从小到大的顺序排列为 8,10,10,x,其中位数为 ×(10+10) 2 1 =10.若 (x+28)=10,则 x=12,此时中位数为 10. 4 综上所述,这组数据的中位数为 9 或 10.

当在数据中含有未知数 x,求该组数据的中位数时,由于 x 的取值不同,所以数据由小 到大 或由大到小 排列的顺序不同,由于条件的变化,问题的结果有多种情况,不能用同 一标准或同一种方法解决,故需分情况讨论,讨论时要做到全面合理,不重不漏.

[再练一题] 4.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班
9

级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不 相同,则样本数据中的最大值为____________. 【解析】 设 5 个班级中参加的人数分别为 x1, x2, x3, x4, x5, 则由题意知
2 2 2 2 2

x1+x2+x3+x4+x5
5

=7,(x1-7) +(x2-7) +(x3-7) +(x4-7) +(x5-7) =20,五个整数的平方和为 20,则 必为 0+1+1+9+9=20, 由|x-7|=3 可得 x=10 或 x=4.由|x-7|=1 可得 x=8 或 x=6, 由上可知参加的人数分别为 4,6,7,8,10,故最大值为 10. 【答案】 10

1.样本 101,98,102,100,99 的标准差为( A. 2 C.1 B.0 D.2
2

)

【解析】 样本平均数 x =100,方差为 s =2, ∴标准差 s= 2,故选 A. 【答案】 A 2.甲乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图 2?2?21 所示.

图 2?2?21 ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学高; ③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是( A.③④ C.②④ ) B.①②④ D.①③

1 【解析】 甲的中位数 81, 乙的中位数 87.5, 故①错, 排除 B、 D; 甲的平均分 x = (76 6 1 +72+80+82+86+90)=81,乙的平均分 x′ = (69+78+87+88+92+96)=85,故② 6 错,③对,排除 C,故选 A.
10

【答案】 A 3.甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数 x 及其方差 s 如下表所示,则 选送决赛的最佳人选应是( ) 甲 乙 8 6.3 D.丁
2 2 2 2 2

丙 8 7

丁 7 8.7

x s2
A.甲 B.乙

7 6.3 C.丙

【解析】 ∵ x 乙= x 丙> x 甲= x 丁,且 s甲=s乙<s丙<s丁, ∴应选择乙进入决赛. 【答案】 B 4. 为了调查某厂工人生产某种产品的能力, 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数 量得到频率分布直方图如图 2?2?22,则

图 2?2?22 (1)这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________. (2)这 20 名工人中一天生产该产品数量的中位数为________. (3)这 20 名工人中一天生产该产品数量的平均数为________. 【解析】 (1)(0.040×10+0.025×10)×20=13. (2)设中位数为 x,则 0.2+(x-55)×0.04=0.5,x=62.5. (3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64. 【答案】 (1)13 (2)62.5 (3)64

5.甲、乙两人在相同条件下各打靶 10 次,每次打靶的成绩情况如图 2?2?23 所示:

图 2?2?23
11

(1)填写下表: 平均数 甲 乙 7 方差 1.2 5.4 中位数 命中 9 环及以上 1 3

(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析: ①从平均数和方差结合分析偏离程度; ②从平均数和中位数结合分析谁的成绩好些; ③从平均数和命中 9 环以上的次数相结合看谁的成绩好些; ④从折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 1 【解】 (1)乙的射靶环数依次为 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10.所以 x 乙= (2+4+6+8+7 10 +7+8+9+9+10)=7;乙的射靶环数从小到大排列为 2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以中位 7+8 数是 =7.5;甲的射靶环数从小到大排列为 5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位数为 7.于 2 是填充后的表格如下表所示: 平均数 甲 乙 7 7 方差 1.2 5.4
2

中位数 7 7.5
2

命中 9 环及以上 1 3

(2)①甲、乙的平均数相同,均为 7,但 s甲<s乙,说明甲偏离平均数的程度小,而乙偏 离平均数的程度大. ②甲、乙的平均水平相同,而乙的中位数比甲大,说明乙射靶成绩比甲好. ③甲、乙的平均水平相同,而乙命中 9 环以上(包含 9 环)的次数比甲多 2 次,可知乙的 射靶成绩比甲好. ④从折线图上看,乙的成绩呈上升趋势,而甲的成绩在平均线上波动不大,说明乙的状 态在提升,更有潜力.

12


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