tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:2-7 三角函数_图文

第7讲 三角函数

热 点 调 研

调研一 三角函数求值 命题方向: 1.恒等变换求值;2.二倍角公式求值; 3.变角求值;4.齐次式求值;5.求角.

[恒等变换求值] π (1)(2016· 河北省三市二次联考)若 2sin(θ+ )=3sin(π -θ), 3 则 tanθ 等于( 3 A.- 3 2 3 C. 3 ) 3 B. 2 D.2 3

【解析】 由已知得 sinθ+ 3cosθ=3sinθ, 即 2sinθ= 3 3 cosθ,所以 tanθ= ,故选 B. 2 【答案】 B

【回顾】 三角恒等变换要重视三角函数的“三变”:“三 变”是指“变角、变名、变式”.变角:对角的拆分要尽可能化 成已知角、 同角、 特殊角. 变名: 尽可能减少函数名称的变化. 变 式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在 解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求 (或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角函数公 式进行恒等变换.

2si n47°- 3si n17° (2)(2016· 衡阳模拟) =( cos17° A.- 3 C. 3
【 解 析 】

)

B.-1 D.1 2(sin47°-sin17°cos30°) cos17°



2[sin(17°+30°)-sin17°cos30°] =2sin30°=1. cos17° 【答案】 D

(3)(2016· 合肥质检)sin18°·sin78°-cos162°·cos78°= ( ) 3 A.- 2 3 C. 2 1 B.- 2 1 D. 2

【解析】 sin18°· sin78°-cos162°· cos78°=sin18°· sin78 1 °+cos18°·cos78°=cos(78°-18°)=cos60°= ,故选 D. 2 【答案】 D

[二倍角公式求值] π (1)cos -sin =________. 8 8
2 2

π

π 2 【解析】 由二倍角公式,得 cos -sin =cos(2× )= . 8 8 8 2 【答案】 2 2





(2)(2016· 河南八市质检)已知函数 f(x)=sinx-cosx,且 f′(x) 1 = f(x),则 tan2x 的值是( 2 2 A.- 3 4 C. 3 ) 4 B.- 3 3 D. 4

1 1 【解析】 因为 f′(x)=cosx+sinx= sinx- cosx, 所以 tanx 2 2 -6 3 2tanx =-3,所以 tan2x= = = ,故选 D. 1-tan2x 1-9 4 【答案】 D

π 3 π π (3)(2016· 福建质检)已知 cos(α+ )= , - <α < , 则 tan2 5 2 2 2 α 的值等于( 12 A. 25 24 C. 25 ) 12 B.- 25 24 D.- 25

π 3 π 3 【解析】 因为 cos(α+ )= ,所以 sinα=- ,又- < 2 5 5 2 π 4 3 4 α< , 所以 cosα= , 所以 sin2α=2sinαcosα=2×(- )× = 2 5 5 5 24 - ,故选 D. 25 【答案】 D

π 3 (4)(2016· 新课标全国Ⅱ)若 cos( -α)= ,则 sin2α =( 5 4 7 A. 25 1 C.- 5 1 B. 5 7 D.- 25

)

π π π 2 【解析】 因为 cos( -α)=cos cosα+sin sinα= (sin 4 4 4 2 3 3 2 18 α+cosα)= ,所以 sinα+cosα= ,所以 1+sin2α= , 5 5 25 7 所以 sin2α=- ,故选 D. 25 【答案】 D

1 (5)(2016· 开封模拟)设 a=( , cosθ )与 b=(-1, 2cosθ )垂直, 2 则 cos2θ 的值等于( 2 A.- 2 1 C.- 2 ) B.0 D.1

1 【解析】 ∵a=( ,cosθ)与 b=(-1,2cosθ)垂直,∴a·b 2 1 1 2 2 2 =0,即- +2cos θ=0,则 cos2θ=2cos θ-1=2cos θ- - 2 2 1 1 =- .故选 C. 2 2 【答案】 C

[变角求值] π π (1)(2016· 福州质检)若 2cos2α =sin(α- ),且 α∈( ,π ), 4 2 则 cos2α 的值为( 7 A.- 8 C.1 ) 15 B.- 8 15 D. 8

π 【解析】 由已知及 2cos2α=-2sin(- +2α)=-4sin(α 2 π π π π π - )cos(α- ),得-4sin(α- )cos(α- )=sin(α- ),所以 4 4 4 4 4 π π 1 15 15 cos(α- )=- ,所以 sin(α- )= ,所以 cos2α= . 4 4 4 4 8 【答案】 D

π 1 (2)(2016· 长沙调研)对于锐角 α,若 sin(α- )= ,则 cos(α 3 6 - π 3 )=( ) 3- 2 B. 8 2 3-1 D. 6

2 6+1 A. 6 3+ 2 C. 8

π 1 π 【解析】 由于 α 为锐角,且 sin(α- )= ,则 cos(α- ) 6 3 6 π π π π π 2 2 = ,cos(α- )= cos[(α- )- ]=cos(α- )cos +sin(α 3 3 6 6 6 6 π π 2 6+1 - )sin = . 6 6 6 【答案】 A

2 1 (3)(2016· 河北七校)已知 tan(α+β)= , tanβ = , 则 tan(α-β) 5 3 的值为________.

【解析】

2 1 ∵tan(α+β)= ,tanβ= ,∴tanα=tan[(α+β) 5 3

2 1 - tan(α+β)-tanβ 5 3 1 - β] = = = , tan(α - β) = 2 1 17 1+tan(α+β)· tanβ 1+ × 5 3 1 1 - tanα-tanβ 17 3 7 = =- . 1 1 26 1+tanαtanβ 1+ × 17 3 7 【答案】 - 26

π β 3 α 1 (4)若 α,β ∈(0, ),cos(α- )= ,sin( -β)=- ,则 2 2 2 2 2 cos(α+β)=________.

π π π α β π 【解析】 ∵α,β∈(0, ),∴- <α- < ,- < - 2 4 2 2 2 2 π π α β 3 α 1 β β< ,由 cos(α- )= 和 sin( -β)=- ,得 α- =± , -β 4 2 2 2 2 2 6 2 π =- . 6 π α π π β 当 α- =- , -β=- 时, α+β=0, 与 α, β∈(0, ) 2 6 2 6 2 π π β π α 矛盾;当 α- = , -β=- 时,α=β= ,此时 cos(α+β) 2 6 2 6 3 1 =- . 2 1 【答案】 - 2

【回顾】 楚.

(1)角的变换关键是前后角之间的联系一定要清

π π β α (2)α+β=2[(α- )-( -β)],α=(α+ )- . 2 2 3 3

[齐次式求值] 3 (1)(2016· 新课标全国Ⅱ)若 tanα = ,则 cos2α +2sin2α = 4 ( ) A. 64 25 48 B. 25 16 D. 25

C.1

【解析】

2 cos α+4sinαcosα 2 cos α + 2sin2 α = = cos2α+sin2α

1+4tanα 1+3 64 = = . 2 9 25 1+tan α 1+ 16 【答案】 A

(2)(2016· 长沙四校联考)已知角 θ 的终边在第三象限,tan2θ =-2 2,则 sin2θ +sin(3π -θ)cos(2π +θ)- 2cos2θ ( 2 A.- 6 2 C.- 3 2 B. 6 2 D. 3 )

【解析】

2tanθ 由 tan2 θ=- 2 2可得 tan2 θ= =- 2 1-tan θ 2 . 2

2 2, 即 2tan2θ-tanθ- 2=0, 解得 tanθ= 2或 tanθ=-

又角 θ 的终边在第三象限,故 tanθ= 2,故 sin2θ+sin(3π- θ)·cos(2 π + θ) - 2 cos2 θ = sin2 θ + sin θ cos θ - 2 cos2 θ = sin2θ+sinθcosθ- 2cos2θ sin2θ+cos2θ ( 2)2+ 2- 2 2 = ,选 D. 2 3 ( 2) +1 【答案】 D = tan2θ+tanθ- 2 tan2θ+1 =

【回顾】 (1)求正切是基础,将三角函数式用正切表示是关 键. 2sinθ·cosθ 2tanθ (2)sin2θ=2sinθ·cosθ= 2 = . sin θ+cos2θ tan2θ+1 1-tan2θ cos2θ= . 1+tan2θ

[求角] π 1 13 已知 cos α = , cos(α - β) = ,且 0<β<α< ,则 β = 7 14 2 ________.

π 1 【解析】 由 cosα= ,0<α< ,得 sinα= 1-cos2α= 7 2 1 2 4 3 1-( ) = . 7 7 π π 由 0<β<α< ,得 0<α-β< . 2 2 13 又∵cos(α-β)= , 14

∴sin(α-β)= 1-cos (α-β)=

2

13 2 3 3 1-( ) = . 14 14

由 β=α-(α-β), 得 cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 +sinαsin(α-β)= × + × = . 7 14 7 14 2 π ∴β= . 3 【答案】 π 3

(1)解决三角函数的给值求值问题的关键是把 “所求角”用 “已知角”表示出来. (2)解给值求角问题的一般步骤: ①求角的某一个三角函数值; ②确定角的范围; ③根据角的范围写出所求的角.

(3)①三角函数式的化简与求值的原则:化为同名同角,常用 的技巧有:切割化弦、降幂、异角化同角、高次化低次. ②三角函数恒等变形的基本策略: a.常值代换.特别是用“1”的代换,如 1=cos2x+sin2x 等. b.项的分拆与角的配凑.如分拆项: sin2x+2cos2x= (sin2x α+β +cos x)+cos x=1+cos x;配凑角:α=(α+β)-β,β= - 2
2 2 2

α-β 等. 2

③降次与升次.即倍角公式的变形. asinα+bcosα ④化弦(切)法.尤其齐次式形如: . csinα+dcosα ⑤引入辅助角.asinθ+bcosθ= a2+b2sin(θ+φ).

1.(2016· 福州调研)已知角 θ 的终边在直线 y=-2x 上,则 π tan(- +θ)-5cos2θ =( 4 A.3 C.-3 ) B.6 D.-6

答案 B 解析 由角 θ 的终边在直线 y=-2x 上可知 tanθ=-2,则 π tanθ-1 cos2θ-sin2θ 1-tan2θ tan(- +θ)= =3,cos2θ= 2 = 4 1+tanθ cos θ+sin2θ 1+tan2θ π 3 =- ,所以 tan(- +θ)-5cos2θ=3+3=6. 5 4

3 2.(2016· 江西七校)已知 tanα <0,且 sinα =- ,则 sin2 3 α =( ) 2 2 B.- 3 2 D.- 3

2 2 A. 3 2 C. 3

答案 B 6 解析 由条件可得 α 为第四象限角,cosα= ,则 sin2α 3 2 2 =2sinαcosα=- . 3

3.(2016· 芜湖模拟)在△ABC 中,tanA,tanB 是方程 6x2-5x +1=0 的两根,则 tanC=( A.-1 5 C.- 7 ) B.1 5 D. 7

答案 A 5 1 解析 依题意, tanA+tanB= , tanAtanB= , tanC=-tan(A 6 6 tanA+tanB +B)=- =- 1-tanAtanB 5 6

=-1. 1 1- 6

π 1 4.(2016· 广州模拟)已知 cos(θ+π )=- ,则 sin(2θ+ )= 3 2 ________.
答案 解析
2

7 - 9 π 1 1 cos(θ+π)=- ,所以 cosθ= ,sin(2θ+ )=cos2θ 3 3 2

7 =2cos θ-1=- . 9

1 5.(2016· 武汉调研)在△ABC 中,sin(C-A)=1,sinB= , 3 则 sinA=________.
答案 3 3

解析 ∵sin(C-A)=1,∴C-A=90°,即 C=90°+A,∵ 1 1 sinB= ,∴ sinB=sin(A+ C)=sin(90°+2A)= cos2A= ,即 1- 3 3 1 3 2sin A= ,∴sinA= . 3 3
2

6. (2016· 合肥调研)已知 tanα , tanβ 是方程 x2+3 3x+4=0 π π 的两根,α ,β ∈(- , ),则 α+β=________. 2 2

答案 解析

2π - 3 由已知,根据一元二次方程根与系数的关系得 tanα

π π +tanβ=-3 3,tanαtanβ=4.因为 α,β∈(- , ),所以 2 2 π tanα+tanβ tanα<0,tanβ<0,α,β∈(- ,0).tan(α+β)= 2 1-tanαtanβ -3 3 2π = = 3,所以 α+β=- . 3 1-4

调研二 三角函数图像及变换 命题方向: 1.知式选图、由图定式; 2.由图定参,由图定值; 3.确定平移前后的解析式; 4.确定平移向量及参数.

[知式选图、由图定式] cosx (1)(2016· 太原模拟)函数 y=sinx| |(0<x<π )的图像大致是 sinx ( )

【解析】

cosx 由于函数 y = sinx| |(0<x< π ) = |cosx|(0<x< sinx

π)≥0, 即函数图像在 x 轴上方, 只有选项 B 中的图像满足条件. 【答案】 B

(2)(2016· 沈阳质检)某函数部分图像如图所示,它的函数解析 式可能是( )

5 3π A .y=si n( - x+ ) 6 5 6 3π C .y=si n( x+ ) 5 5

6 2π B .y=si n( x- ) 5 5 5 3π D .y=-cos( x+ ) 6 5

【解析】 不妨令该函数解析式为 y=Asin(ωx+φ)(ω>0), 2π 5π T 3π π 5π 6 π 由图知 A=1, = - = ,于是 = ,即 ω= , 是 4 4 3 12 3 5 3 ω 6 π 函数的图像递减时经过的零点, 于是 × +φ=2kπ+π, k∈Z, 5 3 3π 所以 φ 可以是 ,选 C. 5 【答案】 C

【回顾】 (1)选图:通过定义域、值域、单调性、奇偶性对 称性、特殊点等来确定. (2)定式实质上就是确定参数,也可以带点排除.

[由图定参、由图定值] (1)(2016· 广州五校联考)函数 f(x)=2sin(ωx π π +φ)(ω>0,- <φ < )的部分图像如图所示, 2 2 则 ω,φ 的值分别是( π A.2,- 3 π C .4,- 6 ) π B .2,- 6 π D .4, 3

5π π 3π 3 【解析】 由图可得 T= -(- )= ,∴T=π,∴T 4 12 3 4 2π 5π = =π, ω=2, ∴f(x)=2sin(2x+φ), 又 f(x)的图像经过点( , 12 ω 5π 5π 5π 5π π 2), ∴f( )=2sin( +φ)=2, ∴sin( +φ)=1, ∴ +φ= 12 6 6 6 2 π π π +2kπ(k∈Z),即 φ=- +2kπ(k∈Z),又- <φ< ,∴φ 3 2 2 π =- . 3 【答案】 A

(2)(2016· 百校联盟)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(|φ|<

π 2

,ω >0)

π 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点为 P( ,1),在原点右侧与 x 6 5π π 轴的第一个交点为 Q( ,0),则 f( )的值为( 12 3 A.1 1 C. 2 B. 2 2 )

3 D. 2

T 5π π 【解析】 f(x)=sin(ωx+φ),由题意得 = - ,所以 T 4 12 6 π π =π, 所以 ω=2, 将点 P( , 1)代入 f(x)=sin(2x+φ), 得 sin(2× 6 6 π π π +φ)=1,所以 φ= +2kπ(k∈Z).又|φ|< ,所以 φ= ,即 6 2 6 π π π π 5π 1 f(x)=sin(2x+ )(x∈R), 所以 f( )=sin(2× + )=sin = , 6 3 3 6 6 2 选 C. 【答案】 C

(3)(2016· 河北三市七校)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0, |φ |≤ π 2 ),其图像与直线 y=-1 相邻两个交点的距离为π ,若

π π f(x)>1 对?x∈(- , )恒成立,则 φ 的取值范围是( 12 3 π π A .[ , ] 12 2 π π C .[ , ] 12 3 π π B .[ , ] 6 3 π π D .( , ] 6 2

)

【解析】 由已知得函数 f(x)的最小正周期为π,则 ω=2, π π π 2π 当 x∈(- , )时,2x+φ∈(- +φ, +φ),∵f(x)>1, 12 3 6 3 ? ?-π+φ≥0, ? 6 π π π |φ|≤ ,∴? 解得 ≤φ≤ . 2 6 3 ?2π +φ≤π, ? 3 ? 【答案】 B

(4)(2016· 芜湖模拟 )函数 f(x)= sin(ωx + φ)(x∈R)(ω>0 , |φ |< π 2 )的部分图像如

π 2π 图所示,如果 x1,x2∈( , ),且 f(x1) 6 3 =f(x2),则 f(x1+x2)=( 3 A.- 2 1 C. 2 ) 1 B.- 2 3 D. 2

2π π 2π 【解析】 依题意,T=2×( - )=π,故 ω= =2, 3 6 π 5π 5π π π 因为 f( )=1,故 2× +φ= +2kπ(k∈Z),故 φ=- + 12 12 2 3 π π π 2kπ(k∈Z),又|φ|< ,故 φ=- ,所以 f(x)=sin(2x- ),因 2 3 3 5π 5π 5π π 3 为 x1+x2=2× = ,故 f(x1+x2)=sin(2× - )=- . 12 6 6 3 2 【答案】 A

[确定平移前后的解析式] (1)(2016· 唐山期末)将函数 y= 3cos2x-sin2x 的图像向右平 π 移 个单位长度,所得图像对应的函数为 g(x),则 g(x)=( 3 A.2sin2x π C.2cos(2x- ) 6 B.-2sin2x π D.2sin(2x- ) 6 )

【 解析】

π 因 为 y = 3cos2x - sin2x = 2sin( - 2x) = - 3

π π 2sin(2x - ) ,将其图像向右平移 个单位长度得到 g(x) =- 3 3 π π 2sin[2(x- )- ]=-2sin(2x-π)=2sin2x 的图像,所以选 A. 3 3 【答案】 A

π (2)将函数 y=f(x)cosx 的图像向右平移 个单位长度,再作 3 所得图像关于 y 轴的对称图像,所得函数图像的解析式为 y=- 2π sin(2x+ ),则 f(x)=( 3 A.-2cosx C.2sinx ) B.2cosx D.-2sinx

π 【解析】 方法一:y=f(x)cosx 的图像向右平移 个单位长 3 π π 度得 y=f(x- )cos(x- )的图像,再作所得图像关于 y 轴的对 3 3 π π 称图像,所得函数图像的解析式为 y=f(-x- )cos(-x- )= 3 3 π π 2π π π f(-x- )· cos(x+ )=-sin(2x+ ), 所以 f(-x- )cos(x+ ) 3 3 3 3 3 π π π π =- 2sin(x + )cos(x + ) .故 f( - x - ) =- 2sin(x + ) = 3 3 3 3 π 2sin(-x- )?f(x)=2sinx. 3

2π 方法二:y=-sin(2x+ )的图像关于 y 轴对称的图像的解 3 2π π 析式为 y=-sin(-2x+ ),再将所得图像向左平移 个单位长 3 3 π 2π 度 得 函 数 y = - sin[ - 2(x + ) + ] = sin2x = 2sinxcosx = 3 3 f(x)cosx 的图像,故 f(x)=2sinx. 【答案】 C

【回顾】 (1)平移八字方针:左加右减,上加下减; (2)求平移前的函数,实质是一种逆向平移.

[确定平移向量及参数] π (1)(2016· 河北五一名校联盟)函数 y=sin(2x+ )+2 的图像 3 按向量 a 平移得到 y=sin2x 的图像,则 a 可以是( π A .( ,-2) 3 π C .( - ,-2) 6 )

π B .( - ,-2) 3 π D .( ,-2) 6

【解析】 设 a=(m,n),则平移后的图像的解析式为 y-2 π π -n=sin[2(x-m)+ ],即 y=sin2x,比较知 n=-2,m= , 3 6 故选 D. 【答案】 D

π (2)(2016· 四川卷)为了得到函数 y=sin(2x- )的图像,只需 3 把函数 y=sin2x 的图像上所有的点( π A.向左平移动 个单位长度 3 π B.向右平移动 个单位长度 3 π C.向左平移动 个单位长度 6 π D.向右平移动 个单位长度 6 )

π π 【解析】 因为 y=sin(2x- )=sin[2(x- )],所以只需把 3 6 π 函数 y=sin2x 的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度即 6 可,故选 D. 【答案】 D

(3)(2016· 山西协作体)将函数 y=sin2x 的图像向左平移 φ(φ>0) 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到函数 y=2cos2x 的 图像,那么 φ 可以取的值为( π A. 2 π C. 4 ) π B. 3 π D. 6

【解析】 将函数 f(x)=sin2x 的图像向左平移 φ 个单位再向 上平移 1 个单位后, 得到 g(x)=sin[2(x+φ)]+1=sin(2x+2φ)+1, π 又∵y=2cos x=1+cos2x,∴2φ= +2kπ(k∈Z),∴当 k=0 2
2

π 时,φ= . 4 【答案】 C

(4)(2016· 武昌调研 )已知函数 f(x)=2sin(ωx+

π 6

)-1(ω>0)的

2π 图像向右平移 个单位后与原图像重合, 则 ω 的最小值是( 3 A.3 4 C. 3 3 B. 2 2 D. 3

)

2π 【解析】 将 f(x)的图像向右平移 个单位后得到图像函数 3 2π π 2ωπ π 解析式为 2sin[ω(x- )+ ]-1=2sin(ωx- + )-1,所 3 6 3 6 2ωπ 以 =2kπ,k∈Z,所以 ω=3k,k∈Z,因为 ω>0,k∈Z, 3 所以 ω 的最小值为 3,故选 A. 【答案】 A

1.图像变换的方法. 方法一 ①将 y=sinx 的图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|

个单位,得 y=sin(x+φ); 1 ② 将 y = sin(x + φ) 图 像 上 每 点 的横 坐 标 变 为原 来 的 倍 ω (ω>0),(纵坐标不变),得 y=sin(ωx+φ); ③将 y= sin(ωx+φ)图像上每点的纵坐标变为原来的 A 倍 (A>0),(横坐标不变),即得 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像.

1 方法二 ①将 y=sinx 图像上每点的横坐标变为原来的 倍 ω (ω>0),(纵坐标不变),得 y=sinωx 的图像; |φ| ②将 y=sinωx 图像向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个单位, 得 ω y=sin(ωx+φ)的图像; ③将 y=sin(ωx+φ)的图像上每点的纵坐标变为原来的 A 倍 (A>0),(横坐标不变),即得 y=Asin(ωx+φ)的图像.

2.根据图像求 y=Asin(ωx+φ),x∈R 的解析式的步骤: (1)首先确定振幅和周期,从而得到 A 与 ω. ①A 为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的 一半. ②ω由周期得到:a.函数图像在其对称轴处取得最大值或最 小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期;b.函 数图像与 x 轴的交点是对称中心,相邻两个对称中心间的距离也 是函数的半个周期;c.一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的 1 距离为函数的 个周期(借助图像很好理解记忆). 4

(2)求 φ 的值时最好选用最值点求. π π 峰点:ωx+φ= +2kπ;谷点:ωx+φ=- +2kπ. 2 2 也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点. 升零点(图像上升时与 x 轴的交点):ωx+φ=2kπ; 降零点(图像下降时与 x 轴的交点):ωx+φ=π+2kπ(以上 k∈Z).

1.(2016· 西安模拟)函数 f(x)=sin2x+xcosx 在[-π ,π ]上 的图像大致是( )

答案 B π 解析 奇函数,排除 C,D,又 f( )=0,故选 B. 2

2.(2016· 山东师范附中一模 )要得到函数 f(x)=cos(2x+ π 的图像,只需将函数 g(x)=sin(2x+ )的图像( 3

π 3

)

)

π π A.向左平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度 2 2 π π C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 4 4

答案 C 解析 π π π 因为函数 f(x) = cos(2x + ) = sin[(2x + ) + ] = 3 3 2

π π π sin[2(x+ )+ ], 所以将函数 g(x)=sin(2x+ )的图像向左平移 4 3 3 π π π 个单位长度,即可得到函数 f(x)=sin[2(x+ )+ ]的图像.故 4 4 3 选 C.

3 . (2016· 衡 阳 调 研 ) 已 知 函 数 y = cosx 与 y = sin(2x + π φ)(0≤φ≤π )它们的图像有一个横坐标为 的交点,则 φ 的值为 3 ( ) A. π 6 π B. 4 D. 2π 3

π C. 3

答案 B 2π π 1 解析 由题意得 sin( +φ)=cos = ,把四个选项的值代 3 3 2 入此式,只有 A 适合.

4.(2016· 太原模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω >0,|φ |< π 2 )的部分图像如图所示,

π π 若 x1,x2∈(- , ),且 f(x1)=f(x2),则 f(x1 6 3 +x2)=( A.1 C. 2 2 ) 1 B. 2 D. 3 2

答案

D

π π T π 解析 由图可知 A=1, = -(- )= ,∴T=π,ω= 2 3 6 2 π π π 2,∵函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< )的图像过点( ,0),则 f( ) 2 3 3 2π 2π 2π = sin( + φ) = 0 ,∴ + φ = k π (k∈Z) ,∴φ= k π- 3 3 3 π π π (k∈Z),又|φ|< ,∴φ= ,则 f(x)=sin(2x+ ),其图像的一 2 3 3 π π π 条对称轴方程是 x= .当 x1,x2∈(- , )时,f(x1)=f(x2)(x1 12 6 3 π π π π 2π ≠x2),∴x1+x2= ×2= ,f(x1+x2)=sin(2× + )=sin 12 6 6 3 3 3 = ,故选 D. 2

5.(2016· 衡中二调)函数 f(x)=Asinω x(A>0,ω >0)的部分图 像如图所示,f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 015)的值为( )

A.0 C.6 2

B.3 2 D.- 2

答案 A 解析 由题设所给的图像可得: A=2,T=2×(6-2)=8, 2π π πx π 于是 8= , 故 ω= .于是 f(x)=2sin , 而 f(1)=2sin = 2, 4 4 4 ω π 3π f(2) = 2sin = 2 , f(3) = 2sin = 2 , f(4) = 2sin π= 0 , f(5) = 2 4 5π 3π 7π 2sin =- 2,f(6)=2sin =-2,f(7)=2sin =- 2,f(8) 4 2 4 9π =2sin2π=0,f(9)=2sin = 2,由此归纳可得 f(1),f(2),?, 4 f(2 015)的值是以 8 为周期循环出现的,并且 f(1)+f(2)+f(3)+? +f(8)=0, 而 2 015=8×251+7, 故 f(1)+f(2)+?+f(2 015)=f(1) +f(2)+?+f(7)= 2+2+ 2+0- 2-2- 2=0.

调研三 三角函数的性质 命题方向: 1.值域、最值;2.单调性; 3.奇偶性、对称性;4.周期性; 5.零点问题.

[值域、最值] (1)(2016· 东北四市联考)将函数 f(x)=sin(2x+φ)(|φ|< π 2 )的图

π π 像向右平移 个单位后的图像关于 y 轴对称, 则函数 f(x)在[0, ] 12 2 上的最小值为( A.0 1 C.- 2 ) B.-1 3 D.- 2

π 【解析】 f(x)=sin(2x+φ)的图像向右平移 个单位后得到 12 π π g(x)=sin[2(x- )+φ]=sin(2x- +φ)的图像,又 g(x)的图像关 12 6 π π π 于 y 轴对称,∴g(0)=sin(- +φ)=± 1,∴- +φ= +kπ 6 6 2 2π π π (k∈Z),∴φ= +kπ(k∈Z),又|φ|< ,∴φ=- ,∴f(x) 3 2 3 π π π π 2π =sin(2x- ),又 x∈[0, ],∴2x- ∈[- , ],∴f(x)min 3 2 3 3 3 3 =- . 2 【答案】 D

π (2)(2016· 广州五校联考)函数 f(x)=4cosxsin(x+ )-1(x∈R) 6 的最大值为________.
【解析】 π 3 1 ∵f(x)=4cosxsin(x+ )-1=4cosx( sinx+ cosx) 6 2 2
2

π - 1 = 2 3sinxcosx + 2cos x - 1 = 3sin2x + cos2x = 2sin(2x + ) , 6 ∴f(x)max=2. 【答案】 2

(3)(2016· 湖南衡阳八中月考 ) 设 x∈(0 , si n2x
2

π 2

) ,则函数 y =

的最大值为________. 2si n x+1 π 【解析】 因为 x∈(0, ),tanx>0, 2
sin2x 2sinxcosx 2tanx 函数 y= = = = 2sin2x+1 3sin2x+cos2x 3tan2x+1 2 2 1 3tanx+ tanx ≤

3 1 3 = ,当且仅当 3tanx= 时等号成立.故最大值为 . tanx 3 2 3 3 【答案】 3 3

(4)(2016· 武汉调研 ) 设函数 f(x) = 3sin(2x + φ) + cos(2x + π 3π φ)(|φ|< )的图像关于直线 x=0 对称,则 y=f(x)在[ , ]上的 2 4 8 值域为( ) B.[-2,0] D.(-2,0) π

A.[- 2,0] C.(- 2,0)

π 【解析】 由题意得函数 f(x)=2sin(2x+ +φ),因为其图 6 π π 像关于直线 x=0 对称,所以 2×0+ +φ= +kπ(k∈Z),即 6 2 π π π π π φ= +kπ(k∈Z), 又|φ|< , 所以 φ= , f(x)=2sin(2x+ + ) 3 2 3 6 3 π 3π π 3π π 3π =2cos2x.当 ≤x≤ 时, ≤2x≤ , 所以 y=f(x)在[ , ] 4 8 2 4 4 8 上的值域为[- 2,0]. 【答案】 A

(5)(2016· 河南九校联考)设 x,y∈R,则(3-4y-cosx)2+(4 +3y+sinx)2 的最小值为( A.4 C.5 ) B.16 D.25

【解析】

(3-4y- cosx)2+ (4+3y+ sinx)2=(3-4y)2-2(3

-4y)cosx+cos2x+(4+3y)2+2(4+3y)sinx+sin2x=25y2+2(4y- 3)cosx+2(3y+ 4)sinx+26=25y2+10 y2+1sin(x+θ)+26≥25y2 4y-3 -10 y +1+26,其中 tanθ= ,设 t= y2+1(t≥1),则 z 3y+4
2

=25y2-10 y2+1+26=25t2-10t+1=(5t-1)2,当 t=1 时取得 最小值 16. 【答案】 B

(6)(2016· 河北五校联考)若函数 f(x)=5cosx+12sinx 在 x=θ 时取得最小值,则 cosθ =( 5 A. 13 12 C. 13 ) 5 B.- 13 12 D.- 13

【解析】

5 12 由 f(x)= 5cosx+ 12sinx= 13( cosx+ sinx)= 13 13

π 5 12 13sin(x+α),其中 sinα= ,cosα= ,由 x+α=2kπ- 13 13 2 π π (k∈Z), 得 x=2kπ- -α(k∈Z), 所以 θ=2kπ- -α(k∈Z), 2 2 π 5 那么 cosθ=cos(2kπ- -α)=-sinα=- . 2 13 【答案】 B

【回顾】

(1)求函数 y=Asin(ωx+φ)+B 的值域、最值问

题.一定要注意相位“ωx+φ”的范围,同时注意结合不等式性 质,连续求解. (2)其他类型的求值域、最值问题,要注意应用换元法进行转 化,注意数形结合.

[单调性] π (1)(2016· 湖南东部六校)函数 y=3sinx+ 3cosx(x∈[0, ]) 2 的单调递增区间是________.

π π π 【解析】 化简可得 y=2 3sin(x+ ), 由 2kπ- ≤x+ 6 2 6 π 2π π ≤ 2k π+ (k∈Z) ,得- + 2k π ≤ x ≤ + 2k π (k∈Z) ,又 2 3 3 π π x∈[0, ],∴函数的单调递增区间是[0, ]. 2 3 π π π π 另解:y=2 3sin(x+ ),由 x∈[0, ]知 t=x+ ∈[ , 6 2 6 6 2π π π π ].当 t∈[ , ]时 sint 是增函数,此时 x∈[0, ]. 3 6 2 3 π 【答案】 [0, ] 3

(2)(2016· 福州调研)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0, 0<φ <π )的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为( )

A.[8k+1,8k+5](k∈Z) C.[8k-5,8k+1](k∈Z)

B.[8k-1,8k+5](k∈Z) D.[8k+3,8k+5](k∈Z)

2π 【解析】 由图像可知 A=2,T=2×(7-3)=8,又由 = ω π πx 8 得 ω= ,所以 f(x)=2sin( +φ),又 0<φ<π,结合 f(3)=0, 4 4 3π π πx π π 即 2sin( +φ)=0,得 φ= ,故 f(x)=2sin( + ),由 + 4 4 4 4 2 πx π 3π 2kπ≤ + ≤ +2kπ(k∈Z)?8k+1≤x≤8k+5(k∈Z). 故 4 4 2 函数 f(x)的单调递减区间为[8k+1,8k+5](k∈Z). 【答案】 A

π (3)(2016· 山西质检)已知函数 f(x)=cos(4x- )+2cos2(2x)- 3 1,将函数 y=f(x)的图像上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍, π 纵坐标不变,再将所有函数图像向右平移 个单位,得到函数 y 6 =g(x)的图像,则函数 y=g(x)的一个单调递增区间为( π π A .[ - , ] 3 6 π 2π C .[ , ] 6 3 B .[ - π 4 , π 4 ] )

π 3π D .[ , ] 4 4

π 1 2 【解析】 由于 f(x)=cos(4x- )+2cos (2x)-1= cos4x+ 3 2 π 3 3 3 sin4x+cos4x= sin4x+ cos4x= 3sin(4x+ ),那么通过变 2 2 2 3 π π 换得到 g(x)= 3sin2x,令 2kπ- ≤2x≤2kπ+ ,(k∈Z)得 k 2 2 π π π π- ≤x≤kπ+ (k∈Z),则其单调递增区间只能是 [- , 4 4 4 π ]. 4 【答案】 B

(4)(2016· 新课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ | π π ≤ ),x=- 为 f(x)的零点,x= 为 y=f(x)图像的对称轴,且 2 4 4 π 5π f(x)在( , )上单调,则 ω 的最大值为( 18 36 A.11 C.7 B.9 D.5 ) π

π π 【解析】 因为 x=- 为函数 f(x)的零点,x= 为 y=f(x) 4 4 π kT T 2π 图像的对称轴,所以 = + (k∈Z,T 为周期),得 T= 2 2 4 2k+1 π 5π π 11 (k∈Z).又 f(x)在( , )上单调,所以 T≥ ,k≤ ,又当 k 18 36 6 2 π π 5π =5 时,ω=11,φ=- ,f(x)在( , )上不单调;当 k=4 4 18 36 π π 5π 时,ω=9,φ= ,f(x)在( , )上单调,满足题意;故 ω= 4 18 36 9,即 ω 的最大值为 9. 【答案】 B

【回顾】

(1) 求单调区间,一般先确定函数解析式 y =

Asin(ωx+φ)+B.其中 ω>0,注意 A 的符号. (2)牢记三角函数的单调区间, y=sinx, y=cosx, 以及 y=tanx.

[奇偶性、对称性] (1)(2016· 山西四校)设函数 f(x)=xsinx+cosx 的图像在点(t, f(t))处切线的斜率为 k,则函数 k=g(t)的部分图像为( )

【解析】 f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx, 故 g(t)=tcost, π 该函数为奇函数,排除 A、C,可知 0<t< 时,g(t)>0,排除 D, 2 故选 B. 【答案】 B

π (2)(2016· 贵州质检)将函数 f(x)=sin(2x+ )的图像向左平移 6 π φ(0<φ≤ )个单位长度,所得的图像关于 y 轴对称,则 φ 的值为 2 ( ) π A. 6 π C. 3 π B. 4 π D. 2

【解析】

π 将 函 数 f(x) = sin(2x + ) 的 图 像 向 左 平 移 6

π φ(0<φ≤ )个单位长度,得到的图像所对应的函数解析式为 y= 2 π π sin[2(x+φ)+ ]=sin(2x+2φ+ ),由题知,该函数是偶函数, 6 6 π π π π 则 2φ+ =kπ+ ,k∈Z,又 0<φ≤ ,所以 φ= ,选项 A 6 2 2 6 正确. 【答案】 A

(3)(2016· 新课标全国Ⅱ)若将函数 y=2sin2x 的图像向左平移 π 12 个单位长度,则平移后图像的对称轴为( kπ π A .x= - ( k∈Z) 2 6 kπ π C .x= - ( k∈Z) 2 12 )

kπ π B .x= + ( k∈Z) 2 6 kπ π D .x= + ( k∈Z) 2 12

π 【解析】 函数 y=2sin2x 的图像向左平移 个单位长度, 12 π π 得到的图像对应的函数表达式为 y=2sin2(x+ ),令 2(x+ )= 12 12 π kπ π kπ+ (k∈Z),解得 x= + (k∈Z),所以所求对称轴的方 2 2 6 kπ π 程为 x= + (k∈Z),故选 B. 2 6 【答案】 B

(4)(2016· 湖北七市)已知函数 f(x)=sinx+ 3cosx(x∈R), 先将 1 y=f(x)的图像上的所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变), 2 再将得到的图像上的所有点向右平行移动 θ(θ>0)个单位长度,得 3π 到的图像关于直线 x= 对称,则 θ 的最小值为( 4 π A. 6 5π C. 12 π B. 3 2π D. 3 )

π 【解析】 f(x)=sinx+ 3cosx=2sin(x+ ),按照条件给出 3 π π 的变换过程,得到 g(x)=2sin[2(x-θ)+ ]=2sin(2x-2θ+ )的 3 3 3π 3π π 图像,又 g(x)的图像关于直线 x= 对称,∴2× -2θ+ = 4 4 3 π 2π kπ 2π +kπ,k∈Z,即 θ= - ,k∈Z,当 k=1 时,θmin= 2 3 2 3 π π - = ,故选 A. 2 6 【答案】 A

π (5)(2016· 郑州预测二)将函数 f(x)=sin(2x- )的图像向右平 2 π 移 个单位后得到函数 g(x)的图像,则 g(x)具有的性质( 4 π A.最大值为 1,图像关于直线 x= 对称 2 π B.在(0, )上单调递减,为奇函数 4 3π π C.在(- , )上单调递增,为偶函数 8 8 3π D.周期为π ,图像关于点( ,0)对称 8 )

π π 【解析】 由题意得,g(x)=sin[2(x- )- ]=sin(2x-π) 4 2 π =-sin2x,对于 A 最大值为 1 正确,而 g( )=0,图像不关于直 2 π π π 线 x= 对称, 故 A 错误; 对于 B, 当 x∈(0, )时, 2x∈(0, ), 2 4 2 满足单调递减,显然 g(x)也是奇函数,故 B 正确;C 显然错误, 2π 3π 3π 2 对于 D, 周期 T= =π, g( )=- , 故图像不关于点( , 2 8 2 8 0)对称,故选 B. 【答案】 B

π 2π (6)(2016· 长春监测)函数 y=sin(2x- )与 y=cos(2x+ )的 3 3 图像关于直线 x=a 对称,则 a 可能是( π A. 24 π C. 8 π B. 12 11π D. 24 )

π 【解析】 由题意,函数 y=sin(2x- )的图像关于直线 x 3 π =a 对称的图像对应的函数为 y=sin[2(2a-x)- ],利用诱导公 3 π π 式将其化为余弦表达式为 y=cos{ -[2(2a-x)- ]}=cos(2x+ 2 3 5π 2π 5π π -4a),令 y=cos(2x+ )=cos(2x+ -4a),则 a= ,选 6 3 6 24 A. 【答案】 A

【回顾】 (1)y=Asinωx 是奇函数,y=Acosωx 是偶函数. 注意应用诱导公式. (2)牢记 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的对称中心,对称轴.

[周期性] (1)(2016· 江西九校 ) 下列函数是以 π 为周期的奇函数的是 ( ) A.y=sinx C.y=tan2x B.y=cos2x D.y=sin2x

【解析】
选项 A B C D 正误 × × × √ 原因 是奇函数,但 T=2π T=π ,但是偶函数 是奇函数,但 T= π 2

是奇函数,且 T=π

【答案】 D

(2)(2016· 山东)函数 f(x)=( 3sinx+cosx)( 3cosx-sinx)的最 小正周期是( π A. 2 3π C. 2 ) B .π

D .2π

【解析】

由题意得 f(x)=3sinxcosx- 3sin2x+ 3cos2x-

π sinxcosx=sin2x+ 3cos2x=2sin(2x+ ).故该函数的最小正周 3 2π 期 T= =π.故选 B. 2 π π 另解:由题意得 f(x)=2sin(x+ )×2cos(x+ )=2sin(2x+ 6 6 π 2π ).故该函数的最小正周期 T= =π.故选 B. 3 2 【答案】 B

1 (3)(2016· 南昌调研)函数 y=|sinxcosx+ |的周期是( 3 π A. 4 C .π π B. 2 D .2π

)

1 1 1 【解析】 y=| sin2x+ |, 由图像得到周期与函数 y= sin2x 2 3 2 2π 周期相同,所以 T= =π. 2 【答案】 C

2x 2x π (4)(2016· 湖南演练)函数 f(x)=sin ·cos( + )+2 的图像 3 3 2 的相邻两条对称轴之间的距离是( 3π A. 8 3π C. 2 ) 3π B. 4 D .3π

【解析】

2x 2x π 22x 因为 f(x)=sin ·cos( + )+2=-sin +2 3 3 2 3

2π 3π 1 4x 3 = cos + ,所以函数的最小正周期为 = ,则相邻两条对 2 3 2 2 4 3 3π 称轴之间的距离是半个周期长为 . 4 【答案】 B

(5)(2016· 合肥调研)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0, 3π - <φ <0)的图像的最高点为( , 2),其图像的相邻两个对称 2 8 π 中心之间的距离为 ,则 φ=( 2 A .- π 3 ) π B .- 4 π D .- 12 π

π C .- 6

【解析】 因为函数 f(x)的图像的相邻两个对称中心之间的 π 2π 距离为 ,故函数 f(x)的最小正周期 T=π,所以 ω= =2, 2 T 3π 3π 因为函数 f(x)的图像的最高点为( , 2),所以 2× +φ=2k 8 8 π π π π+ (k∈Z),φ=2kπ- (k∈Z),因为- <φ<0,所以 φ= 2 4 2 π - . 4 【答案】 B

(6)(2016· 浙江)设函数 f(x)=sin2x+bsinx+c, 则 f(x)的最小正 周期( )

A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,且与 c 无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,且与 c 有关

1-cos2x 【解析】 由于 f(x)=sin x+bsinx+c= +bsinx+c. 2
2

当 b=0 时,f(x)的最小正周期为π;当 b≠0 时,f(x)的最小正周 期为 2π.c 的变化会引起 f(x)图像的上下平移,不会影响其最小 正周期.故选 B. 【答案】 B

【回顾】 求三角函数周期的方法: (1)公式法,注意 y=tanx 和 y=sinx 与 y=cosx 的不同. (2)图像法,数形结合. (3)最小公倍数法:在函数 f(x)=h(x)+g(x)中,f(x)的最小正 周期为 h(x)的最小正周期和 g(x)的最小正周期的最小公倍数.

[零点] π π (1)(2016· 九江模拟)函数 f(x)=sin(x+ )cos(x+ )-sin2x- 4 4 1 ln|x|+ 的零点个数为( 2 A.0 C.2 ) B.1 D.3

【解析】

π 1-cos2x 1 1 f(x)= sin(2x+ )- - ln|x|+ = cos2x 2 2 2 2

-ln|x|,令 y1=cos2x,y2=ln|x|,结合图像易得两函数有两个交 点. 【答案】 C

(2)(2016· 江苏)定义在区间[0,3π ]上的函数 y=sin2x 的图像 与 y=cosx 的图像的交点个数是________.

1 【解析】 由 sin2x=cosx 可得 cosx=0 或 sinx= , 又 x∈[0, 2 π 3π 5π π 5π 13π 17π 3π],则 x= , , 或 x= , , , ,故所求 2 2 2 6 6 6 6 交点个数是 7. 【答案】 7

(3)(2016· 广州模拟 )如果函数 f(x)=sin(ωx+ π 两个零点之间的距离为 ,则 ω 的值为( 6 A.3 C.12 B.6 D.24

π 6

)(ω>0)的相邻

)

π π 2π T π 【解析】 依题意 = ,∴T= ,∴T= = ,∴ω= 2 6 3 3 ω 6. 【答案】 B

(4)(2016· 福州五校 )若将函数 y=3sin(6x+

π 6

)的图像上各点

π 的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变),再向右平移 个单位 6 π π 长度,得到函数 y=f(x)的图像,若 y=f(x)+a 在 x∈[- , ] 6 2 上有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围是( 3 A.[-3, ] 2 3 C.[ ,3] 2 3 3 B.[- , ] 2 2 3 D.(-3,- ] 2 )

π 【解析】 把函数 y=3sin(6x+ )的图像上各点的横坐标伸 6 π 长到原来的 3 倍(纵坐标不变), 得到函数 y=3sin(2x+ )的图像, 6 π π 再向右平移 个单位长度,得到函数 f(x)=3sin(2x- )的图像, 6 6 π π π π 5π 3 当 x∈[- , ]时,2x- ∈[- , ],结合图形知-a∈[ , 6 2 6 2 6 2 3 3),可得 a∈(-3,- ].故选 D. 2 【答案】 D

【回顾】 函数零点与函数图像与 x 轴的交点有关. 零点个数有时可以转化为两条曲线的交点个数问题,求参数 时注意数形结合.

1.对于三角函数,常见的求值域最值的方法: (1)y=asinx+b(或 acosx+b)型. 利用三角函数的值域,需注意对字母 a 的讨论. (2)y=asinx+bcosx 型. 借助辅助角化成 y= a2+b2sin(x+φ)的形式, 再利用有界性 解决.

(3)y=asin2x+bsinx+c 型. 配方后转化为二次函数的最值,应注意|sinx|≤1 的约束. asinx+b (4)y= 型. csinx+d 反解出 sinx,化归为|sinx|≤1 解决. asinx+b (5)y= 型. ccosx+d 化归为 y=Asinx+Bcosx 型或用数形结合法(常用到直线斜 率的几何意义).

(6)y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c 型. 常用到换元法,令 t=sinx+cosx,|t|≤ 2.最终转化为关于 t 的二次函数在限定区间内的最值问题. (7)y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x 型. 利用降幂公式和二倍角公式进行转化,最终可化为 y = Asin(ωx+φ)+B 的形式.

2.求三角函数单调区间的方法: (1)求函数 y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+ φ)的单调区间时,要先把相应“ωx+φ”中的 ω 化成正数,再将 化简后的“ωx+φ”看作一个整体,结合三角函数的单调性,解 不等式即可求得. (2)利用三角函数图像的直观性:增升,减降!

3.(1)求解三角函数的奇偶性和周期性时,一般先要进行三 角恒等变换,把三角函数式化为一个角的一个三角函数,再根据 函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式 求解. (2)正、余弦函数的图像既是中心对称图形,又是轴对称图 形.正切函数的图像只是中心对称图形.应熟记它们的对称轴和 对称中心,并注意数形结合思想的应用.

(3)①y=Asinωx(A≠0,ω≠0)是奇函数; ②y=Acosωx(A≠0,ω≠0)是偶函数; ③若 y=Asin(ωx+φ)是奇函数,则 φ=kπ,k∈Z; π 若是偶函数,则 φ=kπ+ ,k∈Z; 2 π ④若 y=Acos(ωx+φ)是奇函数,则 φ=kπ+ ,k∈Z; 2 若是偶函数,则 φ=kπ,k∈Z. (4)y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)在对称轴处取最值; 在对称中心处函数值为 0.

π 1.(2015· 保定调研)若函数 f(x)=4cosxsin(x+ )-1 的图像 6 向右平移 φ 个单位后对应的函数为奇函数,则 |φ |的最小值为 ( ) π A. 6 5π C. 6 π B. 12 2π D. 3

答案 B π 3 1 解析 由于 f(x)=4cosxsin(x+ )-1=4cosx( sinx+ cosx) 6 2 2 π -1=2 3sinxcosx+2cos x-1= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ), 6
2

π 故函数 f(x)=2sin(2x+ )的图像向右平移 φ 个单位后对应的函数 6 π π 为 y=2sin[2(x-φ)+ ]=2sin(2x-2φ+ ),由函数为奇函数, 6 6 π π kπ 得-2φ+ =kπ,k∈Z,即 φ= - ,k∈Z.所以当 k=0 时, 6 12 2 π |φ|取得最小值,最小值为 ,故选 B. 12

2.(2016· 山西四校)将函数 y= 3cosx+sinx(x∈R)的图像向 左平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( π A. 6 π C. 3 ) π B. 12 5π D. 6

答案 解析

A π ∵y= 3cosx+sinx=2sin(x+ ),∴将函数图像向左 3

π 平移 m 个单位长度后得 g(x)=2sin(x+ +m)的图像,∵g(x)的 3 π π 图像关于 y 轴对称,∴g(x)为偶函数,∴ +m= +kπ(k∈Z), 3 2 π π ∴m= +kπ(k∈Z),∴m= +kπ(k∈Z),又 m>0,∴m 的 6 6 π 最小值为 . 6

3.(2016· 广州调研)已知函数 f(x)=sin(2x+φ)(0<φ< 像的一个对称中心为 ( ( ) 3π π A .[ 2kπ- ,2kπ+ ] ( k∈Z) 8 8 π 5π B .[ 2kπ+ ,2kπ+ ] ( k∈Z) 8 8 3π π C .[ kπ- ,kπ+ ] ( k∈Z) 8 8 π 5π D.[ kπ+ ,kπ+ ] ( k∈Z) 8 8 3π 8

π 2

)的图

, 0) ,则函数 f(x) 的单调递减区间是

答案 D 3π π π 解析 由题可得 sin(2× +φ)=0, 又 0<φ< , 所以 φ= , 8 2 4 π π π 3π 所以 f(x)=sin(2x+ ), 由 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z), 4 2 4 2 π 5π 得 f(x)的单调递减区间是[kπ+ ,kπ+ ](k∈Z). 8 8

?x≥0, ? ? 4.(2016· 福州五校)已知 x,y 满足不等式组?x-y≤0, 设(x ? ? ?4x+3y≤14 π +2) +(y+1) 的最小值为 ω,则函数 f(t)=sin(ωt+ )的最小正 6
2 2

周期为( A. 2π 3

) B .π 2π D. 5

π C. 2

答案

D ?x≥0, ? 由不等式组?x-y≤0, 作出可行域 ?4x+3y≤14 ?

解析

如图中阴影部分所示,(x+2)2+(y+1)2 的几何意 义为可行域内的点与定点 C(-2,-1)之间的距离的平方,其最 π 2π 小值为 5,故 f(t)=sin(5t+ ),其最小正周期 T= ,故选 D. 6 5

5 . (2016· 郑州预测 )△ABC 的三个内角为 A , B , C ,若 3cosA+sinA 3sinA-cosA 7 = tan( - π ) , 则 2cosB + sin2C 的 最 大 值 为 12

________.

3 答案 2 π π sin(A+ ) 3cosA+sinA 2sin(A+ 3 ) 3 解析 = =- =- π π 3sinA-cosA 2sin(A- ) cos(A+ ) 6 3 π π 7π π 7π tan(A+ )=tan(-A- )=tan(- ),所以-A- =- ,所 3 3 12 3 12 7π π 3π π π 以 A= - = = , 所以 tanA=tan =1, 所以 2cosB+sin2C 12 3 12 4 4 3 3 = 2cosB + sin2( π- B)= 2cosB + sin( π- 2B)= 2cosB - cos2B = 4 2 12 3 1 3 2 2cosB-2cos B+1=-2(cosB- ) + ,当 cosB= 时有最大值 . 2 2 2 2

6.(2016· 衡水调研)若关于 x 的方程 sin2x+cos2x=k 在区间 π [0, ]上有两个不同的实数解,则 k 的取值范围为________. 2

答案 [1, 2) π π k 解析 原方程可变形为 sin(2x+ )= ,∵x∈[0, ],∴ 4 2 2 π π 5π π π ≤2x+ ≤ ,易知函数 f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上单调递 4 4 4 4 8 π π π π k 增,在[ , ]上单调递减.又 f(0)>f( ),∴f(0)≤ <f( ),∴ 8 2 2 2 8 1≤k< 2.

请做:小题专练·作业(十二)


推荐相关:

2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)课件:专题2 三角....ppt

2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)课件:专题2 三角函数与平面向量 第2讲 - 第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题...

2017届高考数学(理)(新课标)二轮专题复习课件:3-1三角....ppt

2017届高考数学()(新课标)二轮专题复习课件:3-1三角函数 - 第三部分

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:3-3-立体....ppt

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:3-3-立体几何_高考_高中教育_...(2)证明:不妨设正三角形 ABC 的边长为 3.在题图(1)中,取 BE 的中点 D...

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:3-7 选修....ppt

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:3-7...(7 ? ?y0=2y-3 分) x2 2 又点 A 在曲线 ...(它们都是参数的函数)的取值范围, 即在消去参数的...

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:1-2 数形....ppt

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:1-2 数形结合思想_数学_高中教育_教育专区。专题2 数形结合思想 [思想方法概述] 1.数形结合思想就是根据问题的...

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:2-5 函数....ppt

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:2-5 函数的性质及图像 - 第5讲 函数的性质及图像 热点调研 调研一 函数的性质 命题方向: 1.函数的三要素;2....

2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)课件:专题2 三角....ppt

2017届高考数学(文)二轮复习(全国通用)课件:专题2 三角函数与平面向量 第

...2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件3-7选....ppt

【高考调研】2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件3-7选修4系列_

2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件:....ppt

2017年高考数学(文科江苏专版)二轮专题复习与策略课件:专题10 高考中的三角函数 - 热点题型探究 专题十 高考命题视角 高考中的三角函数 专题限时 ...

...2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件1-3分....ppt

【高考调研】2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件1-3分类讨论思想_...三角函数的定义域 等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、...

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:第一部分....ppt

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:第一部分 论方法 专题3 分类...三角函数的定义域 等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、...

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:1-4 转化....ppt

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:1-4 转化与化归思想_数学_高中...【审题】 注意到已知条件,可采取三角换元法将原题转化为 求三角函数的值域问题...

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:3-4 概率....ppt

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:3-4 概率、统计_数学_高

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件3-4概率、....ppt

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件3-4概率、统计_高考_高中教

...2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件1-2数....ppt

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件1-2...画出函数f(x)的图像如 图. 要使函数g(x)=f(...(2,3)为顶点的三角 形及其内部,如图所示.因为原点...

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:第一部分....ppt

2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:第一...(2)(2016 成都调研)定义域为R的偶函数f(x)...可采取三角换元法将原题转化为 求三角函数的值域...

...2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件3-3立....ppt

【高考调研】2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件3-3立体几何_高

...2017高考(新课标)数学(文)二轮专题复习(课件)专题二....ppt

【南方新课堂】2017高考(新课标)数学(文)二轮专题复习(课件)专题二第1讲三角函数的图象与性质_数学_高中教育_教育专区。专题二 三角函数 第 1 讲 三角函数的...

...2019高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:3-1 三....ppt

《高考调研》2018-2019高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:3-1 三角函数 - 第三部分 讲重点解答题专练 高考数学,5~6 个解答题已形成固定模式,其重要...

...2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件3-4概....ppt

【高考调研】2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件3-4概率统计_高

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com