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求数列的通项公式方法总结


2.6 数列求通项公式的典型方法 数列是函数概念的继续和延伸,数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函 数,是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲,数列的问题,最终归结为对数列通项
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的研究,而数列的前 n 项和 Sn 可视为数列 {Sn } 的通项

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求数列通项公式方法较多,归纳起来常用的方法主要有一下几种:归纳法、公式法、累 加法、累乘法、构造法、取倒数法、取对数法、不动点法等等 1.归纳法
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【例 1】已知数列 3

1 1 1 1 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:____________________ 4 8 16 32

2 2 22 ? 1 32 ? 2 4 ? 3 5 ? 4 , , , ? , ,试写出下列数列的一个通项公式: 1 3 5 7 ____________________

练习 1.已知数列

5 7 9 练习 2.数列 1,-8,15,-24,…的一个通项公式是( 2n-1 A. an=(-1)n+1· 2 n +n 2n+1 D.an=(-1)n-1· 2 n +2n
2.公式法

) 2n-1 C. an=(-1)n+1· 2 n +2n

2n+1 B.an=(-1)n-1· 2 n +3n

?S1,n=1, 利用 an=? 或利用等差、等比通项公式. ?Sn-Sn-1,n≥2.
【例 2】已知下面各数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 的公式,求 {an } 的通项公式.

(1)Sn=2n2-3n;

(2)Sn=3n-2.

练习 1.已知下面各数列{an}的前 n 项和 Sn 的公式,求数列{an}的通项公式. 1 1 (1) Sn=n2+n; (2) Sn=2n2+2n+1.

【例 3】已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an+1,求{an}通项公式.

n+2 练习 1. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a1=1, an+1= n Sn(n=1,2,3, …). 求
?Sn? 证:数列? n ?是等比数列. ? ?

3.累加法 累加法主要解决形如 an ?1 ? an ? f (n) 形式的递推数列的求通项问题,该数列的 f (n) 具 有典型的特点:可以求和.其解题步骤是:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累 加法(逐差相加法)求解. 【例 4】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? an ? 2n ,求 a n .

【例 5】已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an . 2 n ?n

练习 1. 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

练习 2.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 满足 an ?1 ? an ? 2n ? n ,求数列 ?an ? 的通项公式.

练习 3.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 满足 an ?1 ? an ?

1 n ?1 ? n

,求数列 ?an ? 的通项公式.

4.累乘法 累加法主要解决形如 an?1 ? an ? f (n) 形式的递推数列的求通项问题,该数列的 f (n) 具 有典型的特点: 可以求积. 其解题步骤是: 把原递推公式转化为 差相加乘)求解. 【例 6】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,

an?1 利用累乘法(逐 ? f ( n) , an

an ?1 n ,求 an . ? an n?2

练习 1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

练习 2.已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an . 3n ? 2

5.构造等差、等比数列(构造法) 构造法主要解决形如 an?1 ? q(n)an ? p(n)( p ? 0, q ? 1) 类型的问题,其基本策略是对

an?1 ? qan ? p 进行变形,使其可以变为一个新的等比或等差数列,求出新的等差或等比数
列的通项公式,进而求出 ?an ? 的通项公式. 类型 1: an?1 ? qan ? p , ( p ? 0, q ? 1) 基 本 策 略 : 若 数 列 满 足 an?1 ? qan ? p (q, p为常数) , 则 可 考 虑 待 定 系 数 法 设

满足x ? qx ? p ,构造新的辅助数列 {an ? x} 是首 an?1 ? x ? q ? an ? x ? (其中 x为待定系数,

项为 a1 ? x 公比为 q 的等比数列,求出 an ? x 再进一步求通项 an 【例 7】已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

练习 1.已知数列{an}满足 a1=1, an?1 ? 2an ? 1 ,求 an 的通项公式.

练习 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? an ? 2n ?1(n ? N ? ) ,求 an 的通项公 式.

类型 2: an?1 ? qan ? f (n)(q ? 1) 【例 8】已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 3an ? 2 ? 3n ? 1 转化为 进而求出 (

an ?1 an 2 1 ? n ? ? n ?1 , n ?1 3 3 3 3

an an ?1 an ?1 an ? 2 an ? 2 an ?3 a2 a1 a1 ? an ? ? n ?1 ) ? ( n ? n?2 ) ? ( n ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1 ) ? ,即得数列 ? n ? n ?1 ?2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ?3 ?

的通项公式,最后再求数列 {an } 的通项公式. 练习 1.数列 {an } 满足 a1 ? 2 ,且 an?1 ? 2an ? 2n?1 (n ? Z ? ) ,求数列 {an } 的通项公式.

练习 2.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

6.取倒数法
?1? 2an 【例 9】已知数列{an}满足 a1=2,an+1= ,则数列?a ?是否为等差数列?说 an+2 ? n? 明理由.

练习 1. an ?

an?1 , a1 ? 1 求数列 ?an ?的通项公式. 3 ? an?1 ? 1

练习 2.已知数列{an}满足 a1=3,anan-1=2an-1-1(n≥2). ? ? 1 ? ? (1)求 a2,a3,a4;(2)求证:数列?a -1?是等差数列,并写出{an}的一个通项 ? n ? ? ? 公式.


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