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高考第二轮复习——立体几何同步练习(理)

高三数学人教版(理)高三第二轮复习:立体几何同步练习 (答题时间:60 分钟)
1、下列命题中,正确的是( ) A. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 B. 如果一个平面内两条直线都平行于另一平面,那么这两个平面平行。 C. 如果两条直线都平行于同一平面,那么这两条直线平行 D. 如果一条直线上有两个点到一个平面的距离相等,那么这条直线和这个平面平行。 2、设 a、b、c 是不同的直线,α ,?是不同的平面,下列三个命题: (1)若 a//b,则 a 与 c 所成的角和 b 与 c 所成的角相等 (2)若 a//b,则 a 与α 所成的角和 b 与α 所成的角相等 (3)若α //?,则 a 与α 所成的角和 a 与?所成的角相等 其中,正确命题的个数是: ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3、设?,?表示平面,L 表示不在 ? 内也不在?内的直线,存在下列三个事实: (1)L? ? ; (2) ? ??; (3)L//?,若以其中两个作为条件,另一个作为结论,则可以构成三个命题, 这三个命题中,正确命题的个数是: ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4、已知 m、n 是直线,?、?、?是平面,给出下列命题 (1)若???,???则?//? (2)若 n??,n??,则?//? (3)若?内不共线的三点到平面?的距离都相等,则?//? (4)若 n ? ?,m ? ?,且 n//?,m//?,则?//?; (5)若 m,n 为异面直线,且 n ? ?,n//?,m ? ?,m//?,则?//? 其中正确的两个命题是: ( ) A. (1)与(2) B. (3)与(4) C. (2)与(5) D. (2)与(3) 5、空间有 6 个点,任意四点都不共面,过其中任意两点均有一条直线,则成为异面直线 的对数为( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 6、 ?、? 是不重合的 2 个平面,在 ? 上任取 5 个点,在 ? 上任取 4 个点,由这些点所确 定的平面的个数最多是( ) A. 42 个 B. 70 个 C. 72 个 D. 84 个 7、若平面 ? ⊥平面 ? ,又直线 m ? ? ,直线 l ? ? ,且 m? l ,则( A. m ⊥ ? B. l ⊥ ? C. m ⊥ ? 且 l⊥? D. m ⊥ ? 或 l ⊥ ?



8、已知二面角 ?—AB—? 是直二面角,P 为棱 AB 上一点,PQ、PR 分别在平面 ? 、 ? 内,且 ?QPB ? ?RPB ? 45? ,则 ?QPR 为( ) A. 45? B. 60? C. 120? D. 150? 9、 正方体的棱长为 a , 由它的互不相邻的四个顶点连线所构成的四面体的体积是 (
3 3 3 3



a a a a B. C. D. 6 4 3 2 10、 平行六面体的棱长均为 4, 由同一顶点出发的三条棱上分别取 PA ? 1,PB ? 2, PC ? 3 ,

A.

则三棱锥 P — ABC的体积与平行六面体的体积之比是( ) A. 1∶64 B. 2∶7 C. 7∶19 D. 3∶16 11、在正方体 ABCD — A1 B1C1 D1 中,二面角 D1 — A1C — B1 的度数是( A. 45? B. 60? C. 120? D. 135?



12、正方形 ABCD被对角线 BD 和以 A 为圆心,AB 为半径的圆弧 旋转,所得旋转体的体积 V1、V2、V3 之比是( )

分成三部分,绕 AD

A. 2∶1∶1 B. 1∶2∶1 C. 1∶1∶1 D. 2∶2∶1 13. 已知∠AOB=90° , 过 O 点引∠AOB 所在平面的斜线 OC, 与 OA、 OB 分别成 45° 、 60° , 则以 OC 为棱的二面角 A—OC—B 的余弦值等于_________. 14. 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 2∶3, 则这个三棱锥的侧面和底面所成二 面角的度数为_________. 15、如图所示,空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a,动点 P 在线段 AB 上,动点 Q 在线段 CD 上,则 P 与 Q 的最短距离为_________.

16、如图所示,ABCD 与 ABEF 均是边长为 a 的正方形,如果二面角 E—AB—C 的度数为 30° ,那么 EF 与平面 ABCD 的距离为_________.

17、 已知四边形 ABCD 为直角梯形, AD∥BC, ∠ABC=90° , PA⊥平面 AC, 且 PA=AD=AB=1, BC=2 (1)求 PC 的长; (2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小; (3)求证:二面角 B—PC—D 为直二面角.

18、设△ ABC 和△ DBC 所在的两个平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120° 求: (1)直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小; (2)异面直线 AD 与 BC 所成的角; (3)二面角 A—BD—C 的大小.

19、一副三角板拼成一个四边形 ABCD,如图,然后将它沿 BC 折成直二面角.

(1)求证:平面 ABD⊥平面 ACD; (2)求 AD 与 BC 所成的角; (3)求二面角 A—BD—C 的大小. 20、在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=4,BC=3,CC1=2,如图:

(1)求证:平面 A1BC1∥平面 ACD1; (2)求(1)中两个平行平面间的距离; (3)求点 B1 到平面 A1BC1 的距离. 21、已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,点 E 在棱 D1D 上,截面 EAC∥D1B 且面 EAC 与底 面 ABCD 所成的角为 45° ,AB=a,求:

(1)截面 EAC 的面积; (2)异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离; (3)三棱锥 B1—EAC 的体积. 22、如图,已知三棱柱 A1B1C1—ABC 的底面是边长为 2 的正三角形,侧棱 A1A 与 AB、AC 均成 45° 角,且 A1E⊥B1B 于 E,A1F⊥CC1 于 F.

(1)求点 A 到平面 B1BCC1 的距离; (2)当 AA1 多长时,点 A1 到平面 ABC 与平面 B1BCC1 的距离相等.

【试题答案】
1、A 2、D 3、B 4、C 5、A 6、C 7、D 8、B 9、C 10、A 11、C 12、C 13. 解析:在 OC 上取一点 C,使 OC=1,过 C 分别作 CA⊥OC 交 OA 于 A,CB⊥OC 交 OB 于 B,则 AC=1,OA= 2 ,BC= 3 ,OB=2,Rt△ AOB 中,AB2=6,△ ABC 中,由余弦 定理,得 cos∠ACB=- 答案:-

3 . 3

3 3

14. 解析:设一个侧面面积为 S1,底面面积为 S,则这个侧面在底面上射影的面积为

S , 3

1 S S1 2 S 1 由题设得 . ? ,∴θ=60° ? ,设侧面与底面所成二面角为 θ,则 cosθ= 3 ? S1 3S1 2 S 3
答案:60° 15、解析:以 A、B、C、D 为顶点的四边形为空间四边形,且为正四面体,取 P、Q 分别 为 AB、CD 的中点,因为 AQ=BQ=

2 a,∴PQ⊥AB,同理可得 PQ⊥CD,故线段 PQ 的 2

长为 P、 Q 两点间的最短距离, 在 Rt△ APQ 中, PQ= AQ 2 ? AP 2 ? ( 答案:

3 2 a 2 2 a a) ? ( ) ? 2 2 2

2 a 2 16、 解析: 显然∠FAD 是二面角 E—AB—C 的平面角, ∠FAD=30° , 过 F 作 FG⊥平面 ABCD 于 G,则 G 必在 AD 上,由 EF∥平面 ABCD. a ∴FG 为 EF 与平面 ABCD 的距离,即 FG= . 2 a 答案: 2 17、解析: (1)解:因为 PA⊥平面 AC,AB⊥BC,∴PB⊥BC,即∠PBC=90° ,由勾股定
理得 PB= PA2 ? AB 2 ? 2 . ∴PC= PB 2 ? PC 2 ? 6 .

(2)解:如图,过点 C 作 CE∥BD 交 AD 的延长线于 E,连结 PE,则 PC 与 BD 所成 的角为∠PCE 或它的补角. ∵CE=BD= 2 ,且 PE= PA2 ? AE 2 ? 10 ∴由余弦定理得 cos∠PCE=

PC 2 ? CE 2 ? PE 2 3 ?? 2 PC ? CE 6

3 . 6 (3)证明:设 PB、PC 中点分别为 G、F,连结 FG、AG、DF,则 GF∥BC∥AD,且 1 GF= BC=1=AD,从而四边形 ADFG 为平行四边形, 2 又 AD⊥平面 PAB,∴AD⊥AG,即 ADFG 为矩形,DF⊥FG. 在△ PCD 中,PD= 2 ,CD= 2 ,F 为 BC 中点,∴DF⊥PC 从而 DF⊥平面 PBC,故平面 PDC⊥平面 PBC,即二面角 B—PC—D 为直二面角.? 18、解: (1)如图,在平面 ABC 内,过 A 作 AH⊥BC,垂足为 H,则 AH⊥平面 DBC, ∴∠ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角.由题设知△ AHB≌△AHD,则 DH⊥BH, AH=DH,
∴PC 与 BD 所成角的余弦值为

∴∠ADH=45° (2)∵BC⊥DH,且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影, ∴BC⊥AD,故 AD 与 BC 所成的角为 90° . (3)过 H 作 HR⊥BD,垂足为 R,连结 AR,则由三垂线定理知,AR⊥BD,故∠ARH 为二面角 A—BD—C 的平面角的补角.设 BC=a,则由题设知,AH=DH= △ HDB 中,HR=

3 a a, BH ? ,在 2 2

3 AH a,∴tan∠ARH= =2 4 HR 故二面角 A—BD—C 大小为 π-arctan2. 19、解析: (1)证明:取 BC 中点 E,连结 AE,∵AB=AC,∴AE⊥BC ∵平面 ABC⊥平面 BCD,∴AE⊥平面 BCD, ∵BC⊥CD,由三垂线定理知 AB⊥CD. 又∵AB⊥AC,∴AB⊥平面 BCD,∵AB ? 平面 ABD. ∴平面 ABD⊥平面 ACD. (2)解:在面 BCD 内,过 D 作 DF∥BC,过 E 作 EF⊥DF,交 DF 于 F,由三垂线定 理知 AF⊥DF,∠ADF 为 AD 与 BC 所成的角. 2 6 设 AB=m,则 BC= 2 m,CE=DF= m,CD=EF= m 2 3

AF AE 2 ? EF 2 21 21 ? ? ,? ?ADF ? arctan DF DF 3 3 21 即 AD 与 BC 所成的角为 arctan 3 (3)解:∵AE⊥面 BCD,过 E 作 EG⊥BD 于 G,连结 AG,由三垂线定理知 AG⊥BD, ∴∠AGE 为二面角 A—BD—C 的平面角 ? tan ?ADF ?

2 2 m,∴EG= m? 2 4 2 AE 又 AE= m,∴tan∠AGE= =2,∴∠AGE=arctan2. 2 GE 即二面角 A—BD—C 的大小为 arctan2. 20、解析: (1)证明:由于 BC1∥AD1,则 BC1∥平面 ACD1 同理,A1B∥平面 ACD1,则平面 A1BC1∥平面 ACD1 (2)解:设两平行平面 A1BC1 与 ACD1 间的距离为 d,则 d 等于 D1 到平面 A1BC1 的距 2 61 离.易求 A1C1=5,A1B=2 5 ,BC1= 13 ,则 cos∠A1BC1= ,则 sin∠A1BC1= ,则 65 65 1 1 1 S ?A1B1C1 = 61 ,由于 VD1 ? A1BC1 ? VB? A1C1D1 ,则 S ?A1BC1 · d= ? ( S YA1B1C1D1 ) · BB1 ,代入求得 3 3 2 12 61 12 61 d= ,即两平行平面间的距离为 . 61 61 (3)解:由于线段 B1D1 被平面 A1BC1 所平分,则 B1、D1 到平面 A1BC1 的距离相等, 12 61 则由(2)知点 B1 到平面 A1BC1 的距离等于 . 61 21、解: (1)连结 DB 交 AC 于 O,连结 EO, ∵底面 ABCD 是正方形 ∴DO⊥AC,又 ED⊥面 ABCD ∴EO⊥AC,即∠EOD=45° 2 2 DO 又 DO= a,AC= 2 a,EO= =a,∴S△ EAC= a 2 2 cos 45? (2)∵A1A⊥底面 ABCD,∴A1A⊥AC,又 A1A⊥A1B1 ∴A1A 是异面直线 A1B1 与 AC 间的公垂线 又 EO∥BD1,O 为 BD 中点,∴D1B=2EO=2a ∴D1D= 2 a,∴A1B1 与 AC 距离为 2 a (3)连结 B1D 交 D1B 于 P,交 EO 于 Q,推证出 B1D⊥面 EAC 3 ∴B1Q 是三棱锥 B1—EAC 的高,得 B1Q= a 2 1 2 2 3 2 3 VB1 ? EAC ? ? a ? a? a 3 2 2 4 22、解: (1)∵BB1⊥A1E,CC1⊥A1F,BB1∥CC1 ∴BB1⊥平面 A1EF
∵∠EBG=30° ,BE=

即面 A1EF⊥面 BB1C1C 在 Rt△ A1EB1 中, ∵∠A1B1E=45° ,A1B1=a

2 2 2 a,同理 A1F= a,又 EF=a,∴A1E= a 2 2 2 2 同理 A1F= a,又 EF=a 2 ∴△EA1F 为等腰直角三角形,∠EA1F=90° 过 A1 作 A1N⊥EF,则 N 为 EF 中点,且 A1N⊥平面 BCC1B1 即 A1N 为点 A1 到平面 BCC1B1 的距离 1 a ∴A1N= ? 2 2 a 又∵AA1∥面 BCC1B,A 到平面 BCC1B1 的距离为 2 ∴a=2,∴所求距离为 2 (2)设 BC、B1C1 的中点分别为 D、D1,连结 AD、DD1 和 A1D1,则 DD1 必过点 N, 易证 ADD1A1 为平行四边形. ∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N ∴B1C1⊥平面 ADD1A1 ∴BC⊥平面 ADD1A1 得平面 ABC⊥平面 ADD1A1,过 A1 作 A1M⊥平面 ABC,交 AD 于 M, 若 A1M=A1N,又∠A1AM=∠A1D1N,∠AMA1=∠A1ND1=90° ∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1= 3 ,即当 AA1= 3 时满足条件.
∴A1E=


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