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等差数列及前n项和


高考会怎么考:
1、考查利用等差数列的概念、性质、通项 公式与前n项和公式解决等差数列的问题.

2、在具体的问题情境中能识别具有等 差关系的数列,并能用有关知识解决相 应的问题.

考点梳理: 1、定义: an ? an?1 ? d (n ? 2, n ? N , d为常数)
*

2、通项公式:

an ? a1 ? (n ?1)d

求第n项

am ? a1 ? (m ?1)d a1 ? an ? (n ?1)d
an ? am ? (n ? m)d
an ? a1 d? n ?1 an ? am d? n?m

求首项

求公差

an ? am ? (n ? m)d
知其中一项求另一项

求公差

an ? am an ? a1 d? 3、公差公式: d? n?m n ?1
4、等差中项: 若a、A、b成等差数列,则A为 a?b a与b的等差中项,即 A ? 2

考点梳理:

即a, A, b成等差数列? 2 A ? a ? b

考点梳理: 5、等差数列常见性质:

性质

?an ?常用性质 等差数列

an ? am * ? ? m , n ? N d ? 性质1 an ? am ? (n ? m)d, n?m

性质2

?an ?中,a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? 在有穷等差数列
若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq

性质3 特别m ? n ? 2q, 则am ? an ? 2aq

?m, n, p, q ? N ?
*

考点梳理:
6、等差数列前n项和公式:
推导方法是什么?

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n( n - 1) S n ? na1 ? d 2
倒序相加法

?S ?a ?a
n n

Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an
n ?1

? ? ? a1

2Sn ? n(a1 ? an )

探究等差数列通项公式及前n项和公式特征

an ? a1 ? (n ?1)d
n( n - 1) S n ? na1 ? d 2
d 2 d S n ? n ? (a1 ? )n 2 2

an ? dn ? (a1 ? d )
an ? kn ? b(k , b为常数)
an是关于n的一次式
Sn是关于n的二次式

Sn ? An ? Bn
2

(A,B为常数)

考点梳理: 7、等差数列的判断方法: 定义法: 中项法: 通项法:
an ? an?1 ? d (n ? 2, n ? N * , d为常数)
* 2an?1 ? an ? an?( n ? N ) 2

an ? kn ? b(k , b是常数)

2 S ? An ? Bn( A, B为常数) 前n项和法: n

归纳: (1)通项公式及前n项和公式中涉及到5个元 素:
(或基本量) a1、d、n、an及Sn,其中a1、d称为基本元素

只要已知这5个元素中的任意3个,便可求 出其余2个,即“知3求2”

(2)通常把题中条件转化成只含 的等式(基本量法)

a1

和d

方法归纳:
解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: 1、基本量法:运用条件转化为关于 a1 和 d 的方法
体现统一原则,方程思想

2、运用性质:灵活运用等差数列性质,化 繁为简,减少运算量
观察下标特点,联系性质

例题解析
题型1五个基本量的有关计算 例1 (1)(2011.重庆)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10等于( A.12 ) B.14 C.16 D.18
解析1

(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则 a9= .
解析2

小结

【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和Sn的公式,找到a1, an,d,Sn,n五个量之间的关系,合理利用公式,有效快速地解方程.

【解析】(1)∵d=a3-a2=4-2=2,∴a10=a2+8d=2+8×2=18,故 选D.
返回例1

3? 2 ? S3 ? 3a1 ? d ? 3, ? ?a1 ? ?1, 2 (2)∵ ? 解得? ? ? 6 ? 5 d ? 2, ? S ? 6a ? ? d ? 24, 6 1 ? 2 ?

?

∴a9=a1+8d=15.故填15.

返回例1

小结

有关等差数列的计算问题常涉及五个元素:首项a1、公

差d、通项an、项数n、前n项和Sn ,其中a1和d是确定等差数列的

两个基本元素,只要把它们求出,其余的元素便可以求出
体现了统一原则和方程思想

变式训练1
(1)(2011江西)设{an}为等差数列,公差d= -2,Sn为其前n 项和.若S10=S11,则a1等于?(
)

A.18

B.20

C.22
*

D.24

(2)(2011湖南)设Sn是等差数列{an}(n∈N )的前n项和,
且a1=1,a4=7,则S5= .

【解析】 (1)∵S10=S11,∵a11=S11-S10=0,∴a11=a1+10d=a1-20=0, ∴a1=20.

(2)3d=a4-a1=7-1=6,∴d=2,∴S5=5×a1+

5? 4 ?d=25. 2

例题解析
题型2等差数列性质的应用

?例2 (1)(2011重庆)在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=
基本法

.

(2)(2012辽宁)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列的前11

项和 A.58

S11 ? (

) B.88 C.143 D.176 )
解析

(3)在等差数列{an}中,a6=a3+a8,则S9等于?( A.0 B.1 C.-1 D.以上都不对

解析

小结

【分析】(1)由若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq成立来求解 即可.

【解析】(1)a2+a8=a4+a6=a3+a7=37,故a2+a4+a6+a8=2×37=74.

返回例2

11 (a1 ? a11 ) ? 88 ,? S11 ? (2) a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16 2
返回例2

(3)a3+a8=a5+a6=a6,a5=0,S9=9a5=0.

小结

“巧用性质,减少运算量”在等差数列的计算

中非常的重要,利用等差数列的性质解题,一定要从等差 数列的本质特征入手(观察下标)去思考、分析题意, 才能做到事半功倍.
返回例2

例2 (1)(2011重庆)在等差数列{an}中,a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=

而a2 ? a4 ? a6 ? a8

(a1 ? 2d ) ? (a1 ? 6d ) ? 37 基本法: 由已知: 37 即a1 ? 4d ? 2

整体思想

? (a1 ? d ) ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 5d ) ? (a1 ? 7d ) ? 4a1 ? 16d 37 ? 4? ? 74 ?( 4 a1 ? 4d) 2
利用性质:a2+a8=a4+a6=a3+a7=37,

故a2+a4+a6+a8=2×37=74.

变式训练2 (1)已知等差数列的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8= .

1 (2)在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则 a7 ? a8 2
的值为?( A.4 ) B.6 C.8 D.10

(3)已知等差数列的前n项和为Sn,若S3 ? 9, S6 ? 36, 求a7 ? a8 ? a9的值

课时小结

8(a1 ? a8 ) 解析:(1)由已知可知a4+a5=18,∴S8=? 2 =4(a4+a5)=72.
(2)性质若m,n,p,q∈N 且m+n=p+q,则am+an=ap+aq
可知a2+a10=a4+a8=2a6,
2a7 ? a8 a6 ? a8 ? a8 1 1 ∴a6=16,∵a7- ?a8= ?= =? a6=8. 2 2 2 2
*

总结提高
1.要熟练应用通项公式及前n项和公式(变形公式). 2.要熟用和活用等差数列常用性质. 3.等差数列的判定方法有:(1)定义法;(2)中项公式法;(3)

通项公式法;(4)前n项和公式法; 4.解决等差数列问题的方法: (1)基本量法:转化为关于 (统一原则、整体思想)

a1 和 d

的方法

(2)运用性质:灵活运用等差数列性质,化繁 为简,减少运算量

课后作业

1、阅读《必修 5》p36 ? p47 (知识点和例题)
2、完成《天府》 p66上的自测 1、 2、 3、 4、 5


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