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北京市人大附中2012届高三数学尖子生专题训练:圆锥曲线与方程(人教版)


北京市人大附中 2012 届高三数学尖子生专题训练:圆锥曲线与方程 I 卷 一、选择题 5 - =1”是“双曲线的离心率为 ”的( ) 9 16 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 1. “双曲线的 方程为 2.已知圆 C : x
2

x2 y2

? y 2 ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0 ,以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合
( C. )

上述条件的双曲线的标准方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 12 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 12

x2 y 2 ? ?1 2 4
p2

D.

x2 y 2 ? ?1 4 2

【答案】B 3.如图 16-1,抛物线 C1:y =2px 和圆 C2:?x-
2

+y = ,其中 p>0,直线 l 经过抛物线 C1 的焦点,依次交 4 ? 2? 抛物线 C1,圆 C2 于 A,B,C,D 四点,则?的值为( )

p?2

2

图 16-1 A. C.

p2
4

B.

p2
3
2

p

2

2 【答案】A

D.p

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 4. F1 和 F2 分别是双曲线 a 的两个焦点,A 和 B 是以 O 为圆心,以|OF1|为半径的圆
与该双曲线左支的两个交点,且 ?F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为( )

A.

3

B.

5

5 C. 2

D. 1 ?

3

【答案】D 5.已知两点 P(-1,1),Q(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 的延长线相交.如图 14-2,则 m 的取值范 围是( ) 1 3 2 A.? , ? B.?-3,- ? 3 2 3? ? ? ? C.(-∞,-3) 2 D.?- ,+∞? ? 3 ? 【答案】B

6. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,以及椭圆内一点 P (4,2),则以 P 为中点的弦所在的直线斜率为( 36 9
B. ?



A.

1 2
x2 y2

1 2
2

C .2

D.-2

【答案】B 7.双曲线 - =1 的一条渐近线与圆(x-2) +y =2 相交于 M、N 两点且|MN|=2,则此双曲线的焦距是( 3 b
2

)

A.2 2 B.2 3 C.2 D.4 【答案】D 2 8.如图 17-1,已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1, 抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 11 C. 5 37 D. 16 【答案】A x2 9.椭圆 +y2=1 的焦点为 F1,F2,点 M 在椭圆上, ?=0,则 M 到 y 轴的距离为( ) 4
[来源:Zxxk.Com]

A. C.

2 3 3

2 6 B. 3

3 D. 3 3 【答案】B 2 2 2 10.已知抛物线 y =2px(p>0)的准线与圆(x-3) +y =16 相切,则 p 的值为( 1 A. B.1 C.2 D .4 2 【答案】C 11.与两圆 x2+y2=1 及 x2+y2-8x+12=0 都外切的圆的圆心在( ) A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 【答案】B 12. 过椭圆

)

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ,F2 为右焦点, 若 ?F 1PF 2 ? 60 , a 2 b2
) B.

则椭圆的离心率为( A.

2 2

3 3

C.

1 2

D.

1 3

【答案】B 13.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a a 2 b2

0, b

0) 的左右焦点是 F1,F2,设 P 是双曲线右支上一点, F1F2 在 F1P 上的

投影的大小恰好为| F1P |,且它们的夹角为

? ,则双曲线的离心率 e 为( 6



A.

2 ?1 2

B.

3 ?1 2

C.

3 ?1

D.

2 ?1

【答案】C 14.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小 值为( ) A. 17 2 B.3 9 D. 2

C. 5 【答案】A

II 卷 二、填空题 15.若双曲线 【答案】48 16.设 F1、F2 分别是双 曲线 x - =1 的左、右焦点, 若点 P 在双曲线上,且?=0,则|+|等于________. 9 【答案】2 10 17. 椭圆
2

- =1 的离心率 e=2,则 m=________. 16 m

y2

x2

y2

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,若直线 y ? kx 与其一个交点的横坐标为 b ,则 k 的值为 2 2 a b
2 2
2 2

【答案】 ?

x y 1 1 18.已知曲线 - =1 与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两点,且?=0(O 为原点),则 - 的值为________. a b a b
【答案】2
? x ? 4 cos ? ? y ? 2 sin ? ? x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 19. 椭圆 ? ( 为参数)上点到直线

【答案】

10
x2 a y2 b

20.设 O 为坐标原点,F1、F2 是 2 - 2=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点 P,满足∠F1PF2=60°,OP = 7a,则该双曲线的渐近线方程为____________. 【答案】 2x±y=0

三、解答题

[来源:学_科_网]

x2 y2 ? 2 ?1 2 C (a ? b ? 0)的左、右焦点分别为 F1 、 F2 。其中 F2 也是抛物 b 21.在直角坐标系 xOy 中椭圆 1 : a

5 | MF2 |? 2 C y ? 4 x C C 3。 线 2: 的焦点,点 M 为 1 与 2 在第一象限的交点,且
(I) 求

C 1 的方程;

(II)平面上的点 N 满足 求直线 l 的方程。

MN ? MF1 ? MF2 ,直线 l ∥ MN ,且与 C 1 交于 A 、 B 两点,若 OA ? OB ? 0 ,

【答案】 (I)由 C 2 : y ? 4 x 知 F2 (1,0) 。
2

M ( x1 , y1 ) , M 在 C 2 上,因为 | MF2 |? 3 ,所以 x1 ? 1 ? 3 ,解得 设

5

5

2 ? ? x1 ? 3 ? ? ? y1 ? 2 6 ? 3 ?



8 ? 4 ? 2 ? 2 ?1 ? 9a 3b 2 ? b ? a2 ?1 , M 在 C 1 上,且椭圆 C 1 的半焦距 c ? 1 ,于是 ?
消去 b 并整理得 9a ? 37a ? 4 ? 0 ,
2
4 2

解得

a?2 (

a?

1 3 不合题意,舍去) 。

x2 y2 ? ?1 C 3 故椭圆 1 的方程为 4 。
(II)由

MN ? MF1 ? MF2 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O ,

2 6 k? 3 ? 6 2 3 因为 l ∥ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,故 l 的斜率 。

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? y ? 6 ( x ? m) ? 9x 2 ?16mx ? 8m2 ? 4 ? 0 设 l 的方程为 y ? 6 ( x ? m) 。由 ? 。
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,所以 因为 OA ? OB ? 0,所以

x1 ? x2 ?

8m 2 ? 4 16m x1 x2 ? 9 , 9 。

x1 x2 ? y1 y2 ? 0,∴ 7x1 x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? 6m2 ? 0

7?


8m 2 ? 4 16m ? 6m ? ? 6m 2 ? 0 ?m?? 2。 9 9
2 2

此时 ? ? (16m) ? 4 ? 9(8m ? 4) ? 0 , 故所求直线 l 的方程为 22.已知圆 C:

y ? 6x ? 2 3 或 y ? 6x ? 2 3 。

[来源:学,科,网]

x2 ? y 2 ? 4 .

(1)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程;

Q (2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 y 轴的直线 m,设 m 与 x 轴的交点为 N,若向量 OQ ? OM ? ON ,求动点 的
轨迹方程. (3) 若点 R(1,0),在(2)的条件下,求

RQ

的最小值.

【答案】 (1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交点坐标为

?1, 3?和 ?1,? 3 ?,其距离为 2

3 ,满足题意

②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为

y ? 2 ? k ?x ? 1? ,即 kx ? y ? k ? 2 ? 0
2

设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 故所求直线方程为 3x-4y+5=0

3 ? 2 4 ? d ,得 d ? 1 ∴

1?

| ?k ? 2 | k ?1 ,
2

k?

3 4,

综上所述,所求直线为 3x-4y+5=0 或 x=1 (2)设点 M 的坐标为(x0,y0),Q 点坐标为(x,y)则 N 点坐标是(x0, 0) ∵ OQ ? OM ? ON ,∴

( x, y) ? (2 x0 , y0 )



x0 ?

x 2,

y0 ? y

x2 ? y2 ? 4 x ? y ? 4 4 又∵ ,∴
2 0 2 0

由已知,直线 m oy 轴,所以, x ? 0 ,

x2 ? y2 ? 4 Q ∴ 点的轨迹方程是 4 (x ? 0)

RQ ? ( x ? 1) 2 ? y 2 (3)设 Q 坐标为(x,y), RQ ? ( x ?1, y) , ,
x2 ? y2 ? 4 4 又 ( x ? 0 )可得:

2

4 44 3( x ? ) 2 ? x 2 3 3 ? 11 ? RQ ? ( x ? 1) ? 4 ? 4 4 3.
2
2

4 33 ? x ? ?? 4,0? ? ?0,4? ?当x ? 时, RQ 取到最小值 3 3 23.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)为动点,已知点 A( 2,0),B(- 2,0),直线 PA 与 PB 的斜率之积 1 为定值- . 2 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)若 F(1,0),过点 F 的直线 l 交轨迹 E 于 M、N 两点,以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在 y 轴上,求 直线 l 的方程. y y 1 【答案】(1)由题意 ? =- , 2 x- 2 x+ 2
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

整理得 +y =1,所以所求轨迹 E 的方程为 2

x2

2

(2)当直线 l 与 x 轴重合时,与轨迹 E 无交点,不符合题意; 当直线 l 与 x 轴垂直时,l:x=1, 此时 M(1, 2 2 ),N(1,- ), 2 2 2 2 ,0),(1- ,0),不符合题意; 2 2

以 MN 为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(1+ 当直线 l 与 x 轴既不重合,也不垂直时, 不妨设直线 l:y=k(x-1)(k≠0), 设 M(x1,y1),N(x2,y2), x1+x2 x1+x2 MN 的中点 Q( ,k( -1)), 2 2

y=k(x-1), ? ? 2 由?x 2 +y =1, ? ?2
2 2 2 2

消去 y 得

(2k +1)x -4k x+2k -2=0, 4k + Δ ? ?x =2(2k +1), 由? 4k - Δ ? ?x =2(2k +1),
2 1 2 2 2 2 2



? ? 2k -2 ?x ?x =2k +1,
x1+x2=
1 2

4k , 2 2k +1
2 2

2

2k k ,- 2 ), 2 2k +1 2k +1 则线段 MN 的中垂线 m 的方程为: 2 k 1 2k y+ 2 =- (x- 2 ), 2 k +1 k 2 k +1 所以 Q(

x k , 2 k 2k +1 k 则直线 m 与 y 轴的交点 R(0, 2 ), 2k +1 由题知以 MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在 y 轴上,
整理得直线 m:y=- +

当且仅当 RM⊥RN,即 RM ? RN =(x1,y1-

)?(x2,y2- 2 )=0, 2 2k +1 2k +1

k

k

x1x2+y1y2-

(y1+y2)+ 2 2=0,① 2k +1 (2k +1)
2

k

k2

, ? 2k +1 由? 2k y +y =k(x +x -2)=- , 2k +1 ?

y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-
1 2 1 2 2

k2
2



将②代入①解得 k=±1, 即直线 l 的方程为 y=±(x-1), 综上,所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. 24. 已知椭圆

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 , 两焦点之间的距离为 4。 (I) 求椭圆的标准方程; (II) 2 2 a b
(1)求证:OA⊥OB; (2)设 OA、OB 分别与椭圆相交 y 2 ? 4 x 于 A、B 两点,

过椭圆的右顶点作直线交抛物线

于点 D、E,过原点 O 作直线 DE 的垂线 OM,垂足为 M,证明|OM|为定值。

?2c ? 4, ?a ? 4 x2 y 2 ? 2 ? ?1 【答案】 (Ⅰ)由 ? c 1 得 ? ,故 b ? 12 .所以,所求椭圆的标准方程为 16 12 c ? 2 ? , ? ? ?a 2

(2)设 D?x3 , y3 ? 、 E

?x4 , y4 ? ,直线 DE 的方程为 x ? ty ? ? ,代入 x

2

16

?

y2 ? 1 ,得 12

?3t

2

? 4 y 2 ? 6t?y ? 3?2 ? 48 ? 0 .于是 y3 ? y4 ? ?

?

6t? 3?2 ? 48 , y y ? . 3 4 3t 2 ? 4 3t 2 ? 4

4?2 ? 48t 2 ? OD ? OE ,? x3 x4 ? y3 y4 ? 0 .代入,整理得 从而 x3 x4 ? ?ty3 ? ? ??ty 4 ? ? ? ? 3t 2 ? 4

7?2 ? 48 t 2 ? 1 .∴原点到直线 DE 的距离 d ?

?

?

?
1? t 2

?

4 21 为定值 7

25. 如图, F 为双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, P 为双曲线 C 在第一象限内的一点, M 为左准 a2 b2

线上一点, O 为坐标原点, MP ? OF,

PF ? ? OF .

(Ⅰ)推导双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; (Ⅱ)当 ? ? 1 时, 经过点 (1,0) 且斜率为 ? a 的 直线交双曲线于 A, B 两点, 交 y 轴于点 D , 且

DA ? ( 3 ? 2) DB ,求双曲线的方程.
【答案】 (Ⅰ)?

MP ? OF, ? OFPM 为平行四边形.
OF ? c ,

设 l 是双曲线的右准线,且与 PM 交于 N 点,

? PF ? e PN , PF ? ? OF , OF ? PM , ? ? OF ? e PN ? e( PM ? MN ).
即? ?c

? e(c ?

2a 2 ).? e 2 ? ?e ? 2 ? 0. c

(Ⅱ)当 ? ? 1 时,得 e ? 2,? c ? 2a, b ?

3a.

所以可设双曲线的方程是

x2 y2 ? ? 1, a 2 3a 2

2 2 设直线 AB 的方程是 y ? ?a( x ? 1), 与双曲线方程联立得: (3 ? a ) x

? 2a 2 x ? 4a 2 ? 0.

由 ? ? 4a

4

? 16a 2 (3 ? a 2 ) ? 0 得 0 ? a ? 2 .
2a 2 4a 2 , x x ? .① 1 2 a2 ? 3 a2 ? 3

设A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),则x1 ? x2 ?

由已知, D(0, a) ,因为 DA ? 所以可得 x1 由①②得 (

( 3 ? 2) DB ,

? ( 3 ? 2) x2 . ②
3 ? 1) x 2 ?
2

2a 2 4a 2 2 , ( 3 ? 2 ) x ? , 2 a2 ? 3 a2 ? 3

消去 x2 得 a

? 2, 符合 ? ? 0 ,
x2 y2 ? ?1 2 6

所以双曲线的方程是

[来源:学科网]

26.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (1,0) , M 为椭圆的上顶点, O 为坐标原点,且△ OMF a2 b2

是等腰直角三角形. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 是否存在直线 l 交椭圆于 P ,Q 两点, 且使点 F 为△ PQM 的垂心(垂心:三角形三边高线的交点)?若存在,求出直线 l 的方程;若不存 在,请说明理由.

x2 ? y2 ? 1 【答案】 (Ⅰ)由△ OMF 是等腰直角三角形得 b ? 1 , a ? 2b ? 2 ,故椭圆方程为 2
(Ⅱ)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQM 的垂心,设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因为 M (0,1) , F (1,0) ,故 k PQ

?1.

于是设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

由?

? y ? x ? m, 2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 . 2 2 ? x ? 2 y ? 2,

4 或 m ? 1 ?12 分经检验,当 m ? 1 时,△ PQM 不存在,故舍去 m ? 1 . 3 4 4 当 m ? ? 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? . 3 3
解得 m ? ?

27.已知椭圆 C1:

x2 y 2 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其中 F2 也是抛物线 C2:y2=4x 的焦点,M a2 b 2

5 是 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|MF2|= . 3 (1)求椭圆 C1 的方程; (2)已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 C1 上,顶点 B、D 在直线 7x-7y+1=0 上,求直线 AC 的方程. 5 5 2 【答案】(1)设 M(x1,y1),∵F2(1,0),|MF2|= .由抛物线定义,x1+1= ,∴x1= , 3 3 3 ∵y1=4x1,∴y1= ∴
2

2 6 ?2 2 6?,∵M 点在 C 上, .∴M? , 1 ? 3 ?3 3 ?

4 8 1 2 2 2 4 2 2 2 2+ 2=1,又 b =a -1,∴9a -37a +4=0,∴a =4 或 a = <c (舍去). 9a 3b 9
2 2

∴a =4,b =3,∴椭圆 C1 的方程为 + =1. 4 3 (2)∵直线 BD 的方程为 7x-7y+1=0,四边形 ABCD 为菱形,∴AC⊥BD,设直线 AC 的方程为 y=-x+m,

x2 y2

y=-x+m, ? ? 2 2 则?x y + =1 ? ?4 3

? 7x -8mx+4m -12=0,
2 2

∵A,C 在椭圆 C1 上,∴Δ >0,∴m <7. ∴- 7<m< 7.设 A(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2= 8m . 7 7

2

4m 3m 8m 6m y1+y2=(-x1+m)+(-x2+m)=-(x1+x2)+2m=- +2m= .∴AC 的中点坐标为? , ?,由 ABCD 为菱形 7

?7

7?

可知点? ∴7 ?

4m

?7



3m? 在直线 BD:7x-7y+1=0 上, 7?

4m 3m -7? +1=0,m=-1,∵m=-1∈(- 7, 7), 7 7

∴直线 AC 的方程为 y=-x-1,即 x+y+1=0 . 28.已知曲线 L 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3, 0 和 F2 (1)求曲线 L 的方程; (2)设过 ,求直线 l 的方程. ? 0, ?2? 的直线 l 与曲线 L 交于 C 、 D 两点,且 OC ? OD ? 0 ( O 为坐标原点)

?

?

?

3, 0 的距离之和为 4.

?

【答案】 (1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆, 其中 a ? 2 , c ?

3 ,则 b ? a2 ? c2 ? 1.
x2 ? y 2 ? 1. 4

所以动点 M 的轨迹方程为

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , ∵ OC ? OD ? 0 ,∴ x1 x2

? y1 y2 ? 0 .

∵ y1 ∴ y1 y2

? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 ,

? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . (1 ? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .?①



? x2 2 ? ? y ? 1, 由方程组 ? 4 ? y ? kx ? 2. ?
得 1 ? 4k

?

2

?x

2

? 16kx ? 12 ? 0 .

16k 12 , x1 ? x2 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 12 16k 2 ? 2k ? ?4?0. 代入①,得 ?1 ? k ? ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
则 x1 ? x2 ?
2 即 k ? 4 ,解得, k ? 2 或 k ? ?2 .

所以,直线 l 的方程是 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 .


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