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北京市昌平区2018届高三上学期期末考试数学(理科)试题

昌平区 2017-2018 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学试卷(理科) 2018.1 本试卷共 5 页,共 150 分. 考试时长 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效. 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1. 若集合 A ? {x | ?2 ? x ? 1} , B ? {x | x( x ? 3) ? 0} ,则 A ? B ? A. {x | x ? 1或x ? 3} C. {x | ? 2 ? x ? 0或x ? 3} B. {x | ? 2 ? x ? 1} D. {x | ?2 ? x ? 0} 2. | 1+ i |? i B. A. ? 2 2 C. ?1 D. 1 3. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 开始 A.43 C. 61 B. 55 D. 81 S ? 1, n ? 24 n?0 是 否 S ? S ?n n ? n?6 输出 S 结束 ? x ? y ? 1, ? 4.设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? 2 x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 0, ? A. 1 4 B. 2 C. 4 D. 16 5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,面积的最小值为 A. 1 B. 2 2 2 主视图 1 1 左视图 C. 2 D. 2 2 俯视图 6.已知函数 f ( x) ? e ? e , 则函数 f ( x ) x ?x A.是偶函数,且在 ( ??, 0) 上是增函数 C. 是偶函数,且在 ( ??, 0) 上是减函数 B. 是奇函数,且在 ( ??, 0) 上是增函数 D. 是奇函数,且在 ( ??, 0) 上是减函数 7. 设 0 ? x ? π ,则“ cos x ? x 2 ”是“ cos x ? x ”的 2 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 8. 四个足球队进行单循环比赛(每两队比赛一场) ,每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,平 局双方各得 1 分. 比赛结束后发现没有足球队全胜,且四队得分各不相同,则所有比赛中可能 出现的最少平局场数是 A.0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分(非选择题 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (1 ? x)7 的二项展开式中 x 2 的系数为 共 110 分) . 10. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立 平面直角坐标系,那么曲线 C 的直角坐标方程为 . 11. 已知直线 l : 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,点 P 是圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 上的点,那么点 P 到直 线 l 的距离的最小值是 . uur uuu r 12. 已知 Rt?ABC , AB ? AC ? 1 ,点 E 是 AB 边上的动点,则 CE ? AC 的值为 uur uur CE ? CB 的最大值为 . ; 13. 某商业街的同侧有 4 块广告牌,牌的底色可选用红、蓝两种颜色,若要求任意相邻两块 牌的底色不都为红色,则不同的配色方案有 种. 14.若函数 f ( x) ? ? ①若 a ? ?? x ? 4, x ? 3, ( a ? 0 且 a ? 1) ,函数 g ( x) ? f ( x) ? k . ?log a x, x ? 3 ; . 1 ,函数 g ( x) 无零点,则实数 k 的取值范围是 3 ②若 f ( x) 有最小值,则实数 a 的取值范围是 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题 13 分) 已知等差数列 { an } 的公差 d 为 1,且 a1 , a3 , a4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 bn ? 2 an ?5 ?n , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 16. (本小题 13 分) 在 ?ABC 中, 3a sin C ? c cos A . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 S?ABC ? 3 , b ? c ? 2 ? 2 3 ,求 a 的值. 17. (本小题 13 分) 随着“中华好诗词”节目的播出,掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大 学生对于“中华诗词”的喜好,从甲、乙两所大学各随机抽取了 40 名学生,记录他们每天学 习“中华诗词”的时间,并整理得到如下频率分布直方图: 频率/组距 频率/组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 10 20 30 40 50 60 分钟/天 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 O 10 20 30 40 50 60 分钟/天 图 1:甲大学 图 2:乙大学 根据学生每天学习“中华诗词”的时间,可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为 三个等级 : 学习时间 t (分钟/天) 等级 t ? 20 20 ? t ? 50 t ? 50 一般 爱好 痴迷 (Ⅰ)从甲大学中随机选出一名学生,试估计其“爱好”中华诗词的概率; (Ⅱ)从两组“痴迷”的同学中随机选出 2 人,记 ? 为选出的两人中甲大学的人数,求 ? 的 分布列和数学期望 E ?? ? ; (Ⅲ)试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值 X 甲 与 X 乙 的大小,及 方差 S 2甲 与 S 2乙 的大小.(只需写出结论) 18.(本小题 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD

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